专题20立体几何与空间向量C辑（学生版）-备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）.docx

1、备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编(1981-2020)专题20立体几何与空间向量C辑历年联赛真题汇编1【2003高中数学联赛(第01试)】将八个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于 .2【2002高中数学联赛(第01试)】如图，点P1,P2,P10分别是四面体顶点或棱的中点，那么在同一平面上的四点组P1,Pi,Pj,Pk(1ijk10)有 个.3【2001高中数学联赛(第01试)】正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则直线A1C1与BD1的距离是 .4【2000高中数学联赛(第01试)】一个球与

2、正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是 .5【1999高中数学联赛(第01试)】已知三棱锥SABC的底面是正三角形，点A在侧面SBC上的射影H是SBC的垂心，二面角HABC的平面角等于30，SA=23.那么三棱锥SABC的体积为 .6【1998高中数学联赛(第01试)】ABC中，C=90，B=30，AC=2，M是AB的中点，将ACM沿CM折起，使A，B两点间的距离为22，此时三棱锥ABCM的体积等于 .7【1997高中数学联赛(第01试)】已知三棱锥SABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC=2，AB=2，设S，A，B，C四点均在以O为球心的某个球面

3、上，则点O到平面ABC的距离为 .8【1996高中数学联赛(第01试)】已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并且该六面体的最短棱的长为2，则最远的两顶点间的距离是 .9【1995高中数学联赛(第01试)】一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为 .10【1995高中数学联赛(第01试)】将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可使用，那么不同的染色方法的总数是 .11【1994高中数学联赛(第01试)】已知一平面与一正方体的12条棱的夹角都等于a，则sina= .12【1992高中数学联赛(第01试)】从

4、正方体的棱和各个面上的对角线中选出k条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则k的最大值是 .13【1988高中数学联赛(第01试)】长为2，宽为1的矩形，以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周，求得到的旋转体体积.14【1987高中数学联赛(第01试)】现有边长为3，4，5的三角形两个，边长分别为4，5，41的三角形四个，边长分别为562，4，5的三角形六个，用上述三角形为面，可以拼成 个四面体.15【1986高中数学联赛(第01试)】本题共有4个小题.每个小题的答案都是000999的某一个整数，请把你认为正确的答案填在 上(1)在底面半径为6的圆柱内，有两个半径也为6的球面，其球心

5、距为13.若作一个平面与这两个球面相切，且与圆柱面相交成一个椭圆，则这个椭圆的长轴长与短轴长之和是 .(2)已知fx=1-2x，x0，1，那么方程f(f(f(x)=12x的解的个数是 .(3)设f(x)=4x4x+2，那么和式f11001+f21001+f31001+f10001001的值等于 .(4)设x，y，z为非负实数，且满足方程45x+9y+4z-6825x+9y+4z+256=0.那么x+y+z的最大值与最小值的乘积等于 .16【1983高中数学联赛(第01试)】一个六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a的正三角形，这样两个多面体的内切球的半径之比是一个既约分数那么mn，积

6、mn是 .17【1993高中数学联赛(第01试)】三棱锥SABC中，侧棱SA，SB，SC两两互相垂直，M为ABC的重心，D为AB的中点，作与SC平行的直线DP，证明：(1)DP与SM相交；(2)设DP与SM的交点为D，则D为三棱锥SABC的外接球球心.18【1992高中数学联赛(第01试)】设l，m是两条异面直线，在l上有A，B，C三个点，且AB=BC，过A，B，C分别作m的垂线AD，BE，CF，垂足依次为D，E，F.已知AD=15,BE=72，CF=10.求l与m的距离.19【1991高中数学联赛(第01试)】设正三棱锥PABC的高为PO，M为PO的中点，过AM作与棱BC平行的平面，将三棱锥

7、截为上、下两部分，试求此两部分体积之比20【1990高中数学联赛(第01试)】设棱锥MABCD的底面是正方形，且MA=MD，MAAB，如果AMD的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.21【1989高中数学联赛(第01试)】已知正三棱锥SABC的高SO=3，底面边长为6，过点A向它所对的侧面SBC作垂钱，垂足为O，在AO上取一点P，使APPO=8，求经过点P且平行于底面的截面的面积.优质模拟题强化训练1已知三棱锥PABC的平面展开图中，四边形ABCD为边长等于22的正方形，ABE和BCF均为正三角形，在三棱锥PABC中：(1)证明：平面PAC平面ABC；(2)若点M为棱PA上一点且PM

8、MA=12，求二面角PBCM的余弦值.2已知三棱锥S-ABC中侧棱SA、SB、SC互相垂直，M是底面三角形ABC内一动点.直线MS与SA、SB、SC所成的角分别是、.(1)证明：、不可能是锐角三角形的三个内角；(2)设S=1cos2+1cos2+1cos2-2(cos3+cos3+cos3)coscoscos，证明：S3.3如图，已知矩形ABCD满足AB=5，AC=34，沿平行于AD的线段EF向上翻折(点E在线段AB上运动，点F在线段CD上运动)，得到如图所示的三棱柱ABE-DCF.若图中ABG是直角三角形，这里G是线段EF上的点，试求线段EG的长度x的取值范围；若中EG的长度为取值范围内的最

