【突破压轴冲刺名校】 压轴专题02 函数值的大小比较小题综合（解析版）.docx

1、【突破压轴冲刺名校】压轴专题02函数值的大小比较小题综合 2023届新高考数学复习尖子生30题难题突破（新高考全国卷通用）一、单选题1（2023山东临沂统考一模）已知，则（）ABCD【答案】B【分析】构造，由零点存在定理求得零点x的范围，即可结合指数函数、幂函数的性质比较的大小.【详解】令，则在R上单调递增，由，则时，即，而，.综上：.故选：B.2（2023山东淄博统考一模）已知，.其中为自然对数的底数，则（）ABCD【答案】B【分析】根据已知条件构造函数，再利用导数法研究函数的单调性，结合函数单调性的性质即可求解.【详解】由，令，令，则，当时，所以在上单调递增，又，所以，又，所以，在成立，所

2、以，即，所以，即，令，所以，因为，所以，即，所以在上单调递减，所以，即令，所以，因为，所以，即，所以在上单调递减，所以，即，所以，在成立，令，则上式变为，所以，即，综上，.故选：B.【点睛】解决此题的关键是构造函数，然后利用导函数研究函数的单调性，结合函数单调性的性质即可.3（2022秋福建厦门高三厦门外国语学校校考阶段练习）已知 , , , 则（）ABCD【答案】A【分析】构造函数,判断其单调性可得到，再利用与1的大小比较可得到.【详解】设函数，则，令函数，则，所以函数在上单调递减，所以，所以函数在上单调递减，所以，即，所以因为，易证当时，所以，而，所以，所以，故选：A4（2023春福建漳州

3、高三福建省漳州第一中学校考开学考试）设，则（）ABCD【答案】B【分析】根据题意，先构造函数，比较，再构造函数，通过求导，判断单调性，比较与的大小，最后构造函数，进而确定与的大小关系，从而得出结果.【详解】令，则，所以在上单调递减，所以，也即，令，则，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，所以，故当时有，所以，令，则，因为，当时，所以，函数在上单调递减，所以，也即，所以，故，故选：B.5（2021秋河北邯郸高三大名县第一中学校考阶段练习）设，其中是自然对数的底数，则（）ABCD【答案】A【分析】令，求导函数，分析导函数的符号，得出所令函数的单调性，再由，得出，利用对数的运算性质可得答案.【详

4、解】解：令，则，令，得，所以当时，所以在单调递减，当时，所以在单调递增，又，所以，又，所以.故选：A.6（2022河北衡水衡水市第二中学校考一模）若，则（）ABCD【答案】B【分析】由于，故构造函数，利用导数判断其单调性，可比较的大小，根据，构造函数，判断其单调性，可比较大小，由此可得答案.【详解】由于，故设函数 ，则，由于，所以，即，即，故为单调递减函数，故，即，令，则，即；又，令，则，即为单调递增函数，故，即，令，则，即，故，故选：B【点睛】关键点点睛：此类比较数的大小的题目类型，一般是要构造函数，利用函数的单调性进行大小比较，关键是要能对数的特征进行变化，根据数的特征选定自变量，从而构造

5、函数.7（2023山东潍坊一中校联考模拟预测）设，则（）ABCD【答案】A【分析】利用导数证明不等式当时，进而得，再讨论与的关系即可判断.【详解】解：令，则在上恒成立，所以，函数在上单调递减，所以，当时，即，；令，则，所以，函数在上单调递减，所以，当时，即，所以，当时，所以，因为，所以所以，即，即所以，故选：A【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于利用时，结合二倍角公式，比较与的关系判断.8（2022秋山东济宁高三统考期末）设，则（）ABCD【答案】A【分析】根据、的形式分别构造、，注意给定定义域范围，利用导数研究单调性，进而判断定义域上函数值符号，即可判断大小关系.【详解】由，令，且，所以，

