专题21二次函数与三角函数综合问题-挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）（解析版）.docx

1、挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用） 专题21二次函数与三角函数综合问题【例1】（2022泰安二模）抛物线的顶点在轴上，与轴交于点（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，直线交抛物线于，两点，若，求的面积；（3）如图2，已知（2）中点坐标，点是第二象限抛物线上一点，是否存在点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由【分析】（1）根据，求得的值，从而得出抛物线的解析式；（2）以为斜边作等腰直角三角形，设，从而表示出，将点坐标代入抛物线的解析式求得的值，进而求得，两点坐标，进一步求的面积；（3）作直角三角形，使，作轴于，作轴于，可证得，进而求得点的坐标，进一步求得的解析

2、式，进一步可求得结果【解答】解：（1）由题知，；（2）如图1，由题意得：，是等腰直角三角形，以为斜边作等腰直角三角形，设，为抛物线上，当时，延长交轴于，作轴于，；（3）如图2，作直角三角形，使，作轴于，作轴于，的解析式为：，由得，（舍取），当时，【例2】（2022江岸区校级模拟）抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，若，是抛物线上两点，在对称轴右侧，且，求点坐标；（3）如图3，是点右侧抛物线上的一动点，、两点关于轴对称，直线、分别交直线于、两点，交轴于，求的值【分析】（1）如图1，连接、，可求得：，再结合，建立方程求解即可得出答案；（2）过点作轴于

3、点，过点作，使，过点作轴于点，如图2，可证明，利用，求得，运用待定系数法求得直线的解析式为，联立方程组求解可得，；如图2，在的反向延长线上截取，连接交抛物线于点，同理可求得，；（3）设，则，利用待定系数法可得直线的解析式为，得出，同理可得：直线的解析式为，再由，即可求得的值为3【解答】解：（1）如图1，连接、，抛物线，令，得，令，得，解得：，把代入，得，解得：或（不符合题意，舍去），抛物线的解析式为；（2）过点作轴于点，过点作，使，过点作轴于点，如图2，点在抛物线上，轴，轴，即，设直线的解析式为，把，代入，得：，解得：，直线的解析式为，联立方程组得：，解得：（舍去），；如图2，在的反向延长线上

4、截取，连接交抛物线于点，点与点关于原点对称，同理可得：直线的解析式为，联立方程组得：，解得：（舍去），；综上所述，点坐标为，或，；（3）抛物线，令，得，如图3，、两点关于轴对称，设，则，设直线的解析式为，则，解得：，直线的解析式为，当时，同理可得：直线的解析式为，当时，故的值为3【例3】（2022沈阳模拟）如图1，直线分别交轴，轴于点，经过点，的抛物线交轴正半轴于点（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图2，是第三象限内的抛物线上动点，轴交直线于点，若是等腰三角形，求点坐标；（3）是抛物线的顶点，直线上存在点，使，请直接写出点坐标【分析】（1）将，代入，即可求解；（2）设，则，求出，再分三种情况

5、讨论即可；（3）设，求出直线的解析式为，分两种情况讨论：当点在点左侧时，过点作交于点，过点作轴交轴于点，过点作交于点，则，再由，设，求出，将点代入，可求点坐标；当点在点右侧时，过点作交于点，过点作轴交轴于点，过点作交于点，则，由，设，求出，将点点代入，求出点坐标即可【解答】解：（1）令，则，令，则，将，代入，解得，；（2）设，则，在第三象限内，当时，解得（舍或，；当时，解得（舍或或（舍，；当时，解得（舍或（舍或，；综上所述：点坐标为或，或（3），顶点，设，设直线的解析式为，当点在点左侧时，过点作交于点，过点作轴交轴于点，过点作交于点，设，将点代入，可得，解得（舍或，；当点在点右侧时，过点作交于

6、点，过点作轴交轴于点，过点作交于点，设，将点，代入，则，解得，；综上所述，点坐标为，或，【例4】（2022湖北）抛物线与直线交于原点和点，与轴交于另一点，顶点为（1）直接写出点和点的坐标；（2）如图1，连接，为轴上的动点，当时，求点的坐标；（3）如图2，是点关于抛物线对称轴的对称点，是抛物线上的动点，它的横坐标为，连接，与直线交于点设和的面积分别为和，求的最大值【分析】（1）令，求出的值即可得出点的坐标，将函数化作顶点式可得出点的坐标；（2）过点作轴于点，易得，因为，所以，分两种情况进行讨论，当点在线段的右侧时，轴，当点在线段左侧时，设直线与轴交于点，则是等腰三角形，分别求出点的坐标即可（3）

