专题13 二次函数解答压轴题（共30道）（教师版）（02期）-2023年中考数学真题分类训练.docx

1、专题 13 二次函数解答压轴题(30 道)一、解答题1(2023辽宁盘锦统考中考真题)如图，抛物线23yaxbx 与 x 轴交于点 1 0A ，3 0B，与 y 轴交于点C(1)求抛物线的解析式(2)如图 1，点Q 是 x 轴上方抛物线上一点，射线QMx轴于点 N，若QMBM，且4tan3MBN，请直接写出点Q 的坐标(3)如图 2，点 E 是第一象限内一点，连接 AE 交 y 轴于点 D，AE 的延长线交抛物线于点 P，点 F 在线段CD上，且CFOD，连接 FAFEBEBP，若AFEABESS，求 PAB 面积【答案】(1)223yxx(2)2 3Q，(3)72【分析】(1)将点 1 0A

2、 ，3 0B，代入抛物线23yaxbx 得到309330abab，解方程组即可得到答案；(2)设4MNm，3BNm，则5BMQMm，则9QNm，3 3ONm，从而表示出点Q 的坐标为3 39m m，代入抛物线解析式，求出 m 的值即可得到答案；(3)求出直线 AP 的表达式，利用AFEABESS，得到1122AEEDFxxAB y，求出点 P 的坐标，再根据12PABPSABy进行计算即可得到答案【详解】(1)解：抛物线23yaxbx 与 x 轴交于点 1 0A ，3 0B，309330abab，解得：12ab ，抛物线的解析式为：223yxx ；(2)解：4tan3MBN，设4MNm，3BN

3、m，2222435BMMNBNmmm，5QMBMm，549QNQMMNmmm，点 3 0B，3OB，3 3ONOBBNm，点Q 的坐标为3 39m m，点Q 是 x 轴上方抛物线上一点，23 32 3 339mmm，解得：0m(舍去)或13m，2 3Q，；(3)解：设点 223mmP m，直线 AP 的解析式为 ykxb，1 0A ，2023kbkmbmm ，解得：33kmbm ，直线 AP 的解析式为33ymxm，当0 x 时，33ymm，0 3m，3ODm，3CFODm，在抛物线223yxx 中，当0 x 时，3y ，0 3C，3OC，33323DFOCODCFmmm，设点 E 的坐标为3

4、3tmtm，1 0A ，3 0B，4AB，AFEABESS，1122AEEDFxxAB y，1123143322mtmtm ，解得：52m，点 P 的坐标为 5 72 4，117742242PABPSABy【点睛】本题为二次函数综合，主要考查了求二次函数的解析式、二次函数图象和性质、一次函数的应用、锐角三角函数、三角形面积的计算，确定关键点的坐标是解本题的关键2(2023辽宁鞍山统考中考真题)如图 1，抛物线253yaxxc 经过点3,1，与 y 轴交于点 0,5B，点 E为第一象限内抛物线上一动点 (1)求抛物线的解析式(2)直线243yx与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 D，过点 E

5、 作直线 EFx轴，交 AD于点 F，连接 BE 当BEDF时，求点 E 的横坐标(3)如图 2，点 N 为 x 轴正半轴上一点，OE 与 BN 交于点 M若OEBN，3tan4BME，求点 E 的坐标【答案】(1)2553yxx(2)73(3)3 91(,)4 16E或5(,5)3E【分析】(1)利用待定系数法，把已知点坐标代入解析式即可求解函数的解析式；(2)分别过 E，F 向 y 轴作垂线，垂足为G，H，根据 HL 证得 RtRtBEGDFH，从而 BGDH，设 E 点坐标，分别表示出G，H 坐标，再列方程求解即可；(3)将OE 平移到 NP，连接 EP，则3tantan4BNPBME；

6、过 P 作 PQBN于Q，过Q 作QRy轴于 R，过 P 作 PSPQ交延长线于S，延长 PE交 y 轴于T，设3PQm，则4QNm，5BNOENPm，BQm，由 BRQBON可得 BRBQBOBN，从而1BR ，设 RQ n由BRQQSP可得3PSn，3QS ，3RSn，再求出 E 点坐标为(34,34)nn，代入抛物线解析式中即可求得916n 或13n，从而可得 E 点坐标【详解】(1)解：把(3)1，和(0 5)，代入到解析式中可得9515acc ，解得15ac ，抛物线的解析式为：2553yxx；(2)直线243yx中，令0y，则6x，所以0(6)A，直线243yx中，令0 x，则4y

7、 ，所以(04)D，分别过 E，F 向 y 轴作垂线，垂足为G，H，根据题意可得 EGFH，EGy轴，FHy轴，BEG和 DFH 为直角三角形，在 RtBEG和Rt DFH 中，BEDFEGFH，RtRtBEGDFH，BGDH，设25(,5)3E ttt，则2(,4)3F tt，25(0,5)3Gtt，2(0,4)3Ht，从而22555(5)33BGtttt，224433DHtt，则有25233ttt，解得0t(舍去)，或73t，故点 E 的横坐标为：73；(3)将OE 平移到 NP，连接 EP，则四边形ONPE 为平行四边形，3tantan4BNPBME，过 P 作 PQBN于Q，过Q 作Q

8、Ry轴于 R，过 P 作 PSRQ交延长线于S，延长 PE交 y 轴于T，3tan4PQBNPQN，可设3PQm，则4QNm，22(3)(4)5BNOENPmmm，则 BQm，设 RQn，RQx 轴，BRQBON，BRBQRQBOBNON，115BRBO，4RO，55EPNORQn，PQBM，PSRS，BRRS，90BRQQSPBQP ，90BQRPQS ，90BQRQBR，PQSQBR，BRQQSP3QSPSPQBRRQBQ，3PSn，3QS ，则3RSn，3534ExTETPEPRSEPnnn，34EyTOTRROPSROn，(34,34)En n，代入抛物线解析式中有：2534(34)(

9、34)53nnn ，解得：916n 或13n，当916n 时，3 91(,)4 16E，当13n 时，5(,5)3E【点睛】本题是二次函数与相似三角形综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正切的定义等知识，解题关键是在坐标系中利用等线段构造全等进行计算，构造相似三角形解决问题3(2023辽宁阜新统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，二次函数2yxbxc 的图象与 x 轴交于点(3,0)A 和点(1,0)B，与 y 轴交于点 C(1)求这个二次函数的表达式(2)如图 1，二次函数图象的对称轴与直线:3AC yx 交于点 D，若点 M 是直线

10、AC 上方抛物线上的一个动点，求MCD面积的最大值(3)如图 2，点 P 是直线 AC 上的一个动点，过点 P 的直线l 与 BC 平行，则在直线l 上是否存在点Q，使点 B 与点 P 关于直线CQ对称？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)223yxx ；(2)98MCDS最大；(3)355Q，或355，【分析】(1)根据抛物线的交点式直接得出结果；(2)作 MQAC于Q，作 MEAB于 F，交 AC 于 E，先求出抛物线的对称轴，进而求得C，D 坐标及CD的长，从而得出过 M 的直线 yxm与抛物线相切时，MCD的面积最大，根据223xmxx 的0求得 m 的值

11、，进而求得 M 的坐标，进一步求得CD上的高 MQ 的值，进一步得出结果；(3)分两种情形：当点 P 在线段 AC 上时，连接 BP，交CQ 于 R，设(3)P tt，根据CPCB求得t 的值，可推出四边形 BCPQ 是平行四边形，进而求得Q 点坐标；当点 P 在 AC 的延长线上时，同样方法得出结果【详解】(1)解：由题意得，2(3)(1)23yxxxx ；(2)解：如图 1，作 MQAC于Q，作 MEAB于 F，交 AC 于 E，3OAOC，=90AOC，45CAOACO，9045MEQAEFCAO ，抛物线的对称轴是直线：3 112x ，31 32yx ，(1,2)D，(0,3)C，2C

12、D，故只需MCD的边CD上的高最大时，MCD的面积最大，设过点 M 与 AC 平行的直线的解析式为：yxm，当直线 yxm与抛物线相切时，MCD的面积最大，由223xmxx 得，23(3)0 xxm，由0得，234(3)0m得，934m，29304xx，1232xx，2331523224y ，333322yx，1539424ME，929 2sinsin 45428MQMEMEQME，19 292288MCDS最大；(3)解：如图 2，当点 P 在线段 AC 上时，连接 BP，交CQ于 R，点 B 和点Q 关于CQ对称，CPCB，设(3)P tt，由22CPCB得，2210t，15t，25t(舍

13、去)，5 35P，PQBC，1CRBRQRPR，CRQR，四边形 BCPQ 是平行四边形，3(5)035，0(35)35 ，355Q，；如图 3，当点 P 在 AC 的延长线上时，由上可知：5 35P，同理可得：355Q，综上所述：355Q，或355，【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，一元二次方程的解法，平行四边形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论4(2023黑龙江哈尔滨统考中考真题)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线26 3yaxbx与 x 轴交于点6,0A，8,0B，与 y 轴交于点C(1)求 a，b 的值；(2)如图，E 是第二象限抛物线上的一个动

14、点，连接OE，CE，设点 E 的横坐标为t，OCE的面积为S，求S 关于t 的函数解析式(不要求写出自变量t 的取值范围)；(3)如图，在(2)的条件下，当6 3S 时，连接 BE 交 y 轴于点 R，点 F 在 y 轴负半轴上，连接 BF，点 D 在BF 上，连接 ED，点 L 在线段 RB 上(点 L 不与点 B 重合)，过点 L 作 BR 的垂线与过点 B 且平行于 ED的直线交于点G，M 为 LG 的延长线上一点，连接 BM，EG，使12GBMBEG，P 是 x 轴上一点，且在点 B 的右侧，12PBMGBMFRBDEG，过点 M 作 MNBG，交 BG 的延长线于点 N，点V 在 B

15、G 上，连接 MV，使12BLNVBV，若EBFVMN，求直线 BF 的解析式【答案】(1)38a ，34b(2)3 3St(3)38 355yx【分析】(1)把点6,0A，8,0B代入抛物线解析式26 3yaxbx，得方程组3666 306486 30abab，求出 a，b 的值即可；(2)过点 E 作 EWy轴，垂足为W，由(1)知，抛物线的解析式是2336 384yxx，得6 3OC，根据“E 是第二象限抛物线上的一个动点，点 E 的横坐标为t”，得 EWt ，根据12SOC EW，代入整理即可得到S 关于t 的函数解析式；(3)以 BM 为一边作MBTMBN，MBT的另一边 BT 交

16、LM 的延长线于点T；作MKBT，垂足为 K；作 FSBE，垂足为S；作EQ x轴，垂足为Q；根据6 3S 和3 3St，求出 2,5 3E，根据“EDBG，12GBMBEG，12PBMGBMFRBDEG，180RBOEBTTBP”推理出60EBT，30T，得到12BLBT，结合12BLNVBV，推理出 NVKT，用 AAS证 MNBMKB，用HL证RtRtNMVKMT，推理出60EBF，根据“8,0B，2,5 3E”，得出8OB，5 3EQ，10QB，代入 tanEQOREBQBQOB，求出OR，勾股定理算出 BR，根据“82 3tan34 3FSOBFRBRSOR，tantan603FSF

