专题10 角的运动压轴题的三种考法（解析版）（人教版） .docx

1、专题10 角的运动压轴题的三种考法类型一、角度之间数量关系问题例如图，点O为直线上一点，过点O作射线将一直角三角板的直角顶点放在点O处（），一边在射线上，另一边在直线的下方(1)当时，请解决一下问题；将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边在的内部，且恰好平分求的度数将图1中的三角板绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为 （直接写出结果）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使在的内部，请探究与的数量关系，并说明理由(2)图1中射线在上方且，当三角板绕点O顺时针旋转（旋转角度），试探究三者之间的数量关系【答案】(1)；或；，理由见

2、解析(2)当旋转角时，；当旋转角时，；当旋转角时，【分析】（1）平分，可求得，再由互余关系即可求得结果；分两种情况：射线平分，可计算出旋转的角度，则可计算出旋转的时间；射线平分，可计算出旋转的角度，则也可计算出旋转的时间；两种情况综合即可；由，且，即可得出两角的关系；（2）分四种情况考虑：旋转角；旋转角；旋转角；当旋转角时；利用和差关系即可得到关系；【详解】（1）解：（1）平分，； ，当射线平分时，如图2所示，旋转的角度为，直线旋转的时间为（秒）；当射线平分时，如图4所示，旋转的角度为，直线旋转的时间为（秒）；综上知，则的值为；或；故答案为：或；，且，即与的数量关系为：；（2）解：当旋转角时，

3、射线在的内部时，如图5；则，；当旋转角时，此时射线在的内部，如图6所示；，；当旋转角时，此时射线在的内部，如图7所示，；当旋转角时，此时射线在的内部，如图8所示， ；，；综上，当旋转角时，；当旋转角时，；当旋转角时，【点睛】本题考查了角的和差运算，角平分线的性质，分类讨论，关键是结合图形，用所求的角表示未知的角【变式训练1】以直线上一点O为端点，在直线的上方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在O处，即，直角三角板可绕顶点O转动，在转动的过程中，直角三角板所有部分始终保持在直线上或上方(1)如图1，若直角三角板的一边在射线上，则_；(2)将直角三角板绕点O转动后，使其一边在的内部，如图2所

4、示，若恰好平分，求此时的度数；若，求此时的度数；(3)直角三角板在绕点O转动的过程中，与之间存在一定的数量关系，请直接写出来，不必说明理由【答案】(1)40；(2)，；(3)【分析】（1）根据两个角互为余角，求出的度数；（2）根据平角定义先求出，根据角平分线的定义得，进而求出；如图，先求出，然后代入计算即可（3）根据题意，分成两种情况进行分析：当在内部时；当在外部时，分别求出答案即可【详解】（1）解：，故答案为：40；（2）解：，恰好平分，；如图，当在的内部时，；（3）解：当在内部时，如图所示，当在外部时，如图所示，；综合上述，则；【点睛】本题考查了作图复杂作图、余角和补角，几何图形中的角度计

5、算，角平分线的定义等知识的综合运用，运用分类讨论的思想进行分析是解题的关键【变式训练2】如图，点O在直线上，在同一平面内，以O为顶点作直角射线、射线分别平分、(1)如图1，当时，_，_(2)如图1，猜想与的数量关系，并说明理由(3)直接写出图2和图3中，与的数量关系图2：_；图3：_【答案】(1)，(2)，理由见详解(3)，【分析】（1）根据角平分的定义即可求解；（2）根据（1），可得，问题得解；（3）图2，先表示出，再根据角平分线可得，问题随之得解；图3，由，可得，根据，可得，问题随之得解【详解】（1）射线、射线分别平分、，故答案为：，；（2），理由如下：在（1）中有：，；（3）图2中，理由

6、如下：，射线、射线分别平分、，；图3中，理由如下：，射线、射线分别平分、，【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平角为，以及角度的计算，理清图中各个角直角的数量关系是解答本题的关键【变式训练3】如图，是直线上一点，是的余角，射线平分(1)若，求的度数；(2)若，请在图中画出符合题意的射线，探究与的数量关系，并说明理由【答案】(1)(2)或，理由见解析【分析】（1）根据互为余角的两个角的和是90度，平角的定义，角平分线的定义解答；（2）分情况画图分析，设，利用互为余角的两个角的和是90度，平角的定义，角平分线的定义，把和的度数分别用含有的式子表示，即可表示出两个角的关系【详解】（1）解：是的余角

