专题01 圆的认识以及与圆有关的概念 （解析版）.docx

1、专题01 圆的认识以及与圆有关的概念 圆知识点总结归纳l 圆的定义以及相关元素（1）集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合（2）轨迹形式的概念： 圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆（3）圆中相关元素概念1、半径：圆上一点与圆心的连线段。2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。3、弦：连接圆上两点线段（直径也是弦）。4、弧：圆上两点之间的曲线部分，半圆周也是弧。劣弧：小于半圆周的弧。优弧：大于半圆周的弧。5、圆心角：顶点在圆

2、心的角叫做圆心角将整个圆分为等份，每一份的弧对应的圆心角，我们也称这样的弧为的弧圆心角的度数和它所对的弧的度数相等6、圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。8、弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形9、同圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；等圆：能够重合的两个圆叫做等圆注意：同圆或等圆的半径相等l 圆的对称性（1）旋转对称性1、圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度角，总能与自身重合2、圆的旋转对称性圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（2）轴对称性1、圆是轴对称图形，

3、经过圆心的任一条直线是它的对称轴2、圆的轴对称性垂径定理垂径定理：（一） 定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧（二） 推论1：平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧（三） 推论2：圆的两条平行线所夹的弧相等（扩展） 即：在中，弧弧注意：若“过圆心的直线”、“垂直于弦”、“平分弦（非直径）”、“平分弦所对的优弧”、“平分弦所对的劣弧”中的任意两个成立，则另外三个都成立（四） 注意：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定

4、理与勾股定理有：，根据此公式，在，三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量l 圆的性质定理（1）圆周角定理1、定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半2、推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形（2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系1、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等2、推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所

5、对应的其余各组量分别相等所对的两圆心角相等所对的两条弦相等所对的两条弧相等所对的两条弦的弦心距相等注意：前提条件是在同圆或等圆中；在由等弦推出等弧时应注意：优弧与优弧相等；劣弧与劣弧相等l 点与圆、直线与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系 1、点在圆内 点在圆内； 2、点在圆上 点在圆上； 3、点在圆外 点在圆外；（2）直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 无交点； 2、直线与圆相切 有一个交点； 3、直线与圆相交 有两个交点；（3）切线的性质与判定定理1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：且过半径外端 是的切线2、性质定

6、理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。（4）切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：、是的两条切线 平分l 外接圆 内切圆外接圆内切圆概念经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆三角形名称内接三角形外切三角形圆心名称外心内心尺规作图实质三角形各边垂直平分线的交点三角形各内角角平分线的交点性质到三角形各顶点的距离相等

7、到三角形各边的距离相等直角三角形外接圆、内切圆半径的求法(为斜边长)内、外心的位置锐角三角形外心在三角形内部。直角三角形外心在三角形斜边中点上。钝角三角形外心在三角形外。三角形一定有内切圆，圆心定在三角形内部。 I是的外心：BIC=2AI是的内心：BIC=+A注意等边三角形的内心、外心重合。（1） 外接圆1、三角形一定有外接圆，其他的图形不一定有外接圆。 三角形的外接圆圆心是三边的垂直平分线的交点。 三角形外接圆圆心叫外心2、锐角三角形外心在三角形内部。直角三角形外心在三角形斜边中点上。 钝角三角形外心在三角形外。 3、有外心的图形，一定有外接圆(各边中垂线的交点，叫做外心） 外接圆圆心到三角

8、形各个顶点的线段长度相等 过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心 在三角形中，三角形的外心不一定在三角形内部，可能在三角形外部（如钝角三角形），也可能在三角形上（如直角三角形） 4、过不在同一直线上的三点可作一个圆（且只有一个圆）（2）内切圆1、与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心三角形叫做圆的外切三角形。三角形的内心是三角形三条角平分线的交点。 2、三角形一定有内切圆，其他的图形不一定有内切圆，且内切圆圆心定在三角形内部。 3、在三角形中，三个角的角平分线的交点是内切圆的圆心，圆心到三角形各个边的垂线段相等。 4、内切圆的半径为r=2SC，

9、当中S表示三角形的面积，C表示三角形的周长。补充：在直角三角形的内切圆中，有这样两个简便公式：1、 两直角边相加的和减去斜边后除以2，得数是内切圆的半径。r=2、两直角边乘积除以直角三角形周长，得数是内切圆的半径。 r=（3）内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在中，四边形是内接四边形 l 正多边形与圆（1） 概念与性质正多边形的概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形如果一个正多边形有n(n3)条边，就叫正n边形等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形中心：把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心。中心角：正多边形每一