17、BSBS”，设2 3FSm，则3RSm，2BSm，代入 RSBSBR，算出m，运用勾股定理计算22RFFSS R，计算OFRFOR，结合点 F 在 y 轴负半轴上，得8 30,5F，设直线BF 的解析式为 ykxc，把 8,0B，8 30,5F 代入求出完整解析式即可【详解】(1)点6,0A，8,0B在抛物线26 3yaxbx上，3666 306486 30abab，解得：3834ab ，38a，34b(2)由(1)知，抛物线的解析式是2336 384yxx，C 是抛物线与 y 轴的交点，0 x 时，6 3y，0,6 3C，6 3OC，如下图，过点 E 作 EWy轴，垂足为W，E 是第二象限抛

18、物线上一点，点 E 的横坐标为t，EWt ，116 33 322SOC EWtt (3)如下图，以 BM 为一边作MBTMBN，MBT的另一边 BT 交 LM 的延长线于点T；作MKBT，垂足为 K；作 FSBE，垂足为S；作EQx 轴，垂足为Q，6 3S，由(2)知3 3St，3 36 3t，2t ，233226 35 384y ，2,5 3E，EDBG，DEBEBG，12GBMBEG，即2GEBGBM，GEBGBT，DEBGEBEBGGBT，DEGEBT，12PBMGBMFRBDEG，PBMGBMPBMMBTTBP ，90ROB，90FRBRBO，1902TBPRBOEBT，又180RBO

19、EBTTBP，60EBT，LGEB，90GLB，30T，12BLBT，MKBT，MNBG，90MKTMNBMKB ，在 MNB和 MKB中，MNBMKBMBNMBKMBMB ，AASMNBMKB，NBBK，MNMK，12BLNVBV，22BLNVBV，BTNVBVNVBNBK，BTBKNVKT，RtRtHLNMVKMT，30TNVM，60NMV，EBFVMN，60EBF，FSBE，EQx 轴，90EQBRSFBSF ，8,0B，8OB，2,5 3E，5 3EQ，10QB，tanEQOREBQBQOB，5 3108OR，4 3OR，224 7BROROB，82 3tan34 3FSOBFRBRS

20、OR，tantan603FSFBSBS，设2 3FSm，则3RSm，2BSm，RSBSBR，324 7mm，4 75m，2228 3215RFFSS Rm，8 35OFRFOR，又点 F 在 y 轴负半轴上，8 30,5F，设直线 BF 的解析式为 ykxc，把 8,0B，8 30,5F 代入，得：8 3580ckc ，解得：358 35kc ，直线 BF 的解析式为38 355yx【点睛】本题是二次函数综合题，难度大，结合全等三角形、勾股定理、三角函数解直角三角形知识点，综合运用知识、画出辅助线、数形结合、分析与计算是解题的关键5(2023湖南益阳统考中考真题)在平面直角坐标系 xOy 中，

21、直线:(2)(0)l ya xa与 x 轴交于点 A，与抛物线2:E yax交于 B，C 两点(B 在 C 的左边)(1)求 A 点的坐标；(2)如图 1，若 B 点关于 x 轴的对称点为 B点，当以点 A，B，C 为顶点的三角形是直角三角形时，求实数 a的值；(3)定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点，如2,1，2,0 等均为格点如图2，直线 l 与抛物线 E 所围成的封闭图形即阴影部分(不包含边界)中的格点数恰好是 26 个，求 a 的取值范围【答案】(1)2 0，(2)1a 或155a(3)132023a或7a【分析】(1)对于直线:2l ya x，令0y，求出 x

22、，即可求解；(2)表示出点 A，B，C 的坐标，利用勾股定理解方程求解，注意直角顶点不确定，需分类讨论；(3)直线l 与抛物线 E 所围成的封闭图形(不包含边界)中的格点只能落在 y 轴和直线1x 上，各为 13 个，分别求出 a 的范围【详解】(1)解：对于直线:2l ya x，当0y 时，2x ，A 点的坐标为2,0；(2)解：联立直线:(2)l ya x与抛物线2:E yax得：2(2)ya xyax，220 xx，1x 或2x ，(1)Ba，(2 4)Ca，B 点关于 x 轴的对称点为 B点，(1)Ba，2222(2 1)(0)1ABaa ，2222(22)(40)1616ACaa，2

23、222(2 1)(4)259B Caaa，若90CAB，则222ABACB C，即2221 1616259aaa ，所以1a ，若90AB C，则222ABB CAC，即2221 2591616aaa，所以155a，若90ACB，则222ACB CAB，即22216162591aaa，此方程无解1a 或155a；(3)解：如图，直线l 与抛物线 E 所围成的封闭图形(不包含边界)中的格点只能落在 y 轴和直线1x 上，(0 2)Da，(1)Ea，(13)Fa，2ODEFa，格点数恰好是 26 个，落在 y 轴和直线1x 上的格点数应各为 13 个，落在 y 轴的格点应满足13214a，即137

24、2a，若1372a，即1372Ey，所以线段 EF 上的格点应该为(1,7)，(1，8)(1，19)，19320a 192033a 132023a若7a，7Ey，21Fy，所以线段 EF 上的格点正好 13 个，综上，132023a或7a【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，勾股定理，关键是弄清格点只能落在 y 轴和直线1x 上，各为 13 个，并对点 D、F 进行定位6(2023四川绵阳统考中考真题)如图，抛物线2(0)yaxbxc a的图象的顶点坐标是(2,1)，并且经过点(4,2)，直线112yx 与抛物线交于 B，D 两点，以 BD为

25、直径作圆，圆心为点 C，圆 C 与直线 m 交于对称轴右侧的点(,1)M t，直线 m 上每一点的纵坐标都等于 1(1)求抛物线的解析式；(2)证明：圆 C 与 x 轴相切；(3)过点 B 作 BEm，垂足为 E，再过点 D 作 DFm，垂足为 F，求:BE MF 的值【答案】(1)2124yxx(2)见解析(3)512【分析】1可设抛物线的顶点式，再结合抛物线过点(4,2)，可求得抛物线的解析式；2联立直线和抛物线解析式可求得 B、D 两点的坐标，那么可求得 C 点坐标和线段 BD的长，可求得圆的半径，可证得结论；3过点 C 作CHm于点 H，连接CM，可求得MH，利用2中所求 B、D 的坐

26、标可求得 FH，那么可求得 MF 和 BE 的长，可求得其比值【详解】(1)解：抛物线2(0)yaxbxc a的图象的顶点坐标是(2,1)，可设抛物线解析式为2(2)1ya x，抛物线经过点(4,2)，22(42)1a，解得14a，抛物线解析式为2211(2)1244yxxx ；(2)解：联立直线和抛物线解析式可得2124112yxxyx，解得355522xy 或355522xy，55(35,)22B，55(35,)22D，C 为 BD的中点，点C 的纵坐标为55555222222，225555(35)(35)()()52222BD，圆的半径为 52，点C 到 x 轴的距离等于圆的半径，圆C

27、与 x 轴相切；(3)解：如图，过点C 作CHm，垂足为 H，连接CM，由2可知52CM，53122CH ，在 Rt CMH 中，由勾股定理可求得2MH，35(35)52HF，52MFHFMH，553512222BE ，355122252BEMF【点睛】此题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、切线的判定和性质、勾股定理等知识在1中注意利用抛物线的顶点式，在2中求得 B、D 的坐标是解题的关键，在3中求得 BE、MF 的长是解题的关键此题考查知识点较多，综合性较强，计算量较大，难度较大7(2023陕西统考中考真题)某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门

28、的跨度与拱高之积为248m，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：方案一，抛物线型拱门的跨度12mON，拱高4mPE 其中，点 N 在 x 轴上，PEON，OEEN方案二，抛物线型拱门的跨度8mON，拱高6mP E 其中，点 N在 x 轴上，P EO N ，O EE N 要在拱门中设置高为3m 的矩形框架，其面积越大越好(框架的粗细忽略不计)方案一中，矩形框架 ABCD的面积记为1S，点 A、D 在抛物线上，边 BC 在ON 上；方案二中，矩形框架 A B C D 的面积记为2S，点 A，D在抛物线上，边

29、 B C 在ON上现知，小华已正确求出方案二中，当3mA B 时，2212 2mS，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：(1)求方案一中抛物线的函数表达式；(2)在方案一中，当3mAB 时，求矩形框架 ABCD的面积1S 并比较1S，2S 的大小【答案】(1)21493yxx(2)218m，12SS【分析】(1)利用待定系数法则，求出抛物线的解析式即可；(2)在21493yxx 中，令3y 得：214393xx，求出3x 或9x，得出936 mBC，求出213 618 mSAB BC，然后比较大小即可【详解】(1)解：由题意知，方案一中抛物线的顶点6 4P，设抛物线的函数表达式为264y

30、a x，把0 0O，代入得：20064a，解得：19a ，2211464993yxxx ；方案一中抛物线的函数表达式为21493yxx；(2)解：在21493yxx 中，令3y 得：214393xx，解得3x 或9x，936 mBC，213 618 mSAB BC；1812 2，12SS【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法则，求出函数解析式8(2023湖南湘西统考中考真题)如图(1)，二次函数25yaxxc的图像与 x 轴交于 4,0A，,0B b两点，与 y 轴交于点0,4C(1)求二次函数的解析式和b 的值(2)在二次函数位于 x 轴上方的

31、图像上是否存在点 M，使13BOMABCSS？若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由(3)如图(2)，作点 A 关于原点O 的对称点 E，连接CE，作以CE 为直径的圆点 E是圆在 x 轴上方圆弧上的动点(点 E不与圆弧的端点 E 重合，但与圆弧的另一个端点可以重合)，平移线段 AE，使点 E 移动到点 E，线段 AE 的对应线段为 A E，连接 E C，A A，A A的延长线交直线 E C于点 N，求 AACN 的值【答案】(1)254yxx，1b=-(2)不存在，理由见解析(3)1【分析】(1)将点 A，C 的坐标代入25yaxxc得到二元一次方程组求解可得a，c 的值，可确定

32、二次函数的解析式，再令0y，解关于 x 的一元二次方程可得点 B 的坐标，从而确定b 的值；(2)不存在设2,54M mmm，根据13BOMABCSS，可得2058mm，根据27054 8，可确定方程无实数根，即可作出判断；(3)根据对称的性质和点的坐标可得4OEOAOC，根据等腰三角形的性质及判定可得45OACOCAOCEOEC ，ACEC，再根据CE 为圆的直径，可得90CE E，然后分两种情况：当点 E与点O 不重合时，由平移的性质可得四边形 AEE A 是平行四边形，从而得到 AAEE，AAEE，再证明AASANCCE E，可得CNEE，可得 AACN 的值；当点 E与点O 重合时，此

33、时点 N 与点O 重合，可得4AAEEOE，4CNCO，代入 AACN 可得结论【详解】(1)解：二次函数25yaxxc的图像与 x 轴交于 4,0A，,0B b两点，与 y 轴交于点0,4C，162004acc ，解得：14ac ，二次函数的解析式为254yxx，当0y 时，得：2540 xx，解得：14x ，21x ，1,0B，二次函数的解析式为254yxx，1b=-；(2)不存在理由如下：如图，设2,54M mmm，4,0A，1,0B，0,4C，143AB ，1OB ，4OC，点 M 在二次函数位于 x 轴上方的图像上，且13BOMABCSS，211113 423524mm ，整理得：2