6、即在上递减，所以在上恒成立，故在上恒成立，有，由，令，且，所以在上递增，则，即在上递增，所以在上恒成立，故在上恒成立，有.综上，.故选：A9（2023秋山东泰安高三统考期末）设，则（）ABCD【答案】D【分析】根据已知条件构造函数，再利用导数法研究函数的单调性，结合函数单调性的性质即可求解.【详解】令，所以在上恒成立，所以在上单调递增，又，所以所以，即，所以.令，所以在上恒成立，所以在上单调递增，所以，所以，即，所以，综上，.故选：D.【点睛】解决此题的关键是构造函数，然后利用导函数研究函数的单调性，结合函数单调性的性质即可.10（2022秋山东高三山东省实验中学校考阶段练习）若，其中为自然对

7、数的底数，则的大小关系为（）ABCD【答案】C【分析】构造函数，利用导数可求得的单调性，得到，进而可得，知；令，利用导数可求得，结合幂函数单调性可得，由此可得大小关系.【详解】令，则，令，则，在上单调递增，又，即，；令，则，在上单调递增，即；在上单调递增，即；综上所述：.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查利用构造函数的方式比较大小的问题，解题关键是能够根据的形式，确定合适的函数模型，从而利用导数求解函数单调性，得到函数最值，将问题转化为函数值大小关系的比较问题.11（2022秋湖北宜昌高三当阳一中校考阶段练习）已知函数，则（）ABCD【答案】C【分析】先分析的图象关于直线对称，可得到然后得

8、到在的单调性，构造函数，利用导数可得到，并比较与的大小，结合单调性即可求解【详解】因为对于，所以的图象关于直线对称，则当时，因为二次函数在上为增函数，且所以，在上为增函数，所以在上为增函数，令，则，故在为增函数，所以即，所以，所以，又因为即所以.故选：C【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.12（2023春湖北高三校联考阶段练习）已知，则（）ABCD【答案】A【分析】通过构造函数，利用导数研究单调性的方法比较大小.【详解】，令，则，设，有，所以在上单调递增，即在上单调递增，从而，所以在

9、上单调递增，于是，即；，令，则，所以在上单调递增，于是，即，所以.故选：A.【点睛】方法点睛：构造函数比较大小主要方法有：1.通过找中间值比较大小，要比较的两个或者三个数之间没有明显的联系，这个时候我们就可以通过引入一个常数作为过渡变量，把要比较的数和中间变量比较大小，从而找到他们之间的大小关系。2.通过构造函数比较大小，要比较大小的几个数之间可以看成某个函数对应的函数值，我们只要构造出函数，然后找到这个函数的单调性，就可以通过自变量的大小关系，进面找到要比较的数的大小关系。有些时候构造的函数还需要通过放缩法进一步缩小范围。13（2022秋湖北高三湖北省仙桃中学校联考阶段练习）设，则的大小关系

10、正确的是（）ABCD【答案】B【分析】根据给定条件，构造函数比较a，b，构造函数比较a，c作答.【详解】令函数，当时，即在上递减，则当时，即，因此，即；令函数，当时，则在上单调递增，则当时，即，因此，即，所以的大小关系正确的是.故选：B【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.14（2022秋湖北高三湖北省仙桃中学校联考阶段练习）定义在上的偶函数满足,当时,则（）ABCD【答案】C【分析】根据偶函数和,判断出周期,根据的解析式判断出单调性,将根据奇偶性,周期性,对称性,转化至同一单调区间

11、,判断的大小即可判断函数值的大小比较,不好判断时可利用放缩或构造函数进行大小判断.【详解】解:由题知为偶函数,将代换为可得:-可得,的一个周期为4.，,，,时单调递增,由以上可知:;,将代入上式,则有,将代入上式,则有,若比较的大小,只需比较的大小,只需要比较的大小,两式相减可得:,记,单调递增,则,即,故,时单调递增,.故选:C【点睛】(1)若,则周期为,若满足,周期均为,为非零常数;(2)常用的放缩有:;当时取等;,当时取等,在大题中应用时需进行证明,做差求导求最值即可证明.15（2022秋湖北高三武钢三中校联考阶段练习）设，则（）A，B，C，D，【答案】C【分析】分别构造函数；，结合函数

