专题1-6 二倍角的解题策略：倍半角模型与绝配角（原卷版）.docx

1、专题1-6 二倍角的解题策略：倍半角模型与绝配角导语：见到2倍角的条件，首先想到“导”，将图形中的角度都推导出来，挖掘出隐藏边的信息，再观察角度的位置，结合其他条件，这里做题的经验，总结了六个字：翻、延、倍、分、导、造目录知识点梳理策略一：向外构造等腰（大角减半）策略二：向内构造等腰（小角加倍或大角减半）策略三：沿直角边翻折半角（小角加倍）策略四：邻二倍角的处理【经典例题讲解】【一题多解1】围绕2倍角条件，解法围绕“翻”“延”倍”“分”【一题多解2】常规法与倍半角处理对比策略五：绝配角模型题型一 向外构造等腰三角形（大角减半）2023深圳南山区联考二模2023山西统考中考真题题型二 向内构造等

2、腰（小角加倍或大角减半）题型三 沿直角边翻折半角（小角加倍）2023深圳宝安区二模2023深圳中学联考二模题型四 邻二倍角的处理题型五 绝配角题型六 坐标系中的二倍角问题宿迁中考盐城中考河南中考2023内蒙古赤峰统考中考真题江苏苏州统考中考真题内蒙古鄂尔多斯统考中考真题2022内蒙古呼和浩特统考中考真题2023湖北黄冈统考中考真题题型七 其它构造方式知识点梳理策略一：向外构造等腰（大角减半）已知条件：如图，在ABC中，ABC2ACBACBD辅助线作法：延长CB到D，使BDBA，连接AD结论：ADAC，BDAADC策略二：向内构造等腰（小角加倍或大角减半）已知条件：如图，在ABC中，ABC2B辅

3、助线作法：法一：作ABC的平分线交AC于点D，结论：DBCC，DBDCADBC法二：在BC上取一点E，使AECE，则AEB2CB（作AC中垂线得到点E）总结：策略一和策略二都是当2倍角和1倍角共边时对应的构造方法，下面我们再来看看不在同一个三角形中时该如何处理策略三：沿直角边翻折半角（小角加倍）已知条件：如图，在RtABC中，ACB90，点D为边BC上一点，连接AD，B2CADABCDE辅助线作法：沿AC翻折ACD得到ACE结论：ADAE，DAEB，BABE，ADEBAE策略四：邻二倍角的处理已知条件：如图，在RtABC中，C90，点D为边BC上一点，BAD2CAD辅助线作法：法一：向外构造等

4、腰（导角得相似）延长AD到E，使AEAB，连接BE，结论：BDBE，DBEBAD，BDEABE法二：作平行线，把二倍角转到同一个三角形中，延长AD到F，使CEAB，则FBAD【经典例题讲解】例题1如图，在正方形ABCD中，AB1，点E、F分别在边BC和CD上，AEAF，EAF60，则CF的长是( )A B C D例题2如图，正方形ABCD的边长为4，点E是CD的中点，AF平分BAE，交BC于点F，将ADE绕点A顺时针旋转90得ABG，则CF的长为 例题3 如图，面积为24的ABCD中，对角线BD平分ABC，过点D作DEBD 交BC的延长线于点E，DE6，则sinDCE的值为( )例题4 如图，

5、在RtABC中，ACB90，AB10，BC6，CDAB，ABC的平分线BD交AC于点E，则DE_总结：具体问题具体对待，并非哪一种方法绝对简单，需根据问题特征选取较为合适的方法【一题多解1】围绕2倍角条件，解法围绕“翻”“延”倍”“分”如图，在ABC中，ABC2ACB，AB3，BC5，求线段AC的长（5种解法）【一题多解2】常规法与倍半角处理对比如图，AB为O的直径，BC、CD是O的切线，切点分别为点B、D，点E为线段OB上的一个动点，连接OD、CE、DE，已知AB2，BC2，当CEDE的值最小时，则的值为( )（3种解法）ABCD如图，AB为O的直径，D是弧BC的中点，BC与AD、OD分别交