7、分别过点，作轴的平行线，交直线于点，则，由点的横坐标为，可表达，再利用二次函数的性质可得出结论【解答】解：（1）令，解得或，；，顶点（2）如图，过点作轴于点，当点在线段的右侧时，轴，如图，；当点在线段左侧时，设直线与轴交于点，则是等腰三角形，设，则，在中，解得，直线的解析式为：，令，则，解得，综上，点的坐标为或，（3）点与点关于对称轴对称，如图，分别过点，作轴的平行线，交直线于点，点横坐标为，当时，的最大值为【例5】（2022南充）抛物线与轴分别交于点，与轴交于点（1）求抛物线的解析式（2）如图1，顶点在抛物线上，如果面积为某值时，符合条件的点有且只有三个，求点的坐标（3）如图2，点在第二象限

8、的抛物线上，点在延长线上，连接并延长到点，使交轴于点，与均为锐角，求点的坐标【分析】（1）将、两点坐标代入抛物线的解析式，从而求得，进而得出抛物线的解析式；（2）在的下方存在一个点，在的上方时两个，其中过下方的点的直线与平行的直线与抛物线相切，根据直线的解析式与抛物线解析式可以得出一个一元二次方程，该一元二次方程的根的判别式为0，从而求得的值，进而得出在的上方的直线解析式，与抛物线联立成方程组，进一步求得结果；（3）作轴于，作轴于，作，交的延长线于，设点的横坐标为，根据得出，根据得出，从而，根据可表示出，根据可得出的值，进一步求得结果【解答】解：（1）由题意得，；（2）如图1，作直线且与抛物线

9、相切于点，直线交轴于，作直线且直线到的距离等于直线到的距离，的解析式为，设直线的解析式为：，由得，即，直线的解析式为：，综上所述：点或，或，；（3）如图2，作轴于，作轴于，作，交的延长线于，设点的横坐标为，点的横坐标为：，同理可得：，当时，【例6】（2022无锡）已知二次函数图象的对称轴与轴交于点，图象与轴交于点，、为该二次函数图象上的两个动点（点在点的左侧），且（1）求该二次函数的表达式；（2）若点与点重合，求的值；（3）点是否存在其他的位置，使得的值与（2）中所求的值相等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）二次函数与轴交于点，求得，根据，即二次函数对称轴为直线，求出

10、的值，即可得到二次函数的表达式；（2）通过证明，然后结合点的坐标特征列方程求得和的长度，从而求解；（3）根据题目要求，找出符合条件的点的位置，再利用几何图形的性质，结合方程思想求出对应点的坐标即可【解答】解：将点代入，可得，二次函数图象的对称轴与轴交于点，解得：，二次函数的解析式为；（2）如图，过点作轴于点，连接，即，设点坐标为，解得：（舍去），当时，在中，在中，在中，；（3）存在，理由如下：如图，与（2）图中关于对称轴对称时，点的坐标为，此时，点的坐标为，当点、关于对称轴对称时，此时与长度相等，即，当点在轴上方时，过点作垂直于轴，垂足为，点、关于对称轴对称，为等腰直角三角形，设点的坐标为，解

11、得（舍去）或，此时点的坐标为，；当点在轴下方时，过点作垂直于轴，垂足为，点、关于对称轴对称，为等腰直角三角形，设点的坐标为，解得（舍去）或，此时点的坐标为，；综上，点的坐标为或，或，一解答题（共20题）1（2022秋工业园区期中）已知抛物线的图象与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴正半轴交于点，顶点为，直线轴于点（1）当时，知，求的长；（2）当时，若，求抛物线的解析式；【分析】（1）根据题意求出，再由，得到，则，当时，分别求出，再求的长即可；（2）过点作交于点，由，可得，再由，求出，根据，可知，根据，求出的值，从而确定、点的坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可【解答】解：（1），顶点，令，则

