专题17.18 勾股定理（最短路径问题）（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）.docx

1、专题17.18 勾股定理（最短路径问题）（巩固篇）（专项练习）一、单选题1如图，已知，P是线段上的任意一点，在的同侧分别以为边作等边三角形和等边三角形，则的最小值是（）A4B5C6D72如图，在中，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点E，F，再分别以E、F为圆心，以相同长度为半径作弧，两弧相交于点O，P为射线上任意一点，过点P作，交于点M，连接，若，则长度的最小值为（）ABC4D3如图，在中，以为边在外作 ，且，则的最小值是 （）ABCD4如图，在中，D为上一动点，则的最小值等于（）A4BCD5如图，在中，是的平分线若，分别是和上的动点，则的最小值是（）ABCD6如图，ABC为等边三

2、角形，边长为6，ADBC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为（）AB3C3D27如图，AOB=60，点P是AOB内的定点且OP=，若点M，N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，则PMN周长的最小值是（）ABC6D38如图，在等腰直角ABC中，B90，ABBC10，E为AC上的一动点（不与C重合），CDE为等边三角形，过E作EFDE，F为此垂线上的动点，连接DF，并取DF得中点G，连接AG，则线段AG的最小值是()ABCD9如图，在中，cm，cm，点、分别在、边上现将沿翻折，使点落在点处连接，则长度的最小值为（）A0B2C4D610如

3、图，中，分别是，边的中点，是上的动点，的最小值为（）A3BC4D11如图，在ABC中，ABC为钝角，AB2，BAC45，BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值（）A1B2CD212如图，在中，点D，E分别是边、上的两点，连接，已知，则的最小值是（）AB10C9.6D二、填空题13如图，中，点为边上一点，点为边的中点，连接，点为线段上的动点，连接，则的最小值为_14如图，为等边三角形，平分，的面积为，点为上动点，连接，则的最小值为 _15如图，在中，平分交于点，分别是，上的动点，则的最小值为_16如图，在四边形中，点P是线段上的动点，连接，若周长的最小值

4、为16，则的长为_17如图，等腰三角形的底边，面积为30，点在边上，且，是腰的中垂线，若点在上运动，则的周长的最小值为_18在平面直角坐标系中，点为轴上一点，则的最小值为_19如图，长方形中，E为边上的动点，F为的中点，连接，则的最小值为_20如图，在中，点在边上，将沿直线翻折，点恰好落在边上的点处，若点是直线上的动点，连接，则的周长的最小值为_21如图，将沿折叠，使顶点C恰好落在边上的点M处，点D在上，点P在线段上移动，若，则周长的最小值为_22如图，点，分别在边，上，且，点，分别在边，上，则的最小值是_23如图，为等边的BC边上的高，E、F分别为线段上的动点，且，若时，则的最小值为_，若时

5、，的最小值为_24如图，在RtABC中，C=90，B=30，AB=8，点P是边BC上一动点，点D在边AB上，且BD=AB，则PA+PD的最小值为_三、解答题25如图，和都是等边三角形，且点、在一条直线上，连接，点、分别是线段、上的两个动点，完成以下问题(1) 发现问题：当，时，的形状是_(2) 类比探究：当，时，（1）结论还成立吗？若成立，请证明，若不成立，请举出反例(3) 拓展应用：若，在、运动过程中，请直接写出的面积的最小值26如图，已知，连接，过点作的垂线段，使，连接(1) 如图1，直接写出点坐标；(2) 如图2，当点在线段（不与重合）上，连接，作等腰直角，连接，求证：；(3) 在（2）

6、的条件下：若、三点共线，直接写出此时的度数及点坐标直接写出面积的最小值和此时的长度27如图，在网格中，每个小正方形的边长都为1，点，(1) 建立平面直角坐标系，并写出点的坐标_(2) 若与关于轴对称，则的坐标为_(3) 在轴上找一点，使最小，则最小值是_28在中，的中垂线交于D，交于点E(1) 如图1，连接，请求出的长；(2) 如图2，延长交的延长线于点F，连接，请求出的长；(3) 如图3，点P为直线上一动点，点Q为直线上一动点，则的最小值为 参考答案1C【分析】过点C作于E，过点D作于F，过点D作于G，根据勾股定理可以求得，从而可根据的取值范围求得的最小值，即可解题解：如图，过点C作于E，过

