专题11 三角形基础（含等腰三角形、勾股定理）——5年（2018~2022）中考1年模拟数学分项汇编（北京专用）（解析版）.docx

1、专题11 三角形基础（含等腰三角形、勾股定理）一、填空题1（2022北京中考真题）如图，在矩形中，若，则的长为_【答案】1【解析】解：在矩形中：，故答案为：12（2019北京中考真题）把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为_【答案】12【解析】解：如图1所示：四边形ABCD是菱形，OA=OC，OB=OD，ACBD，设OA=x，OB=y，由题意得：，解得：，AC=2OA=6，BD=2OB=4，菱形ABCD的面积=；故答案为123（2019北京中考真题）如图所示的网格是正方形网格，则_（点A，B，P是网格线交点）.【

2、答案】45【解析】解：延长AP交格点于D，连接BD，则PD2=BD2=1+22=5，PB2=12+32=10，PD2+DB2=PB2，PDB=90，即PBD为等腰直角三角形，DPB=PAB+PBA=45，故答案为：454（2018北京中考真题）下图所示的网格是正方形网格，_（填“”，“”或“”）【答案】【解析】解：如下图所示，是等腰直角三角形，故答案为 另：此题也可直接测量得到结果5（2018北京中考真题）如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，若，则的长为_【答案】【解析】解：四边形是矩形，/，在中，是中点，/，故答案为：二、解答题6（2022北京中考真题）在中，D为内一点，连接，延长

3、到点，使得(1)如图1，延长到点，使得，连接，若，求证：；(2)连接，交的延长线于点，连接，依题意补全图2，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明【答案】(1)见解析(2)；证明见解析【解析】(1)证明：在和中， ， ， ，(2)解：补全后的图形如图所示，证明如下：延长BC到点M，使CMCB，连接EM，AM，CMCB， 垂直平分BM，在和中， ， ， ， ， ， ，即， ， 7（2021北京中考真题）淮南子天文训中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点，使两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点处立一根杆；日落时，在地面

4、上沿着点处的杆的影子的方向取一点，使两点间的距离为10步，在点处立一根杆取的中点，那么直线表示的方向为东西方向（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点的位置如图所示使用直尺和圆规，在图中作的中点（保留作图痕迹）；（2）在如图中，确定了直线表示的方向为东西方向根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线表示的方向为南北方向，完成如下证明证明：在中，_，是的中点，（_）（填推理的依据）直线表示的方向为东西方向，直线表示的方向为南北方向【答案】（1）图见详解；（2），等腰三角形的三线合一【解析】解：（1）如图所示：（2）证明：在中，是的中点，（等腰三角形的三线合一）（填推理的依据）直线表示的方

5、向为东西方向，直线表示的方向为南北方向；故答案为，等腰三角形的三线合一8（2021北京中考真题）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于点和线段，给出如下定义：若将线段绕点旋转可以得到的弦（分别是的对应点），则称线段是的以点为中心的“关联线段”（1）如图，点的横纵坐标都是整数在线段中，的以点为中心的“关联线段”是_；（2）是边长为1的等边三角形，点，其中若是的以点为中心的“关联线段”，求的值；（3）在中，若是的以点为中心的“关联线段”，直接写出的最小值和最大值，以及相应的长【答案】（1）；（2）；（3）当时，此时；当时，此时【解析】解：（1）由题意得：通过观察图象可得：线段能绕点A旋转90得到的“

6、关联线段”，都不能绕点A进行旋转得到；故答案为；（2）由题意可得：当是的以点为中心的“关联线段”时，则有是等边三角形，且边长也为1，当点A在y轴的正半轴上时，如图所示：设与y轴的交点为D，连接，易得轴，；当点A在y轴的正半轴上时，如图所示：同理可得此时的，；（3）由是的以点为中心的“关联线段”，则可知都在上，且，则有当以为圆心，1为半径作圆，然后以点A为圆心，2为半径作圆，即可得到点A的运动轨迹，如图所示：由运动轨迹可得当点A也在上时为最小，最小值为1，此时为的直径，；由以上情况可知当点三点共线时，OA的值为最大，最大值为2，如图所示：连接，过点作于点P，设，则有，由勾股定理可得：，即，解得：