7、，平分，；（2）解：或，理由如下：设，是的余角，平分，当射线在内部时，如图：，；当射线在内部时，如图：，综上可知，或【点睛】本题考查余角、补角、角平分线、角的和差关系等知识点，解第一问的关键是掌握互为余角的两个角的和是90度，解第二问的关键是注意分情况讨论，避免漏解类型二、定值问题例如图，过点在内部作射线，分别平分和，与互补，(1)如图1，若，则_，_，_；(2)如图2，若平分当时，求度数；试探索：是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由【答案】(1)，；(2)，是定值，【分析】（1）根据互补的定义可得，然后求得，再根据角平分线的定义可得和,再根据角的和差可得；（2）由互补的定义可

8、得，再根据角平分线的定义可得，进而得到，然后根据得到关于a的方程求解即可；由可得，然后分别表示出和，最后做商即可解答【详解】（1）解：,，分别平分和,故答案为，（2）解：，与互补，又平分，平分，平分，解得：.由得：，【点睛】本题主要考查了补角的定义、角平分线的应用、角的和差等知识点，灵活运用角平分线的定义是解答本题的关键【变式训练1】如图，内部有一射线OC，与的度数比为，射线从出发，以10度/秒的速度绕点O顺时针旋转，同时射线从出发以20度/秒的速度绕点O顺时针旋转，当射线与射线重合后，立即以原速逆时针旋转，当与重合后再次改变方向顺时针向旋转（即在与之间来回摆动），当与重合时，与都停止旋转旋转

9、过程中设旋转的时间为t秒(1)时， ；(2)当t为何值时，恰好是的平分线；(3)在旋转的过程中，作的角平分线，是否存在某个时间段，使得的度数保持不变？如果存在，求出的度数，并写出对应的t的取值范围；如果不存在，请说明理由【答案】(1)100(2)3或7(3)存在，时，的度数保持不变，；时，的度数保持不变，【分析】（1）当时，故，即得；（2），与的度数比为，知，故从旋转到（或从旋转到需要（秒），从旋转到需要（秒），当时，；当时，；当时，解方程可得答案；（3）当时，；当时，；当时，即可得到答案【详解】（1）解：（1）当时，；故答案为：100；（2），与的度数比为，从旋转到或从旋转到需要（秒），从旋

10、转到需要（秒），当时，恰好是的平分线，解得；当时，恰好是的平分线，解得（舍去）；当时，恰好是的平分线，解得；综上所述，当为3或7时，恰好是的平分线；（3）存在某个时间段，使得的度数保持不变，理由如下：当时，平分，时，的度数保持不变，；当时，平分，时，的度数随的改变而改变；当时，平分，时，的度数保持不变，；综上所述，时，的度数保持不变，；时，的度数保持不变，【点睛】本题考查了角的和差，角平分线的定义，一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，能应用分类讨论思想解决问题【变式训练2】将一副三角尺如图摆放，现将绕点C以/秒的速度逆时针方向旋转，旋转时间为秒(1)如图，当_时，恰好平分；(2)如图，当

11、_时，恰好平分；(3)如图，当_时，恰好平分；(4)绕点C旋转到如图的位置，平分，平分，求的度数；(5)若旋转到如图的位置，（4）中结论是否发生变化？请说明理由【答案】(1)4；(2)7；(3)10；(4)；(5)不变，理由见解析；【分析】（1）如图，由题意可得：，而， 再证明，而，再建立方程求解即可；（2）如图，证明，再建立方程求解即可；（3）如图，证明，同理：，而，可得，从而可得答案；（4）先表示，可得，同理可得，而，再利用角的和差可得答案；（5）先表示，可得，同理可得，而，再利用角的和差可得答案【详解】（1）解：如图，由题意可得：，而，平分，而，解得：；（2）如图，平分，解得：；（3）如

12、图，恰好平分，同理：，而，解得：；（4）如图，平分，平分，而，（5）如图，平分，平分，而，【点睛】本题考查的是角的动态定义，角的和差运算，角平分线的含义，一元一次方程的应用，熟练的画出符合题意的图形，再利用数形结合的方法解题是关键【变式训练3】如图，已知，(1)求的度数；(2)若射线绕点以每秒旋转10的速度顺时针旋转，同时射线以每秒旋转5的速度逆时针旋转，设旋转的时间为秒，试求当时的值；(3)若绕点以每秒旋转5的速度逆时针旋转，同时绕点以每秒旋转10的速度逆时针旋转，设旋转的时间为秒，平分，平分，在旋转的过程中，的度数是否发生改变？若不变，求出其值；若改变，说明理由【答案】(1)(2)3或5(

