【机构秘籍】小学奥数题库《计算》公式类平方差公式-4星题（含详解）全国通用版【唯一店：教师学科网资料】.docx

1、计算-公式类计算-平方差公式-4星题课程目标知识点考试要求具体要求考察频率平方差公式B1.熟悉平方差公式2.能够灵活应用平方差公式进行计算。少考知识提要平方差公式 平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b) 精选例题平方差公式 1. 算式 (1919-1212)1912-1219 【答案】228【分析】(1919-1212)1912-1219=(192-122)192-1221219=(192-122)1219192-122=1219=228 2. 计算：5050+4951+4852+4753+4654= 【答案】12470【分析】原式=502+50-150+1+50-250+2+50-35

2、0+3+50-450+4=502+502-12+502-12+502-22+502-32+502-42=52500-1+4+9+16=12500-30=12470. 3. 20092009-20082008= 【答案】4017【分析】方法一：原式=20092008+1-2009-12008=20092008+2009-20092008+2008=2009+2008=4017.方法二：原式=20092-20082=2009+20082009-2008=40171=4017. 4. 计算：1129+1228+1921= 【答案】3315【分析】原式=202-92+202-82+202-12=202

3、9-12+22+92=3600-1691019=3315. 5. 计算：33.8752-3182 = 【答案】1132.5【分析】原式=33.8752-3.8752=33.875+3.87533.875-3.875=37.7530=1132.5 6. 计算：13+24+35+911= 【答案】375【分析】原式=2-12+1+3-13+1+10-110+1=22-1+32-1+102-1=22+32+102-9=12+22+32+102-10=1011216-10=375. 7. 一根铁丝，第 1 次截去总长度的 122，第 2 次截去剩余长度的 132，第 3 次截去剩余长度的 142 第

4、2008 次截去剩余长度的 120092，此时该铁丝还剩 2010 厘米，那么该铁丝原长为 厘米【答案】4018【分析】设铁丝的原长度为 a 厘米，则根据题意可知：a1-1221-1321-1421-120092=2010,a1+121-121+120091-12009=2010,a324320102009122320082009=2010，a10052009=2010，a=4018 8. 计算：10199-10098+9997-9896+53-42 = 【答案】5047【分析】原式=1002-1-992+1+982-1-972+42-1-32+1=1002-992+982-972+42-32

5、=100+99+98+97+4+3=5050-3=5047. 9. 计算：（1）314159262-3141592531415927= ；（2）12342+87662+24688766= 【答案】（1）1；（2）100000000【分析】（1）观察可知 31415925 和 31415927 都与 31415926 相差 1，设 a=31415926，原式=a2-a-1a+1=a2-a2-1=1;（2）原式=12342+87662+212348766=1234+87662=100002=100000000.10. 计算 12-22+32-42+52-62+172-182+192= 【答案】19

6、0【分析】这个题目重新整理得：12+(32-22)+(52-42)+(72-62)+(192-182)=1+(3+2)(3-2)+(5+4)(5-4)+(19+18)(19-18)=1+3+2+5+4+19+18=1+2+3+4+17+18+19=209+10=190.11. 计算：123+234+345+8910= 【答案】1980【分析】原式=222-1+332-1+442-1+992-1=23+33+43+93-2+3+4+9=1+2+3+92-1-2+3+4+9=452-45=1980.12. 计算：1213+2235+3257+50299101= 【答案】1263101【分析】式子中

7、每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为 22-1，42-1，62-1，1002-1，可以发现如果分母都加上 1，那么恰好都是分子的 4 倍，所以可以先将原式乘以 4 后进行计算，得出结果后除以 4 就得到原式的值了原式=142222-1+4242-1+6262-1+10021002-1=141+122-1+1+142-1+1+162-1+1+11002-1=1450+113+135+157+199101=1450+121-13+13-15+15-17+199-1101=1450+121-1101=145050101=1263101.13. 3141592

8、62-3141592531415927= ； 12342+87662+24688766= 【答案】 1； 100000000【分析】观察可知 31415925 和 31415927 都与 31415926 相差 1，设 a=31415926，原式=a2-a-1a+1=a2-a2-1=1;原式=12342+87662+212348766=1234+87662=100002=100000000.14. 算式 201722-1+201742-1+201762-1+201720142-1+201720162-120161-20162-20164-20168-201616-201632-201664 =

9、 【答案】32【分析】原式=2017(113+135+157+120152017)2016(1-12-14-116-132-164)=201712(1-12017)2016164=3215. 计算：12-22+32-42+20052-20062+20072= 【答案】2015028【分析】原式=20072-20062+52-42+32-22+12=(2007-2006)(2007+2006)+(2005-2004)(2005+2004)+(3-2)(3+2)+1=2007+2006+2005+2004+3+2+1=122007+12007=2015028.16. 计算：132-1+152-1+