7、，在中，；综上所述：当时，此时；当时，此时9（2020北京中考真题）在中，C=90，ACBC，D是AB的中点E为直线上一动点，连接DE，过点D作DFDE，交直线BC于点F，连接EF（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设，求EF的长（用含的式子表示）；（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明【答案】（1）；（2）图见解析，证明见解析【解析】（1）D是AB的中点，E是线段AC的中点DE为的中位线，且，四边形DECF为矩形则在中，；（2）过点B作AC的平行线交ED的延长线于点G，连接FG，D是AB的中点在和中，又DF是线段EG的垂直平

8、分线，在中，由勾股定理得：10（2018北京中考真题）如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EHDE交DG的延长线于点H，连接BH（1）求证：GF=GC；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明【答案】（1）证明见解析；（2）BH=AE，理由见解析【解析】（1）证明：连接 ，关于对称在和中，四边形是正方形， ，在和中，（2）证明：在上取点使得，连接四这形是正方形，同理：，在和中，在中，11（2018北京中考真题）如图，在四边形中，AB/DC，对角线，交于点，平分，过点作交

9、的延长线于点，连接（1）求证：四边形是菱形；（2）若，求的长【答案】（1）证明见解析；（2）OE=2【解析】（1）证明：AB/CD，平分，又，又，四边形是平行四边形，又，是菱形（2）解：四边形是菱形，对角线、交于点，在RtAOB中，在RtAEC中，为中点，一、填空题1（2022北京四中模拟预测）如图，O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，CAD45，则BOC_【答案】45【解析】解：O的直径AB垂直于弦CD，CEDE， AB垂直平分CDACADACD是等腰三角形BACCAD4522.5BOC2BAC45，故答案为：452（2022北京房山一模）如图，点A，B，C在O上，若OCB=20，则A度数为

10、_【答案】70【解析】解：OBOC，OCB20，OBCOCB20，BOC180OBCOCB1802020140，ABOC70故答案为：703（2022北京市燕山教研中心一模）是平面直角坐标系中的两点，线段长度的最小值为_【答案】3【解析】解：A（a，0），B（5，3），当，即时，线段AB的长度的值最小，此时，故答案为：34（2022北京门头沟一模）石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，如图，已知一石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，求水面宽AB_m【答案】8【解析】连结OA，拱桥半径OC为5cm，cm，m，cm，mm，故答案为：85（2022北京师大附中模拟预测）如图，在矩

11、形ABCD中，AB3，BC10，点E在边BC上，DFAE，垂足为F，若DF6，则线段EF的长为_【答案】3【解析】解：四边形ABCD为矩形，ABCD3，BCAD10，AEBDAF，AFDEBA，DF6，AE5，EFAFAE853，故答案为：36（2022北京房山一模）如图，在ABC 中，ABAC，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于 D 点若 BD 平分ABC，则A_【答案】36【解析】ABAC，CABC，AB的垂直平分线MN交AC于D点AABD，BD平分ABC，ABDDBC，C2AABC，设A为x，可得：x+x+x+2x180，解得：x36，故答案为367（2022北京朝阳模拟预测）已知如

12、图，在ABC中，BAE=CAE,BEAE于点E，若ABC=3ACB,则AB,AC,BE之间的数量关系_【答案】【解析】【分析】延长BE交AC于点F，证明AF=AB，得AC-AB=CF，再证明CF=BF=2BE即可得到结论【详解】如图，延长BE交AC于点F，AEBE，AEB=AEF=90，在AEB中，ABE+BAE+AEB=180，ABE=90-BAE，同理，AFE=90-FAE，BAE=FAE，ABE=AFE，AB=AF，AEBE，BF=2BE，AC-AB=AC-AF=CF，AFB是BCF的外角，AFB=FBC+CABC=3CABC=ABF+CBF=AFB+CBF，3C=AFB+CBF=2CB