7、点D作于F，过点D作于G和都为等边三角形，当时，有最小值，即此时P为中点，即长度的最小值是故选C【点拨】本题考查勾股定理，等边三角形的性质理解当时，有最小值，且此时P为中点是解题关键2B【分析】如图，过点P作于T，过点C作于R，利用面积法求出，再证明，即可求出长度的最小值解：如图，过点P作于T，过点C作于R，在中，由作图可知，平分，的最小值为，故选：B【点拨】本题考查作图基本作图，角平分线的性质定理，三角形的面积等知识，解题的关键是证明，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型3C【分析】作直线，点B关于直线的对称点，连接与直线交于，此时有最小值，利用，得到直线到距离为，进而得到，最利用勾股

8、定理即可得到的最小值解：如图，过点D作直线，作点B关于直线的对称点，连接与直线交于，由两点间线段最短可知，当点D在位置时，有最小值，设点到的距离为，即直线到距离为，由勾股定理得：，故选C【点拨】本题考查了利用轴对称求最短距离，勾股定理，作出辅助线是解题关键4B【分析】过E作交的延长线于点F，作点A关于的对称点，连接和依据轴对称的性质即可得到，再根据平移的性质即可得出，当点C，点E，点在同一直线上时，的最小值等于的长，利用勾股定理求得的长即可解：如图所示，过E作交的延长线于点F，作点A关于的对称点，连接和，由题可得，是等腰直角三角形，由平移的性质可得：，当点C，点E，点在同一直线上时，的最小值等

9、于的长，如图所示此时，中，的最小值为，故选：B【点拨】此题主要考查了最短路径问题，平移的性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点5C【分析】过点作交于点，交于点，过点作于点，由是的平分线，得出，这时有最小值，即的长度，运用勾股定理求出，再运用，得出的值，即的最小值解：如图所示，过点作交于点，交于点，过点作于点，是的平分线，这时有最小值，即的长度，的最小值为故选：【点拨】本题主要考查了轴对称问题，勾股定理，角平分线的性质，解题的关键是找出满足有最小值时点和的位置6C【分析】过C作CFAB交AD于

10、E，则此时，CE+EF的值最小，且CE+EF的最小值=CF，根据等边三角形的性质得到BF=AB=6=3，根据勾股定理即可得到结论解：】解：过C作CFAB交AD于E，如图，则此时，CE+EF的值最小，且CE+EF的最小值=CF，ABC为等边三角形，边长为6，BF=AB=6=3，CF=，CE+EF的最小值为3，故选：C【点拨】本题考查了垂线段最短，勾股定理，等边三角形的性质，关键是画出符合条件的图形7B【分析】作点P关于OB的对称点D，点P关于OA的对称点C，连接CD与OA，OB分别交于点M与N则CD的长即为PMN周长的最小值；连接OC，OD，过点O作OHCD，在RtOCH中求出HC即可求出CD解

11、：作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，则MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=4，BOP=BOD，AOP=AOC，PN+PM+MN=ND+MN+MC=DC，COD=BOP+BOD+AOP+AOC=2AOB=120，此时PMN周长最小，最小值是DC的长，作OHCD于H，则CH=DH，OCH=30，OH=OC=2，CH=2，CD=2CH=4PMN周长的最小值是4，故选：B【点拨】本题考查利用轴对称求最短距离问题；通过轴对称将PMN周长转化为CD的长是解题的关键8A【分析】如图，连接、，设CG与DE交于点H，先判断出CG为线段DE的垂直平分线，再求出，

12、最后由勾股定理求出AC的长即可解：如图，连接、，设CG与DE交于点H，为的中点，点在的垂直平分线上，是等边三角形，点在的垂直平分线上，为的垂直平分线，点在射线上，当时，的值最小，如图，设点为垂足，则，在中，B90，ABBC10，故选：A【点拨】本题主要考查了线段垂直平分线的判定与性质，勾股定理等知识，数形结合并明确相关性质的定理是解题的关键9C【分析】当H落在AB上，点D与B重合时，AH长度的值最小，根据勾股定理得到AB=10cm，由折叠的性质知，BH=BC=6cm，于是得到结论解：当H落在AB上，点D与B重合时，AH长度的值最小，C=90，AC=8cm，BC=6cm，AB=10cm，由折叠的

13、性质知，BH=BC=6cm，AH=AB-BH=4cm故选：C【点拨】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键10B【分析】连接PC，易证，将转化为，根据三角形三边关系知，故当P、E、C在一条直线时，取最小值，解直角三角形求出EC的长度即可解：如图，连接PC，EC，EC交BD于点，中，是的中点，是线段的垂直平分线，根据三角形两边和大于第三边可知，当P、E、C在一条直线时，取最小值，最小值为EC，中，是边的中点，的最小值为为故选：B【点拨】本题考查等边三角形的性质、勾股定理解三角形、求线段和的最值等，通过作辅助线，找出PA的等长线段，将进行转化是解题的关键11B【分