34、058mm，27054 8，方程无实数根，不存在符合条件的点 M；(3)如图，设CE交 x 轴于点 M，4,0A，0,4C，4OAOC，点 E 与点 A 关于原点O 对称，4OEOAOC，90AOCEOC ，45OACOCAOCEOEC ，ACEC，CE 为圆的直径，90CE E，平移线段 AE，使点 E 移动到点 E，线段 AE 的对应线段为 A E，当点 E与点O 不重合时，A EAE=，A EAE，四边形 AEE A 是平行四边形，AAEE，AAEE，90ANECE E，MANMEE，90ANC，在 RtANM和RtCOM中，90MANAMN，90MCOCMO，MANMCO，45OACO

35、CE，CANECE，又90ANCCE E，在 ANC 和CE E中，ANCCE ECANECEACCE ，AASANCCE E，CNEE，AACN，1AACN ，当点 E与点O 重合时，此时点 N 与点O 重合，4AAEEOE，4CNCO，414AACN ，综上所述，AACN 的值为1【点睛】本题考查用待定系数法确定二次函数解析式，函数图像上点的坐标特征，一元二次方程的应用，直径所对的圆周角为直角，对称和平移的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积等知识点，运用了分类讨论的思想找到全等三角形是解题的关键9(2023辽宁锦州统考中考真题)如图，

36、抛物线23yxbxc 交 x 轴于点1,0A 和 B，交 y 轴于点0,3 3C，顶点为 D(1)求抛物线的表达式；(2)若点 E 在第一象限内对称右侧的抛物线上，四边形ODEB 的面积为7 3，求点 E 的坐标；(3)在(2)的条件下，若点 F 是对称轴上一点，点 H 是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点G，使以 E，F，G，H 为顶点的四边形是菱形，且60EFG，如果存在，请直接写出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由【答案】(1)232 33 3yxx(2)2,3 3E(3)存在，点 G 的坐标为 7 20,339或 5 32,339【分析】(1)根据待定系数法求解即可；(

37、2)方法一：连接 DB，过点 E 作 EPy轴交 BD于点 P 先求得直线 BD的表达式为：2 36 3yx 再设 2,32 33 3E xxx，,2 36 3P xx，则234 33 3EPxx，利用面积构造一元二次方程求解即可得解；方法二：令抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M，过点 E 作 ENx轴于点 N，设2,32 33 3E xxx，利用面积构造一元二次方程求解即可得解；(3)如下图，连接CG，DG，由菱形及等边三角形的性质证明 CEGDEF得30ECGEDF 从而求得直线CG 的表达式为：33 33yx 联立方程组求解，又连接CG，DG，CF，证 DGECFE得DG CF，又证 C

38、DGCEG得30DCGECG 进而求得直线CG 的表达式为：33 33yx联立方程组求解即可【详解】(1)解：抛物线23yxbxc 经过点 1,0A，0,3 3C，303 3bcc，解得2 33 3bc 抛物线的表达式为：232 33 3yxx(2)解：方法一：如下图，连接 DB，过点 E 作 EPy轴交 BD于点 P 232 33 3yxx 2314 3x，1,4 3D令232 33 3yxx 中0y，则2032 33 3xx，解得=1x 或3x，3,0B，设直线 BD为 ykxb，ykxb 过点 1,4 3D，3,0B，4 303kbkb，解得2 36 3kb ，直线 BD的表达式为：2

39、36 3yx 设 2,32 33 3E xxx，,2 36 3P xx，232 33 32 36 3EPxxx 234 33 3xx OBDEBDODEBSSS四边形1122DBDOB yEPxx2113 4 334 33 3222xx 234 33 3xx 7 3ODEBS四边形，234 33 37 3xx整理得2440 xx，解得122xx 2,3 3E方法二：如下图，抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M，过点 E 作 ENx轴于点 N，设 2,32 33 3E xxx，3BNx，1MNxMODEBODENBDMNESSSS梯形四边形 221111 4 34 334 33 3132 33 3

40、3222xxxxxx 234 33 3xx 7 3ODEBS四边形，234 33 37 3xx整理得2440 xx，解得122xx 2,3 3E(3)解：存在，点G 的坐标为 7 20,339或 5 32,339 如下图，连接CG，DG，四边形 EFGH 是菱形，60EFG，EFFGGHEG，60EFG，EFG 是等边三角形60FEGEFFG，2,3 3E，0,3 3C，1,4 3D，2CECD，224 33 312，224 33 32 12DE，点C 与点 E 关于对称轴1x 对称，CECDDE，DFCE，DCE是等边三角形，EDF 12CDE，60CEDFEGCDE，CEDCEFFEGCE

41、F即DEFCEG，30EDF，CEGDEF30ECGEDF 直线CG 的表达式为：33 33yx 与抛物线表达式联立得233 3332 33 3yxyxx 点G 坐标为 7 20,339如下图，连接CG，DG，CF，同理可证：EFG 是等边三角形，DCE是等边三角形，DGECFE DGCF，CFFE，GEFE，DGGE CDGCEG30DCGECG 直线CG 的表达式为：33 33yx与抛物线表达式联立得233 3332 33 3yxyxx 点G 坐标为 5 32,339【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质，菱形的性质，等边三角形的判定及性质，待定系数法求一次函数与二次函数的解析式，一元

42、二次方程的应用，解二元一次方程组，熟练掌握二次函数的图像及性质，菱形的性质，等边三角形的判定及性质，待定系数法求一次函数与二次函数的解析式是解题的关键10(2023山东济南统考中考真题)在平面直角坐标系 xOy 中，正方形 ABCD的顶点 A，B 在 x 轴上，2,3C，1,3D 抛物线220yaxaxc a与 x 轴交于点2,0E 和点 F(1)如图 1，若抛物线过点C，求抛物线的表达式和点 F 的坐标；(2)如图 2，在(1)的条件下，连接CF，作直线CE，平移线段CF，使点C 的对应点 P 落在直线CE 上，点 F的对应点Q 落在抛物线上，求点Q 的坐标；(3)若抛物线220yaxaxc

43、 a与正方形 ABCD恰有两个交点，求a 的取值范围【答案】(1)233384yxx ，4,0F(2)4,6(3)103a或3358a【分析】(1)将点2,3C，2,0E 代入抛物线22yaxaxc，利用待定系数法求出抛物线的表达式，再令0y，求出 x 值，即可得到点 F 的坐标；(2)设直线CE 的表达式为 ykxb，将点2,3C，2,0E 代入解析式，利用待定系数法求出直线CE 的表达式为：33yx42，设点233,384Q ttt，根据平移的性质，得到点2332,684P ttt，将点 P代入33yx42，求出t 的值，即可得到点Q 的坐标；(3)根据正方形和点 C 的坐标，得出3BC

44、，2OB，1OA ，将2,0E 代入22yaxaxc，求得222819yaxaxaa xa，进而得到顶点坐标1,9a，分两种情况讨论：当抛物线顶点在正方形内部时，当抛物线与直线 BC 交点在点C 上方，且与直线 AD交点在点 D 下方时，分别列出不等式组求解，即可得到答案【详解】(1)解：抛物线22yaxaxc过点2,3C，2,0E 443440aacaac，解得：383ac ，抛物线表达式为233384yxx ，当0y 时，2333084xx，解得：12x (舍去)，24x，4,0F；(2)解：设直线CE 的表达式为 ykxb，直线过点2,3C，2,0E，2320kbkb，解得：3432kb

45、 ，直线CE 的表达式为：33yx42，点Q 在抛物线233384yxx 上，设点233,384Q ttt，2,3C，4,0F，且 PQ由CF 平移得到，点Q 向左平移 2 个单位，向上平移 3 个单位得到点2332,684P ttt，点 P 在直线CE 上，将2332,684P ttt 代入33yx42，23333642428ttt，整理得：216t，解得：14t ，24t(舍去)，当4x 时，233443684y Q 点坐标为4,6；(3)解：四边形 ABCD是正方形，2,3C，3BCAB，2OB，1OAABOB，点 A 和点 D 的横坐标为 1，点 B 和点 C 的横坐标为 2，将2,0

46、E 代入22yaxaxc，得：8ca，222819yaxaxaa xa，顶点坐标为1,9a，如图，当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点，9390aa，解得：103a；如图，当抛物线与直线 BC 交点在点C 上方，且与直线 AD交点在点 D 下方时，与正方形有两个交点，222228312183aaaaaa ，解得：3358a，综上所述，a 的取值范围为103a或3358a【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，平移的性质，函数图像上点的坐标特征，抛物线与直线交点问题，解一元二次方程，解一元一次不等式组等知识，利用分类讨论的思想，熟练掌握二次函数

47、的图象和性质是解题关键11(2023浙江统考中考真题)根据以下素材，探究完成任务如何把实心球掷得更远？素材 1小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点 A 处被抛出，其路线是抛物线点 A 距离地面1.6m，当球到 OA 的水平距离为1m时，达到最大高度为1.8m素材 2根据体育老师建议，第二次练习时，小林在正前方1m处(如图)架起距离地面高为2.45m的横线球从点 A处被抛出，恰好越过横线，测得投掷距离8mOC 问题解决任务 1计算投掷距离建立合适的直角坐标系，求素材 1 中的投掷距离OB 任务 2探求高度变化求素材 2 和素材 1 中球的最大高度的变化量任务 3提出训练建议为

48、了把球掷得更远，请给小林提出一条合理的训练建议【答案】任务一：4m；任务二：22 m15；任务三：应该尽量提高掷出点的高度、尽量提高掷出点的速度、选择适当的掷出仰角【分析】任务一：建立直角坐标系，由题意得：抛物线的顶点坐标为1,1.8，设抛物线的解析式为211.8ya x，过点0,1.6，利用待定系数法求出解析式，当0y 时求出 x 的值即可得到OB；任务二：建立直角坐标系，求出任务二的抛物线解析式，得到顶点纵坐标，与任务一的纵坐标相减即可；任务三：根据题意给出合理的建议即可【详解】任务一：建立如图所示的直角坐标系，由题意得：抛物线的顶点坐标为1,1.8，设抛物线的解析式为211.8ya x，

49、过点0,1.6，1.81.6a，解得0.2a ，20.211.8yx，当0y 时，20.211.80 x，得14,2xx (舍去)，素材 1 中的投掷距离OB 为 4m；(2)建立直角坐标系，如图，设素材 2 中抛物线的解析式为2yaxbxc，由题意得，过点 0,1.6,1,2.45,8,0，1.62.456480cabcabc，解得0.1511.6abc ，20.151.6yxx 顶点纵坐标为2240.151.6 1449440.1515acba ，49221.81515(m)，素材 2 和素材 1 中球的最大高度的变化量为 22 m15；任务三：应该尽量提高掷出点的高度、尽量提高掷出点的速

