专题12 最值模型-费马点问题（原卷版）.docx

1、专题12 最值模型-费马点问题最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，费马点问题是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。【模型背景】皮耶德费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点。【模型解读】结论1：如图，点M为ABC

2、内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120时，MA+MB+MC的值最小。注意：上述结论成立的条件是ABC的最大的角要小于120，若最大的角大于或等于120，此时费马点就是最大角的顶点A。（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120）【模型证明】以AB为一边向外作等边三角形ABE，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接ENABE为等边三角形，ABBE，ABE60而MBN60，ABMEBN在AMB与ENB中，AMBENB（SAS）连接MN由AMBENB知，AMENMBN60，BMBN，BMN为等边三角形BMMNAM+BM+CMEN+MN+CM当E、N、M、C四点共

3、线时，AM+BM+CM的值最小此时，BMC180NMB120；AMBENB180BNM120；AMC360BMCAMB120费马点的作法：如图3，分别以ABC的AB、AC为一边向外作等边ABE和等边ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为ABC的费马点。结论2：点P为锐角ABC内任意一点，连接AP、BP、CP，求xAP+yBP+zCP最小值。（加权费马点）【模型证明】第一步，选定固定不变线段；第二步，对剩余线段进行缩小或者放大。如：保持BP不变，xAP+yBP+zCP=，如图，B、P、P2、A2四点共线时，取得最小值。模型特征：PA+PB+PC（P为动点）一动点，三定点；以三角形的三边向

4、外作等边三角形的，再分别将所作等边三角形最外的顶点与已知三角形且与所作等边三角形相对的顶点相连，连线的交点即为费马点；同时线段前可以有不为1的系数出现，即：加权费马点。【最值原理】两点之间，线段最短。例1（2021山东滨州中考真题）如图，在中，若点P是内一点，则的最小值为_例2（2021辽宁丹东中考真题）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点如果是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）若，P为的费马点，则_；若，P为的费马点，则_例3.（2022宜宾中考真题）如图，和都是等腰直角三角形，点D是BC边上的动点（不与

5、点B、C重合），DE与AC交于点F，连结CE下列结论：；若，则；在内存在唯一一点P，使得的值最小，若点D在AP的延长线上，且AP的长为2，则其中含所有正确结论的选项是（）ABCD例4（2022江苏九年级阶段练习）探究题(1)知识储备：如图1，已知点P为等边ABC外接圆的弧BC上任意一点求证：PB+PC=PA定义：在ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为ABC的费马距离(2)知识迁移：我们有如下探寻ABC(其中A，B，C均小于120)的费马点和费马距离的方法：如图2，在ABC的外部以BC为边长作等边BCD及其外接圆，根据

6、(1)的结论，易知线段_的长度即为ABC的费马距离(3)知识应用：如图3所示的ABC（其中均小于），现取一点P，使点P到三点的距离之和最小，求最小值；如图4，若三个村庄构成RtABC，其中现选取一点P打水井，使P点到三个村庄铺设的输水管总长度最小，画出点P所对应的位置，输水管总长度的最小值为_（直接写结果）例5（2020重庆中考真题）如图，在中，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90，得到AE，连接CE，DE点F是DE的中点，连接CF（1）求证：；（2）如图2所示，在点D运动的过程中，当时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论；（

7、3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使的值最小当的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长例6（2022河北九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系xoy中，点B的坐标为(0，2)，点在轴的正半轴上，OE为BOD的中线，过B、两点的抛物线与轴相交于、两点（在的左侧）.（1）求抛物线的解析式；（2）等边的顶点M、N在线段AE上，求AE及的长；（3）点为内的一个动点，设，请直接写出的最小值,以及取得最小值时，线段的长.例7（2022浙江九年级专题练习）如图，ABC中，BAC45，AB6，AC4，P为平面内一点，求最小值课后专项训练1（2021山东淄博市中考真题）两张宽

8、为的纸条交叉重叠成四边形，如图所示若，则对角线上的动点到三点距离之和的最小值是_2（2022成都实外九年级阶段练习）如图，在中，P是内一点，求的最小值为_3（2022广东广州一模）如图，在RtABC中，BAC=90，AB=AC，点P是AB边上一动点，作PDBC于点D，线段AD上存在一点Q，当QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2时，则PD=_4（2019湖北武汉中考真题）问题背景：如图，将绕点逆时针旋转60得到，与交于点，可推出结论：问题解决：如图，在中，点是内一点，则点到三个顶点的距离和的最小值是_5（2022重庆九年级专题练习）如图，ABC中，BAC30且ABAC，P是底边上的高AH上

9、一点若AP+BP+CP的最小值为2，则BC_6（2022江苏九年级专题练习）如图，四边形 是菱形，B=6，且ABC=60 ，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM 的最小值为_7（2022陕西二模）已知，如图在中，在内部有一点D，连接DA、DB、DC则的最小值是_8（2022陕西八年级期末）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E在BC边上，且BE1点P是AB边上的动点，连接PE，将线段PE绕点E顺时针旋转90得到线段EQ若在正方形内还存在一点M，则点M到点A、点D、点Q的距离之和的最小值为_9（2022广东九年级专题练习）如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，