12、，令，则，或，；（2）过点作交于点，将代入中，解得，2（2022春德化县期中）在平面直角坐标系中，经过原点的抛物线与轴的正半轴交于点，为抛物线的顶点，且（1）已知求二次函数的解析式；直线平行于，且将分成面积相等的两部分，求直线的解析式（2）若为对称轴右侧的二次函数图象上的一点，且直线交对称轴于点，点，关于点对称，求证：直线过定点【分析】（1）将，代入，可得，从而求出，再由，求出的值即可求函数的解析式；由可知，求出直线的解析式可得，设直线与轴的交点为，由平行可得，求出，即可求直线的解析式；（2）由题意可求，设，求出直线的解析式，可求，再由求出直线的解析式为，即可得直线经过定点【解答】（1）解：，

13、抛物线经过原点，解得，；由可知，设直线的解析式为，解得，设直线与轴的交点为，直线将分成面积相等的两部分，解得，；（2）证明：，抛物线的对称轴为直线，令，则，解得或，解得，设，直线的解析式为，解得，点，关于点对称，设直线的解析式为，解得，直线经过定点3（2021秋朝阳区校级期中）如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点、，（1）若点的坐标为；求该抛物线的解析式3；点是线段上的动点过点作，交线段于点，连接，设点的横坐标为，的面积为，求关于的函数关系式；当的面积最大时，求点的坐标；（2）已知、是抛物线上两点；将抛物线上位于、两点间的部分记为；把的最高点与最低点的纵坐标的差记为，当时，求的取值范围【分析

14、】（1）将点、的坐标代入可得出、的值，继而确定抛物线解析式；求出点的坐标，即可得的值；设，且，由，可得，利用对应边成比例可得出的长，由，可得关于的表达式，利用配方法求最值即可；（2）由点可得，可得、，由，可得顶点坐标为，分当时，当时两种情况，根据最高点与最低点的纵坐标的差记为，即可求解【解答】解：（1）将点，点代入抛物线得：，解得：，故抛物线解析式：；令则，点的坐标为，点，故答案为：3；设，且，作轴于，即，的面积，当时，面积最大，此时；（2）抛物线与轴交于点，顶点坐标为，、，当时，最高点为，最低点为，；当时，最高点为，最低点为，综上，的取值范围为或4（2022长春模拟）在平面直角坐标系中，抛物

15、线的顶点为，且该抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧）我们规定抛物线与轴围成的封闭区域称为“区域”（不包括边界）；横、纵坐标都是整数的点称为整点（1）如果抛物线经过点求的值；直接写出“区域”内整数点的个数；（2）当时，如果抛物线在“区域”内有4个整数点，求的取值范围；（3）当时，抛物线与直线交于点，把点向左平移5个单位长度得到点，以为边作等腰直角三角形，使，点与抛物线的顶点始终在的两侧，线段与抛物线交于点，当时，直接写出的值【分析】（1）将点代入，求出的值即可；画出函数图象，分别求出满足条件的点即可；（2）由题意可得在对称轴上有2个整数点，在和上各有一个整数点，则，即可求的取值范围；（3）求出，

16、则，由题意可知当时，点与抛物线的顶点重合，当时，点始终在顶点的上方，则点在点上方，点，过点作交于，设，则，由，求出，进而求出，再将点坐标代入函数的解析式即可求的值【解答】解：（1）抛物线经过点，解得；，令，则，解得或，当时，在轴上有整点，当时，在的直线上有整点，当时，在的直线上有整点，综上所述：“区域”内整数点共有6个；（2）令，则，解得或，抛物线的对称轴为直线， “区域”内有4个整数点，在对称轴上有2个整数点，在和上各有一个整数点，解得，当时，“区域”内有4个整数点；（3）当时，点向左平移5个单位长度得到点，抛物线的对称轴为直线，当时，点与抛物线的顶点重合，当时，点始终在顶点的上方，点与抛物