13、F+CCBF=CBF=CFAC-AB=BF=2BE，即故答案为：8（2022北京十一学校一分校一模）如图，PA，PB分别切半径为1的O于A，B两点，BC为直径，若，则PB的长为_【答案】【解析】解：连接OP，OA，如图：PA，PB是O的切线，在和中，故答案为：9（2022北京通州一模）如图，PA，PB是的切线，切点分别为A，B，连接OB，AB如果，那么P的度数为_【答案】40【解析】解：PA、PB是O的切线，OBBP，PA=PB，OBP=90，ABP=70，PA=PB，BAP=ABP=70，P=180-BAP-ABP=180-70-70=40，故答案为：4010（2022北京房山二模）如图，点

14、在直线外，点、均在直线上，如果，只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是_（写出一个即可）【答案】A B【解析】解：条件是A B理由是：A BPAPB在和中， （SAS）故答案为：A B11（2022北京市燕山教研中心一模）如图，在中，点D、E分别、上的点，与交于点O给出下列三个条件：；利用其中两个条件可以证明是等腰三角形，这两个条件可以是_【答案】或【解析】当、时在和中 ， ， 在和中 是等腰三角形，即可以证明是等腰三角形；当、时在和中 ， ， 在和中 是等腰三角形，即可以证明是等腰三角形；故答案为：或12（2022北京顺义一模）如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，将矩形ABCD绕顶点

15、C顺时针旋转90，得到矩形EFCG，连接AE，取AE的中点H，连接DH，则_【答案】【解析】如图，延长DH交EF于点k，H是的中点又则故答案为：13（2022北京昌平模拟预测）已知三角形三边长分别为6，8，10，则此三角形的面积为_ 【答案】24【解析】62+82=102，此三角形为直角三角形，此三角形的面积为：故答案为：2414（2022北京中国人民大学附属中学分校一模）如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将矩形ABCD沿AE所在直线折叠，点D恰好落在边BC上的点F处若AB=8，DE=5，则折痕AE的长为_【答案】【解析】解：四边形ABCD是长方形，C=90，AB=CD，AD=BC，由折

16、叠的性质可得：EF=DE=5，AD=AF，CE=CD-DE=3，在RtCEF中，CF=设AD=BC=AF=x，则BF=x-4，在RtABF中， ，解得：x=10，在RtADE中，AE=故答案为515（2022北京模拟预测）勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图（单位：km）笔直铁路经过A，B两地（1）A，B间的距离为_km；（2）计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距离为_km【答案】 20 13【解析】（1）由A、B两点的纵坐标相同可知：ABx轴，AB=12（8）=20；（2）过点C作lAB于

17、点E，连接AC，作AC的垂直平分线交直线l于点D，由（1）可知：CE=1（17）=18，AE=12，设CD=x，AD=CD=x，由勾股定理可知：x2=（18x）2+122，解得：x=13，CD=13故答案为（1）20；（2）1316（2022北京二模）在平面直角坐标系xOy中，已知点Q（5，2），Z（5，3），Q的半径为1，直线l：yax，给出下列四个结论：当a1时，直线l与Q相离；若直线l是Q的一条对称轴，则；若直线l与Q只有一个公共点T，则；若直线l上存在点Y，Q上存在点C，使得ZYC90，则a的最大值为其中所有正确结论的序号是 _【答案】【解析】解：如图：当a1时，直线l为yx，如图，直

18、线l与Q相离，则正确；若直线l是Q的一条对称轴，则一定过圆心，故将Q（5，2）代入yax，可得，则正确；若直线l与Q只有一个公共点T，则直线l与Q相切，如图中 由题意得 与Q相切Q的半径为1则正确；若直线l上存在点Y，Q上存在点C，使得ZYC=90，并使y=ax中a取得最大值，则如图，则YZx轴，YCy轴，即Y（4，3），代入y=ax，得a=则a的最大值为正确；故答案为：二、解答题17（2022北京平谷一模）如图，ABC中，ACB90，点D为AB边中点，过D点作AB的垂线交BC于点E，在直线DE上截取DF，使DFED，连接AE、AF、BF(1)求证：四边形AEBF是菱形；(2)若cosEBF，