50、度、选择适当的掷出仰角【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，求函数解析式，求抛物线与坐标轴的距离，正确理解题意建立恰当的直角坐标系是解题的关键12(2023辽宁统考中考真题)如图，抛物线283yaxxc 与 x轴交于点A 和点 3.0B，与 y轴交于点 0,4C，点 P 为第一象限内抛物线上的动点过点 P 作 PEx轴于点 E，交 BC 于点 F(1)求抛物线的解析式；(2)当BEF的周长是线段 PF 长度的 2 倍时，求点 P 的坐标；(3)当点 P 运动到抛物线顶点时，点 Q 是 y 轴上的动点，连接 BQ，过点 B 作直线lBQ，连接QF 并延长交直线l 于点 M当 BQBM时，请直接写

51、出点的坐标【答案】(1)248433yxx(2)3,52P(3)1460,23Q或1460,23【分析】(1)利用待定系数法求解；(2)根据直角三角形三角函数值可得34BEEF，54BFEF，进而可得BEF的周长3BEBFEFEF，结合已知条件可得23PFEF，设248433,P ttt，则4,43F tt，,0E t，从而可得方程4343 t24432 tt，解方程即可；(3)先求出81,3F，161,3P，设0,Qn，过点 M 作 MNx轴于点 N，通过证明BQOMBN AAS，求出3,3Mn，再求出直线QM 的解析式为33nyxnn，将点81,3F代入解析式求出 n 的值即可【详解】(1

52、)解：将 3.0B，0,4C代入283yaxxc，可得2833034acc ，解得434ac ，抛物线的解析式为248433yxx；(2)解：3.0B，0,4C，3OB，4OC，4tan3OBC，34BEEF，54BFEF，BEF的周长3BEBFEFEF，BEF的周长是线段 PF 长度的 2 倍，23PFEF，设直线 BC 的解析式为 ykxb，将3.0B，0,4C代入可得304kbb，解得434kb ，直线 BC 的解析式为443yx，设248433,P ttt，则4,43F tt，,0E t，443 EFt，2244483443343 PFttttt，4343 t24432 tt，解得 1

53、32t，23t(舍)，22484383445333232 tt，3,52P；(3)解：2248416413333yxxx ，当1x 时，y 取最大值163，161,3P，直线 BC 的解析式为443yx，当1x 时，481433y ，81,3F，设0,Qn，过点 M 作 MNx轴于点 N，由题意知90QBM，90 QBOMBN，90 QBOOQB，OQBMBN，又90 QOBBNM，BQBM，BQOMBN AAS，OQNB，BOMN，3,3Mn，设直线QM 的解析式为 yk xn，则33knn，解得33 nkn，直线QM 的解析式为33nyxnn，将点81,3F代入，得 3833nnn，解得1

54、4633n 或14633n，1460,33Q或1460,33【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形等，综合性较强，难度较大，熟练运用数形结合思想，正确作出辅助线是解题的关键13(2023湖南娄底统考中考真题)如图，抛物线2yxbxc过点1,0A、点 5,0B，交 y 轴于点 C(1)求 b，c 的值(2)点 000,05P xyx是抛物线上的动点当0 x 取何值时，PBC 的面积最大？并求出 PBC 面积的最大值；过点 P 作 PEx轴，交 BC 于点 E，再过点 P 作 PFx 轴，交抛物线于点 F，连接 EF，问：是否存在点P，使

55、PEF!为等腰直角三角形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)4b ，5c (2)当052x 时，PBC 的面积由最大值，最大值为1258；当点 P 的坐标为 733 33 3322,或4,5时，PEF!为等腰直角三角形【分析】(1)将将1,0A、5,0B代入抛物线2yxbxc即可求解；(2)由(1)可知：245yxx，得0,5C，可求得 BC 的解析式为5yx，过点 P 作 PEx轴，交 BC于点 E，交 x 轴于点Q，易得20005EPEyyxx，根据 PBC 的面积PECPEBSS，可得 PBC 的面积001122CBPExxPExx2055125228x，即

56、可求解；由题意可知抛物线的对称轴为422 1x 对，则04Fxx，分两种情况：当点 P 在对称轴左侧时，即002x时，当点 P 在对称轴右侧时，即025x 时，分别进行讨论求解即可【详解】(1)解：将1,0A、5,0B代入抛物线2yxbxc中，可得：102550bcbc，解得：45bc ，即：4b ，5c ；(2)由(1)可知：245yxx，当0 x 时，5y ，即0,5C，设 BC 的解析式为：ykxb，将 5,0B，0,5C代入 ykxb 中，可得505kbb ，解得：15kb ，BC 的解析式为：5yx，过点 P 作 PEx轴，交 BC 于点 E，交 x 轴于点Q，000,05P xyx

57、，则200045yxx，点 E 的横坐标也为0 x，则纵坐标为05Eyx，220000005455EPEyyxxxxx，PBC 的面积PECPEBSS001122CBPExxPExx12BCPExx200552xx2055125228x，502，当052x 时，PBC 的面积有最大值，最大值为1258；存在，当点 P 的坐标为 733 33 3322,或4,5时，PEF!为等腰直角三角形理由如下：由可知2005PExx，由题意可知抛物线的对称轴为直线422 1x 对，PFx 轴，90EPF，022Fxxx对，则04Fxx，当点 P 在对称轴左侧时，即002x时，0042FPFxxx，当 PEP

58、F时，PEF!为等腰直角三角形，即：2000254xxx，整理得：200740 xx，解得：07332x(073322x，不符合题意，舍去)此时200033 33452yxx，即点733 33 332,2P；当点 P 在对称轴右侧时，即025x 时，0024FPFxxx，当 PEPF时，PEF!为等腰直角三角形，即：2000452xxx，整理得：200340 xx，解得：04x(012x ，不符合题意，舍去)此时：2044 4 55y ，即点4,5P；综上所述，当点 P 的坐标为 733 33 3322,或4,5时，PEF!为等腰直角三角形【点睛】本题二次函数综合题，考查了利用待定系数法求函数

59、解析式，二次函数的性质及图象上的点的特点，等腰直角三角形的性质，解本题的关键是表示出点的坐标，进行分类讨论14(2023辽宁沈阳统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，二次函数213yxbxc的图象经过点0,2A，与 x 轴的交点为点 3,0B和点C(1)求这个二次函数的表达式；(2)点 E，G 在 y 轴正半轴上，2OGOE，点 D 在线段OC 上，3ODOE以线段OD，OE 为邻边作矩形ODFE，连接GD，设OEa 连接 FC，当 GOD 与FDC相似时，求a 的值；当点 D与点C 重合时，将线段GD 绕点G 按逆时针方向旋转60后得到线段GH，连接FH，FG，将 GFH绕点 F 按顺时针

60、方向旋转(0180)后得到 G FHV，点G，H 的对应点分别为G、H，连接 DE当G FHV的边与线段 DE 垂直时，请直接写出点 H的横坐标【答案】(1)21323yxx(2)32 或 65；2 33 或3 72 37或3【分析】(1)利用待定系数法解答即可；(2)利用已知条件用含 a 的代数式表示出点 E，D，F，G 的坐标，进而得到线段CD的长度，利用分类讨论的思想方法和相似三角形的性质，列出关于 a 的方程，解方程即可得出结论；利用已知条件，点的坐标的特征，平行四边形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质求得2 3FHOD，90GODGFH 和GH 的长，利用分类讨论的思想

61、方法分三种情形讨论解答利用旋转的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理求得相应线段的长度即可得出结论；【详解】(1)二次函数213yxbxc的图象经过点 0,2A，与 x 轴的交点为点 3,0B，2,1320cb 解得：32bc 此抛物线的解析式为21323yxx(2)令0y，则213203 xx解得：3x 或2 3x，(2 3,0)C2 3OC,2,3OEa OGOE ODOE,2,3OGa ODa四边形ODFE 为矩形，3,EFODa FDOEa(0,),(3,0),(3,),(0,2)Ea DaFa a Ga2 33CDOCODa当 GODFDC时，OGFDODCD 232 33aaa

62、a43a 当 GODCDF时，OGCDODFD 22 333aaaa65a 综上，当 GOD 与FDC相似时，a 的值为 32 或 65；点 D 与点C 重合，2 3ODOC2,24,2 3,2OEOGOEEFODDFOE2EGOE2,EGDF,EGDF四边形GEDF 为平行四边形，22222(2 3)4,FGDEOEOD30,GFE60,EGF60,DGH,EGFDGH.OGDFGH 在 GOD 和 GFH 中，4,GOGFOGDFGHGDGH(),GODGFH SAS2 3,90.FHODGODGFH 22224(2 3)2 7.GHGFFH、当G F 所在直线与 DE 垂直时，如图，90

63、,GFH,GFDE90,G FHG，F，H三点在一条直线上，42 3.GHGFFHFGFH 过点 H 作 H Ky轴于点 K，则 H KFE30,KH GEFG 3cos30(42 3)2 33,2H KH G 此时点 H 的横坐标为 2 33当G H 所在直线与 DE 垂直时，如图，GFDE，G HGF，设GF 的延长线交G H 于点 M，过点 M 作 MPEF，交 EF 的延长线于点 P，过点H 作H NMP，交PM 的延长线于点 N，则 H NPFx 轴，30PFMEFG 1122FG HSG H FMFH FG，4 2 32 7FM，4 217FM4 2136 7cos30727FPF

64、M，6 72 37PEPFEF226 77H MFHFM，3 7sin307H NH M，此时点H 的横坐标为6 73 73 72 32 3777PEH N；当FH 所在直线与 DE 垂直时，如图，90H FG，GFDE，90GFH，H，F，H 三点在一条直线上，则30H FD，过点H 作H LDF，交 FD的延长线于点 L，1sin302 332H LH F，此时点H 的横坐标为2 333EFH L综上，当G FH 的边与线段 DE 垂直时，点H 的横坐标为2 33 或3 72 37或3【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全

65、等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，利用点的坐标表示出相应线段的长度和正确利用分类讨论的思想方法是解题的关键15(2023黑龙江大庆统考中考真题)如图，二次函数2yaxbxc 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，且自变量 x 的部分取值与对应函数值 y 如下表：xL101234LyL034305L(1)求二次函数2yaxbxc 的表达式；(2)若将线段 AB 向下平移，得到的线段与二次函数2yaxbxc 的图象交于 P，Q 两点(P 在Q 左边)，R 为二次函数2yaxbxc 的图象上的一点，当点Q 的横坐标为 m，点 R 的横坐标为2m时，求tan R

66、PQ的值；(3)若将线段 AB 先向上平移 3 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度，得到的线段与二次函数21()yaxbxct的图象只有一个交点，其中t 为常数，请直接写出t 的取值范围【答案】(1)2=23y xx(2)2(3)513t 且0t 或43t 【分析】(1)利用待定系数法求出二次函数2yaxbxc 的表达式即可；(2)连接 PR，QR，过点 R 作 RMPQ交 PQ的延长线于点 M，分别表示出 RM、PM 的长，根据正切的定义即可得到 tan RPQ的值；(3)分0t 和0t 两种情况讨论求解即可【详解】(1)解：由表格可知，二次函数2yaxbxc 的图象经过点1,0，0,3

