专题14 边边角证全等（解析版）.docx

1、专题14 边边角证全等1已知如图：ABPCBP，P为BN上一点，且PDBC于点D，BAP+BCP180，求证：AB+BC2BD【解答】解：过点P作PMAB，垂足为点M，PMAB，PDBC，ABPCBP，PMPD，BMBD，BAP+BCP180，且BAP+MAP180，PAMBCP，在PAM和PCD中，PAMPCD，AMCD，BMABBCBD，BDABBCBD，AB+BC2BD2如图，四边形ABCD中，A+C180，BD平分ABC，（1）求证：DCAD；（2）若BC21，AB9，AD10，求BD的长【解答】证明：在BC上截取BEBA，连接DE，BD平分ABC，ABDEBD，在BAD和BED中，B

2、ADBED（SAS），DADE，ABED，BED+DEC180，A+C180，CDEC，DEDC，DCAD（2）如图，过点D作DFBC于点F，BADBED，BABE9、ADDC10，BC21，EC12，DEDC，EFFCEC6，在RtDFC中，DF8，在RtBDF中，BD173如图，在四边形ABCD中，已知BD平分ABC，A+C180，试说明ADCD的理由【解答】证明：如图，过点D作DEAB交BA的延长线于E，作DFBC于F，所以，EDF+BAD180，BD平分ABC，DEDF，BAD与BCD互补，ADECDF，在ADE和CDF中，ADECDF（AAS），ADCD4如图所示，四边形ABCD中，

3、BCBA，ADCD，BD平分ABC，求证：A+C180【解答】证明：如图，过D作出DEBA，DFBC，BD平分ABC，DEBA，DFBC，DEDF，EDFC90，在RtDEA和RtDFC中，RtDEARtDFC（HL），CEAD，BAD+EAD180，BAD+C1805如图，OC平分MON，A、B分别为OM、ON上的点，且BOAO，ACBC，求证：OAC+OBC180【解答】解：如图，作CEON于E，CFOM于FOC平分MON，CEON于E，CFOM于FCECF，ACBC，CEBCFA90，RtCFARtCEB（HL），ACFECB，ACBECF，ECF+MON3609090180，ACB+A

4、OB180，OAC+OBC1806如图，在四边形ABCD中，BADDCB90，ABAD，延长CD到E，使DEBC，连接AE，AC（1）求证：ACE是等腰直角三角形；（2）若AC6cm，求四边形ABCD的面积【解答】（1）证明：在四边形ABCD中，BADDCB90，B+ADC360BADDCB180，ADE+ADC180，ADEB，在ADE和ABC中，ADEABC（SAS），DAEBAC，AEAC，CAECAD+DAECAD+BACBAD90，ACE是等腰直角三角形（2）解：ADEABC，SADESABC，ACE是等腰直角三角形AC6cm，ACAE6cm，四边形ABCD的面积SACD+SABCS

5、ACD+SADESACE6618（cm2）7已知：如图，点E、F在BC上，AF与DE交于点G，ABDC，GEGF，BC求证：AGDG【解答】证明：GEGF，GEF为等腰三角形，GEFGFE，在ABF和DCE中，BC，AD，在ABF和DCE中，ABFDCE（ASA），AFDE，又GFGE，AFGFDEGE，即AGDG8如图，已知AC平分BAD，CEAB，CDAD，点E，D分别为垂足，CFCB（1）求证：BEFD（2）若AF4，AB6，求DF【解答】（1）证明：AC平分BAD，CEAB，CDAD，CDCE，ADCAEC90，在RtCDF与RtCEB中，RtCDFRtCEB（HL），BEFD；（2）

6、解：由（1）知，BEFD，ADCAEC90，在RtACD与RtACE中，RtACDRtACE（HL），ADAE，ABAE+BEAD+BEAF+FD+BE，AF4，AB6，64+FD+BE4+2DF，DF19在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，3），ABBC，ABBC，点B在x轴上（1）如图1，AC交x轴于点D，若DBC10，则ADB55；（2）如图1，若点B在x轴正半轴上，点C（1，1），求点B坐标；（3）如图2，若点B在x轴负半轴上，AEx轴于点E，AFy轴于点F，BFM45，MF交直线AE于点M，若点B（1，0），BM5，求EM的长【解答】解：（1）ADB55；ABBC，ABBC，AC4

7、5，ADBC+DBC，DBC10，ADB45+1055；（2）解：如图1，过A作ADx轴，CEx轴，垂足分别为D、E，ADx轴，CEx轴，ADBBEC90，DAB+ABD90，ABBC，EBC+ABD90，DABEBC，在ADB与BEC中，ADBBEC（AAS），BDCE，A（3，3），C（1，1），OD3，CE1，OBOD+BDOD+CE3+14，B（4，0）；（3）解：如图2，在AM上截取ANOB，连接FN，A（3，3），OFAF3，在BOF与NAF中，BOFNAF（SAS），BFONFA，BFNF，BFMBFO+OFM45，NFA+OFM45，OFA90，NFMOFA（NFA+OFM）9