17、线的顶点始终在的两侧，点在点上方，过点作交于，为等腰直角三角形，设，则，点在抛物线上，解得或5（2022长沙二模）如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“三角形”（1）判断下列三角形是否为“三角形”？如果是，请在对应横线上画“”，如果不是，请在对应横线上画“”；其中有两内角分别为，的三角形 ；其中有两内角分别为，的三角形 ；其中有两内角分别为，的三角形 ；（2）如图1，点在双曲线上且横坐标为1，点，为中点，为轴负半轴上一点，若求的值，并求证：为“三角形”；若与相似，直接写出的坐标；（3）如图2，在中，为边上一点，且是“三角形”，已知，记，过，作抛物线，在右侧，且在轴上，点在抛物线

18、上，使得，若符合条件的点个数为3个，求抛物线的解析式【分析】（1）三角形中最小的两个角的和是，则三角形不是“三角形”；三角形中最小的两个角的和大于，则三角形不是“三角形”；三角形中最小的两个角分别为和，则三角形是“三角形”；（2）利用勾股定理求的值即可，确定的值可知，再根据定义证明即可；分两种情况讨论：当时，；当时，；（3）过点作轴交于，过点作轴交于，求出，由于是“三角形”，分两种情况讨论：当时，；当时，（不合题意）；则可求，与轴的交点为或，经过，的直线与抛物线有唯一交点，联立方程组，得到，将，代入，得到，联立可求函数的解析式【解答】解：（1）两内角分别为，三角形不是“三角形”，故答案为：；两

19、内角分别为，三角形不是“三角形”，故答案为：；两内角分别为，三角形的另一个内角是，三角形是“三角形”，故答案为：；（2）点在双曲线上且横坐标为1，点，为中点，解得，为中点，是“三角形”；，或，当时，即，解得，；当时，即，解得，；综上所述：点坐标为或，；（3），过点作轴交于，过点作轴交于，是“三角形”，或，当时，解得，；当时，解得，不合题意；，与轴的交点为或，设经过，的直线解析式为，解得，符合条件的点个数为3个，直线与抛物线有唯一交点，联立方程组，整理得，将，代入，联立可得，抛物线的解析式为6如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，过点，作直线（1）求抛物线的解析式及的值；（2）

20、当点到直线的距离为时，求点的坐标；（3）过点作轴于点，交直线于点，若，求点的坐标【分析】（1）将，代入，即可求函数的解析式，再求出点坐标，即可求；（2）过点作交于，可求，由题意可知，点在经过的中点且与平行的直线上，求出的中点为，则经过的中点且与平行的直线解析式为，联立方程组，可求点坐标为或，；直线关于直线对称的直线解析式为，联立方程组，可求；（3）作点关于轴的对称点，连接，则，可推导出，求出直线的解析式为，联立方程组，可求；作关于的对称直线交轴于，可证明，从而求出，则直线的解析式为，联立方程组，可求，【解答】解：（1）将，代入，解得，令，则，；（2）过点作交于，点到直线的距离为，点在经过的中点

21、且与平行的直线上，是的中点，的中点为，设直线的解析式为，解得，经过的中点且与平行的直线解析式为，联立方程组，解得或，点坐标为或，；直线关于直线对称的直线解析式为，联立方程组，解得，；综上所述：点坐标为或，或；（3）作点关于轴的对称点，连接，设直线的解析式为，解得，联立方程组，解得（舍或，；作关于的对称直线交轴于，设直线的解析式为，解得，联立方程组，解得（舍或，；综上所述：点坐标为或，7（2022中山市三模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，点，过的直线交轴于点，交抛物线于，且（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线第四象限的图象上找一点，使得的面积最大，求出点的坐标；

22、（3）点是线段上的一点，求的最小值，并求出此时点的坐标【分析】（1）由得点的对称点的坐标，将、坐标代入中，利用待定系数法可求；（2）求出直线的解析式，用表示点、的坐标，进而表示线段，根据，用含的代数式表示的面积，利用二次函数的性质，求出关于的二次函数的顶点横坐标，即可得出结论：（3）过点作轴，过点作轴，过作于点，构造出直角三角形，利用三角函数找到与相等的线段，根据“垂线段最短”得的最小值，将二次函数与直线方程联立，解方程组，先求出点坐标，点坐标可求【解答】解：（1）抛物线与轴交于、两点，抛物线的对称轴为直线，点，解得抛物线的解析式为（2），即直线的解析式为：如图，过点作轴，交于点，设，则，当时