67、，1,4，代入2yaxbxc 得到034abccabc ，解得123abc ，二次函数2yaxbxc 的表达式为2=23y xx；(2)如图，连接 PR，QR，过点 R 作 RMPQ交 PQ的延长线于点 M，点Q 的横坐标为 m，2,23Q m mm，222314yxxx，抛物线的对称轴为直线1x ，点 P 与点 Q 关于直线1x 对称，设点 2,23P n mm，则1 1mn ，解得2nm，点 P 的坐标为22,23m mm，当2xm时，222322232 2221 2 2yxxmmmm ，即22,2 2212 2R mmm，则22,23M mmm，222 221 2 2232 222 2R

68、mmmmMm，22222PMmmm，2 2222 222 2tan2222222mRMmRPQPMmm，即 tan RPQ的值为2；(3)由表格可知点1,0A、3,0B，将线段 AB 先向上平移 3 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度，得到0,3A、4,3B，由题意可得，二次函数2211(3)421yxxxttt，与线段 A B 只有一个交点，当0t 时，抛物线2211(3)421yxxxttt开口向上，顶点41,t 在 A B 下方，当4x 时，21(3)2Bxxyt，即33t，解得53t，53t，当0 x 时，21(3)2Axxyt，即33t，解得1t ，503t，此时满足题意，当0t

69、 时，抛物线2211(3)421yxxxttt开口向下，顶点41,t 在 A B 上时，43t，解得43t ，此时满足题意，将点0,3A代入21(3)2yxxt得到33t ，解得1t ，将点4,3B代入21(3)2yxxt得到13(1683)t，解得53t，10t ，此时满足题意，综上可知，513t 且0t 或43t 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求二次函数解析式、锐角三角函数、不等式的应用等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键16(2023宁夏统考中考真题)如图，抛物线2()30yaxbxa与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点C 已知点 A 的坐标是1,0，抛物

70、线的对称轴是直线1x (1)直接写出点 B 的坐标；(2)在对称轴上找一点 P，使 PAPC的值最小求点 P 的坐标和 PAPC的最小值；(3)第一象限内的抛物线上有一动点 M，过点 M 作 MNx轴，垂足为 N，连接 BC 交 MN 于点Q 依题意补全图形，当2MQCQ的值最大时，求点 M 的坐标【答案】(1)3,0(2)点1,2P，PAPC的最小值为3 2(3)5 7,2 4M【分析】(1)根据抛物线的对称性，进行求解即可；(2)根据抛物线的对称性，得到 PAPCPBPCBC，得到当,P B C 三点共线时，PAPC的值最小，为BC 的长，求出直线 BC 的解析式，解析式与对称轴的交点即为

71、点 P 的坐标，两点间的距离公式求出 BC 的长，即为 PAPC的最小值；(3)根据题意，补全图形，设2,23M mmm，得到,0N m，,3Q mm，将2MQCQ的最大值转化为二次函数求最值，即可得解【详解】(1)解：点1,0A 关于对称轴的对称点为点 B，对称轴为直线1x ，点 B 为3,0；(2)当0 x 时，3y ，0,3C，连接 BC，3,0B，22333 2BC，点 A 关于对称轴的对称点为点 B，PAPCPBPCBC，当,P B C 三点共线时，PAPC的值最小，为 BC 的长，设直线 BC 的解析式为：ykxn，则：330nkn，解得：31nk ，3yx ，点 P 在抛物线的对

72、称轴上，1,2P；点 1,2P，PAPC的最小值为3 2；(3)过点 M 作 MNx轴，垂足为 N，连接 BC 交 MN 于点Q，如图所示，1,0,3,0AB，设抛物线的解析式为：13ya xx，0,3C，33a，1a ，21323yxxxx ，设2,23M mmm，则：,0N m，由(2)知：直线 BC：3yx ，,3Q mm，222333MQmmmmm ，0,3,3,0CB，3OCOB，3BNm，45OBCOCB ，45NQBOBC ，22 3BQBNm，3 23 222CQBCBQmm，2225252322524MQCQmmmmmm ，当52m 时，2MQCQ有最大值，此时5 7,2 4

73、M 【点睛】本题考查二次函数的综合应用正确的求出函数解析式，利用抛物线的对称性以及数形结合的思想进行求解，是解题的关键17(2023四川德阳统考中考真题)已知：在平面直角坐标系中，抛物线与 x 轴交于点(4,0)A，(2,0)B，与y 轴交于点(0,4)C(1)求抛物线的解析式；(2)如图 1，如果把抛物线 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折180，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象当平面内的直线6ykx 与新图象有三个公共点时，求 k 的值；(3)如图 2，如果把直线 AB 沿 y 轴向上平移至经过点 D，与抛物线的交点分别是 E，F，直线 BC 交 EF 于点 H，过点 F 作 FGCH

74、于点G，若2 5DFHG 求点 F 的坐标【答案】(1)2142yxx(2)1或 32(3)4,8【详解】(1)设抛物线的解析式为2yaxbxc，(0,4)C，4c ，24yaxbx，把(4,0)A，(2,0)B代入2yaxbxc，得：164404240abab，解得：121ab，抛物线的解析式为2142yxx(2)直线表达式6ykx，直线经过定点0,6，将过点0,6 的直线旋转观察和新图象的公共点情况把抛物线 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折180，抛物线的解析式为2142yxx，新图象表达式为：42x 时，2142yxx ；4x 或2x 时，2142yxx，如下图当直线6ykx 与翻折上去的

75、部分抛物线相切时，和新图象有三个公共点，联立21426yxxykx，得：26142kxxx，整理得：22 140 xk x0，24 1160k，24 116k，12k ，2 1k ，12 11k 时，即如上图所示，符合题意，22 13k 时，如下图所示，经过点 B，不符合题意，故舍去，如下图，当直线6ykx 经过点 A 时，和新图象有三个公共点，把(4,0)A 代入6ykx，得：460k，解得：32k=，综上所述，当平面内的直线6ykx 与新图象有三个公共点时，k 的值为1或 32(3)F 在抛物线上，设 F 坐标为21,42aaa，2OB，4OC，FGCH，1tan2OCB，tan2FHG，

76、:1:2HG FG，22125:1:2:5HG FG FH，DFa，2142DOaa，212DCDOOCaa，2111242DHDCaa，21142FHDHDFaa，255115542HGFHaa，2 5DFHG，22 55 11542aaa，2112 42aaa，240aa，40a a，10a(舍去)，24a，代入21482 aa，点 F 的坐标为4,8【点睛】本题考查了二次函数综合、翻折、交点个数问题，结合一元二次方程、三角函数解直角三角形知识点，熟练掌握、综合运用知识点，数形结合是解题的关键18(2023四川雅安统考中考真题)在平面直角坐标系中，已知抛物线2yxbxc过点 0,2A，对称

77、轴是直线2x (1)求此抛物线的函数表达式及顶点 M 的坐标；(2)若点 B 在抛物线上，过点 B 作 x 轴的平行线交抛物线于点 C、当 BCM 是等边三角形时，求出此三角形的边长；(3)已知点 E 在抛物线的对称轴上，点 D 的坐标为()1,1-，是否存在点 F，使以点 A，D，E，F 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)242yxx，2,2(2)2 3(3)存在点 F，当1,5F或1,0F 或 3,16F 或 3,16F 时，以点 A，D，E，F 为顶点的四边形为菱形【分析】(1)根据对称轴2x 和过点 0,2A列二元一次方程组求解即

78、可；(2)如图：过点 M 作 MDBC交 BC 于 D，设点 2,42B b bb2b，则22,42Dbb；然后表示出BDDM、，再根据 BCM 是等边三角形可得60CBM,2BCBD，根据三角函数解直角三角形可得23b，进而求得 BDBC、即可解答；(3)如图可知：线段 AD为菱形的边和对角线，然后通过作图、结合菱形的性质和中点坐标公式即可解答【详解】(1)解：由题意可得：222bc，解得：42bc ，所以抛物线的函数表达式为242yxx；当2x 时，224 222y ，则顶点 M 的坐标为2,2(2)解：如图：过点 M 作 MDBC交 BC 于 D，设点 2,42B b bb2b，则22,

79、42Dbb,22,44BDb DMbb，BCM 是等边三角形,60CBM,2BCBD tantan60DMCBMBD,即24432bbb，解得：23b 或2b(舍去)2233BD，22 3BCBD=，该三角形的边长2 3(3)解：存在点 F，使以点 A，D，E，F 为顶点的四边形为菱形如图：线段 AD作为菱形的边，当 AE 为菱形的对角线时，作 AD关于直线1x 的对称线段交2x 于 E，连接 AE,作点 E 关于 AE 的对称点 F，即 ADEF 为菱形，由对称性可得 F 的坐标为1,5，故存在点 F，使以点 A，D，E，F 为顶点的四边形为菱形，此时1,5F当 AF 为菱形对角线时，AEA

80、D，设2,Ee，,F x y，则22 121421 9xyee ，解得：26316exy 或26316exy ，3,16F 或 3,16F 线段 AD作为菱形的对角线时，如图：设2,Ee菱形 AEDF,AEDE,AD的中点 G 的坐标为 1 1,2 2，点 G 是 EF 的中点，22220221 21ee ，解得1e ，2,1E，设,F m n，则有：21221122mn，解得：10mn ，1,0F 综上，当1,5F或1,0F 或 3,16F 或 3,16F 时，以点 A，D，E，F 为顶点的四边形为菱形【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与几何的综合、等边三角形的性质、解直角三角

81、形、菱形的判定等知识点，掌握数形结合思想是解答本题的关键19(2023山东泰安统考中考真题)如图 1，二次函数24yaxbx的图象经过点(4,0),(1,0)AB(1)求二次函数的表达式；(2)若点 P 在二次函数对称轴上，当 BCP 面积为 5 时，求 P 坐标；(3)小明认为，在第三象限抛物线上有一点 D，使90DABACB；请判断小明的说法是否正确，如果正确，请求出 D 的坐标；如果不正确，请说明理由【答案】(1)254yxx(2)5,42或5,162(3)正确，820,39D【分析】(1)直接运用待定系数法求解即可；(2)首先求出直线 BC 解析式，然后通过设 P 点坐标，并表示对应Q

82、 点坐标，从而利用“割补法”计算 BCP 的面积表达式并建立方程求解即可；(3)首先连接 AC，BC，设 AC 与对称轴交点为 K，对称轴与 x 轴交点为 H，连接 BK，延长 AD与对称轴交于点 M，根据已知信息求出 tanCBK，然后推出DABCBK，从而在Rt AHM 中求出 HM，确定出 M点坐标，再求出直线 AM 解析式，通过与抛物线解析式联立，求出交点 D 的坐标即可【详解】(1)解：将(4,0),(1,0)AB代入24yaxbx得：1644040abab，解得：15ab，抛物线解析式为：254yxx；(2)解：由抛物线254yxx可知，其对称轴为直线52x ，0,4C，设直线 B

83、C 解析式为：ykxc，将 1,0B，0,4C代入解得：44kc，直线 BC 解析式为：44yx，此时，如图所示，作 PQx 轴，交 BC 于点Q，点 P 在二次函数对称轴上，设5,2Pm，则4,4mQm，456424mmPQ，116642242BCPCBmmSPQ yy，要使得 BCP 面积为 5，652m，解得：4m 或16m ，P 的坐标为5,42或5,162；(3)解：正确，820,39D，理由如下：如图所示，连接 AC，BC，设 AC 与对称轴交点为 K，对称轴与 x 轴交点为 H，连接 BK，延长 AD与对称轴交于点 M，由(1)、(2)可得4OAOC，=90AOC，45CAO，4