10、边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。（2）圆内正多边形的计算1、正三角形 在中是正三角形，有关计算在中进行：；2、正四边形四边形的有关计算在中进行，：3、正六边形六边形的有关计算在中进行，.复习：n边形内角和等于（n-2）180 多边形的外角和恒等于360l 扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：（1）弧长公式：；（2）扇形面积公式： ：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积（3）圆锥侧面展开图（1）=（2）圆锥的体积：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长；圆锥的底面半径，母线长，高组成直角三角形，可利用勾股定理求解

11、2、圆柱： （1）圆柱侧面展开图 =（2）圆柱的体积：圆的认识以及与圆有关的概念例题讲解一、圆的概念【例1】下列关于圆的叙述中正确的是()A圆是由圆心唯一确定的B圆是一条封闭的曲线C平面上到定点的距离小于或等于定长的所有点组成圆D圆内任意一点到圆心的距离都相等【答案】B【解析】圆是由圆心、半径确定的，故A错误；平面上到定点的距离等于定长的所有点组成圆，故C错误；圆上任意一点到圆心的距离都相等，故D错误；只有B正确【例2】下列说法中，不正确的是（）A圆既是轴对称图形又是中心对称图形B圆的每一条直径都是它的对称轴C圆有无数条对称轴D圆的对称中心是它的圆心【答案】B【解析】圆的每一条直径所在的直线都

12、是它的对称轴，故B错误。【例3】对下列生活现象的解释其数学原理运用错误的是（）A把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理B木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”的原理C将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理D将车轮设计为圆形是运用了“圆上所有的点到圆心的距离相等”的原理【答案】B【解析】木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了两点确定一条直线的原理二、 弧、弦、圆心角等元素的概念【例1】下图中ACB是圆心角的是()【答案】C【解析】圆心角的定

13、义为顶点在圆心的角，由定义可知C正确。【例2】如图，图中的弦共有()A1条 B2条 C3条 D4条【答案】B【解析】连结圆上任意两点的线段叫做弦，图中的弦为线段CD和线段AB ,所以答案选择B。【例3】下列说法正确的是（）A弦是直径B弧是半圆C直径是圆中最长的弦D半圆是圆中最长的弧【答案】C【解析】A:直径是弦，但弦不一定是直径。B：半圆是弧，但弧不一定是半圆。D：半圆是小于优弧而大于劣弧的弧。所以只有C正确【例4】如图，在O中，AB是O的直径，点P是OB上的任意一点(不包括点O、B)，CD、EF是过点P的两条弦，则图中的弦有_，以B为端点的劣弧有_【答案】弦：AB，CD，EF 劣弧：【解析】

14、根据弧弦的定义可得答案。三、 圆的认识综合题型【例1】下列4个说法中：直径是弦；弦是直径；任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴；弧是半圆；正确的有（）A1个B2个C3个D4个【答案】B【解析】直径是最长的弦，故本小题说法正确；弦是不一定是直径，故本小题说法错误；经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，故本小题说法正确；半圆是弧，但弧不一定是半圆，故本小题说法错误【例2】下列说法中，不正确的是（）A直径是最长的弦B同圆中，所有的半径都相等C圆既是轴对称图形又是中心对称图形D长度相等的弧是等弧【答案】D【解析】解：A、直径是最长的弦，说法正确；B、同圆中，所有的半径都相等，说法正确；C、圆既是轴对称图

15、形又是中心对称图形，说法正确；D、长度相等的弧是等弧，说法错误；【例3】下列命题中是真命题的有（）两个端点能够重合的弧是等弧；圆的任意一条弦把圆分成优弧和劣弧两部分；长度相等的弧是等弧；半径相等的圆是等圆；直径是最大的弦；半圆所对的弦是直径A3个B4个C5个D6个【答案】A【解析】解：能够完全重合的两条弧是等弧，故错误；直径将圆分成两条相等的弧，故错误；长度相等的两条弧不一定能完全重合，故错误；只要半径相等的两圆一定是等圆，故正确；直径是圆内最长的弦，故正确；圆的直径将圆分成两个半圆，所以半圆所对的弦是直径，故正确，真命题有三个【例4】如图，AB是O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且