23、，即，时的面积最大（3）如图，过点作轴，过点作轴，过作于点，轴，的最小值为令，解得（舍或，的最小值，此时8（2022松江区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，点、点分别在的正半轴和的正半轴上，抛物线经过、两点，顶点为（1）求抛物线的表达式；（2）将绕点顺时针旋转后，点落到点的位置，求四边形的面积；（3）将该抛物线沿轴向上或向下平移，使其经过点，若点在平移后的抛物线上，且满足，求点的坐标【分析】（1）根据，求得点的坐标，代入即可求得抛物线解析式；（2）由旋转可得出，再求出抛物线顶点，利用勾股定理及其逆定理可得，根据，即可求得答案；（3）根据平移规律可得平移后的抛物线解析式为，分两种情况：若点在轴

24、上方时，若点在轴下方时，分别求出点的坐标即可【解答】解：（1）抛物线经过点，将代入抛物线，得，解得：，抛物线的表达式为（2）将绕点顺时针旋转后，得到，又，且，即四边形的面积为7（3）当时，可知抛物线经过点，将原抛物线沿轴向下平移2个单位过点，平移后得抛物线解析式为：；若点在轴上方时，作轴，交抛物线于点，易证，点与点关于抛物线的对称轴直线对称，；若点在轴下方时，如图2，作的中垂线，与轴交与点，联结并延长，交抛物线于点，根据线段的垂直平分线的性质可得，轴，作轴，垂足为，则，设，则，在中，解得，设直线的解析式为，则，解得：，直线的解析式为，解得：（舍去），当时，综上所述，满足条件得点坐标为或9（20

25、22沈阳模拟）如图，已知点，点，直线过点，交轴于点，抛物线经过点，（1）求抛物线的解析式；（2）为直线上方的抛物线上一点，且，求点的坐标；（3）平面内任意一点，与点距离始终为2，连接，直接写出的最小值【分析】（1）将点坐标代入中，求得，进而求得点坐标，将、两点坐标代入抛物线解析式，从而求得，的值，进而求得结果；（2）发现，故作，作轴，作，设，根据可表示出，在直角三角形中，根据勾股定理列出方程，从而求得点坐标，进而求得的关系式，根据的关系式和抛物线的关系式，进而求得结果；（3）先确定点在以为圆心，2 为半径的圆上运动，取，求得出，从而得出，进而确定点、共线时，的值最小，进一步求得结果【解答】解：

26、（1）由题意得，直线的解析式是：，抛物线的解析式是：；（2）如图1，作于，作轴于，作于，可得：，设，则，在中，由勾股定理得，（舍去），直线的解析式是：，由得，（舍去），当时，；（3）如2，点距离始终为2，点在以为圆心，2为半径的圆上运动，在上取，当、共线时，最小，此时在线段与的交点处，在中，的最小值是10（2022春西山区校级月考）已知对称轴为直线的抛物线经过，两点，抛物线与轴的另一个交点为（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点为第四象限抛物线上一点，连接，交于点，连接，求的最大值；（3）如图2，若点为抛物线上一点，且当，求点的坐标【分析】（1）设抛物线的解析式为，将，的坐标和抛物线代入，

27、从而得到抛物线的解析式；（2）过点作轴于点，交于点，证明，得出，求出直线的解析式为，设，则，可得出的关系式，由二次函数的性质可得出结论；（3）过点作轴于点，交于点，过点作于点，证明，设，则，求出，可得，求出的值，即可得点的坐标【解答】解：（1）设抛物线的解析式为，抛物线，解得，抛物线的解析式为；（2）过点作轴于点，交于点，抛物线经过，与轴的另一个交点为，设直线的解析式为，解得，直线的解析式为，设，则，当时，有最大值，最大值是1；（3）过点作轴于点，交于点，过点作于点，设，则，解得或，点的坐标为，或，11（2022春汉川市校级月考）如图，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线经过点，且与轴交于，两点

