专题38 二次函数与几何图形综合题（7大类型）（原卷版）.docx

1、模块三 重难点题型专项训练 专题38 二次函数与几何图形综合题（7大压轴类型） 考查类型考查类型一 与线段有关的问题考查类型二 与图形面积有关的问题考查类型三 角度问题考查类型四 与特殊三角形判定有关的问题考查类型五 与特殊四边形判定有关的问题考查类型六 与三角形全等、相似有关的问题考查类型七 与圆有关的运算新题速递考查类型一 与线段有关的问题例1 （2020吉林长春统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为若抛物线（、为常数）与线段交于、两点，且，则的值为_例2 （2020山东滨州中考真题）如图，抛物线的顶点为A(h，1)，与y轴交于点B，点F(2，1)为其对称轴上的一个

2、定点（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）已知直线l是过点C(0，3)且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P(m，n)到直线l的距离为d，求证：PFd；（3）已知坐标平面内的点D(4，3)，请在抛物线上找一点Q，使DFQ的周长最小，并求此时DFQ周长的最小值及点Q的坐标二次函数中求线段问题：1.直接求解线段长度表达式型2.线段转化型3.将军饮马问题、胡不归问题、阿氏圆问题等4.瓜豆原理最值问题，圆中的线段最值【变式1】（2022广东珠海珠海市九洲中学校考一模）如图，二次函数yx2+2x+m+1的图象交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，图象的顶点为D下列四个命题：当x0时，

3、y0；若a1，则b4；点C关于图象对称轴的对称点为E，点M为x轴上的一个动点，当m2时，MCE周长的最小值为2；图象上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x11x2，且x1+x22，则y1y2，其中真命题的个数有（）A1个B2个C3个D4个【变式2】（2022广东东莞校考一模）如图，抛物线交轴于、两点在的左侧，交轴于点，点是线段的中点，点是线段上一个动点，沿折叠得，则线段的最小值是_【变式3】（2022云南文山统考三模）已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），顶点坐标为点(1)求m的值；(2)设点P在抛物线的对称轴上，连接，求的最小值考查类型二 与图形面积有关的问题例1 （2

4、021山东淄博统考中考真题）已知二次函数的图象交轴于两点若其图象上有且只有三点满足，则的值是（）A1BC2D4例2 （2022山东淄博统考中考真题）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点D（1，4）在直线l：yx+t上，动点P（m，n）在x轴上方的抛物线上(1)求这条抛物线对应的函数表达式；(2)过点P作PMx轴于点M，PNl于点N，当1m3时，求PM+PN的最大值；(3)设直线AP，BP与抛物线的对称轴分别相交于点E，F，请探索以A，F，B，G（G是点E关于x轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着P点的运动而发生变化，若不变，求出这个四边形的面积；若变化

5、，说明理由解决二次函数动点面积问题，常用的方法有三种方法一：铅垂高法。如图1，过ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，铅垂高穿过的线段两端点的横坐标之差叫ABC的水平宽(a)，中间的这条平行于y轴或垂直于x轴的直线在ABC内部线段的长度叫ABC的铅垂高(h).此时三角形面积的计算方法：即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半（s=1/2ah）方法二，平行法。平行法最关键的知识点，是平行线之间高的问题，一般这种情况都是平移高到与坐标轴交点处，最后用相似求值。方法三，矩形覆盖法。这是最容易想到的方法，但也是计算最麻烦的方法。利用面积的大减小去解决，一般不太建议使用这种方法，庞大的计算量很

6、容易出错。【变式1】（2022河北校联考一模）如图，在中，边在x轴上，点P是边上一点，过点P分别作于点E，于点D，当四边形的面积最大时，点P的坐标为（）ABCD【变式2】（2022江苏盐城一模）如图，抛物线与y轴交于点P，其顶点是A，点的坐标是，将该抛物线沿方向平移，使点P平移到点，则平移过程中该抛物线上P、A两点间的部分所扫过的面积是_【变式3】（2022四川泸州泸县五中校考一模）如图，抛物线经过点，点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D(1)求抛物线的解析式；(2)当时，y的取值范围是_；(3)抛物线上是否存在点P，使的面积是面积的4倍，若存在，点P的坐标；若不存在，请说明理由考查类型三 角