19、BF5，连接CD，求CD的长【答案】(1)见解析(2)【解析】(1)解：D是AB的中点，AD=BD，DE=DF，四边形AEBF是平行四边形，EFAB，四边形AEBF是菱形；(2)解：四边形AEBF是菱形，AE=BF=BE=5，AEC=EBF，ACB=90，CE=3，BC=CE+BE=8，D是AB的中点，ACB=90，18（2022北京东城一模）如图，在中，以AB为直径作，交BC于点D，交AC于点E，过点B作的切线交OD的延长线于点F(1)求证：；(2)若，求AE的长【答案】(1)见解析(2)【解析】(1)证明： (2)解：如图：连接BE是的直径，AB=4，是的切线 又 又 ，解得19（2022

20、北京丰台一模）周髀算经中记载了一种确定东南西北方向的方法大意是：在平地上点A处立一根杆，记录日出时杆影子的长度AB，并以点A为圆心，以AB为半径画圆，记录同一天日落时杆影子的痕迹与此圆的交点C，那么直线CB表示的方向就是东西方向，BAC的角平分线所在的直线表示的方向就是南北方向(1)上述方法中，点A，B，C的位置如图所示，使用直尺和圆规，在图中作BAC的角平分线AD（保留作图痕迹）；(2)在图中，确定了直线CB表示的方向为东西方向，根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线AD表示的方向为南北方向，完成如下证明证明：点B，C在O上，AB ABC是等腰三角形AD平分BAC，ADBC （ ）（填

21、推理的依据）直线CB表示的方向为东西方向，直线AD表示的方向为南北方向【答案】(1)见解析(2)AC；等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合【解析】(1)解：如图所示，射线AD即为BAC的角平分线；(2)解：证明：点B，C在O上，ABACABC是等腰三角形AD平分BAC，ADBC （等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合）（填推理的依据）直线CB表示的方向为东西方向，直线AD表示的方向为南北方向故答案为：AC；等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合20（2022北京市燕山教研中心一模）如图，在三角形中，是边的高线，将线段绕点A逆时针旋转得到

22、线段，连接交于点F(1)依题意补全图形，写出_(2)求和的度数；(3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明【答案】(1)图见解析，(2)，(3)，证明见解析【解析】(1)解：如图分别以A，C为圆心，以AC为半径作弧，两弧交于点E，连接BE交AD于点F，则CAE=60；(2)解：，是边的高线，线段绕点A逆时针旋转得到线段，又，在中，又是边的高线，BFD=BAF+ABF，(3)解：如图，在EF上取点M，使EM=BF，连接AM，AB=AE，ABF=AEM，BF=EM，ABFAEM（SAS），AF=AM，BAF=EAM，DAC=BAF，DAC=EAM，CAE=60，FAM=60，AFM是等边三角形，F

23、M=AF，AF+BF=EF；21（2022北京门头沟一模）如图，在等边中，将线段绕点顺时针旋转，得到线段连接，作的平分线，交于(1)根据题意，补全图形；请用等式写出与的数量关系，并证明(2)分别延长和交于点，用等式表示线段，的数量关系，并证明【答案】(1)见解析，BAD2BCD，证明见解析；(2)，证明见解析【解析】(1)解：补全图形如图1， BAD2BCD证明：由旋转的性质可知ADAC，CAD， ADC是等腰三角形ADCACD（180CAD）（180）90ABC是等边三角形BACACB60，ABBCACADBCDADCACB（90）6030BADBACCAD602（30）BAD2BCD(2)