13、3)不发生改变，其值为【分析】（1）设，从而可得，再根据角的和差可得，然后根据建立方程，解方程即可得；（2）先分别求出射线与射线重合时、射线旋转至射线的初始位置时、射线旋转至射线的初始位置时的值，再分三种情况讨论，分别建立方程，解方程即可得；（3）先判断出在旋转的过程中，一定在的后面，再求出旋转秒后，的度数，然后根据角平分线的定义求出的度数，最后根据即可得出结论【详解】（1）解：设，又，解得，则（2）解：当射线与射线重合时，则，解得，当射线旋转至射线的初始位置时，当射线旋转至射线的初始位置时，因此，分以下三种情况：当时，则，解得，符合题设；当时，解得，符合题设；当时，解得，不符题设，舍去；综上

14、，当时的值为3或5（3）解：当与重合时，则，解得，当时，在旋转的过程中，一定在的后面，旋转秒后，平分，平分，即在旋转的过程中，的度数不发生改变，其值为【点睛】本题综合考查了角的和差倍分问题、角平分线、一元一次方程的几何应用等知识点，正确分情况讨论，并建立方程是解题关键类型三、运动时间问题例如图1，将两块直角三角板（一块含有、角，另一块含角）摆放在直线上，三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转当第一次与射线重合时三角板停止转动，设旋转时间为秒(1)当时，求和的度数；(2)如图2，若两块三角板同时旋转，三角板以每秒的速度绕点顺时针旋转，当第一次与射线重合时三角板立即停止转动用含的代数式表示射线和射线重合

15、前和的度数；整个旋转过程中，当满足时，求出相应的的值【答案】(1)，(2)，；或或或【分析】（1）根据补角的定义以及旋转的性质计算即可；（2）首先求出t的取值范围，再根据角的和差关系以及旋转的性质可得答案；分，根据已知等式，列方程求解即可【详解】（1）解：，当时，三角板绕点逆时针旋转，与减小的度数相同为：，故，；（2）由题意，令，解得令，解得，射线与射线重合之前，射线与射线重合之前，当时，；当时，即；由题意知，运动时间为，运动时间为当时，此时，不符合题意；当时，令，解得或； 当，或，此时，不符合题意；当时，停止运动如图1，当未过延长线时，此时，不符合题意如图2，当已过延长线时，令，解得或综上，

16、或或或，【点睛】本题考查了三角板中的角度计算，角的和差，在运动的条件下，用方程的思想解决角的变化问题，重点要抓住角的变化过程中出现的每一种情况【变式训练1】一个问题的解决往往经历发现规律-探索归纳-问题解决的过程，下面结合一道几何题来体验一下(1)【发现规律】如图，已知，则的度数为_时，为的角平分线(2)【探索归纳】如图，为的角平分线猜想的度数（用含m，n的代数式表示），并说明理由(3)【问题解决】如图，若，射线，同时绕点O旋转，以每秒顺时针旋转，以每秒逆时针旋转，当与重合时，同时停止运动设运动时间为t秒，问t为何值时，射线为，中任意两条射线夹角的角平分线【答案】(1)(2)，理由见解析(3)

17、或或【分析】（1）先根据角的和差关系计算出，再根据求解；（2）根据角的和差关系、角平分线的定义即可求解；（3）按照平分，平分，平分三种情况分别讨论，列出等式，即可求解【详解】（1）解：，当时，为的角平分线，故答案为：；（2）解：，理由如下：，为的角平分线，；（3）解：由题意知，旋转了，旋转了，即与旋转秒后重合，即旋转秒后与重合当为，夹角的角平分线，即平分时，旋转后的，解得；当为，夹角的角平分线，即平分时，旋转后的，解得；当为，夹角的角平分线，即平分时，旋转后的，解得，综上可知，t的值为或或【点睛】本题考查角平分线的有关计算，一元一次方程的实际应用，涉及射线的旋转问题，有一定难度，解题的关键是厘