28、（点在点的左侧）（1）求抛物线的解析式；（2）求的值；（3）点在第二象限内的抛物线上，点在轴上，且，当与相似时，求点的坐标【分析】（1）根据待定系数法，可得抛物线的解析式；（2）过点作轴交轴于，过点作轴交于，先证明和均为等腰直角三角形，得出：，再运用三角函数定义即可；（3）根据抛物线上的点满足函数解析式，可得方程，根据相似三角形的性质，可得方程，根据解方程组，可得点的坐标【解答】解：（1），设抛物线的解析式为，将点坐标代入函数解析式，得：，解得：该抛物线的解析式为：；（2）如图1，过点作轴交轴于，过点作轴交于，和均为等腰直角三角形，；（3）设，当时，解得：，当时，如图2，则，即，化简，得：，在

29、抛物线上，联立，得，解得：（不符合题意，舍），当时，如图3，则，即，化简，得，联立，得：，解得：（不符合题意，舍），综上所述：当与相似时，点的坐标为或12（2022秋道里区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线交轴于点，轴于点，抛物线与轴交于，两点，交轴于点（1）求抛物线的解析式；（2）在第三象限抛物线上，点横坐标为，连接、，的面积为，求关于的函数关系式；（不要求写自变量的取值范围）（3）在（2）的条件下，绕点逆时针旋转，与线段相交于点，且，过点作交于，轴于点，连接，若，求线段的长【分析】（1）直接把点坐标代入求出的值即可得到抛物线解析式为；（2）连接，过点作轴于，轴于，根据可

30、得出与的函数关系式；（3）过作轴交的延长线于，作于，轴于，如图3，利用得到，加上，则，于是根据等腰三角形的性质可得，接着判断四边形为矩形得到，则，然后证明得到，所以；再在中利用正弦定义可得到，利用勾股定理得，设点坐标为，则，于是可表示出，所以，解方程得到得，（舍去），所以【解答】解：（1）直线交轴于点，轴于点，将代入抛物线，抛物线解析式为，（2）连接，过点作轴于，轴于，在第三象限抛物线上，点横坐标为，（3）过作轴交的延长线于，作于，轴于，如图3，而，易得四边形为矩形，而，在中，设点坐标为，则，整理得，（舍去），13（2022荆门模拟）抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点的坐标为（1）求抛物线

31、的解析式；（2）如图，点在第一象限的抛物线上，且，求点的坐标；在线段上确定一点，使平分四边形的面积，求点的坐标；（3）点是抛物线对称轴上的一个动点，连接、，设的外心为，当的值最大时，请直接写出点的坐标【分析】（1）设，再将代入，即可求解；（2）由可得点，可得，根据即可求解；（3）作的外心，作轴，则，进而可得在的垂直平分线上运动，根据题意当最大转化为求当取得最小值时，最大，进而根据点到直线的距离，垂线段最短，即可求得，运用勾股定理求得，即可求得点的坐标，根据对称性求得另一个坐标【解答】解：（1）顶点的坐标为，设，将代入，解得，；（2）点，则，而，解得：或4，点在第一象限的抛物线上，点；顶点的坐标

32、为直线的解析式为，点，直线的解析式为，点在线段上，平分四边形的面积，设，解得，点的坐标为，；（3）如图，作的外心，作轴，则，在的垂直平分线上运动，依题意，当最大时，即最大时，是的外心，即当最大时，最大，则当取得最小值时，最大，即当直线时，取得最小值，此时，在中，根据对称性，则存在，综上所述，或，14（2022春磐安县期中）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，已知（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点在轴上，在该抛物线的对称轴上，是否存在唯一的点，满足？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）若点在轴上，满足的点是否存在？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由【分析】（

33、1）证明，根据相似三角形的性质可得，利用待定系数法即可求解；（2）由题意得为直径的圆与对称轴：直线有唯一的交点，即相切根据切线的性质可得点的横坐标为0.5，所以点到直线的距离为4.5，则直径的长为9，根据勾股定理即可求解；（3）当点在以为弦的上，圆心角是的两倍过点做于，则根据，可得，利用两点的距离公式即可得点的坐标【解答】解：（1），抛物线与轴交于点，设，把代入得，解得，抛物线的函数表达式；（2）存在，抛物线的对称轴上是否存在唯一的点，满足，就是指以为直径的圆与对称轴：直线有唯一的交点，即相切如图，设的中点为，点的横坐标为0.5，点到直线的距离为4.5，直径的长为9，点的坐标为，或；（3）存在

