福建省厦门市2021-2022学年高二上学期期末质量检测数学试题答案.pdf

1、厦门市2021-2022学年度第一学期高二年级质量检测数学试题参考答案及评分标准一、单选题：1D 2B 3A（选择性必修一P12，练习2）4C（选择性必修一P140，阅读材料）5B（选择性必修一P95，练习1）6C（选择性必修一P34，例6）7B（选择性必修一P36，例7）8A二、多选题：9BD（选择性必修一P96，例5）10ACD（选择性必修一P103，18）11AD（选择性必修一P44，16）12AD三、填空题：13()1,2（答案不唯一）（选择性必修一P102，1）143yx=15819n（选择性必修二P6，例4）16()()22211xy+=，131（选择性必修一P103，12）解析：

2、延长1AF 交椭圆 E 于点C，连接2CF，由椭圆定义，12|2AFAFa+=，有12|3AFa=，由椭圆对称性，得12CFF B=，所以112AFFC=，所以1|3aCF=，再由椭圆定义：12|2CFCFa+=，有25|3aCF=，因为22222|CFACAF=+，所以290CAF=，在12AF F中，2221212|F FAFAF=+即222049ca=，有离心率53e=12解析：(,0na 时，1()1 0nnnaf aa+=，(0,1)na 时，()21()1(1)10,1nnnnnnaf aaaa a+=+=+，(1,)na+时，21()1(1)1 1nnnnnnaf aaaa a+

3、=+=+，1na=时，21()1 1nnnnaf aaa+=+=，因此，11211,0,1,0.nnnnaaaaaa+=+有1 0a时，11nnaa+=，10a 时，1nnaa+=2(1)na，对于选项，11(0,1)2a=，1na 对于选项，na为递增数列时，10a 且11a 对于选项，na为等差数列时，1 0a或11a=（其中，11a=时，na为常数列）对于选项，12a=，211nnnaaa+=，有111111(1)1nnnnnaa aaa+=，yxOBCAF1F2所以111111nnnaaa+=，12122311111111111111()()()11111111nnnnaaaaaaaa

4、aaa+=+=因为121a=，所以11na+，即1101na+，所以121111111naaaa+=，故选AD16依题意得(2,0)A，(2,2)C，因为 M 为 AB 中点，所以CMAM，所以点 M 的轨迹是以 AC 为直径的圆，又 AC 中点为(2,1)，2AC=，所以点 M 的轨迹方程为()()22211xy+=,圆心(2,1)D，因为点(2,0)A关于直线0 xy+=的对称点为(0,2)A，所以由对称性可知 MNAN+的最小值为()()221022 11131A D=+=四、解答题：17（选择性必修二P8，练习4）本题主要考查数列前n 项和公式、通项公式、数列求和等知识，考查函数与方程

5、思想、运算求解、推理论证能力满分10分法一：（1）2n时，221(1)nnnaSSnn=.2分 21n=.3分1n=时，111aS=，.4分综上所述，21nan=.5分（2）因为111111()(21)(21)2 2121nnnbaannnn+=+，.7分所以12111 11111(1)()()232 352 2121nnTbbbnn=+=+111111(1)23352121nn=+.9分 11(1)22121nnn=+.10分法二：（1）等差数列前n 项和为21()22ddnan+（其中d 为公差），因为2nSn=，所以na为等差数列，.分并且12d=，111aS=，解得：11a=，2d=，

6、.3分1(1)21naandn=+=.分（2）同法一18（选择性必修一P86，例题4；P91，例题1）本题主要考查直线的方程、圆的方程、直线与圆的位置关系等知识，考查数形结合思想、函数与方程思想、运算求解、推理论证能力满分12分法一：(1)延长CB 交 x 轴于点 N，因为120OAB=，=2ABOA=，所以60NAB=，所以33B（，），.2分又120ABC=，所以60ANB=，所以直线 BC 的倾斜角为120，即3BCk=，.4分所以直线 BC 的方程为33(3)yx=，即 34 30 xy+=.5分（2）依题意设圆 M 的方程为220 xyDxEyF+=，所以0,420,93330,FD

7、FDEF=+=+=解得2,2 3,0.DEF=.7分所以圆 M 的方程为2222 30 xyxy+=，即()()22134xy+=，.8分所以(1,3)M，半径2r=，因为直线OC 被圆 M 所截的弦长为4，所以直线OC 过圆心(1,3)M，.9分所以直线OC 的方程为3yx=，.10分所以由34 30,3,xyyx+=得2,2 3,xy=所以(2,2 3)C.12分法二：（1）(1)延长CB 交 x 轴于点 N，因为120OABABC=，=2ABOA=，所以60BANANBABN=，所以ABN为等边三角形，即=2AN，.2分所以(4,0)N，.3分又因为直线 BC 的倾斜角为120，即3BC