10、172-1+192-1+1112-1+1132-1= 【答案】314【分析】这题是利用平方差公式进行裂项：a2-b2=(a-b)(a+b)，原式=124+146+168+1810+11012+11214=12-14+14-16+16-18+18-110+110-112+112-11412=12-11412=314.17. 计算：32+132-1+52+152-1+72+172-1+19932+119932-1+19952+119952-1= 【答案】9979971996【分析】原式=1+232-1+1+252-1+1+272-1+1+219932-1+1+219952-1=997+224+24

11、6+219941996=997+12-14+14-16+11994-11996=997+12-11996=9979971996.18. 看规律 13=12，13+23=32，13+23+33=62，试求 63+73+143 = 【答案】10800【分析】原式=13+23+143-13+23+53=1+2+3+142-1+2+3+4+52=1052-152=105-15105+15=90120=10800.19. 两个正方形的面积之差为 2016 平方厘米，如果这样的一对正方形的边长都是整数厘米，那么满足上述条件的所有正方形共有 对【答案】12【分析】a2-b2=(a+b)(a-b)=2016.

12、a+b 与 a-b 奇偶性相同，乘积是偶数，必然都是偶数，且和大于差，20164=504=22327 的因数有 24 个，即 12 组不同的分拆，故有 12 组解20. 计算：13+115+135+163+199+1143+1195= 【答案】715【分析】分析这个算式各项的分母，可以发现它们可以表示为：3=22-1=13，15=42-1=35，195=142-1=1315，所以原式=113+135+157+179+1911+11113+11315=1211-13+1213-15+12113-115=1211-115=71521. 计算：12+3222-1+22+4232-1+32+5242-

13、1+982+1002992-1= 【答案】19847514950【分析】12+3222-1=103，22+4232-1=208，32+5242-1=3415，由于 103=243，208=248，3415=2415，可见原式=2422-1+2432-1+2442-1+24992-1=298+4113+124+135+198100=196+4121-13+12-14+13-15+198-1100=196+21+12-199-1100=196+3-21999900=19847514950.22. 计算：31245+42356+53467+1210111314= 【答案】75616【分析】观察可知原

14、式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是 5 个连续自然数的乘积，所以可以先将每一项的分子、分母都乘以分子中的数即：原式=3212345+4223456+5234567+1221011121314现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每一项中分子、分母的对称性，可以用平方差公式：32=15+4，42=26+4，52=37+4原式=3212345+4223456+5234567+1221011121314=15+412345+26+423456+37+434567+1014+41011121314=1234+1345+1456+1111213+412345+423456+43

15、4567+41011121314=12123-134+134-145+11112-11213+11234-12345+12345-13456+110111213-111121314=12123-11213+11234-111121314=112-121213+124-111121314=18-77+111121314=18-121114=18-1308=7561623. 已知 a2-b2=133，a、b 是正整数，求 a、b 的值【答案】67、66 或 13、6【分析】观察算式发现 a2-b2=(a+b)(a-b) 只要把 133 写成两个数的正整数的积 133=1133=197 再利用和差公

16、式分别求出 a 与 b原式=(a+b)(a-b)=1331=197.a+b=133a-b=1,所以a=(133+1)2=67,b=67-1=66.或者a+b=19a-b=7,所以a=(19+7)2=13,b=19-13=6.24. 求所有不超过 1000 的这样的整数，它的平方的末两位数码相同，但不等于 0【答案】12、38、62、988 共 40 个数【分析】由完全平方数的尾数只能是 0、1、4、5、6、9 及完全平方数除以 4 只能余 0 或 1 知：满足要求的完全平方数的末两位是 44，最小的为 122=144，设不超过 1000 的整数为 m，m2 的末两位为 44，则有 m2-122

17、=100k，即 (m+12)(m-12)=425k，m+12、m-12 不能同时为 5 的倍数或 25 的倍数，所以 m+12、m-12 中有一个为 25 的倍数，由于 m+12、m-12 应为偶数，则 m=50k+12 或 50k-12(也可写成50k+38)，m1000，则 m 有 12、38、62、988 共 40 个数25. 有一串数 1，4，9，16，25，36 它们是按一定规律排列的，那么其中第 1990 个数与第 1991 个数相差多少？【答案】3981【分析】这串数中第 1990 个数是 19902，而第 1991 个数是 19912，它们相差19912-19902=(1991

18、+1990)(1991-1990)=1991+1990=3981.26. 计算： (x+2)2(x-2)2； (x+5y-9)(x-5y+9)； (a+b+c)(a-b-c)；先化简，再求值：(3x+2)(3x-2)-5x(x-1)-(2x-1)2，其中 x=-13【答案】 x4-8x2+16； x2-25y2+90y-81； a2-b2-c2-2bc； -8【分析】(x+2)2(x-2)2=(x+2)(x-2)2=(x2-4)2=x4-8x2+16;(x+5y-9)(x-5y+9)=x2-(5y-9)2=x2-(25y2-90y+81)=x2-25y2+90y-81;原式=a+(b+c)a-

