专题11 二次函数与矩形、菱形的存在性问题（知识解读）（原卷版）.docx

1、专题11 二次函数与矩形、菱形的存在性问题（知识解读）【专题说明】二次函数为载体的矩形存在性问题是近年来中考的热点，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高【解题思路】 考点1 矩形存在性问题1.矩形的判定:（1）有一个角是直角的平行四边形；（2）对角线相等的平行四边形；（3）有三个角为直角的四边形2.题型分析矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“内角为直角”，因此相比起平行四边形，坐标系中的矩形满足以下3个等式：（AC为对角线时）因此在矩形存在性问题最多可以有3个未知量，代入可以得到三元一次方程组，可解确定了有3个未知量，则可判断常见矩形存

2、在性问题至少有2个动点，多则可以有3个下：（1）2个定点+1个半动点+1个全动点；（2）1个定点+3个半动点思路1：先直角，再矩形在构成矩形的4个点中任取3个点，必构成直角三角形，以此为出发点，可先确定其中3个点构造直角三角形，再确定第4个点对“2定+1半动+1全动”尤其适用【例题】已知A（1，1）、B（4，2），点C在x轴上，点D在平面中，且以A、B、C、D为顶点的四边形是矩形，求D点坐标解：点 C 满足以 A、B、C 为顶点的三角形是直角三角形，构造“两线一圆”可得满足条件的 点 C 有在点 C 的基础上，借助点的平移思路，可迅速得到点 D 的坐标 思路2：先平行，再矩形当AC为对角线时，

3、A、B、C、D满足以下3个等式，则为矩形：其中第1、2个式子是平行四边形的要求，再加上式3可为矩形表示出点坐标后，代入点坐标解方程即可无论是“2定1半1全”还是“1定3半”，对于我们列方程来解都没什么区别，能得到的都是三元一次方程组考点2 菱形存在性问题1 菱形的判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形 2坐标系中的菱形： 有 3 个等式，故菱形存在性问题点坐标最多可以有 3 个未知量，与矩形相同 3解题思路： （1）思路 1：先等腰，再菱形 在构成菱形的 4 个点中任取 3 个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法可先确 定第 3 个点，再确定第 4 个点 （2）思路 2：先平行，再菱形 设

4、点坐标，根据平行四边形的存在性要求列出“”（AC、BD 为对角线），再结合一组邻 边相等，得到方程组方法总结： 菱形有一个非常明显的特点：任意三个顶点所构成的三角形必然是等腰三角形。【典例分析】【考点1 矩形的存在性问题】【典例1】（2022鱼峰区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c与坐标轴交于A（0，2），B（4，0）两点，直线BC：y2x+8交y轴于点C（1）求该抛物线的解析式；（2）在第二象限内是否存在一点M，使得四边形ABCM为矩形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由【变式1-1】（2022随州）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2+bx+c（

5、a0）与x轴分别交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C，对称轴为直线x1，且OAOC，P为抛物线上一动点（1）直接写出抛物线的解析式；（2）如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形PABC面积的最大值，并求出此时P点的坐标；（3）设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由【变式1-2】（辽阳）如图，直线yx3与坐标轴交于A、B两点，抛物线yx2+bx+c经过点B，与直线yx3交于点E（8，5），且与x轴交于C，D两点（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，在坐标平面内

6、是否存在点Q，使得以点P，Q，B，C为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【考点2 菱形的存在性问题】【典例2】如图，抛物线yax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（1，0）两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上（1）求抛物线的解析式；（2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及PBC的周长；（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由【变式2-1】如图，在直角坐标系中，二次函数yx2+bx+c的图象与x轴相交于点A（1

7、，0）和点B（3，0），与y轴交于点C（1）求b、c的值；（2）点P（m，n）为抛物线上的动点，过P作x轴的垂线交直线l：yx于点Q当0m3时，求当P点到直线l：yx的距离最大时m的值；是否存在m，使得以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出m的值【变式2-2】综合与探究如图，抛物线yx2+2x6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC（1）求A、B，C三点的坐标并直接写出直线AC，BC的函数表达式（2）点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由；设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线AC交于点N当SDMNSAOC时，请直接写出DM的长【变式2-3】如图，二次函数yx2+bx+c的图象交x轴于点A（3，0），B（1，0），交y轴于点 C点P（m，0）是x轴上的一动点，PMx轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N（1）求这个二次函数的表达式；（2）若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值；若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由