12、的单调性得出答案【详解】令，则，令，则，在上单调递减，即当时，恒成立，当时，单调递减，则，即，令，则，当时，单调递减，即，故选：C16（2022秋湖北高三校联考期中）已知，则（）ABCD【答案】D【分析】构造函数，结合函数的单调性分别得出，从而得出答案【详解】令，则，当时，单调递增，即，令，则，当时，单调递增，即，所以，即综上，故选：D17（2022秋湖北高三校联考阶段练习）已知，则，的大小关系为（）ABCD【答案】B【分析】对，变形后构造函数，利用极值点偏移证明，的大小关系.【详解】要比较，等价于比较的大小,等价于比较,即比较,构造函数,令得,令得,所以在单调递增, 单调递减.所以,因为，所

13、以最大，即，中最大，设，结合的单调性得，先证明，其中，即证，令，其中，则，所以，函数在上为增函数，当时，所以，当时，则有，由可知，所以，因为，所以即，因为，在单调递增，所以，即，因为 所以所以，即，因为，在单调递减.所以，即，即，综上，故选:B.【点睛】关键点点睛：应用对数平均不等式（需证明）证明极值点偏移：由题中等式中产生对数；将所得含对数的等式进行变形得到；利用对数平均不等式来证明相应的问题.18（2022秋湖北十堰高三校联考阶段练习）若， 则（）ABCD【答案】A【分析】先由对数的运算法则把转化成同底的对数，再构造函数，利用导数判断单调性，得出的真数的大小关系，最后利用的单调性判断的大小

14、.【详解】由对数的运算法则得，.令函数，则，即函数在R上单调递减.令函数，则，令函数，则，在上单调递减，且，所以在上单调递增，在单调递减.又在恒成立，即在上单调递增 ，则 当时，.又在上单调递增，故选：C【点睛】利用导数判断函数值大小应注意的问题：在构造函数时需要视具体情况而定，在判断导函数的正负时，尽量不要求二阶导数，而是把原导函数令为一个新函数，再求导判断正负来得到原导函数的单调性.19（2023湖南株洲统考一模）已知，则（）ABCD【答案】C【分析】根据对数运算以及作差法，整理代数式，构造函数，利用函数单调性，可得的大小关系；根据二项式定理以及中间执法，整理，可得答案.【详解】由，则，令

15、，当时，则单调递增，即，故，可得，即；由，且，则，即.综上，.故选：C.20（2022秋湖南常德高三临澧县第一中学校考阶段练习）设，则（）ABCD【答案】B【分析】方法一：构造，利用导数证明在上单调递减，即可判断，构造，利用导数证明在上单调递增，即可判断.【详解】方法一：构造，当时，所以在上单调递减，所以，即，即，即，又，所以.构造,()，时，所以在上单调递增，所以，即，即，综上：.故选：B方法二：因为，当且仅当时取等号，所以，即，当且仅当时取等号所以，即，因此，故选：B【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关

16、，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.21（2023广东茂名统考一模）设，则（）ABCD【答案】B【分析】对，进行变形，构造，求导后得到其单调性，从而判断出，的大小.【详解】，故可构造函数，所以在上单调递增，所以，即.故选:B.22（2023春广东汕尾高三汕尾市城区汕尾中学校考期末）若，则、的大小关系为

17、（）ABCD【答案】B【分析】构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，可得出、，结合函数的单调性可得出、的大小关系.【详解】设，当时，令，则，所以函数在区间上单调递减，所以，又，所以，所以函数在区间上单调递减，所以，故.故选：B.【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：（1）判断各个数值所在的区间；（2）利用函数的单调性直接解答.数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用.23（2022秋广东深圳高三校考阶段练习）已知，则的大小关系是（）ABCD【答案】B【分析】利用中间值法比较与，与的大小关系，再通过构造函数，然后通过的单调性比较与的大小关系.【详解】，；又，

