专题12 勾股定理（题型归纳）（原卷版）.docx

1、专题12 勾股定理 题型分析题型演练题型一 用勾股定理解直角三角形1如图，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，点 的对应点恰好落在边上若 ，则的长为（）A1B2CD2如图，中，分别以点B、C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线，在射线上任取一点D，连接若，则的长为（）A10B11C12D63小明钉了一个长与宽分别为30厘米和20厘米的长方形木框，为了增加其稳定性，他准备沿长方形的对角线钉上一根木条，这根木条的长应为（）厘米（结果用最简二次根式表示）ABCD4如图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形若，则的值为（

2、）ABCD15如图，在中，点D是边上一点（点D不与点B，C重合），将沿翻折，点C的对应点为点E，交于点F，若，则点B到线段的距离为（）ABCD6在中，是边上一点，过点作射线，过点作于点，过点作于点(1)证明：；(2)取中点，连接、，猜想线段、的数量关系，并证明7如图：已知在中，(1)尺规作图：作的高；作的平分线，交于点E（保留作图痕迹，不写作法）(2)若，求的长8在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动(1)是边长为3的等边三角形，E是边上的一点，且，小亮以为边作等边三角形，如图，求的长；(2)是边长为3的等边三角形，E是边上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，如图，在点E从点C到点A的运动

3、过程中，求点F所经过的路径长；(3)是边长为3的等边三角形，M是高上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，如图，在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长 9如图，和都是等腰直角三角形，连接并延长与交与点，连接.(1)如图1，求证：(2)如图2，绕着顶点旋转，当、三点共线时，取的中点，连接，求证：；(3)如图3，若，连接，当运动到使得时，求的面积.10（1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，当旋转至点在同一直线上时，连接求的大小；求证：（2）拓展研究：如图2，和均为等腰直角三角形，点在同一直线上若，求的长度题型二 勾股定理与网格问题11如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，

4、都在格点上，于点，则的长为（）ABCD12如图，矩形ABCD由6个边长为1的小正方形组成，连接小正方形的顶点E、C及D、F交于点O，则的值为()AB2CD13如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则AOB的正弦值是（）AB3CD14如图，在的正方形网格中，若小正方形的边长是1，则任意两个格点间的距离不可能是（）ABCD15如图所示的24的正方形网格中，ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则点A到BC的距离等于（）AB2CD16图、图分别是的网格，网格中每个小正方形的边长均为1， 两点在小正方形的格点上，请在图、图中各取一点（点必须在小正方形

5、的格点上），使以为顶点的三角形分别满足下列要求(1)在图中画一个，使，面积为5；(2)在图中画一个，使，为钝角，并求的周长17如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，并保留必要的作图痕迹(1)在图1中，在直线的下方作格点D使，连接，垂足为H(2)在图2中找出所有可能的格点F，使是以为直角边的等腰直角三角形，并画出(3)在图3中的线段上画出点G，使18如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，图中已给出了两个格点A，B，(1)在格点上取一点C，画一个，使BAC45，且(2)在格点上取一点D，画一个，且AD5，并

6、利用网格画出DAB的平分线19图、图、图均是66的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，只用无刻度的直尺，在图、图、图中各画一个三角形，要求同时满足以下三个条件：（1）三角形的顶点在格点上；（2）三角形是腰长为无理数的等腰三角形；（3）三角形的面积为6题型三 勾股定理与折叠问题20如图，在矩形中，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（）ABCD21如图，长方形ABCD中，AB3cm，AD9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合折痕为EF，则ABE的面积为（）A3cmB4cmC6cmD12cm22如图，有一张直角三角形的纸片，两直角边AC6cm，BC8cm，现

7、将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，则BD的长为（）A5cmB4cmC3cmD2cm23如图，三角形纸片ABC中，BAC90，AB2，AC3沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（）ABCD24如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把ABD沿着AD翻折，得到AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F.若DGGE，AF6，BF4，ADG的面积为8，则点F到BC的距离为（）ABCD题型四 勾股定理的证明方法25根据图形（图1，图2）的面积关系，下列说法正确的是（）A图1能