19、(b+c)=a2-(b+c)2=a2-b2-c2-2bc;(3x+2)(3x-2)-5x(x-1)-(2x-1)2=9x2-4-5x2+5x-(4x2-4x+1)=9x-5,又 x=-13，故 原式=9x-5=9-13-5=-827. 三个自然数，它们都是完全平方数，最大的数减去第二大的数的差为 80，第二大的数减去最小的数的差为 60，求这三个数【答案】分别为 12、8、2【分析】设这三个数从大到小分别为 A2、B2、C2，那么有 A+BA-B=80，A+CA-C=140，因为 140=2257，A+C、A-C 同奇同偶，所以有 A+C=14，A-C=10 或 A+C=70，A-C=2，分别

20、解得 A=12，C=2 和 A=36，C=34，对于后者没有满足条件的 B，所以 A 只能等于 12，C=2，继而求得 B=8，所以这三个数分别为 12、8、228. 计算：1-1221-1321-1992【答案】5099【分析】原式=1-121+121-131+131-1991+199=12322343989910099=1210099=5099.29. 计算：2020-1919+1818-1717+22-11【答案】210【分析】做这道题的时候，可能有些以前记住了 20 以内平方数的同学就高兴了，但是其实并不需要，大家看，利用平方差公式：2020-1919=(20+19)(20-19)=2

21、0+19，1818-1717=18+17，22-11=2+1于是，原式=20+19+18+17+2+1=(20+1)202=210.30. 计算：343345347-342345348【答案】1725【分析】综合题目，先提取公因数，再采用平方差公式计算原式=345(343347-342348)=345(345-2)(345+2)-(345-3)(345+3)=345(3452-22)-(3452-32)=345(9-4)=3455=172531. 一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”，比如 16=52-32，16 就是一个“智慧数”请问：从 1 开始的自然数列中，第

22、2008 个“智慧数”是多少？【答案】2680【分析】通过尝试可以发现如下规律：相邻两个平方数的差为 3,5,7,9,11 即除 1 外，所有的奇数均为“智慧数”相邻两个奇数的平方差与相邻两个偶数的平方差为 8,12,16,20,24,28 即除 4 之外，所有 4 的倍数的数是“智慧数”所以 12000 的“智慧数”有 20002+20004-2=1498(个)12500 的“智慧数”有 25002+25004-2=1873(个)12700 的“智慧数”有 27002+27004-2=2023(个)因此第 2008 个“智慧数”为 268032. a、b 代表任意数字，若 (a+b)(a-b

23、)=aa-bb，这个公式在数学上称为平方差公式根据公式，你来巧算下列各题吧 98102； 6773； 6428； 229331【答案】 9996； 4891； 1792； 5394【分析】这个公式可以给我们的计算带来很多便利，在以后的奥数学习中会经常遇到，同学们最好记住哦我们就依据公式 (a+b)(a-b)=aa-bb 来进行下面的计算：98102=(100-2)(100+2)=100100-22=10000-4=9996;6773=(70-3)(70+3)=7070-33=4900-9=4891;6428=23228=2(30+2)(30-2)=2(3030-22)=1792;229331=

24、23(30-1)(30+1)=6(900-1)=5400-6=5394.33. 如果三个正整数 a、b、c 满足 a2+b2=c2，则称这三个数构成一个勾股数组 (a,b,c)与 5 有关的勾股数组有两组：(3,4,5) 和 (5,12,13)，请问：与 13 有关的勾股数组有哪些？【答案】(5,12,13)、(13,84,85)【分析】当 c=13 时，则很显然 (5,12,13) 是一组勾股数当 a=13 时，则132+b2=169+b2=c2即c2-b2=(c+b)(c-b)=1691由此可得c+b=169c-b=1解得c=85b=84因此 (13,84,85) 也是一组勾股数34. （

25、1）34+934+9934+99934+1；（2）12233499100；（3）1-1221-1321-1992；（4）12+13+1100+23+24+2100+9899+98100+99100【答案】（1）1111；（2）1100；（3）5099；（4）2475【分析】详解：（1）凑整；（2）约分；（3）平方差公式后约分；（4）找规律计算，括号展开后分别计算同分母分数，会发现等差数列35. 一个数减去 100 是一个平方数，减去 63 也是一个平方数，问这个数是多少？【答案】424【分析】设这个数减去 63 为 A2，减去 100 为 B2，则 A2-B2=A+BA-B=100-63=37

26、=371，可知 A+B=37，且 A-B=1，所以 A=19，B=18，这样这个数为 182+100=42436. 先化简后求值：(x-y)2+(x+y)(x-y)2x，其中 x=3，y=1.5计算：(2x-y+2)(y-2x+2)【答案】 1.5； 4-4x2+4xy-y2【分析】(x-y)2+(x+y)(x-y)2x=(x2-2xy+y2+x2-y2)2x=(2x2-2xy)2x=x-y.又 x=3，y=1.5，故原式 =x-y=3-1.5=1.5法 2：(x-y)2+(x+y)(x-y)2x=(x-y)2x2x=x-y=1.5.原式=2+(2x-y)2-(2x-y)=4-(2x-y)2=4-4x2+4xy-y2.37. 计算：667668669-666668670【答案】2004【分析】综合题目，先提取公因数，然后使用平方差公式逆用原式=668(667669-666670)=668(6682-12)-(6682-22)=668(4-1)=2004