6、于点E、F(1)求证：DO/AC；(2)求证：(3)若tan，求sinCDA的值。（3种解法） 策略五：绝配角模型【释义】当m，n 两个角满足m2n180时，称其为一对绝配角，或者半角的余角与它本身称为绝配角【举例】常见的剧配角组合如下：绝配角组合1组合2组合3组合4组合5m2902902602602n9045456060【解 决】思路(一)：根据三角形内角和是180，构造等腰三角形。思路(二)：根据平角是180，m和2个n构成一个平角(有两条边在同一直线上)用一句话概括为：有等腰找等腰，没等腰造等腰其中“等腰”指的是以m为顶角、以n为底角的等腰三角形，了解绝配角模型，可以给我们提供一些辅助线

7、思路（一）共顶共边翻折当两个角满足两个角满足m2n180时，且共顶点共一边，这样的两个角是什么样的呢?发现 OD为AOB邻补角的平分线，此时处理问题一般用翻折，把 OB 沿 OD 翻折例题1：已知RtABC中C90，求的值（2种解法）(二)共三角形等腰(1)若为同一个三角形的内角，则此时三角形为等腰三角形(2)若分别为同一个三角形的内角和外角，则另一内角为，此时三角形为等腰三角形(3)若分别为同一个三角形的内角和外角，此时可以以m为顶角作等腰三角形，此时会构成另一个相似的等腰三角形(4)若为同一个三角形的内角，与(3)的情况相同总结：“半角的余角，等腰形来找”例题2：如图在矩形ABCD中，点E

8、，F分别为AD，CD的中点，连接BE，BF，且ABE2FBC，若BE5，则BF的长度为 （5种解法）重点题型归类精练题型一 向外构造等腰三角形（大角减半）1 如图，在ABC中，ABC2C，BCa，ACb，ABc，探究a，b，c满足的关系ACB2 如图，在ABC中，ABC2C，AB3，AC2，求BC的长ABC2023深圳南山区联考二模3 一副三角板按如图1放置，图2为简图，D为AB中点，E、F分别是一个三角板与另一个三角板直角边AC、BC的交点，已知AE=2，CE=5，连接DE，M为BC上一点，且满足CME=2ADE，EM= 2023山西统考中考真题4 如图，在四边形中，对角线相交于点若，则的长

9、为 5 如图，在RtABC中，ACB90，AC6，BC8，AD平分BAC，AD交BC于点D，EDAD交AB于点E，ADE的外接圆O交AC于点F，连接EF(1)求证：BC是O的切线；(2)求O的半径r及3的正切值6 如图，AB为O的直径，点P在AB的延长线上，点C在O上，且PC2PBPA(1)求证：PC是O的切线；(2)已知PC20，PB10，点D是弧AB的中点，DEAC，垂足为E，DE交AB于点F，求EF的长题型二 向内构造等腰（小角加倍或大角减半）7 如图，在RtABC中，ACB90，点D为边AB上一点，ACD2B， ，求cosB的值ACBD8 如图，在RtABC中，BAC90，点D为边BC

10、上一点，BAD2C，BD2，CD3，求AD的长ACDB9 如图，BM是以AB为直径的O的切线，B为切点，BC平分ABM，弦CD交AB于点E，DEOE(1)求证：ACB是等腰直角三角形；(2)求证：OA2OEDC；(3)求tanACD的值10 如图，在四边形ABCD中，ABD2BDC，ABACBD4，CD1，求BC的长BCAD11 如图，在ABC中，C2B，点D是BC的中点，AE是BC边上的高，若AE4，CE2，求DE的长ABCDE12 如图，在ABC中，ABC2C，ADBC于点D，AE为BC边上的中线，BD3，DE2，求AE的长ACDBE13 如图，在ABC中，ABAC5，点D为BC边上一点，