7、度问题例1 （2021江苏连云港统考中考真题）如图，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知（1）求m的值和直线对应的函数表达式；（2）P为抛物线上一点，若，请直接写出点P的坐标；（3）Q为抛物线上一点，若，求点Q的坐标例2 （2020黑龙江统考中考真题）如图，已知二次函数的图象经过点，与轴交于点（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点，使，若存在请直接写出点的坐标若不存在，请说明理由角度问题涵盖的题型1.角度相等问题2.角度的和差倍分关系3.特殊角问题4.非特殊角问题方法点评：由特殊角联想到直接构造等腰直角三角形，通过全等三角形，得到点的坐标，从而得到直线解析式，联立得到交点坐

8、标.这个方法对于特殊角30度、60度90度都是适用的，是一种通用方法.【变式1】（2022秋浙江宁波九年级校考期中）如图，抛物线与轴交于点和点两点，与轴交于点，点为抛物线上第三象限内一动点，当时，点的坐标为（）ABCD【变式2】（2020江苏无锡无锡市南长实验中学校考二模）如图，一次函数yx2的图象交x轴于点A，交y轴于点B，二次函数yx2+bx+c的图象经过A、B两点，与x轴交于另一点C若点M在抛物线的对称轴上，且AMBACB，则所有满足条件的点M的坐标为_【变式3】（2022四川绵阳东辰国际学校校考模拟预测）如图，以的边和边上高所在直线建立平面直角坐标系，已知，抛物线经过A，B，C三点(1

9、)求抛物线解析式(2)点G是x轴上一动点，过点G作轴交抛物线于点H，抛物线上有一点Q，若以C，G，Q，H为顶点的四边形为平行四边形，求点G的坐标(3)点P是抛物线上的一点，当时，求点P的坐标考查类型四 与特殊三角形判定有关的问题例1 （2022山东东营统考中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C(1)求抛物线的表达式；(2)在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标；(3)点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标例2 （2022山东济南统考中考真题）抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线ykx6经

10、过点B点P在抛物线上，设点P的横坐标为m(1)求抛物线的表达式和t，k的值；(2)如图1，连接AC，AP，PC，若APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；(3)如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQBC，垂足为Q，求的最大值【模型解读】在坐标系中确定点，使得由该点及其他点构成的三角形与其他三角形相似，即为“相似三角形存在性问题”【相似判定】判定1：三边对应成比例的两个三角形是相似三角形；判定2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形；判定3：有两组角对应相等的三角形是相似三角形以上也是坐标系中相似三角形存在性问题的方法来源，根据题目给的已知条件选择恰当的判定方法

11、，解决问题【题型分析】通常相似的两三角形有一个是已知的，而另一三角形中有1或2个动点，即可分为“单动点”类、“双动点”两类问题【思路总结】根据相似三角形的做题经验，可以发现，判定1基本是不会用的，这里也一样不怎么用，对比判定2、3可以发现，都有角相等！所以，要证相似的两个三角形必然有相等角，关键点也是先找到一组相等角然后再找：思路1：两相等角的两边对应成比例；思路2：还存在另一组角相等事实上，坐标系中在已知点的情况下，线段长度比角的大小更容易表示，因此选择方法可优先考虑思路1一、如何得到相等角？二、如何构造两边成比例或者得到第二组角？搞定这两个问题就可以了【变式1】（2022河北邢台统考一模）

12、如图，已知抛物线经过点，与y轴交于点，P为AC上的一个动点，则有以下结论：抛物线的对称轴为直线；抛物线的最大值为；OP的最小值为则正确的结论为（）ABCD【变式2】（2022江苏南京模拟预测）已知二次函数图象与轴交于点，点在二次函数的图象上，且轴，以为斜边向上作等腰直角三角形，当等腰直角三角形的边与轴有两个公共点时的取值范围是_【变式3】（2022山东菏泽菏泽一中校考模拟预测）如图，已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为(1)求抛物线的解析式；(2)求线段所在直线的解析式；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，求出符合条件的P点坐标；若不