9、大整数，且线段AB的长度取得最小值，求二面角C-EF-D的值；在与的条件都满足的情况下，求三棱锥A-BFG的体积.4如图，已知在四面体ABCD中，棱AB、AC、AD两两垂直，BC=CD=10,BD=12.作平行于底面BCD的截面A，使A与底面BCD的距离为1，类似作其他三个截面B、C、D.求四个截面交成的小四面体的体积.5如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，ABAC=23，PA面ABCD，M是棱PC上一点.(1)若PA、PB、PC、PD与平面ABCD所成的角分别为、，且=+，求sin+；(2)若PA=2AC，当点M使MBD的面积达到最小时，求二面角M-BD-A的大小.6如图，已知

10、正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，O1为正方形ABCD的内切圆，O2为正方形ADD1A1的外接圆，P、Q分别为O1、O2上的点.求PQ长度的取值范围.7在三棱锥P-ABC中，AB=2，PA+PC=4，AC=x，VP-ABC的最大值为V.(1)试用x表示V；(2)若VP-ABC=43，求三棱锥P-ABC的侧面积.8三棱锥S-ABC中，侧棱ABC-A1B1C1两两互相垂直，M为三角形ABC的重心，D为AB中点，作与SC平行的直线DP。证明：(1)DP写SM相交；(2)设DP与SM的交点为D，则D为三棱锥S-ABC的外接球球心。9如图 ，四棱锥 P-ABCD的底面是正方形， PA底面ABC

11、D ， PA=AD=2， 点M、N分别在棱PD、PC上，且PC平面AMN.(1)求证 ：AMPD；(2)求二面角P-AM-N的大小；(3)求直线CD与平面AMN 所成角的大小.10如图已知四面体ABCD中, ABBC,BCCD,CDAB.(1)指出与面BCD垂直的侧面,并加以证明;(2)若AB=BC=1,CD=x,二面角C-AD-B的平面角为,sin=f(x),求f(x)的表达式和的取值范围.11(1)在ABC中，BCA=90，则AC2+BC2=AB2；类比到三维空间中，你能得到什么结论?请给出证明(2)在ABC中，BCA=90，若点 C到AB的距离为h，ABC的内切圆半径为r，求rh的最小值

12、(3)将 (2)的结论推广到三维空间，并证明之12已知ABCD-A1B1C1D1是一个长方体，从点A到直线A1B、A1C、A1D的垂线分别交直线A1B1、A1C1、A1D1于点M、N、P，垂足分别为E、G、F求证：(1)M、N、P三点共线；(2)PE、MF、AN三条直线交于一点13单位正方体ABCD-A1B1C1D1中，正方形ABCD的中心为点M，正方形的中心为点N，连AN、B1M.(1)求证：AN,B1M为异面直线；(2)求证：AN与B1M的夹角.14如图，三棱锥P-ABC的底面ABC与圆锥SO的底面O都在平面上，且O过点A，又O的直径ADBC，垂足为E.设三棱锥P-ABC的所有棱长都是1，

13、圆锥的底面直径与母线长也都是1，圆锥的底面直径与母线长也都是1.求圆锥的顶点S到三棱锥P-ABC的三个侧面的距离.15如图，点O表示太阳，ABC表示一个三角形遮阳栅，点A、B是地面上南北方向的两个定点，正西方向射出的太阳光线OCD把遮阳栅投射到地面得出遮影ABD.已知光线OCD与地面成锐角.(1).遮阳栅与地面成多少度角时，才能使遮影ABD面积最大？(2).当AC=3，BC=4，AB=5，=30时，求出遮影ABD的最大面积.16如图，四棱锥P-ABCD，PA平面ABCD，且PA=4，底面ABCD为直角梯形，CDA=BAD=90，AB=2，CD=1，AD=2，CD=1，AD=2，M、N分别为PD

14、、PB的中点，平面MCN与PA的交点为Q.(1)求PQ的长度；(2)求截面MCN的底面ABCD所成二面角的大小；(3)求点A到平面MCN的距离.17如图，设ABCD-A1B1C1D1是一个正方体，点P、Q分别在棱AB、C1D1上记PA1A=，QA1D1=，且、(0,4(1)试求平面A1PQ与侧面A1ADD1的夹角(用关于、的反三角函数式表示)；(2)若+=4，试求的取值范围18已知正四面体ABCD的棱长为2，球O与四面体的面ABC和面DBC都相切，其切点分别在ABC和DBC内(含边界)，且球O与棱AD相切.(1)证明：球O的球心在棱AD的中垂面上；(2)求球O的半径的取值范围.19如图,已知三棱柱A1B1C1-ABC的底面是边长为2的正三角形,侧棱A1A与下底面相邻的两边AB,AC均成45度的角.(1)求点A1到平面B1BCC1的距离.(2)试问,当A1A为多长时,点A1到平面ABC与到平面B1BCC1的距离相等.20已知E是棱长为2的正四面体ABCD的棱BC上的点，四面体ABDE、四面体ACDE的内切球半径分别为r1,r2，若r1-1+r2-1=46+43，则满足条件的点E有两个，分别设为E1,E2,试求E1E2的长.