11、BD2DC，点E在AD的延长线上，ABC2DEC，ADDE18，求sinBAC的值ABECD14 如图，在ABCD中，D2ACB，AE平分BAC交BC于点E，若BE2，CE3，求AE的长ADBCE15 如图，在四边形ABCD中，ADBC，ABAC4，CD2，ABD2DBC，求BD的长ADBC题型三 沿直角边翻折半角（小角加倍）16 如图，在RtABC中，ACB90，点D为边BC上一点，B2CAD，ABCD5，求AD的长ABDC17 如图，在RtABC中，ACB90，点D为BC边上一点，BD2CD，B2DAC，AB4，求AD的长ABDC18 如图，在RtABC中，ACB90，点D为边BC上一点，

12、B2DAC，BD3，DC2，求AD的长ABDC2023深圳宝安区二模19 如图，在中，点为中点，则的值为 20 如图，在RtABC中，ACB90，点D为AC的中点，连接BD，A2DBC，求tanABD的值BCADC2023深圳中学联考二模21 如图，在中，点在边上，交的延长线于点，若，则 22 如图，在ABC中，ACB90，BE平分ABC，点D为BC边上一点，BD2CD，ABC2DAC，求 的值ABEDC23 如图，在RtABC中，BAC90，D，E分别是边AB，BC上的点，DC平分ADE，B2ACD，求CE的长DABCE24 如图，在ABC中，B2C，AD是中线，AB6，AD，求BC，AC的

13、长ABCD25 如图，在RtABC中，BAC90，ABAC，点D，E分别为边BC，AC上的点，连接AD，DE，AED2DAE，CE7，BD18，求DE的长ABCDE26 如图，在ABC中，C2B，AD平分BAC，BD3，CD2，求AD的长ACBD题型四 邻二倍角的处理27 如图，在ABC中，ADBC于点D，DAC2DAB，BD4，DC9，求AD的长ABCD28 如图，在RtABC中，A90，点D为边AC上一点，DBC2ABD，CD3，BC7，求BD的长DABC29 如图，在RtABC中，ACB90，点D为BC边上一点，BAD2CAD，BD10，DC3，求AD的长ABCD30 如图，在ABC中，

14、点E在边AC上，EBEA，A2CBE，CDBE交BE的延长线于点D，BD8，AC11，则BC的长为_BECAD31 如图，在ABC中，ABAC，点D在CA的延长线上，ABC2DBA，DEBA交BA的延长线于点E，若BE8，CD11，求BD的长EABCD题型五 绝配角32 如图，在RtABC中，C90，点D，E分别为BC，AC上的点，B2CDE，ADE45，AB5，AE3，则BD的长为_ABCDE33 如图，在RtABC中，BAC90，点D为边AB上一点，ACD2B，若BD2，AD4，求CD的长BCADC34 如图，在RtABC中，ACB90，点D为边BC上一点，BD2CD，DAC2B，AD，求

15、AB的长ABCD35 如图，在ABC中，BAC45，ADBC于点D，点E在线段AD上，CED2BAD，若AE9，DE3，求BC的长ACBDE36 如图，ABC是等边三角形，点D在BC的延长线上，点E在线段AD上，DAC2DBE，BE与AC交于点F，若CF1，DE2，则CD的长为_ABCDFE37 如图，在ABC中，ACB90，点D为边BC上一点，BD2CD，DAC2ABC，若AD，求AB的长BDCA38 如图，在四边形ABCD中，ADBC，ACCD，ABAC，ABD2ADC，CD2，求AD的长ADBC39 如图，在ABC中，点D为边BC上一点，ADC60，BAD2CAD，BD5，CD1，求AD

16、的长ABDC40 如图，在RtABC中，BAC90，ABAC，点D是BC的中点，点E是边AC上一点，连接BE，DE，ABE2EDC，AE3，求DE的长ABCDE41 如图，在ABC中，BAC120，ABAC，点D是BC的中点，点E是边AC上一点，连接BE，DE，ABE2EDC，CE2，求AE的长AEBCD42 如图，在ABC中，BAC90，ABAC，点D，E分别为边AC，BC上的点，ABD2BAE，BE3，CD7，求BD的长ABCEDC43 如图，在等边ABC中，点D，E分别为边BC，AC上的点，连接AD，DE，ADB2CDE，BD3，CE4，求CD的长ABDCE44 如图，在RtABC中，A