13、存在，请说明理由考查类型五 与特殊四边形判定有关的问题例1 （2021广西来宾统考中考真题）如图，已知点，两点，在抛物线上，向左或向右平移抛物线后，的对应点分别为，当四边形的周长最小时，抛物线的解析式为_例2 （2022内蒙古中考真题）如图，抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C(1)求抛物线的解析式和点C的坐标；(2)若点M在直线上方的抛物线上运动（与点B，C不重合），求使面积最大时M点的坐标，并求最大面积；（请在图1中探索）(3)设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标（请在图2中探索）掌握平行四边形、

14、矩形和菱形的判定方法，结合二次函数的性质即可解决此类问题，但要注意分类讨论，核心在于把握确定的边是特殊四边形的边长还是对角线即可；【变式1】（2022四川眉山校考一模）如图，矩形OABC，点A的坐标为，AB1若抛物线与矩形OABC的边界总有两个公共点，则实数c的取值范围是（）Ac8或c1B1c8Cc1或c8D8c1【变式2】（2022吉林长春统考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点以为边在轴上方作正方形，延长交抛物线于点，再以为边向上作正方形则点的坐标是_【变式3】（2022广东佛山校考三模）已知抛物线交轴于点A，在的左侧），交轴于点(1)求点A的坐标；(2)若经过点A的直线

15、交抛物线于点当且时交线段于，交轴于点，求的最大值；当且时，设为抛物线对称轴上一动点，点是抛物线上的动点，那么以A，为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点的坐标，若不能，请说明理由考查类型六 与三角形全等、相似有关的问题例1 （2022四川绵阳统考中考真题）如图，抛物线yax2bxc交x轴于A(-1，0)，B两点，交y轴于点C(0，3)，顶点D的横坐标为1(1)求抛物线的解析式；(2)在y轴的负半轴上是否存在点P使APBACB180若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；(3)过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，

16、过点M作MFl，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由例2 （2022广西玉林统考中考真题）如图，已知抛物线：与x轴交于点A，（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线，P是第一象限内抛物线上的任一点(1)求抛物线的解析式；(2)若点D为线段的中点，则能否是等边三角形？请说明理由；(3)过点P作x轴的垂线与线段交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与相似，求点P的坐标掌握三角形的全等判定方法和相似的判定方法，注意要分类讨论；【变式1】（2018陕西宝鸡统考二模）抛物线，设该抛物线与轴的交点为和，与轴的交点为C，若，

17、则的值为 （ ）ABCD【变式2】（2020浙江模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点在该抛物线上，且位于直线的上方，过点作于点，连结，若与相似，则点的坐标是_【变式3】（2022内蒙古包头模拟预测）如图，已知正方形的边，分别在x轴和y轴的正半轴上，点B的坐标为二次函数的图象经过点A，B，且x轴的交点为E，F点P在线段上运动，过点O作于点H直线交直线于点D，连接(1)求，的值及点E和点F的坐标；(2)在点P运动的过程中，当与以A，B，D为顶点的三角形相似时，求点P的坐标；(3)当点P运动到的中点时，能否将绕平面内某点旋转后使得的两个顶点落在x轴上方的抛物线上？若能，

18、请直接写出旋转中心M的坐标；若不能，请说明理由考查类型七 与圆有关的运算例1 （2022四川雅安统考中考真题）已知二次函数yax2+bx+c的图象过点A（1，0），B（3，0），且与y轴交于点C（0，3）(1)求此二次函数的表达式及图象顶点D的坐标；(2)在此抛物线的对称轴上是否存在点E，使ACE为Rt，若存在，试求点E的坐标，若不存在，请说明理由；(3)在平面直角坐标系中，存在点P，满足PAPD，求线段PB的最小值例2 （2020西藏统考中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于A(2，0)，B(4，0)两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点（1）