34、，如图：当点在以为弦的上，圆心角过点做于，则，或，设，当时，或，同理，当时，或综上所述，点的坐标为或或或15（2022合肥模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与直线交于轴上的点，直线与轴交于点（1）求该抛物线的解析式；（2）点是抛物线上第一象限内的一一个动点，连接、，当的面积最大时，求点的坐标；（3）将抛物线的对称轴向左平移3个长度单位得到直线，点是直线上一点，连接、，若直线上存在使最大的点，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）用交点式函数表达式得：，即可求解；（2）由，即可求解；（3）如图，经过点、的圆与直线相切于点，此时，最大，即可求解【解答】解：

35、（1）用交点式函数表达式得：，当时，则，即，解得：则函数的表达式为；（2），令，则，即点，连接，设点，有最大值，此时点；（3）如图，经过点、的圆与直线相切于点，此时，最大，过圆心作轴于点，则，过点的坐标为，；同样当点在轴的下方时，其坐标为；故点的坐标为，或16（2022高州市一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，为抛物线顶点（1）求该抛物线的解析式（2）如图1，连接，交轴于点，点是第一象限的抛物线上的一个动点，连接交轴于，连接、，若，求点的坐标（3）点是抛物线对称轴上一动点，连接、，设外接圆圆心为，当的值最大时，请求出点的坐标【分析】（1）把，代入即可求解；（2）根据

36、题意先求得，各点的坐标，求得的解析式，进而求得点的坐标，通过计算可得，进而可得，由可得出，依题意，设，其中，建立方程求解即可得出答案；（3）作的外心，作轴，则，进而可得在的垂直平分线上运动，根据题意当最大转化为求当取得最小值时，最大，进而根据点到直线的距离，垂线段最短，即可求得，运用勾股定理求得，即可求得点的坐标，根据对称性求得另一个坐标【解答】解：（1）把，代入中，得：，解得：，抛物线解析式为；（2）抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，为抛物线顶点令，得：，则，设直线的解析式为，解得：，直线的解析式为，令，则，依题意，设，其中，解得：，（舍去），；（3）如图，作的外心，作轴，则，在的垂直平分线

37、上运动，依题意，当最大时，即最大时，是的外心，即当最大时，最大，则当取得最小值时，最大，即当直线时，取得最小值，此时，在中，根据对称性，则存在，综上所述，或，17（2022夏津县模拟）如图，抛物线与轴交于，两点，且，与轴交于点，连接，抛物线对称轴为直线为第一象限内抛物线上一动点，过点作于点，与交于点，设点的横坐标为（1）求抛物线的表达式；（2）当线段的长度最大时，求的值；（3）点是抛物线对称轴上的一点，点是坐标平面内的一点，是否存在点，使得以点，为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）由，设，则，又抛物线对称轴为直线，得，解得，用待定系数法可得抛物线

38、的表达式为；（2）连接，得，可得直线解析式为，设，则，用二次函数性质可得当时，取最大值，最大值是1，可得，即知；（3）设，又，以、为对角线，则、的中点重合，且，可得，解得，或，；以、为对角线，则、的中点重合，且，以、为对角线，则、的中点重合，且，分别列方程组可解得答案【解答】解：（1）由，设，则，抛物线对称轴为直线，解得，将，代入得：，解得，抛物线的表达式为；（2）连接，如图：在中，令得，设直线解析式为，将代入得：，解得，直线解析式为，设，则，当时，取最大值，最大值是1，此时，；（3）存在点，使得以点，为顶点的四边形是菱形，理由如下：如图：设，又，以、为对角线，则、的中点重合，且，解得或，或，

39、；以、为对角线，则、的中点重合，且，解得或，或，；以、为对角线，则、的中点重合，且，解得，；综上所述，的坐标为，或，或，或，或，18（2022黄冈模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交点为、，与轴交于点，为抛物线上一点，过点作于（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若在直线上方，轴于，交于求的值；求线段的最大值（3）如图2，连接，当与相似时，直接写出点的坐标【分析】（1）根据待定系数法求解析式即可；（2）根据对顶角性质，平行线的性质可得，进而可得，根据勾股定理求得，进而根据正弦的定义求解即可；待定系数法求得直线的解析式为，设则，求得，根据的结论求得，当取得最大值时，取得最大值，进而根据二