84、 2AC，根据抛物线的对称性，AKBK，45KABKBA，90AKB，3AB ，3 22AKBK，5 22CKACAK，在 Rt CKB 中，5tan3CKCBKBK，90CBKACB 且90DABACB，DABCBK，5tantan3DABCBK，即：在Rt AHM 中，53HMAH，53422AH ，355232HM，55,22M，设直线 AM 解析式为：ysxt，将4,0A、55,22M 代入解得：53203st ，直线 AM 解析式为：52033yx，联立25452033yxxyx，解得：83209xy 或40 xy(不合题，舍去)小明说法正确，D 的坐标为820,39D【点睛】本题考

85、查二次函数综合问题，包括“割补法”计算面积，以及解直角三角形等，掌握二次函数的性质，并熟练运用解三角形的方法进行数形结合分析是解题关键20(2023湖北恩施统考中考真题)在平面直角坐标系 xoy中，O 为坐标原点，已知抛物线212yxbxc 与 y 轴交于点 A，抛物线的对称轴与 x 轴交于点 B(1)如图，若 0,3A，抛物线的对称轴为3x 求抛物线的解析式，并直接写出3y 时 x 的取值范围；(2)在(1)的条件下，若 P 为 y 轴上的点，C 为 x 轴上方抛物线上的点，当 PBC 为等边三角形时，求点 P，C的坐标；(3)若抛物线212yxbxc 经过点,2D m，,2E n，1,1F

86、，且mn，求正整数 m，n 的值【答案】(1)21332yxx；06x(2)2 326,3 333C；40,3 33P或 0,3C,0,3P；(3)2m，7n 或3m，4n【分析】(1)根据 0,3A，抛物线的对称轴为3x，待定系数法求解析式即可求解；当3y 时，求得 x 的范围，进而结合函数图象即可求解；(2)连接 AB，AC，AC 交对称轴于点 D，由,ABCP四点共圆，得60BACBPC，证明 PABCDB，求出点 D 的坐标，确定直线 AD的解析式，进而求得C 点的坐标，设 0,Pp，PBPC，勾股定理即可求解；由可得60OAB，则当C 与 A 重合时也存在等边三角形，根据等边三角形的

87、性质即可求解(3)根据抛物线212yxbxc 经过点,2D m，,2E n，1,1F，可得抛物线对称为直线2mnxb，112bc 则12bc，则12cb，进而令2y ，求得b 的范围，进而根据函数图象可知2m 或3m，进而分别讨论求得 n 的值，即可求解【详解】(1)解：0,3A，抛物线的对称轴为3x 33122cb 解得：33cb 抛物线解析式为21332yxx，当3y 时，即213332 xx解得：120,6xx，当3y 时，06x(2)解：如图所示，连接 AB，AC，AC 交对称轴于点 D，0,3A，3,0B3,3OAOB，则 tan3OAB60OAB，120BAP，PBC 为等边三角形

88、，60PCBPBC ，180PABPCB，,A B C P四点共圆，60BACBPC，BDOA，60ABDOAB ABDPBC，ABPDBC，120BDCPAB，PBBC，AASPABCDB，22332 3BDBA，则 3,2 3D，设直线 AD的解析式为3ykx则332 3k 解得：33k 所以直线 AC 的解析式为333yx联立23331332yxyxx 解得：03xy或2 36323 33xy 2 326,3 333C，3,0B，设 0,Pp，PCPB2222223363 333pp 解得：43 33p 40,3 33P；由可得60OAB，当C 与点 A 重合时，PBC 为等边三角形则

89、P 与C 对称，此时 0,3C，0,3P，综上所述；2 326,3 333C；40,3 33P或 0,3C，0,3P；(3)解：抛物线212yxbxc 经过点,2D m，,2E n，1,1F，抛物线对称为直线2mnxb，112bc 则12bc，则12cb 抛物线解析式为21122yxbxb 22111222xbbb 顶点坐标为211,22bbb当211222bb 时，解得：16b 或16b mn，且,m n为正整数，过点1,1F，则当1x 时0y，2m 或3m，当2m 时，将点2,2 代入解析式21122yxbxb ，解得：92b 2mnb则7n，当3m 时，将点3,2 代入解析式21122y

90、xbxb 解得：72b 2mnb则4n，综上所述，2m，7n 或3m，4n【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据特三角函数求角度，圆内接四边形对角互补，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键21(2023辽宁营口统考中考真题)如图，抛物线210yaxbxa与 x 轴交于点()1,0A和点 B，与 y 轴交于点C，抛物线的对称轴交 x 轴于点3,0D，过点 B 作直线lx轴，过点 D 作 DECD，交直线l 于点E(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点 P 为第三象限内抛物线上的点，连接CE 和 BP交于点Q，当57BQPQ 时求点 P 的坐标；(3)在(2)的条件下，连接 AC，在

91、直线 BP上是否存在点 F，使得DEFACDBED？若存在，请直接写出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)216155yxx(2)323,5P(3)548,1313F 或10,4F【分析】(1)根据抛物线过点()1,0A，对称轴为直线3x，待定系数法求解析式即可求解；(2)根据题意求得 5,0B，tantanCDODEB，求得6BE，则5,6E，进而求得直线 EC 的解析式为=1yx，过点 P 作 PTx轴，交 EC 于点T，证明 PTQBEQ，根据已知条件得出425PT 设,1T tt，则47,5P tt，将点 P 代入216155yxx ，即可求解(3)根据题意可得45DEF

92、，以 DE 为对角线作正方形 DMEN，则45DEMDEN ，进而求得,M N的坐标，待定系数法求得,EM EN 的解析式，联立 BP解析式，即可求解【详解】(1)解：抛物线210yaxbxa与 x 轴交于点()1,0A，抛物线的对称轴交 x 轴于点3,0D，则对称轴为直线3x，1032abba，解得：1565ab 抛物线解析式为216155yxx ；(2)解：由216155yxx ，当0y 时，2161055xx，解得：121,5xx，5,0B，当0 x 时，1y ，则0,1C，DECD，90CODEBDCDE 90CDOEDBDEB，tantanCDODEB，即 OCDBODBE，123B

93、E，6BE，则5,6E，设直线 EC 的解析式为1ykx，则 651k ，解得：1k ，直线 EC 的解析式为=1yx，如图所示，过点 P 作 PTx轴，交 EC 于点T，BEPT，PTQBEQ57BQPQ 57BEBQPTPQ，则425PT 设,1T tt，则42,15P tt 即47,5P tt ，将点47,5P tt 代入216155yxx 即247161555ttt 解得：3t 或14t(舍去)当3t 时，473255t ，323,5P；(3)()1,0A，0,1C，则1OAOC，AOC 是等腰直角三角形，45OAC，由(2)可得BEDADC，DEFACDBED 45DEFACDADC

94、OAC ，由(2)可得323,5P，设直线 BP的解析式为 yexf，则503235efef 解得：454ef 直线 BP的解析式为445yx如图所示，以 DE 为对角线作正方形 DMEN，则45DEMDEN ，2,6DBBE，则2 10DE，则22 52DMDE，5,6E，设,M m n，则22222232 5562 5mnmn，解得：14mn ，72mn ，则1,4M，7,2N，设直线 EM 的解析式为 ysxt，直线 EN 的解析式为11ys xt则564stst ，11115672stst ，解得：1272st ，216st ，设直线 EM 的解析式为1722yx，直线 EN 的解析式

95、为216yx，1722445yxyx 解得：5134813xy，则548,1313F ，216445yxyx解得：104xy,则10,4F，综上所述，548,1313F 或10,4F【点睛】本题考查了二次函数综合运用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键22(2023北京统考中考真题)在平面直角坐标系 xOy 中，11,M x y，22,N xy是抛物线20yaxbxc a上任意两点，设抛物线的对称轴为 xt(1)若对于11x ，22x 有12yy，求t 的值；(2)若对于101x，212x，都有12yy，求t 的取值范围【答案】(1)32t(2)12t【分析】(1)根据二次函数的性质求得对称轴

96、即可求解；(2)根据题意可得11,xy离对称轴更近，12xx，则11,xy与22,xy的中点在对称轴的右侧，根据对称性求得1213222xx，进而根据122xxt，即可求解【详解】(1)解：对于11x ，22x 有12yy，抛物线的对称轴为直线12322xxx，抛物线的对称轴为 xt 32t；(2)解：当101x，212x，1213222xx，12xx，12yy，0a，11,xy离对称轴更近，12xx，则11,xy与22,xy的中点在对称轴的右侧，122xxt，即12t【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键23(2023山东日照统考中考真题)在平面直角坐标系 x

97、Oy 内，抛物线2520yaxaxa 交 y 轴于点 C，过点 C 作 x 轴的平行线交该抛物线于点 D(1)求点 C，D 的坐标；(2)当13a 时，如图 1，该抛物线与 x 轴交于 A，B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，点 P 为直线 AD上方抛物线上一点，将直线 PD沿直线 AD翻折，交 x 轴于点(4,0)M，求点 P 的坐标；(3)坐标平面内有两点1,1,5,1EaFaa，以线段 EF 为边向上作正方形 EFGH 若1a ，求正方形 EFGH 的边与抛物线的所有交点坐标；当正方形 EFGH 的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到 x 轴的距离之差为 52 时，求 a 的值

98、【答案】(1)0 2C，5 2D，(2)3 1524P，(3)1 6，4 6，5 2，；0.5a【分析】(1)先求出0 2C，再求出抛物线对称轴，根据题意可知 C、D 关于抛物线对称轴对称，据此求出点 D 的坐标即可；(2)先求出 1 0A ，如图，设 DP上与点 M 关于直线 AD对称的点为N mn，由轴对称的性质可得ANAMDNDM，利用勾股定理建立方程组 222222214152542mnmn，解得3m 或4m(舍去)，则3 3N，求出直线 DP的解析式为1922yx，然后联立2192215233yxyxx ，解得32154xy 或52xy，则3 1524P，；(3)分图 3-1，图 3

99、-2，图 3-3 三种情况，利用到 x 轴的距离之差即为纵坐标之差结合正方形的性质列出方程求解即可【详解】(1)解：在2520yaxaxa 中，当0 x 时，2y ，0 2C，抛物线解析式为2520yaxaxa，抛物线对称轴为直线5522axa，过点 C 作 x 轴的平行线交该抛物线于点 D，C、D 关于抛物线对称轴对称，5 2D，；(2)解：当13a 时，抛物线解析式为215233yxx ，当0y，即2152033xx，解得=1x 或6x，1 0A ，；如图，设 DP上与点 M 关于直线 AD对称的点为N mn，由轴对称的性质可得 ANAMDNDM，222222214152542mnmn，解

100、得：312mn，即123nm2221 14472925mmmm，27120mm-+=，解得3m 或4m(舍去)，1233nm，3 3N，设直线 DP的解析式为1ykxb，113352kbkb，11292kb ，直线 DP的解析式为1922yx，联立2192215233yxyxx ，解得32154xy 或52xy3 1524P，；(3)解：当1a 时，抛物线解析式为252yxx，1 25 2EF，4EHEFFG，1 6H，5 6G，当1x 时，215 126y ，抛物线252yxx 恰好经过1 6H，；抛物线对称轴为直线52x，由对称性可知抛物线经过4 6，点4 6，时抛物线与正方形的一个交点，