18、清角的和差关系，注意分情况讨论，避免漏解【变式训练2】点O为直线l上一点，射线均与直线l重合，如图1所示，过点O作射线 和射线，使得，作的平分线(1)求与的度数；(2)作射线，使得，请在图2中画出图形，并求出的度数；(3)如图3，将射线从图1位置开始，绕点O以每秒的速度逆时针旋转一周，作的平分线当时，求旋转的时间【答案】(1)，(2)或(3)8秒或秒【分析】（1）根据，即可得出的度数，根据角平分线的定义得出，然后根据得出的度数；（2）根据题意得出的度数，然后分两种情况进行讨论：当射线在内部时；当射线在外部时；分别进行计算即可；（3）根据平分得出，根据题意画出图形，计算的角度，然后计算时间即可【

19、详解】（1）解：由题意可知，平分，；（2）由（1）知，当射线在内部时，如图2（1），；当射线在外部时，如图2（2），综上所述，的度数为或；（3）平分，如图3，平分，旋转的时间（秒）；如图3（1），此时，平分，旋转的时间（秒）；综上所述，旋转的时间为8秒或秒【点睛】本题主要考查角度的计算，角平分线的定义等内容；第（2）问进行合适的分类讨论是解题的关键；第（3）问，搞清楚在射线旋转的过程中，和的相对位置在不断的变化，以此进行分类画图【变式训练3】已知直线和交于点，的度数为，于点，平分(1)当，求与的度数(2)当，射线、分别以，的速度同时绕点顺时针转动，求当射线与射线重合时至少需要多少时间？(3)当

20、，射线以的速度绕点顺时针转动，同时射线也以的速度绕点逆时针转动，当射线转动一周时射线也停止转动射线在转动一周的过程中当时，求射线转动的时间【答案】(1)，；(2)；(3)或或【分析】（1）根据角平分线的性质和邻补角的性质，结合图象做线段的和差计算即可；（2）看作是和的追及问题，利用追及路程=速度差时间的公式即可解决；（3）注意分类讨论，和重合前，和重合后第一次夹角为，即将停止前和夹角为【详解】（1）， ， ，平分，（2）当时，当和重合时，时间（3）设转动的时间为t，当时，由题意得，转动一圈需要36015=24秒，解得；，解得；，解得则转动的时间为或或【点睛】本题考查射线的转动，要结合图象找角度

21、的等量关系，第三问的分类讨论有三种情况，还要考虑停止的时间课后训练1如图，已知，在内部，在的内部，(1)若，则_；若，则_（用含的代数式表示）；(2)若，求的度数；(3)将以OC为折痕进行翻折，落在处，将以为折痕进行翻折，落在处，的度数变化时，的度数是否发生变化？若变化，请说明理由：若不变，请求出的度数【答案】(1)；(2)(3)不变，【分析】（1）根据角度的和差，结合图形即可求解；（2）根据图形分别得出，根据，建立方程，解方程即可求解；（3）根据题意得出，进而根据即可求解【详解】（1）解：，；若，则；故答案为：；（2），解得：；（3）解：不变，理由如下，如图，设，由（1）可得，的度数不发生变

22、化【点睛】本题考查了几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键2已知，平分(1)如图1，在的内部若，_，_；若，_，_（都用含的式子表示）：(2)如图2，将绕点O顺时针旋转，使射线在的内部，射线在的外部设的度数为，当时，求的值(3)将图1中的绕点O逆时针旋转，使射线在的外部，射线在的内部，如图3，平分，请猜想和有怎样的数量关系，并说明理由【答案】(1)， ；，(2)(3)，理由见解析【分析】（1）利用角平分线的定义及角的和差关系求解；（2）由角的和差关系可知，由角平分线的定义可知，进而求出，再根据列一元一次方程，即可求出的值；（3）设，则，进而求出，由角平分线的定义可知，进而求出，再根据，可得

23、【详解】（1）解：因为，所以，所以，若，则，故答案为：， ；，；（2）解：因为，所以因为平分，所以因为，所以因为，所以，所以，所以；（3）解：，理由如下：设，则，所以，所以，因为平分，所以，所以，所以，所以【点睛】本题考查角平分线的定义、角度计算问题、解一元一次方程等知识点，解题的关键是看懂图形，能够运用角的和差关系进行推理3将一副直角三角板如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，），保持三角板不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转直至边第一次重合在直线上，整个过程时间记为t秒(1)从旋转开始至结束，整个过程共持续了 秒；(2)如图2，旋转三角板，使得、在直线的异侧，请直接写出与数量关