16、AEBF，请你判断线段OE与OF的数量关系，并给予证明【答案】OEOF.【解析】证明如下：连接OA、OB，则OAOB，OABOBA，又AEBF，OAEOBF(SAS)OEOF.【例5】已知，如图，在O中，C、D分别是半径OA、BO的中点，求证：ADBC【答案】见解析【解析】解：OA、OB是O的两条半径，AOBO，C、D分别是半径OA、BO的中点，OCOD，在OCB和ODA中，OCBODA（SAS），ADBC【例6】如图，半圆O的直径AB8，半径OCAB，D为弧AC上一点，DEOC，DFOA，垂足分别为E、F，求EF的长【答案】4【解析】解：连接ODOCAB DEOC，DFOA，AOCDEODF

17、O90，四边形DEOF是矩形，EFODODOAEFOA4【例7】如图，点A、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，设BCa，EFb，HNc，则a、b、c三者间的大小关系为_【答案】a=b=c【解析】连接OM、OD、OA，如图，点A、D、M在半圆上，OMODOA，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，OMNH，ODEF，OABC，BCEFHN，即abc.四、 证明四点共圆【例1】已知：如图，BE、CF 是ABC 的高，M 为 BC 的中点试说明：点 B、C、E、F 在以点 M 为圆心的同一圆上【答案】见解析【解析】证明：连接ME、MF 因为BE、CF 是ABC

18、的高，M 为 BC 的中点 ME=MF=MC=MB=BC 点 B、C、E、F 在以点 M 为圆心的同一圆上【例2】如图，在ABCD 中，BAD 为钝角，且 AEBC，AFCD求证：A、E、C、F 四点在同一个圆上；【答案】见解析【解析】连接AC交BD于点O，连接EO、FO 四边形ABCD是平行四边形 O为AC的中点 AEBC，AFCD 三角形AEC和三角形AFC都是直角三角形 AO=EO=CO=FO=AC A、E、C、F 四点在以点O为圆心，AC为半径的同一个圆上课后练习题：1如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b数据S表示飞船C与空间站

19、A的实时距离，那么S的最大值是（）AaBbCa+bDab【答案】 C【解析】解：空间站A与星球B、飞船C在同一直线上时，S取到最大值a+b故选：C2、生活中经常把井盖做成圆形的，这样井盖就不会掉进井里去，这是因为（）A圆的直径是半径的2倍B同一个圆所有的直径都相等C圆的周长是直径的倍D圆是轴对称图形【答案】B【解析】生活中经常把井盖做成圆形的，这样井盖就不会掉进井里，这是因为同一个圆里所有的直径都相等3有一个圆的半径为5，则该圆的弦长不可能是（）A1B4C10D11【答案】D【解析】解：一个圆的半径为5，圆中最长的弦是10，弦长不可能为11，故选：D4、下列各组图形中，四个顶点一定在同一圆上的

20、是（）A矩形，菱形B矩形，正方形C菱形，正方形 D平行四边形，菱形【答案】B【解析】解：矩形和正方形对角线相等且互相平分，四个顶点到对角线交点距离相等，矩形和正方形四个顶点定可在同一个圆上故选：B5. 到圆心的距离不大于半径的点的集合是()A圆的外部 B圆的内部C圆 D圆的内部和圆【答案】D【解析】到圆心距离等于半径的点的集合在圆上，小于半径的点的集合在圆内部，大于半径的点的集合在圆的外部，所以由题目可得选D。6、 如图，ABCADCAEC90.求证：点A，B，C，D，E在同一个圆上【答案】见解析【解析】证明：取AC的中点O，连接OB，OD，OE.在RtABC中，OB是RtABC的中线，OAOCOBAC.同理可得OCODOAOBOE.点A，B，C，D，E在O上.点A，B，C，D，E在同一个圆上.7、 如图所示，在四边形ABCD中，A=90，AB=53，BC=8，CD=6，AD=5，试判断点A，B，C，D是否在同一个圆上，并证明你的结论 【答案】是【解析】点A，B，C，D在同一个圆上.证明：连结BD.在RtABD中，BD=10.在BCD中，82+62=102，即BC2+CD2=BD2，BCD是直角三角形.取BD的中点O，OB=OC=OA=OD=BD.点A，B，C，D在以BD为直径的圆上.