101、又点 F 与点 D 重合，抛物线也经过点5 2F，；综上所述，正方形 EFGH 的边与抛物线的所有交点坐标为1 6，4 6，5 2，；如图 3-1 所示，当抛物线与GHGF、分别交于 T、D，当正方形 EFGH 的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到 x 轴的距离之差为 52，点 T 的纵坐标为22.54.5，1514.5aa，21.510aa，解得2a (舍去)或0.5a；如图 3-2 所示，当抛物线与GHEF、分别交于 T、S，当正方形 EFGH 的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到 x 轴的距离之差为 52，152.5a，解得0.4a(舍去，因为此时点 F 在点 D 下

102、方)如图 3-3 所示，当抛物线与 EHEF、分别交于 T、S，当正方形 EFGH 的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到 x 轴的距离之差为 52，2115212.5aaaaa ，173.5aa，23.510aa，解得7334a或7334a(舍去)；当52x 时，2526.252yaxaxa，当7334a时，16.2527aa，7334a不符合题意；综上所述，0.5a【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，轴对称的性质，正方形的性质等等，利用分类讨论和数形结合的思想求解是解题的关键24(2023江苏无锡统考中考真题)已知二次函数222yxbxc的图像与 y 轴交于点 A，且经过

103、点(4,2)B和点(1,2)C(1)请直接写出b，c 的值；(2)直线 BC 交 y 轴于点 D，点 E 是二次函数222yxbxc图像上位于直线 AB 下方的动点，过点 E 作直线 AB 的垂线，垂足为 F 求 EF 的最大值；若AEF中有一个内角是ABC的两倍，求点 E 的横坐标【答案】(1)3b ，2c (2)4 33；2 或175【分析】(1)待定系数法求解析式即可求解；(2)过点 E 作 y 轴平行线分别交 AB、BD于G、H 令0 x，求得(0,2)A，勾股定理求得 AB，得出6cos3ABD，则6cos3FEG，进而可得63EFEG，求得直线 AB 的解析式为222yx，设223

104、 2,222E mmm，则2,22G mm，进而表示出 EG，最后根据二次函数的性质即可求解根据已知2tan2ABC，令2AC，2AB，在 BC 上取点 D，使得 ADBD，得出tan(2)2 2ABC，然后根据2tantantan2MFACBAFEN，设2AMa，2MFa进而分两种情况讨论，当2FAEABC 时，tan2 2FAE，则相似比为1:2 2，得出(6,23 2)Eaa代入抛物线解析式，即可求解；当2FEAABC 时，tan2 2FEA，同理可得52,222Eaa，代入抛物线解析式即可求解【详解】(1)二次函数222yxbxc的图像与 y 轴交于点 A，且经过点(4,2)B和点(1

105、,2)C 2224422212bcbc解得：32bc 3b ，2c ，22322yxx；(2)如图 1，过点 E 作 y 轴平行线分别交 AB、BD于G、H 22322yxx，当0 x 时，2y ，(0,2)A，2 2AD，4BD，222 6ABADBD，6cos3BDABDAB90GFEGHB，FGEHGB，FEGABD，6cos3FEG，63EFEG，63EFEG(0,2),(4,2)AB设直线 AB 的解析式为 ykxd242dkd 解得：222kd 直线 AB 解析式为222yx设223 2,222E mmm，2,22G mm，22222 2(2)2 222EGmmm ，当2m 时，E

106、G 取得最大值为2 2，EF的最大值为64 32 233如图 2，已知2tan2ABC，令2AC，则2BC，在 BC 上取点 D，使得 ADBD，2ADCABC，设CDx，则2ADBDx，则222(2)(2)xx，解得12x，tan2 2ACADCCD，即tan 22 2ABC如图 3 构造 AMFFNE，且 MNx轴，相似比为:AF EF，又2tantantan2MFACBAFEN，设2AMa，则2MFa分类讨论：当2FAEABC 时，则 tan2 2EFFAEAF，AMF 与 FNEV的相似比为1:2 2，2 24FNAMa，2 24 2NEMFa，6,23 2Eaa，代入抛物线求得113

107、a，20a(舍)E 点横坐标为62a 当2FEAABC 时，则 tan2 2AFFEAEF，相似比为2 2:1，122 2AMFNa，222 2MFNEa，52,222Eaa，代入抛物线求得13425a，20a(舍)E 点横坐标为 51725a 综上所示，点 E 的横坐标为 2 或175【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求二次函数解析式，线段长的最值问题，相似三角形的性质与判定，正切的定义利用分类讨论的思想并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键25(2023山东统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线1L 交 x 轴于点 1,0,5,0AC，顶点坐标为1,E m k 抛物线2

108、L 交 x 轴于点 2,0,10,0BD，顶点坐标为2,F m k(1)连接 EF，求线段 EF 的长；(2)点17,Md在抛物线1L 上，点216,Nd在抛物线2L 上比较大小：1d _2d；(3)若点 123,21,P nfQnf在抛物线1L 上，12ff，求n 的取值范围【答案】(1)3EF(2)12dd(3)43n 或4n【分析】(1)知道抛物线与 x 轴的交点坐标，即可求出顶点横坐标，从而求出结果；(2)用两点式设出抛物线解析式，把顶点坐标代入可得124aa，再把7x ，16x 代入比较即可；(3)根据12ff，则点 P 离对称轴更近，可得3321 3nn ，解不等式即可【详解】(1

109、)解：由题意可得：15 132m，22 1062m，3EF ；(2)解：由题意得：设抛物线1L：1115yaxx，抛物线2L：22210yaxx，由(1)得：3,Ek，6,Fk，123 1 3 5626 10aa，124aa，12415yaxx，把7x 代入抛物线1L 得：122415384daxxa，把16x 代入抛物线2L 得：22221048daxxa，20a，12dd；(3)解：12ff，点 P 离对称轴更近，3321 3nn ，22332130nn，24240nnnn；240240nnnn 或240240nnnn 43n 或4n【点睛】本题考查了二次函数压轴题，综合性强，掌握数形结合

110、是关键26(2023江苏徐州统考中考真题)如图，在平而直角坐标系中，二次函数232 3yxx 的图象与 x 轴分别交于点,O A，顶点为 B 连接,OB AB，将线段 AB 绕点 A 按顺时针方向旋转60得到线段 AC，连接 BC 点,D E 分别在线段,OB BC 上，连接,AD DE EA DE 与 AB 交于点,60FDEA(1)求点,A B 的坐标；(2)随着点 E 在线段 BC 上运动EDA的大小是否发生变化？请说明理由；线段 BF 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；(3)当线段 DE 的中点在该二次函数的因象的对称轴上时，BDE的面积为【答案】(1)2

111、 0A，13B，(2)EDA的大小不变，理由见解析；线段 BF 的长度存在最大值为 12(3)2 39【分析】(1)0y 得232 30 xx，解方程即可求得 A 的坐标，把232 3yxx 化为顶点式即可求得点 B 的坐标；(2)在 AB 上取点 M，使得 BMBE，连接 EM，证明 AED是等边三角形即可得出结论；由2BMABAFAF，得当 AF 最小时，BF 的长最大，即当 DEAB时，BF 的长最大，进而解直角三角形即可求解；(3)设 DE 的中点为点 M，连接 AM，过点 D 作 DHBN于点 H，证四边形OACB 是菱形，得 BCOA，进而证明 MBEMHD得 DHBE，再证 BM

112、ENAM，得 ANMNAMBMBEME即 13MNBMBE，结合三角形的面积公式即可求解【详解】(1)解：2232 3313yxxx ，顶点为 13B，令0y，232 30 xx，解得0 x 或2x，2 0A，；(2)解：EDA的大小不变，理由如下：在 AB 上取点 M，使得 BMBE，连接 EM，2313yx，抛物线对称轴为1x ，即1ON ，将线段 AB 绕点 A 按顺时针方向旋转60得到线段 AC，60BAC，ABAC，BAC 是等边三角形，ABACBC，60C，2 0A，13B，0 0O，1ON ，2OA，OB()22132+=，AB 222 132，OAOBAB，OAB是等边三角形，

113、2OAOBACBC，60OABOBAAOB，60MBE，BMBE，BME 是等边三角形，60BMEABE，MEBEBM，180120AMEBME，BDEM，120DBEABOABC，DBEAME，BDEM，18012060FEMBEDAEFMEAFEM ，BEDMEA，BEDMEA，DEEA，又60AED，AED是等边三角形，60ADE，即ADE的大小不变；，2BFABAFAF，当 AF 最小时，BF 的长最大，即当 DEAB时，BF 的长最大，DAE是等边三角形，DAF 130,2DAE6030OADDAF，ADOB，AD cos2 cos303OAOAD ，AF 3cos2 cos302A

114、DDAF ，BFABAF31222，即线段 BF 的长度存在最大值为 12；(3)解：设 DE 的中点为点 M，连接 AM，过点 D 作 DHBN于点 H，2OAOBACBC，四边形OACB 是菱形，BCOA，DHBN，ANBN，DHBCOA，MBEMHD，MEBMDH，DE 的中点为点 M，MDME，MBEMHD，DHBE，90ANM，1809090MBEANM ，90NMANAM，DE 的中点为点 M，DAE是等边三角形，AMDE，90AME，180BMENMA，BMENAM，BMENAM，ANMNAMBMBEME即 13MNBMBE，33BM，2 33MNBNBM，233MNDHBE，1

115、321322 32332339BDEBDMBEMSSS，故答案为 2 39【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质，菱形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质以及解直角三角形，题目综合性较强，熟练掌握各知识点是解题的关键27(2023辽宁统考中考真题)如图，抛物线212yxbxc 与 x 轴交于点 A 和点 4 0B，与 y 轴交于点0 4C，点 E 在抛物线上(1)求抛物线的解析式；(2)点 E 在第一象限内，过点 E 作 EFy 轴，交 BC 于点 F，作 EHx轴，交抛物线于点 H，点 H 在点 E 的左侧，以线段,EF EH 为邻边作矩形

116、 EFGH，当矩形 EFGH 的周长为 11 时，求线段 EH 的长；(3)点 M 在直线 AC 上，点 N 在平面内，当四边形OENM 是正方形时，请直接写出点 N 的坐标【答案】(1)抛物线的解析式为2142yxx(2)4EH(3)点 N 的坐标为44，或7 32 2，【分析】(1)利用待定系数法即可求解；(2)先求得直线 BC 的解析式为4yx ，设2142xExx，则4F xx，利用对称性质求得21422Hxxx，推出2122GHEFxx，22GFEHx，利用矩形周长公式列一元二次方程计算即可求解；(3)先求得直线 AC 的解析式为24yx，分别过点 M、E 作 y 的垂线，垂足分别为