24、解：，理由如下：如图2，连接GF，在AF上截取FGDF，AE平分BADBAFDAFBADABAC，ACADABAD又AFAFABFADF（SAS）BFDFBAD2BCDBCDBADBCDBAFDAFBAFABCAEB180，BCDCFECEF180，AEBCEFCFGABC60AFBAFD60BFCAFBAFD120FGDFDFG是等边三角形DGDFBF，DGF60，AGD180DGF120AGDCFB在BCF和DAG中， BCFDAG（AAS）CFAGAFAGFGCFDF即AFCFDF22（2022北京朝阳一模）在中，D是的中点，且，将线段沿所在直线翻折，得到线段，作交直线于点E(1)如图，

25、若，依题意补全图形；用等式表示线段之间的数量关系，并证明；(2)若，上述结论是否仍然成立？若成立，简述理由：若不成立，直接用等式表示线段之间新的数量关系（不需证明）【答案】(1)见解析； ，理由见解析(2)不成立，【解析】(1)补全图形如图所示： ，理由如下：如图，连接 ，将线段沿所在直线翻折，得到线段， ，又 ， ， ， D是的中点， ，即， ， ，；(2)不成立，理由如下：如图，连接，将线段沿所在直线翻折，得到线段， ，又 ， ， D是的中点， ， ，即， ， ，23（2022北京市广渠门中学模拟预测）如图，AB是的直径，弦，垂足为H，E为上一点，过点E作的切线，分别交的延长线于点F，G连

26、接AE，交CD于点P(1)求证：；(2)连接AD，若，求半径【答案】(1)见解析(2)【解析】(1)证明：连接OE，EF是圆的切线，OEEFOEF=90OEA+AEF=90CDAB，AHC=90OAE+APH=90OA=OE，OAE=OEAAEF=APHAPH=EPF，EPF=AEFEF=PF(2)连接OD，设圆的半径为r，直径ABCD于H，CD=8，CH=DH=4ADFG，ADH=FcosADH=cosF=OH=OA-AH=r-3在RtODH中，（r-3）2+42=r224（2022北京东城一模）对于平面直角坐标系中的点C及图形G，有如下定义：若图形G上存在A，B两点，使得为等腰直角三角形，

27、且，则称点C为图形G的“友好点”(1)已知点，在点，中，线段OM的“友好点”是_；(2)直线分别交x轴、y轴于P，Q两点，若点为线段PQ的“友好点”，求b的取值范围；(3)已知直线分别交x轴、y轴于E，F两点，若线段EF上的所有点都是半径为2的的“友好点”，直接写出d的取值范围【答案】(1)C1、C3(2)1b3(3)d【解析】(1)解：如图所示，由题意知三角形OC1M为等腰直角三角形，C1符合题意；过C2作C2AOM于A，则AM=3，C2A=4，三角形AMC2不是等腰三角形，C2不符合题意；过C3作C3BOM于B，则C3B=AB=1，三角形ABC3是等腰直角三角形，符合题意；故答案为：C1、

28、C3(2)解：分两种情况讨论，当直线PQ在C点上方时，过C作CBPQ于B，延长BC交x轴于H，如图所示，则BPH为等腰直角三角形，BP=BHBC，故在线段PQ上必存在A点，使得ABC=90，AB=BC，将x=2，y=1代入y=x+b得：b=3，即b3；当直线PQ在C点下方时，过C作CBPQ于B，CB延长线交x轴于H，则当BQBC时，符合题意，当直线PQ过H点时，BQ=BC，如图所示，此时，1+b=0，即b=1，即1b3，综上所述，b的取值范围为：1b3(3)解：根据题意，为的弦，根据定义可知，当取得最小，点在上，此时则则当取得最大值时，为的直径，当的长度变化时，总能在上找到点使得，则符合题意的点在如图中阴影部分中运动，通过分析可知，当直线EF在下图中的位置时，d取得最大值，此时，HEO=22.5，即EH为EHF的平分线，过H作HMEF于M，则HM=OH=2，FM=2，由勾股定理得：FH=，即OE=OF=，即d=d