8、k=，.4分所以直线 BC 的方程为43(0)yx=即 34 30 xy+=.5分（2）线段OA的中垂线方程为1x=，因为线段OB 的中点坐标为 33,22，直线OB 的斜率为33，所以线段 AB 的中垂线方程为33322yx=即32 3yx=+，所以由1,32 3,xyx=+得1,3,xy=.8分所以(1,3)M，半径()()221 0302rOC=+=，因为直线OC 被圆 M 所截的弦长为4，所以OC 为圆 M 的直径即 M 为线段OC 中点，.10分所以(2,2 3)C.12分法三：（1）同法一xy112341123NBAOC（2）设圆 M 的半径为r，因为在ABC中，120OAB=，=

9、2ABOA=，所以30BOA=，所以由正弦定理知24sinABrBOA=，即2r=，.7分因为直线OC 被圆 M 所截的弦长为4，所以O，A，B，C 四点共圆，因为120ABC=，所以60AOC=，所以直线OC 的方程为3yx=，.10分所以由34 30,3,xyyx+=得2,2 3.xy=所以(2,2 3)C.12分19（选择性必修一P49，11）本题考查线面垂直的判定与性质、利用空间向量解决立体几何问题等知识；考查数形结合思想、转化与化归思想、空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力；满分12分法一：(1)如图，以 A 为原点建立空间直角坐标系 Axyz设正方体的棱长为2，则(0,0,0)

10、A,(1,1,0)O,(2,2,0)C,1(0,2,2)D，.1分由112BPPB=得：P 点的坐标为2(2,0,)3，1(1,1,2)D O=，2(2,0,)3AP=，.2分因为1203D O AP=，所以1D O 与 AP 不垂直，.3分所以1D O 与平面 PAC 不垂直.4分（2）设(2,0,)Pa,则(2,0,)APa=因为1D O 面 PAC，所以1D OAP，所以1220D O APa=，得：1a=，.6分所以(0,2,1)CP=，1(2,0,2)CD=设平面1PCD 的法向量为(,)x y z=m，122020CDxzCPyz=+=+=mm，令1,y=则2xz=，(2,1,2)

11、=m，.8分因为1D O 平面 PAC，所以平面 PAC 的法向量为1(1,1,2)D O=，.9分所以1116cos,6D OD OD O=mmm，.11分所以平面1PCD 与平面 PAC 所成角的余弦值为66.12分法二：(1)如图，以 A 为原点建立空间直角坐标系 Axyz设正方体的棱长为2，则(0,0,0)A,(1,1,0)O,1(0,2,2)D,(2,0,0)A,(2,2,0)C，1分由112BPPB=得2(2,0,)3P，2(2,0,)3AP=,(2,2,0)AC=，.2分设平面 PAC 的法向量为(,)x y z=n，2202203ACxyAPxz=+=+=nn，令3,z=则1,

12、1xy=，(1,1,3)=n，因为1(1,1,2)D O=与(1,1,3)=n不平行，.3分所以1D O 与平面 PAC 不垂直.4分(2)同法一法三：(1)连接 PO,设正方体的棱长为2，则在1POD中，11222 226,33D OPOD P=，.2分22211DOPOD P+，所以1D O 与 PO 不垂直，.3分所以1D O 与平面 PAC 不垂直.4分(2)同法一20（选择性必修二P138，练习5）本题考查曲线的方程，直线与抛物线位置关系等知识，考查数形结合思想以及化归与转化的数学思想、推理能力以及运算能力满分12分（1）设(),P x y 为圆 N 与l 的交点，则(),0H x，

13、因为()4,0M，HNNM=，所以4,02xN+，.1分因为O，P 在圆 N 上，所以 NONP=，.2分所以224422xxy+=+得24yx=.4分（2）设直线 AB 的方程为4xmy=+，()11,A x y，()22,B xy，由244xmyyx=+=得24160ymy=.6分216640m=+，所以124yym+=，1216y y=.7分因为2MAMB=，所以122yy=.分法一:由1212216yyy y=得124 22 2yy=或124 22 2yy=，.10分所以12242yym+=所以()()222121212316 26 32ABxxyymyy=+=+=.12分法二：()2