117、 P、Q，证明OEPMOQ，推出 PEOQ，POMQ，设2142mEmm，则2142Mmmm，由点 M 在直线 AC 上，列式计算，可求得 m 的值，利用平移的性质即可求解【详解】(1)解：抛物线212yxbxc 经过点 4 0B，和0 4C，2144024bcc，解得14bc，抛物线的解析式为2142yxx；(2)解：点 4 0B，和0 4C，设直线 BC 的解析式为4ykx，则044k，解得1k ，直线 BC 的解析式为4yx ，设2142xExx，且04x，则4F xx，221144222GHEFxxxxx ，解析式的对称轴为11122，21422Hxxx，422GFEHxxx，依题意得

118、221112222 xxx，解得5x(舍去)或3x，4EH；(3)解：令0y，则21402 xx，解得2x 或4x ，2 0A ，同理，直线 AC 的解析式为24yx，四边形OENM 是正方形，OEOM，90EOM，分别过点 M、E 作 y 的垂线，垂足分别为 P、Q，如图，90OPEMQO ，90OEPEOPMOQ，OEPMOQ，PEOQ，POMQ，设2142mEmm，PEOQm，2142PmOMmQ，则2142Mmmm，点 M 在直线 AC 上，2442 12mmm，解得4m 或1m ，当4m 时，0 4M，4 0E，即点 M 与点 C 重合，点 E 与点 B 重合时，四边形OENM 是正

119、方形，此时4 4N，；当1m 时，512M，51 2E，点 O 向左平移 52 个单位，再向下平移 1 个单位，得到点 M，则点 E 向左平移 52 个单位，再向下平移 1 个单位，得到点 N，5 5112 2N ，即7 32 2N，综上，点 N 的坐标为44，或7 32 2，【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，两点之间的距离公式和正方形的性质，是一道综合性较强的题，解题的关键是求出二次函数和一次函数解析式以及分情况讨论28(2023贵州统考中考真题)如图，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受

120、到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分(如图所示)，抛物线的顶点在C 处，对称轴OC 与水平线OA垂直，9OC，点 A 在抛物线上，且点 A 到对称轴的距离3OA ，点 B 在抛物线上，点 B 到对称轴的距离是 1(1)求抛物线的表达式；(2)如图，为更加稳固，小星想在OC 上找一点 P，加装拉杆,PA PB，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点 P 的位置并求出坐标；(3)为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为221(0)yxbxbb，当46x时，函数 y的值总大于等于 9求b 的取值范围【答案】(1)29yx(2)点 P 的坐标为0,6(3)4613b【分

121、析】(1)设抛物线的解析式为2yaxk，将0 9C,，3,0A代入即可求解；(2)点 B 关于 y 轴的对称点 B，则 PAPBPAPBAB，求出直线 AB与 y 轴的交点坐标即可；(3)分05b和5b 两种情况，根据最小值大于等于 9 列不等式，即可求解【详解】(1)解：抛物线的对称轴与 y 轴重合，设抛物线的解析式为2yaxk，9OC，3OA ，0 9C,，3,0A，将0 9C,，3,0A代入2yaxk，得：2930kak，解得91ka ，抛物线的解析式为29yx ；(2)解：抛物线的解析式为29yx ，点 B 到对称轴的距离是 1，当1x 时，1 98y ，1,8B，作点 B 关于 y

122、轴的对称点 B，则1,8B，B PBP，PAPBPAPBAB，当 B，B，A 共线时，拉杆,PA PB 长度之和最短，设直线 AB的解析式为 ymxn，将1,8B，3,0A代入，得038mnmn ，解得26mn ，直线 AB的解析式为26yx，当0 x 时，6y，点 P 的坐标为0,6，位置如下图所示：(3)解：221(0)yxbxbb 中10a ，抛物线开口向下，当05b时，在 46x范围内，当6x 时，y 取最小值，最小值为：262 61 1337bbb 则13379b，解得4613b，46513b；当5b 时，在 46x范围内，当4x 时，y 取最小值，最小值为：242 41917bbb

123、 则9179b，解得269b，5b；综上可知，46513b 或5b，b 的取值范围为4613b【点睛】本题考查二次函数的实际应用，涉及求二次函数解析式，求一次函数解析式，根据对称性求线段的最值，抛物线的增减性等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，第 3 问注意分情况讨论29(2023吉林长春统考中考真题)在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线22yxbx(b 是常数)经过点(2,2)点 A 的坐标为(,0)m，点 B 在该抛物线上，横坐标为1m其中0m(1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标；(2)当点 B 在 x 轴上时，求点 A 的坐标；(3)该抛物线与 x 轴的左交

124、点为 P，当抛物线在点 P 和点 B 之间的部分(包括 P、B 两点)的最高点与最低点的纵坐标之差为2m时，求 m 的值(4)当点 B 在 x 轴上方时，过点 B 作 BCy轴于点C，连结 AC、BO若四边形 AOBC 的边和抛物线有两个交点(不包括四边形 AOBC 的顶点)，设这两个交点分别为点 E、点 F，线段 BO的中点为 D 当以点C、E、O、D(或以点C、F、O、D)为顶点的四边形的面积是四边形 AOBC 面积的一半时，直接写出所有满足条件的 m 的值【答案】(1)222yxx ；顶点坐标为1,3(2)3,0A(3)1m 或2m (4)22m 或22 3m 或12m 【分析】(1)将

125、点(2,2)代入抛物线解析式，待定系数法即可求解；(2)当0y 时，2220 xx，求得抛物线与 x 轴的交点坐标，根据抛物线上的点 B 在 x 轴上时，横坐标为1m其中0m，得出3m ，即可求解；(3)如图所示，当1 113m ，即30m时，当113m，即3m 时，分别画出图形，根据最高点与最低点的纵坐标之差为2m，建立方程，解方程即可求解；(4)根据 B 在 x 轴的上方，得出33m，根据题意分三种情况讨论当 E 是 AC 的中点，同理当 F 为AO 的中点时，12AOCCDFSS，根据题意分别得出方程，解方程即可求解【详解】(1)解：将点(2,2)代入抛物线22yxbx，得，2422b

126、解得：2b 抛物线解析式为222yxx；222yxx 213x ，顶点坐标为1,3，(2)解：由222yxx ，当0y 时，2220 xx，解得：1213,13xx ，抛物线上的点 B 在 x 轴上时，横坐标为1m其中0m 1m1113m 解得：3m ，点 A 的坐标为(,0)m，3,0A；(3)如图所示，当1 113m ，即30m时，抛物线在点 P 和点 B 之间的部分(包括 P、B 两点)的最高点为顶点，最低点为点 P，顶点坐标为1,3，13,0P则纵坐标之差为303依题意，32m解得：1m ；当113m，即3m 时，21,12 12Bmmm，即 21,3Bmm，依题意，2332mm，解得

127、：2m 或1m (舍去)，综上所述，1m 或2m ；(4)解：如图所示，B 在 x 轴的上方，13113m 33m以点C、E、O、D为顶点的四边形的面积是四边形 AOBC 面积的一半，线段 BO的中点为 DBCDCODSSAOBCAOCBOCSSS,BOCBCDCODSSS当 E 是 AC 的中点，如图所示则2AOBCCEODSS，23,22mmE代入222yxx ，即22322222mmm ，解得：22m (舍去)或22m ；同理当 F 为 AO 的中点时，如图所示，ACFCFOSS，BCDCODSS，则点C、F、O、D 为顶点的四边形的面积是四边形 AOBC 面积的一半，132m ，解得：

128、22 3m，如图所示，设BOCSS，则12DBCSS，以点C、E、O、D为顶点的四边形的面积是四边形 AOBC 面积的一半，线段 BO的中点为 D 12CDFFDBAOCSSSS即 1122CDFCDFAOCSSSSS 12AOCCDFSS，CFAO，2,3Fmm，,B F 关于1x 对称，112mm ，解得：12m ，综上所述，22m 或22 3m 或12m 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，二次函数的性质，面积问题，根据题意画出图形，分类讨论，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键30(2023内蒙古统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线231yxx 交 y 轴于点 A，直线123y

129、x 交抛物线于,B C 两点(点 B 在点C 的左侧)，交 y 轴于点 D，交 x 轴于点 E(1)求点,D E C 的坐标；(2)F 是线段OE 上一点OFEF，连接,AF DF CF，且2221AFEF求证：DFC是直角三角形；DFC的平分线 FK 交线段 DC 于点,K P 是直线 BC 上方抛物线上一动点，当3tan1PFK 时，求点 P 的坐标【答案】(1)(3,1)C，(0,2)D，(6,0)E(2)证明见解析，点 P 的坐标为(1,3)或(7,3 76)【分析】(1)根据一次函数与坐标轴的交点及一次函数与二次函数的交点求解即可；(2)设(,0),F m然后利用勾股定理求解，2m，

130、过点C 作CGx轴，垂足为G 再由等腰三角形及各角之间的关系即可证明；根据题意得出1tan3PFK，设点 P 的坐标为2,31ttt，根据题意得 133t 分两种情况分析：(i)当点 P 在直线 KF 的左侧抛物线上时，11 1tan,23 3PFKt(ii)当点 P 在直线 KF 的右侧抛物线上时，21tan,233P FKt 求解即可【详解】(1)解：直线123yx 交 y 轴于点 D，交 x 轴于点 E，当0 x 时，2,y 0,2D，当0y 时，6,x 6,0E直线123yx 交抛物线于,B C 两点，213123xxx ，231030 xx，解得121,33xx点 B 在点C 的左侧

131、，点C 的横坐标为 3，当3x 时，1y )1(3,C；(2)如图，抛物线231yxx 交 y 轴于点 A，当0 x 时，1,y(0,1),A1OA,在 Rt AOF 中，90AOF，由勾股定理得222AFOAOF，设(,0),F m,OFm221AFm，(6,0),E6,OE6EFOEOFm，2221,AFEF221(6)21,mm 122,4mm，,OFEF2,m2OF，(2,0)F(0,2),D2OD，ODOFDOF是等腰直角三角形，45OFD 过点C 作CGx轴，垂足为G(3,1),C1,3CGOG，1,GFOGOF,CGGFCGF是等腰直角三角形，45,GFC90,DFCDFC是直角

132、三角形FK 平分,90,DFCDFC45DFKCFK 90,OFKOFDDFK FKy轴3tan1PFK，1tan3PFK设点 P 的坐标为2,31ttt，根据题意得 133t (i)当点 P 在直线 KF 的左侧抛物线上时，11 1tan,23 3PFKt 过点1P 作1PHx轴，垂足为 H 111,PHKFHPFPFK，11tan3HPF,HFOFOH2HFt，在1RtPHF中，111tan,3HFHPFPH13PHHF，2131PHtt ，2313(2),ttt 2650,tt121,5tt(舍去)当1t 时，2313,tt 1(1,3)P(ii)当点 P 在直线 KF 的右侧抛物线上时，21tan,233P FKt 过点2P 作2P Mx轴，垂足为 M 2,P MKF22MP FP FK，21tan,3MP F,MFOMOF2MFt 在2RtP MF中，221tan,3MFMP FP M23P MMF，2231P Mtt ，2313(2),ttt 27,t347,7tt(舍去)当7t 时，2313 76,tt 2(7,3 76)P点 P 的坐标为(1,3)或(7,3 76)【点睛】题目主要考查一次函数与二次函数综合问题，特殊三角形问题及解三角形，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键