40、次函数的性质求得的最大值；（3）分别表示出，求得，的长，根据，与相似时，有以下2种情形，当时，当时，进而根据相似三角形的性质列出方程解方程求解即可【解答】解：（1）抛物线与轴交点为、，与轴交于点，令，则，设抛物线的解析式为，将点代入得，解得：，抛物线的解析式为；（2）轴，又，；设过，的直线解析式为，则，解得：，直线解析式为，设，则，当时，有最大值2，取最大值时，取最大值，最大值为；（3）设，则，与相似，有以下两种情形，当时，即，整理得：，解得：（与点重合，舍去），当时，；当时，即，整理得，解得：，（舍去），当时，当时，综上所述，当与相似时，点的坐标，或或，19（2022广东模拟）在平面直角坐标

41、系中，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，为抛物线顶点（1）连接，交轴于点，是抛物线上的一个动点如图一，点是第一象限的抛物线上的一点，连接交轴于，连接、，若，求点的坐标如图二，点在第四象限的抛物线上，连接、交于点，设，则有最大值还是最小值？的最值是多少？（2）如图三，点是第四象限抛物线上的一点，过、三点作圆，过点作轴，垂足为，交圆于点，点在运动过程中线段是否变化？若有变化，求出的取值范围；若不变，求线段长度的定值（3）点是抛物线对称轴上一动点，连接、，设外接圆圆心为，当的值最大时，请直接写出点的坐标【分析】（1）根据题意先求得，各点的坐标，求得的解析式，进而求得点的坐标，通过计算可得，进而可

42、得，由可得出，依题意，设，其中，建立方程求解即可得出答案；根据已知条件设，其中，求得直线的解析式，直线的解析式，联立即可求得点的坐标，根据，令，根据二次函数的性质求得的最大值，即可求得的最小值；（2）根据题意过点作，依题意，点为的外心，为垂直平分线上的点，则点在抛物线的对称轴直线上，设，其中，根据建立方程，解得：，进而求得，即可求得；（3）作的外心，作轴，则，进而可得在的垂直平分线上运动，根据题意当最大转化为求当取得最小值时，最大，进而根据点到直线的距离，垂线段最短，即可求得，运用勾股定理求得，即可求得点的坐标，根据对称性求得另一个坐标【解答】解：（1）抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，为抛物

43、线顶点令，得：，则，令，得：，解得：，则，设直线的解析式为，如图1，解得：，直线的解析式为，令，则，依题意，设，其中，解得：，（舍去），点在第四象限的抛物线上，、交于点，如图2，设，其中，设直线的解析式为，解得：，直线的解析式为，设直线的解析式为，解得：，直线的解析式为，联立方程组，得：，解得：，令，当时，取得最大值，取得最小值为，有最小值，最小值为（2）不变，理由如下：如图，过点作，依题意，点为的外心，为垂直平分线上的点，即点在抛物线的对称轴直线上，轴，轴，设，为的外心，则，即，解得：，（3）如图4，作的外心，作轴，则，在的垂直平分线上运动，依题意，当最大时，即最大时，是的外心，即当最大时，

44、最大，则当取得最小值时，最大，即当直线时，取得最小值，此时，在中，根据对称性，则存在，综上所述，或，20（2022瓯海区校级自主招生）如图，在平面直角坐标系中，点从原点出发，沿轴向右以每秒一个单位长的速度运动秒，抛物线经过点和点（1）求，（用的代数式表示）；（2）抛物线与直线和分别交于，两点，当时，在点的运动过程中，你认为的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出的值；的面积与的函数关系式；是否存在这样的值，使得以，、，为顶点的四边形为梯形？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由【分析】（1）根据抛物线经过点和点，将，代入求出，的值即可；（2）根据（1）中解析式得出，得出，即可得出的大小不会变化；根据当时以及当时，分别得出，求出即可；根据当时以及当时，分别得出的值即可【解答】解：（1）由题意得，代入，得，即即（2）当时，即，即，是定值当时，如图1，过点作的垂线，垂足为，当时，如图2，存在这样的值，使得以、为顶点的四边形为梯形当时，如图3，即，代入得解得；当时，如图4，则，关于对称轴对称，即，解得：综上，当或时，以、为顶点的四边形为梯形