14、析】在上截取点，使得，过点作于点，连接，先根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据垂线段最短可得的最小值为的长，然后根据等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理即可得出答案解：如图，在上截取点，使得，过点作于点，连接，平分，在和中，当且仅当点共线时，等号成立，由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，即的最小值为，是等腰直角三角形，解得，即的最小值为2，故选：B【点拨】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键12A【分析】过点A作，并使得，连接，构造，然后得到，进而得知，连接，即可

15、得知的长度即为的最小值，也就是的最小值，最后利用勾股定理求得的值即可得到答案解：如图，过点A作，并使得，连接，则，在中，连接，即可得知的长度即为的最小值，也就是的最小值，的最小值是，故A正确故选：A【点拨】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质和勾股定理，解题的关键是会作常用辅助线构造全等三角形135【分析】连接，交于点，连接，首先证明为线段的垂直平分线，即有点、关于对称，此时，的值最小，再利用勾股定理解得，由，即可确定的最小值解：如下图，连接，交于点，连接，点为边的中点，即为线段的垂直平分线，点、关于对称，此时，的值最小，在中，即的最小值为5故答案为：5【点拨】本题主要考查了最短

16、路径、勾股定理、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，利用轴对称的性质确定取最小值时的位置是解题关键14【分析】过A作于，过点作于，根据等边三角形及含30度角的直角三角形的性质得出， 确定最小值为AF，再由勾股定理及三角形面积公式即可求解解：过A作于，过点作于，为等边三角形，平分， ， 的面积为，的最小值为故答案为：【点拨】题目主要考查等边三角形的性质及含30度角的直角三角形的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，找出最短距离是解题关键154【分析】在上取点，使，过点作，垂足为因为，推出当、共线，且点与重合时，的值最小解：如图所示：在上取点，使，过点作，垂足为平分，在和，在中，依据勾股定理可

17、知，当、共线，且点与重合时，的值最小，最小值为4，故答案为：4【点拨】本题主要考查的是轴对称的性质、勾股定理的应用、垂线段最短等知识，解题的关键是学利用对称，解决最短问题166【分析】作点关于的对称点，连接交于，则，设，则，依据中，即可得到，进而得出的长解：如图所示，作点关于的对称点，连接交于，则，设，则，中，解得，故答案为：【点拨】本题考查勾股定理的应用和三角形的周长，解题的关键是掌握勾股定理的应用和三角形的周长的计算179【分析】作于，连接由垂直平分线段，推出，推出，可得当、共线时，的值最小，最小值就是线段的长解：如图作于，连接垂直平分线段，当、共线时，的值最小，最小值就是线段的长，的最小

18、值为周长的最小值为；故答案为：9【点拨】本题考查轴对称最短问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称，解决最短问题，属于中考常考题型18#【分析】先确定点C的位置，再根据直角三角形的性质定理和勾股定理分别求出，最后根据求出答案解：过点A作直线，使，过点B作，与y轴交于点C，可知 最小，最小值为长，因为，所以，则，则，故答案为：【点拨】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理等，确定点C的位置是解题的关键1915【分析】作F关于的对称点，连接，交于点E，则，的长即为的最小值运用勾股定理求即可解：如图：作F关于的对称点，连接，交于点E，则，的长即为的最小值长方

19、形中，F为的中点，即的最小值为15故答案为：15【点拨】本题主要考查轴对称的性质及运用，能够熟练掌握并运用将军饮马模型是解题关键20【分析】根据折叠和等腰三角形性质得出当和重合时，的值最小，即可此时的周长最小，最小值是，先求出和长，代入求出即可解：连接，如图：，沿折叠和重合，当和重合，此时、三点共线，最小，即的值最小，故的周长最小，的周长最小值是，的周长的最小值是故答案为：【点拨】本题考查了折叠性质，等腰直角三角形的性质，轴对称最短路线问题，勾股定理，关键是求出点的位置21【分析】首先明确要使得周长最小，即使得最小，再根据翻折的性质可知，从而可得满足最小即可，根据两点之间线段最短确定即为最小值