24、系；如图3，继续旋转三角板，使得、同时在直线的右侧，请问上面的数量关系是否仍然成立？并说明理由(3)若在三角板旋转的同时，另一个三角板也绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当边第一次重合在直线上时两三角板同时停止试用字母t分别表示与；在旋转的过程中，当t为何值时平分【答案】(1)9；(2)；成立，证明见解析(3)，；【分析】（1）根据即可解决问题；（2）结论：；由，可得；如图3中，结论仍然成立证明方法类似；（3），；由平分，可得，由此列出方程，即可解决问题；【详解】（1）解：如图1中，故答案为9（2）结论：；理由：如图2中，；如图3中，结论仍然成立理由：，（3），；平分，解得：，当t为时，平分【点睛

25、】本题考查三角形综合题、直角三角形的性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用构建方程的思想思考问题，属于中考常考题型4如图，(1)若平分，求的度数；(2)渃，求的度数；(3)若射线从射线的位置开始，绕点O按逆时针方向以每秒的速度旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点O按顺时针方向以每秒的速度旋转，射线旋转的时间为（单位：秒），且，求当时的值【答案】(1)(2)(3)3或5【分析】（1）利用角平分线的定义解答即可；（2）设，利用角的和差列出关于x的方程，解方程即可求得结论；（3）利用分类讨论的思想方法，根据题意画出图形，用含t的代数式表示出和的度数，依据列出方程，解

26、方程即可求得结论【详解】（1）解：平分，；（2）解：设，则，解得：，的度数为（3）解：当射线OP与射线OQ未相遇之前，如图，由题意得：，解得：；当射线与射线相遇后且均在内部时，如图，由题意得：，解得：；综上所述，当时或5【点睛】本题主要考查了角的计算，角平分线的定义，分类讨论的思想方法的应用，本题是新定义型题目，理解并熟练应用新定义是解题的关键5如图，已知线段，线段CD在线段AB上运动，E、F分别是AC、BD的中点(1)已知，求EF的长(2)若，求EF的长由此你能得出EF与AB、CD之间存在怎样的数量关系？(3)类比应用我们发现角的很多规律和线段一样，如图，已知在内部转动，OE、OF分别平分和

27、，若，直接写出的度数由此，你猜想与、会有怎样的数量关系_（直接写出猜想即可）【答案】(1)10(2)10；EF=（AB+CD）(3)80；EOF=AOB+COD【分析】（1）欲求EF，需求EC+DC+DF已知CD，需求EC+DF由E，F分别是AC，BD的中点，得EC=AC，DF=DB，那么EC+DF=AC+DB=（AC+DB），进而解决此题（2）按照（1）的思路进行解答即可（3）欲求EOF，需求EOC+DOF+COD已知COD，需求EOC+DOF由OE，OF分别平分AOC和BOD，得EOC=AOC，DOF=DOB，进而解决此题按照的方法求解即可【详解】（1）E，F分别是AC，BD的中点，EC=

28、AC，DF=DBEC+DF=AC+DB (AC+DB)又AB=18，CD=2，AC+DB=AB-CD=18-2=16EC+DF= (AC+DB)=8EF=EC+DF+CD=8+2=10故答案为：10（2）E，F分别是AC，BD的中点，EC=AC，DF=DBEF=EC+CD+DF=AC+DB+CD=（AC+DB）+CD=（AB-CD）+CD=（AB+CD）又AB=18，CD=2，EF=（AB+CD）=（3）OE，OF分别平分AOC和BOD，EOC=AOC，DOF=DOBEOC+DOF=AOC+DOB=（AOC+DOB）又AOB=140，COD=20，AOC+BOD=AOB-COD=120EOC+DOF=60EOF=EOC+DOF+COD=60+20=80由（1）得：EOC+DOF=（AOC+DOB）AOC+DOB=AOB-COD，EOC+DOF=（AOB-COD）EOF=EOC+DOF+COD=（AOB-COD）+COD=AOB+COD，故答案为：EOF=AOB+COD【点睛】本题主要考查线段中点以及角平分线的定义，熟练掌握线段中点以及角平分线的定义是解决本题的关键