17、CB90，点D为AB边上一点，ADBD，ADC2ACD，AB8，CD3，求AD的长BCDA45 如图，在RtABC中，ACB90，AC6，BC8，点D，E为边BC上两点（点D在点E左侧），且BDCE，DAE BAC，求DE的长ABCDE题型六 坐标系中的二倍角问题宿迁中考46 如图，抛物线交x轴于A、B两点，其中点A坐标为(1，0)，与y轴交于点。(1)求抛物线的函数表达式；(2)连接AC，点P在抛物线上，且满足PAB2ACO，求点P的坐标；盐城中考47 如图，二次函数的图像与一次函数ykxk2的图像交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x轴、y轴交于C、D两点，其中k0(1)求AB

18、两点的横坐标；(2)二次函数图像的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得 若存在，求出k的值；若不存在，说明理由。河南中考48 如图，抛物线yax6xc交x轴于A、B两点，交y轴于点C。直线yx5经过点B、C。（1）求抛物线的解析式；（2）过点A的直线交直线BC于点M，连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标。2023内蒙古赤峰统考中考真题49 如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点在抛物线上，点E在直线上，若，则点E的坐标是 江苏苏州统考中考真题50 如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点在第一象限内，连接、已知，则 内蒙古鄂尔多

19、斯统考中考真题51 如图，抛物线yx2+bx+c交x轴于A，B两点，其中点A的坐标为(1，0)，与y轴交于点C（(0，3)（1）求抛物线的函数解析式；（2）如图2，连接AC，点P在抛物线上，且满足PAB2ACO，求点P的坐标2022内蒙古呼和浩特统考中考真题52 如图，抛物线经过点和点，与轴的另一个交点为，连接、(1)求抛物线的解析式及点的坐标；(2)如图，点是第一象限内抛物线上的动点，过点作轴，分别交、轴于点、，当中有某个角的度数等于度数的2倍时，请求出满足条件的点的横坐标2023湖北黄冈统考中考真题53 已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，点P为第一象限抛物线上的点，连接(1)直接写出

20、结果；_，_，点A的坐标为_，_；(2)如图1，当时，求点P的坐标；54 （2020湖南张家界中考真题）如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C直线经过点（1）求抛物线的解析式；（2）在直线上是否存在点M，使与直线的夹角等于的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由题型七 其它构造方式55 如图，在RtABC中，ACB90，ACBC，点D，E分别在边AC，BC上，且DBC2BAE，AE2，BD，求AB的长ABCED56 如图，在四边形ABCD中，ADBC，ABAC，ACD2ABD，AD19，CD25，求AB的长ADBC57 如图，在ABC中，AB4，AC5，D为ABC内一点，BDC2

21、BAD，BDCD，求ABD的面积ABCD58 如图，在等边ABC中，点D在边AB上，点E在BC的延长线上，CAE2DCB，BD2，AD6，求CE的长ABECD59 如图，在四边形ABCD中，ABAD，BD平分ABC，DAC2ADB，若CD4，BD10，求ACD的面积ADBC60 如图，在ABC中，ABAC，点D，E分别是边AC，BC上的点，连接AE与BD交于点F，BFEBAC2AEB，探究AF，EF与BF的数量关系，并证明ACBEDF61 如图，在ABC中，点D为边BC上一点， ，点E为AD的中点，若BACBED2CED，求 的值ABCDE62 如图，在RtABC中，BAC90，点P为BC边上一点，连接AP，分别过点B，C作AP的垂线，垂足为D，E，若ADC2ABC， ，求tanACB的值ABCPED63 如图，在RtABC中，BAC90，点D，E为边BC上两点（点D在点E左侧），BADCAE，AED2ADE，BD7，CE2，求AE，DE的长ABCDE64 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BA，BC的延长线上，连接DE，EF，DE，EF5，BEF2DEF，求BF的长BCDA