20、，从而求解即可解：如图，连接，由翻折的性质可知，垂直平分，M点为上一个固定点，则长度固定，周长，要使得周长最小，即使得最小，满足最小即可，当P、B、C三点共线时，满足最小，此时，P点与D点重合，周长最小值即为故答案为：12【点拨】本题考查翻折的性质，以及最短路径问题等，掌握翻折的基本性质，利用角平分线的性质进行推理求解，理解并熟练运用两点之间线段最短是解题关键22【分析】作关于的对称点，作关于的对称点，连接，即为的最小值；证出为等边三角形，为等边三角形，得出，由勾股定理求出即可解：作关于的对称点，作关于的对称点，连接，如图所示： 连接，即为的最小值根据轴对称的定义可知：，为等边三角形，为等边三

21、角形，在中，故答案为：【点拨】本题考查了轴对称-最短路径问题，根据轴对称的性质，找到相等的线段，得到等边三角形是解题的关键23 【分析】当时，取得最小值，利用等边三角形的性质即可求解；作辅助线，构建全等三角形，证明，得，将转化为，与在同一个三角形中，根据两点之间线段最短，确定点F的位置，即B、F、H共线时，的值最小，利用等腰直角三角形的性质求解即可解：当时，取得最小值，是边长为2的等边三角形，；即的最小值为；如图，作，且，连接交于M，连接，是等边三角形，当B、F、H共线时，如图2，的值最小，即的长，此时是等腰直角三角形，且，故答案为：；【点拨】此题考查全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质、

22、最短路径问题，关键是作出辅助线，确定点F的位置，有难度24【分析】作关于的对称点，连接交于，则的值最小，过作交的延长线于，过作于，则，DH/BC，根据勾股定理即可得到结论解：作关于的对称点，连接交于，则的值最小，过作交的延长线于，过作于，则，DH/BC，AB=2，的最小值为，【点拨】本题考查了勾股定理的使用，涉及了轴对称图形的性质，掌握并熟练使用相关知识，同时注意解题中需注意的事项是本题的解题关键25(1) 等边三角形(2) 成立，证明见分析(3) 【分析】（1）由等边三角形的性质得到边的关系、角的关系，然后证明，则，再证明，即可得到结论成立；（2）与（1）同理，由等边三角形的判定和性质，全等

23、三角形的判定和性质，即可得到结论成立；（3）过点作，此时的面积最小，然后根据勾股定理，即可得到答案（1）解：和都是等边三角形，即，在与中，；在与中，是等边三角形（2）成立，理由如下，和都是等边三角形，即，在与中，在与中，是等边三角形（3）过点作，此时的面积最小，过点作的垂线，垂足为点，则，设为，由可得，在中，在中， ，可得，即，在中，利用勾股定理可得，【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线是解题的关键26(1) (2) 见分析(3) ，面积的最小值2，【分析】（1）设轴于，证明，根据全等三角形的性质得到，求出，即可得到点

24、坐标；（2）证明，根据全等三角形的性质得到；（3）根据、三点共线，得到，根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质求出，即可得到点坐标；由等腰直角三角形的性质和垂线段最短，可得当最短时即点于点重合时，面积最小，再根据计算求解即可（1）解：设轴于，则，在和中，点坐标为；（2）证明：，在和中，（3）解：是等腰直角三角形，当、三点共线时，由（2）可知，；，点坐标为；是等腰直角三角形，当最短时即点于点重合时，面积最小，又，【点拨】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，两点间的距离，垂线段最短，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键27(1)；(2)；(3)【分析】（1）先

25、根据，建立坐标系，再结合图形求出点B坐标即可；（2）根据点关于坐标轴对称的特点求解即可（3）找出点A关于y轴对称的点，连接与y轴的交点即可为P，此时最小，再利用勾股定理求解即可（1）解：根据，建立如下图所示的坐标系：，故答案为：（2）解：与关于轴对称，与关于轴对称，故答案为：（3）解：找出点A关于y轴对称的点，连接与y轴的交点即可为P，此时最小，网格的每个格长为1，故答案为：【点拨】本题考查点的坐标，坐标关于坐标轴对称的特点，勾股定理两点之间，线段最短解题的关键是理解题意，结合图形求解28(1) (2) 5(3) 解：（1）是的中垂线，设，则，在中，由勾股定理得：，解得：，即（2）是的中垂线，设，则，在中，由勾股定理得：，解得：，即的长为5；（3）的最小值为理由：连接，过B作于M，交直线于，过作于，如图3所示：是的中垂线，则点M与关于对称，此时，即的值最小，由（2）得，的面积，即的最小值为故答案为：【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理、轴对称的性质以及三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握线段垂直平分线的性质和勾股定理是解题的关键