8、说明勾股定理，图2能说明完全平方公式B图1能说明平方差公式，图2能说明勾股定理C图1能说明完全平方公式，图2能说明平方差公式D图1能说明完全平方公式，图2能说明勾股定理26如图，将正方形 ABCD 剪去 4个全等的直角三角形（图中阴影部分），得到边长为 c的四边形 EFGH下列等式成立的是（）Aa + b = cBc2= (a + b )2 - 4abCc2= (a + b )(a - b )Da2+ b2= c227勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端下面四幅图中不能证明勾股定理的是（）ABCD28在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的

9、勾股定理：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（）A统计思想B分类思想C数形结合思想D函数思想29观察“赵爽弦图”（如图），若图中四个全等的直角三角形的两直角边分别为a，b，根据图中图形面积之间的关系及勾股定理，可直接得到等式（）ABCD题型五 勾股定理的实际应用30一架长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为6米，如果梯子的顶端沿墙壁下滑1米，那么梯子的底端向后滑动的距离（ ）A等于1米B大于1米C小于1米D不能确定31我国古代数学著作九章算术中记载这样一个问

10、题，原文是：“今有立木，系索其末，委地三尺引索却行，去本八尺而索尽问索长几何?”译文为；“现在有一根直立的木柱，用一根绳索绑住木柱的顶端，另一端自由下垂，则绳索比木柱多三尺；将绳索的另一端靠地拉直，此时距离木柱的底端八尺，问这条绳索的长度是多少?”根据题意，求得绳索的长度是（）A9尺B9尺C12尺D12尺32如图，九章算术中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈十尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（）Ax262102B（10x）262x2C

11、x2（10x）262Dx262（10x）233小颖的妈妈用如图的口杯喝花茶，由于吸管有点短，不小心斜滑到杯里，已知口杯的内径6cm，口杯内部高度9cm，要使吸管不斜滑到杯里，吸管最短需要（）cmA9B10C11D1234如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为（）A40海里B40海里C80海里D40海里35如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中有线段AB和CD，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上(1)画出一个以AB为底的等腰，点E在小正方形的顶点上，且的面积为

12、；(2)画出以CD为一腰的等腰，点F在小正方形的顶点上，且的面积为10；(3)在（1）、（2）的条件下，连接EF，请直接写出线段EF的长36如图，将一架梯子斜靠在墙上（墙与地面垂直），梯子的顶端距地面的垂直距离，梯子的底端距墙的距离(1)求梯子的长度；(2)如果将梯子向下滑动，使得梯子的底端向右滑动1m，那么此时梯子顶端下滑了多少米37学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度爱动脑筋的小明这样设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米请你设法帮小明算出旗杆的高度38如图，一棵被大风

13、吹折的大树在B处断裂，树梢着地经测量，折断部分AB与地面的夹角BAC30，树干BC在某一时刻阳光下的影长CD6米，而在同时刻身高1.5米的人的影子长为2米求大树未折断前的高度39如图，某海岸线的方向为北偏东，从港口A处测得海岛C在北偏东方向，从港口B处测得海岛C在北偏东方向，已知港口A与海岛C的距离为36海里，求港口B与海岛C的距离40如图，台风中心位于点处，并沿东北方向（北偏东），以千米/小时的速度匀速移动，在距离台风中心千米的区域内会受到台风的影响，在点的北偏东方向，距离千米的地方有一城市，问：市是否会受到此台风的影响？若受到影响，请求出受到影响的时间；若不受到影响，请说明理由题型六 判断

14、直角三角形41下列各线段中， 能构成直角三角形的是（）A1、 B1、1、1CD6、42三角形的三边，满足，则此三角形是（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等边三角形43下列各组数中，能构成直角三角形的是（）A4，5，6B1，1，C6，8，11D5，12，2344下列各组数中，能构成直角三角形的是（）A6，7，8B5，6，7C4，5，6D6，8，1045已知的三条边分别是、，则下列条件中不能判断是直角三角形的是（）ABCD题型七 利用勾股定理逆定理求解46如图，四边形ABCD中，AB3cm，AD4cm，BC13cm，CD12cm，且A90，则四边形ABCD的面积为（）A12cm2B18cm2C22cm2D36cm247如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（）A9，40，41B5，12，13C0.3，0.4，0.5D8，24，2548如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第三边分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是（）ABCD49如图，P是等边三角形内的一点，且，以为边在外作，连接，则以下结论中不正确的是（）ABCD50如图，在ABC中，AC3 cm，BC4 cm，AB5 cm，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则DEF的面积等于（）A1B1.5C2D3