18、.令，由于中，所以，故在上恒成立，得在单调递增.故，即，即得证：，故得.综上所述得.故选：B【点睛】方法点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.24（2022秋广东广州高三广东实验中学校考阶段练习）设，则（）ABCD【答案】B【分析】法一：构造，求导分析单调性，结合可得，再构造，求导分析单调性可得，进而判断出即可.【详解】法一：若，令在上单调递增，即，比较与的大小，先比较与若令时单调递减，.法二：秒杀另一方面由时，.故选：B25（2023秋河北唐山高三统考期末）设，则（）ABCD【答案】D【分析】根

19、据已知条件构造函数，再利用导数法研究函数的单调性，结合函数单调性的性质即可求解.【详解】由，令，所以，因为，因为，所以，故，所以在上单调递减，又，所以所以，即，所以.由，令，所以，所以在上单调递增，所以，所以，即，所以，综上，.故选：D.【点睛】关键点点睛：构造，然后利用导函数研究函数的单调性，结合函数单调性的性质即可.二、多选题26（2022秋福建龙岩高三上杭一中校考阶段练习）若，则（）ABCD【答案】ABC【分析】构造函数，利用导数可得；构造函数，利用导数可得，从而可的；构造函数，利用导数可得.【详解】令，则，当时，所以在上为增函数，所以，即，即，所以B正确；令，则，令，则，当时，所以，则

20、在上单调递减，则，则在上单调递减，所以，即， 故C正确；故，故D不正确；令，因为，所以，当时，所以在上单调递减，所以，所以，即，即，故A正确；故选：ABC【点睛】构造函数并利用导数判断相应函数的单调性，利用单调性比较大小，这是本题的解题关键.27（2022秋河北邯郸高三大名县第一中学校考阶段练习）若，则（）ABCD【答案】BC【分析】分别构造、，利用导数研究它们在上的单调性比较大小即可，应用特殊值法判断D.【详解】A：令且，则，仅当时等号成立，故导函数恒大于0，故在定义域上递增，则，即，所以，错误；B：令且，则，故在定义域上递增，则，即，所以，则，即，正确；C：令且，则，故在定义域上递增，则，

21、即，所以，则，正确；D：当时，错误.故选：BC【点睛】关键点点睛：根据不等式构造函数，应用导数研究单调性，进而比较大小关系.28（2022秋山东日照高三统考期中）若，则（）ABCD【答案】AD【分析】首先将化简，然后分别对，和，进行作差，构造函数，利用导数判断出构造函数的单调性，通过单调性对作差结果的正负进行判断，从而比较出大小.【详解】，令，则，易知在区间单调递增，在区间单调递增，又，即， 因为，令，则，当时，在区间单调递增，又，即，综上所述，之间的大小关系为.故选：AD.29（2022秋山东日照高三校联考开学考试）当时，不等式成立若，则（）ABCD【答案】AD【分析】将给定不等式变形，构造

22、函数，利用函数单调性，逐项分析判断作答.【详解】当时，不等式，令，则在上单调递增，因，则，A正确；因，则，B不正确；由知，有，则，由选项A知，即，C不正确；由得，则，D正确.故选：AD【点睛】关键点睛：涉及两个量的大小，构造函数，分析并运用函数的单调性是求解作答的关键.30（2023秋广东清远高三统考期末）设，则（）ABCD【答案】ACD【分析】逐项分析，构造函数结合导数判断单调性来确定与，与，与，与大小关系.【详解】解：，对于A，设，则，令，则恒成立，所以在上单调递增，则恒成立，所以在上单调递增，则，即，所以，故A正确；对于B，设，则，故在上单调递增，则，整理得，所以，故B不正确；对于D，设，则，当时，所以在上单调递增，所以有，即，所以，则，故D正确；由前面可知，所以，故C正确.故选：ACD.【点睛】本题主要考查构造函数结合导数比较指对幂大小问题，属于难题.解决本题的关键是处理好指对幂式子中自变量的位置，结合作差法比较大小，构造差函数，给定定义域求导确定函数单调性最后比较函数值大小即可判断，例如比较，大小，将转换得，可构造差函数，求解导数结合导函数的性质即可确定在的单调性，从而可得函数值大小，即可判断大小关系.