8、04545，BFMNFM，在BFM与NFM中，BFMNFM（SAS），BMNM，BM5，B（1，0），MN5，BOAN1，EMMN+ANAE5+13310如图，在四边形ABCD中，BCBA，ADCD，BD平分ABC，若C50，求BAD的度数【解答】解：过点D作DEBC于E，过点D作DFAB交BA的延长线于F，BD平分ABC，DEDF，DECF90，在RtCDE和RtADF中，RtCDERtADF（HL），FADC，BAD+CBAD+FAD180，C50，BAD13011定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“等补四边形”如图1，四边形ABCD中，ADCD，A+C180，则四边形ABCD叫做“

9、等补四边形”（1）概念理解在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是 DA平行四边形B菱形C矩形D正方形等补四边形ABCD中，若B：C：D2：3：4，则A90（2）知识运用如图1，在四边形ABCD中，BD平分ABC，ADCD，BCBA求证：四边形ABCD是等补四边形（3）探究发现如图2，在等补四边形ABCD中，ABAD，连接AC，AC是否平分BCD？请说明理由【解答】解：（1）平行四边形的对角相等，不一定互补，对边相等，邻边不一定相等，平行四边形不一定是等补四边形，故不选A；菱形四边相等，对角相等，但不一定互补，菱形不一定是等补四边形，故不选B；矩形对角互补，但邻边不一定相等，矩形不一定是等补

10、四边形，故不选C；正方形四个角是直角，四条边相相等，正方形一定是等补四边形，故选D等补四边形对角互补，A：B：C：D3：2：3：4，又A+C180，AC90，故填90（2）如图1，证明：在BC上截取BEBA，连接DE，在BAD和BED中，BADBED（SAS），ADEB，ADDEADCD，DEDCCDECBED+DEC180，A+C180，又ADCD，四边形ABCD是等补四边形；（3）如图2，过点A分别作AEBC于E，AFCD于F，则AEBAFD90，四边形ABCD是等补四边形，B+ADC180，又ADC+ADF180，BADF，ABAD，ABEADF（AAS），AEAF，AC是BCF的平分线

11、（在角的内部且到角两边距离相等的点在角平分线上），即AC平分BCD12已知在MON中，A，B分别为ON，OM上一点（1）如图，若CDOB于D，OC平分MON，OA+OB2OD，求证：MON+ACB180；（2）若CDOB于D，OC平分MON，MON+ACB180，求证：OA+OB2OD【解答】解：（1）作CHOA垂足为H，OC平分MON，CDOM，CHOA，CDCH，在RTOCD和RTOCH中，OCDOCH，ODOH，OA+OB2OD，OH+AH+ODBD20D，BDAH，在CDB和CHA中，CDBCHA，BCDACH，DCHBCA，在四边形OHCD中，MON+DCH+ODC+CHO360，C

12、DOCHO90，MON+DCH180，MON+BCA180（2）作CHOA垂足为H，OC平分MON，CDOM，CHOA，CDCH，在RTOCD和RTOCH中，OCDOCH，ODOH，在四边形OHCD中，MON+DCH+ODC+CHO360，CDOCHO90，MON+DCH180，MON+BCA180，BCADCH，BCDACH，在CDB和CHA中，CDBCHA，BDAH，OB+OAODBD+OH+AH2OD13（1）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，ABAD，BAD120，BADC90，E、F分别是BC，CD上的点，且EAF60，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系小王同学探究此问题

13、的方法是延长FD到点G，使DGBE，连结AG，先证明ABEADG，再证明AEFAGF，可得出结论，他的结论应是 EFBE+DF（2）探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，ABAD，B+D180，E，F分别是BC，CD上的点，且EAFBAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）结论应用：如图3，等腰直角三角形ABC中，BAC90，ABAC，点M，N在边BC上，且MAN45若BM12，CN16，则MN的长为 20【解答】解：（1）EFBE+DF，证明如下：在ABE和ADG中，ABEADG（SAS），AEAG，BAEDAG，EAFBAD，GAFDAG+DAFBAE+DAFBADEAFEAF，E

14、AFGAF，在AEF和AGF中，AEFAGF（SAS），EFFG，FGDG+DFBE+DF，EFBE+DF，故答案为：EFBE+DF；（2）结论EFBE+DF仍然成立；理由：延长FD到点G，使DGBE，连接AC，如下图，在ABE和ADG中，ABEADG（SAS），AEAG，BAEDAG，EAFBAD，GAFDAG+DAFBAE+DAFBADEAFEAF，EAFGAF，在AEF和AGF中，AEFAGF（SAS），EFFG，FGDG+DFBE+DF，EFBE+DF；（3）过点C作CEBC，垂足为点C，截取CE，使CEBM，连接AE、EN，ABAC，BAC90，BACB45，CEBC，ACEB45，在ABM和ACE中，ABMACE（SAS），AMAE，BAMCAE，BAC90，MAN45，BAM+CAN45，在MAN和EAN中，MANEAN（SAS），MNEN，在RtENC中，由勾股定理得EN2EC2+NC2，MN2BM2+NC2，BM12，CN16，MN20，故答案为：20