14、121212212yyyyy yyy+=+即21222m=+，得22m=.10分所以()()()()22221212121214ABxxyymyyy y=+=+()()221 16646 3mm=+=.12分21（选择性必修二P39，例题12）本题考查数列的通项公式，递推公式，数列求和等基础知识；考查转化与化归思想、运算能力、数学抽象与数学建模素养满分12分（1）依题意得11.02nnaam+=+，.2分因为11.02nnaam+=+，所以1501.0251nnamam+=+，所以()1501.0250nnamam+=+，.4分因为150130500amm+=+，所以数列50nam+是等比数列

15、，首项是13050m+，公比是1.02，.5分所以()150130501.02nnamm+=+，所以()1130501.0250nnamm=+.6分（2）记nS 为数列 na的前n 项和，151215Saaa=+()()()141305050130501.0250130501.0250mmmmmm=+.7分()()()1413050130501.02130501.02750mmmm=+.8分()()15130501 1.027501 1.02mm+=.9分()()130501 1.357501 1.02mm+=2275+125m=，.10分依题2275+1253095m，所以6.56m，所以m

16、 最少为6.56 吨.12分22本题考查椭圆的定义及其标准方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查数形结合思想、运算能力满分12分法一：（1）设椭圆 的左焦点为 F，则由对称性，BFAF=，所以ABF的周长为22AFBFABAFAFABaAO+=+=+，.1分设(,)A x y，则222222222222+babAOxyxbxbxbaa=+=+=，当 A，B 是椭圆 的上下顶点时，ABF的周长取到最小值22ab+，所以2242 3ab+=+，即23ab+=+，.2分又椭圆焦点(1,0)F，所以221ab=，.3分所以()()1ab ab+=，所以23ab=，解得2a=，3b=，所以椭圆 的方

17、程为22143xy+=.4分（2）当 A，B 为椭圆左右顶点时，直线 MN 与 x 轴重合；当 A，B 为椭圆上下顶点时，可得直线 MN 的方程为85x=；.5分 设直线 MN 的方程 xmyn=+，0m，11(,)M x y，22(,)N xy，由22,1,43xmynxy=+=得222(34)63120mymnyn+=，0，122634mnyym+=+，212231234ny ym=+，.6分设直线 FA 的方程11xm y=+，其中1111xmy=，11(,)M x y，33(,)A x y，由1221,1,43xm yxy=+=得2211(34)690mym y+=，0，1321934

18、y ym=+，32119(34)ymy=+，.7分设直线 FB 的方程21xm y=+，其中2221xmy=，22(,)N xy，33(,)Bxy，由2221,1,43xm yxy=+=得2222(34)690mym y+=，0，2322934y ym=+，32229(34)ymy=+，.8分所以22112299(34)(34)mymy=+，所以221122(34)(34)0mymy+=，22112212334()0m ym yyy+=，.9分2222121122121211xxm ym yyyyy+=+22221212121212(1)(1)()4(1)(1)mynmynyymyym nny

19、yy y+=+=+则22121212123()12(1)3(1)4()0yymyym nnyyy y+=，即22121212(34)()12(1)3(1)0yymyym nny y+=，.10分代入122634mnyym+=+，212231234ny ym=+，得222266(34)12(1)3(1)034312mnmnmm nnmn+=+，.11分整理得()580mn=，又0m 所以85n=，直线 MN 的方程为85xmy=+综上直线 MN 过定点 8,05.12分法二：（1）同法一（2）当 A，B 为椭圆左右顶点时，直线 MN 与 x 轴重合；当 A，B 为椭圆上下顶点时，可得直线 MN

20、的方程为85x=；.5分 设00(,)A xy，则00(,)Bxy，00y，设(),MMM xy，(),NNN xy则直线 AF 的方程为0011xxyy=+，直线 BF 的方程为0011xxyy+=+.6分由002211,34120,xxyyxy=+=得22002003(1)6(1)490 xxyyyy+=，所以2200022200000209393(1)4363254Myyyyxyxxxy=+，所以00325Myyx=，000000135812525Mxyxxyxx=+=，即0000583,25 25xyMxx.9分由002211,34120,xxyyxy+=+=得22002003(1)6(1)490 xxyyyy+=，所以220002220000020939()3(1)4363254Nyyyyxyxxxy=+，所以00325Nyyx=+，000000135812525Nxyxxyxx+=+=+，即0000583,25 25xyNxx+.10分所以00000000003325255585832525MNyyxxykxxxxx+=+，所以直线 MN 的方程为0000003558()25325yyxyxxxx+=+，.11分令0y=得，85x=，所以直线 MN 恒过定点 8(,0)5.12分