10、M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接EN、AM、CM(1)求证：；(2)当M点在何处时，AMCM的值最小；当M点在何处时，AMBMCM的值最小，并说明理由；(3)当AMBMCM的最小值为时，求正方形的边长10（2022福建九年级开学考试）如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、.设点的坐标为.（1）若建立平面直角坐标系，满足原点在线段上，点，.且（），则点的坐标为 ，点的坐标为 ；请直接写出点纵坐标的取值范围是 ；（2）若正方形的边长为2，求的长，以及的最小值. (提示：连接:，)11（2022广东

11、九年级专题练习）阅读材料：平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔德费马提出的一个著名的几何问题1643年，在一封写给意大利数学家和物理学家托里拆利的私人信件中，费马提出了下面这个极富挑战性和趣味性的几何难题，请求托里拆利帮忙解答：给定不在一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点P的位置托里拆利成功地解决了费马的问题后来人们就把平面上到一个三角形的三个顶点A，B，C距离之和最小的点称为ABC的费马-托里拆利点，也简称为费马点或托里拆利点问题解决：（1）费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法如图1，我们可以将BPC绕点B顺时针旋

12、转60得到BDE，连接PD，可得BPD为等边三角形，故PD=PB，由旋转可得DE=PC，因PA+PB+PC=PA+PD+DE，由 可知，PA+PB+PC的最小值与线段 的长度相等；（2）如图2，在直角三角形ABC内部有一动点P，BAC=90，ACB=30，连接PA，PB，PC，若AB=2，求PA+PB+PC的最小值；（3）如图3，菱形ABCD的边长为4，ABC=60，平面内有一动点E，在点E运动过程中，始终有BEC=90，连接AE、DE，在ADE内部是否存在一点P，使得PA+PD+PE最小，若存在，请直接写出PA+PD+PE的最小值；若不存在，请说明理由12（2022山西九年级专题练习）请阅读

13、下列材料，并完成相应的任务：费马，17世纪德国的业余数学家，被誉为“业余数学家之王”，他独立于笛卡儿发现了解析几何的基本原理.费马得到过这样的结论：如图，当三角形的三个角均小于时，在三角形内有一点，使得，且该点到三角形三个顶点的距离之和最小，这个点被称为费马点.证明：如图，把绕点逆时针旋转得到，连接，则，_，为等边三角形.，点可看成是线段绕点逆时针旋转而得的定点，为定长，当四点在同一直线上时，最小，这时，.任务：（1）横线处填写的条件是_；（2）已知正方形内一动点到三点的距离之和的最小值为，求此正方形的边长.13（2022山西八年级阶段练习）综合与实践材料一：“转化思想”是几何变换中常用的思想

14、，例如将图形进行旋转变换，实现图形位置的“转化”，把一般情形转化为特殊情形，使问题化难为易它是一种以变化的、运动的观点来处理孤立的、离散问题的思想材料二：皮埃尔德费马（如图），世纪法国律师和业余数学家，被誉为“业余数学家之王”年勒笛卡儿邀请费马思考关于三个顶点距离为定值的问题，费马经过思考并由此推出费马点的相关结论定义：若一个三角形的最大内角小于则在其内部有一点所对三角形三边的张角均为此时该点叫做这个三角形的费马点.如图1，当三个内角均小于时，费马点在内部，此时的值最小（1）如图2，等边三角形内有一点若点到顶点的距离分别为，求的度数.为了解决本题，小林利用“转化”思想，将绕顶点旋转到处，连接此

15、时这样就可以通过旋转变换，将三条线段，转化到一个三角形中，从而求出 ；（2）如图3，在图1的基础上延长，在射线上取点，连接使求证：；（3）如图4，在中，点为的费马点，连接，请直接写出的值14（2022重庆綦江九年级期末）如图，在菱形ABCD中，ABC60，点E、F分别是AB、BC上的动点，连接DE、DF、EF(1)如图1，连接AF，若AFBC，E为AB的中点，且EF5，求DF的长；(2)如图2，若BEBF，G为DE的中点，连接AF、AG、FG，求证：AGFG；(3)如图3，若AB7，将BEF沿EF翻折得到EFP（始终保持点P在菱形ABCD的内部），连接AP、BP及CP，请直接写出当PAPBPC值最小时PB的长15.（2022广东九年级专题练习）如图，抛物线经点，与轴相交于点1)求抛物线的解析式；(2)定义：平面上的任一点到二次函数图象上与它横坐标相同的点的距离，称为点到二次函数图象的垂直距离如：点到二次函数图象的垂直距离是线段的长已知点为抛物线对称轴上的一点，且在轴上方，点为平面内一点，当以为顶点的四边形是边长为4的菱形时，请求出点到二次函数图象的垂直距离(3)在(2)中，当点到二次函数图象的垂直距离最小时，在为顶点的菱形内部是否存在点，使得之和最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由