19、求二次函数的解析式；（2）如图甲，连接AC，PA，PC，若，求点P的坐标；（3）如图乙，过A，B，P三点作M，过点P作PEx轴，垂足为D，交M于点E点P在运动过程中线段DE的长是否变化，若有变化，求出DE的取值范围；若不变，求DE的长例3 （2022江苏盐城统考中考真题）【发现问题】小明在练习簿的横线上取点为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律【提出问题】小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图像上(1)【分析问题】小明利用已学知识和经验，以圆心为原点，过点的横线

20、所在直线为轴，过点且垂直于横线的直线为轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为_(2)【解决问题】请帮助小明验证他的猜想是否成立(3)【深度思考】小明继续思考：设点，为正整数，以为直径画，是否存在所描的点在上若存在，求的值；若不存在，说明理由掌握圆的性质，结合二次函数的图象解决此类问题；【变式1】（2021山东济南统考二模）二次函数yx2+2x+8的图象与x轴交于B，C两点，点D平分BC，若在x轴上侧的A点为抛物线上的动点,且BAC为锐角，则AD的取值范围是（）A3AD9B3AD9C4AD10D3AD8【变式2】（2022浙江衢

21、州统考一模）“一切为了U”是常山在赶考共同富裕道路上，最新确定的城市品牌已知线段，对于坐标平面内的一个动点P，如果满足，则称点P为线段的“U点”，如图，二次函数与x轴交于点A和点B（1）线段的长度为_；（2）若线段的“U”点落在y轴的正半轴上，则该“U点”的坐标为_【变式3】（2022江苏常州校考二模）已知二次函数图象的顶点坐标为，且与y轴交于点，B点坐标为，点C为抛物线上一动点，以C为圆心，为半径的圆交x轴于M，N两点（M在N的左侧）(1)求此二次函数的表达式；(2)当点C在抛物线上运动时，弦的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不发生变化，求出弦的长；(3)当与相似时，求出M点的坐标【新

22、题速递】1（2022秋陕西西安九年级交大附中分校校考期末）在同一平面直角坐标系中，抛物线：关于y轴对称的抛物线记为，且它们的顶点与原点的连线组成等边三角形，已知的顶点在第四象限，则的值为（）ABCD2（2020秋九年级统考期末）抛物线是由平移得到，它经过原点，且交x轴正半轴于点，为上一点，为抛物线上一点，以，为边构造，点恰好落在抛物线上，连接交于点，若，则等于（）ABCD3（2022春全国九年级专题练习）如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为点P的坐标为，则PMN的面积为（）A2B4C5D64（2023河北九年级专题练习）如图，在中，边在x轴上，点P是边上一点

23、，过点P分别作于点E，于点D，当四边形的面积最大时，点P的坐标为（）ABCD5（2022春江苏九年级专题练习）在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点为A，与y轴交于点B，若在该二次函数图象上取点C，在x轴上取点D，使得四边形为平行四边形，则点D的坐标为_6（2022秋湖北武汉九年级校考阶段练习）下列关于二次函数（其中是自变量）的结论：该抛物线的对称轴为；若时，随的增大而减小，则；若，则的解集为或；该抛物线经过不同两点，那么该抛物线的顶点一定不可能在函数的图像上其中结论正确的有_（填序号）7（2022秋安徽合肥九年级统考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线（a0）的顶点为A，

24、与抛物线交于x轴上方的点B （1）点B的横坐标是_（2）过点B作平行于x轴的直线，分别与两条抛物线的另一个交点为D，C，连结AD，AC，OC，OD，则四边形ACOD的面积为_8（2021秋湖北黄冈九年级校考阶段练习）如图，二次函数的图象的顶点为A，与y轴的交点为B，BCx轴，交抛物线于点C，则ABC的面积是 _9（2023秋广东广州九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，且，抛物线图象经过A，B，C三点(1)求A，C两点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)若点P是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点D，当的值最大时，求此时点P的坐标及的最大值10（2022秋重庆沙坪坝九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于、两点抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为(1)求该抛物线的解析式；(2)若点是线段上一个动点，过点作轴的垂线，交该抛物线于点，连接、，求面积的最大值；(3)点为直线上一点，点为该抛物线上一点，且，两点的纵坐标都为点为轴上的点，若四边形是平行四边形，请求出点的坐标；