专题22 相似三角形与函数的综合（解析版）.docx

1、专题22 相似三角形与函数的综合（解析版）第一部分 典例剖析类型一 求线段的长1（2022淮安）如图（1），二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），直线l经过B、C两点（1）求该二次函数的表达式及其图象的顶点坐标；（2）点P为直线l上的一点，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图象相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点N，当PM=12MN时，求点P的横坐标；（3）如图（2），点C关于x轴的对称点为点D，点P为线段BC上的一个动点，连接AP，点Q为线段AP上一点，且AQ3PQ，连接DQ，当3AP+4D

2、Q的值最小时，直接写出DQ的长思路引领：（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）设P（t，t+3），则M（t，t2+2t+3），N（2t，t2+2t+3），则PM|t23t|，MN|22t|，由题意可得方程|t23t|=12|22t|，求解方程即可；（3）由题意可知Q点在平行于BC的线段上，设此线段与x轴的交点为G，由QGBC，求出点G（2，0），作A点关于GQ的对称点A，连接AD与AP交于点Q，则3AP+4DQ4（DQ+34AP）4（DQ+AQ）4AD，利用对称性和OBC45，求出A（2，3），求出直线DA的解析式和直线QG的解析式，联立方程组y=x+2y=3x3，可求点Q（54，34）

3、，再求DQ=5104解：（1）将点B（3，0），C（0，3）代入yx2+bx+c，9+3b+c=0c=3，解得b=2c=3，yx2+2x+3，yx2+2x+3（x1）2+4，顶点坐标（1，4）；（2）设直线BC的解析式为ykx+b，3k+b=0b=3，解得k=1b=3，yx+3，设P（t，t+3），则M（t，t2+2t+3），N（2t，t2+2t+3），PM|t23t|，MN|22t|，PM=12MN，|t23t|=12|22t|，解得t1+2或t12或t2+3或t23，P点横坐标为1+2或12或2+3或23；（3）C（0，3），D点与C点关于x轴对称，D（0，3），令y0，则x2+2x+30

4、，解得x1或x3，A（1，0），AB4，AQ3PQ，Q点在平行于BC的线段上，设此线段与x轴的交点为G，QGBC，AQAP=AGBA，34=AG4，AG3，G（2，0），OBOC，OBC45，作A点关于GQ的对称点A，连接AD与AP交于点Q，AQAQ，AQ+DQAQ+DQAD，3AP+4DQ4（DQ+34AP）4（DQ+AQ）4AD，QGACBO45，AAQG，AAG45，AGAG，AAG45，AGA90，A（2，3），设直线DA的解析式为ykx+b，b=32k+b=3，解得k=3b=3，y3x3，同理可求直线QG的解析式为yx+2，联立方程组y=x+2y=3x3，解得x=54y=34，Q（5

5、4，34），DQ=5104总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离的方法，解绝对值方程，待定系数法求函数的解析式是解题的关键典例2（2021春海州区校级期中）如图1，矩形ABCD中，动点P在AD边上由点A向终点D运动，设APx，PAB的面积为y，整个平移过程中若y与x存在函数关系如图2所示，点A关于BP的对称点为Q，连接BQ、PQ（1）直接写出AD的长是 ，AB的长是 （2）当点Q落在矩形ABCD的对角线上时，求x的值思路引领：（1）根据图象可知x的最大值即为AD的长度，此时ABP的面积为6，由面积即可求出AB；（2）分点Q在对角线AC和对角线

6、BD两种情况讨论，利用勾股定理即可得出答案解：（1）由图象可知x的最大值为4，AD4，当AD4时，y的值为6，12AB46，解得A：B3，故答案为：4，3；（2）如图，若点Q在对角线AC上，BP交AQ于点H，则AHAB=PHAP=CDAC=35，PH=35x，AH=95，由勾股定理得：x2（95）2+（35x）2，解得x=94，当Q在对角线BD上时，如图，由勾股定理得：x2+（53）2（4x）2，解得x=32，x的值为94或32总结提升：本题主要考查动点问题的函数图象，关键是要能根据图象得出AB和AD的长度，要考虑点Q在AC上和BD上两种情况讨论类型二 求字母的值典例3（2021苏州）如图，二

7、次函数yx2（m+1）x+m（m是实数，且1m0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其对称轴与x轴交于点C已知点D位于第一象限，且在对称轴上，ODBD，点E在x轴的正半轴上，OCEC，连接ED并延长交y轴于点F，连接AF（1）求A、B、C三点的坐标（用数字或含m的式子表示）；（2）已知点Q在抛物线的对称轴上，当AFQ的周长的最小值等于125时，求m的值思路引领：（1）令yx2（m+1）x+m0，解得x1或m，故点A、B的坐标分别为（m，0）、（1，0），则点C的横坐标为12（m+1），即可求解；（2）由tanDBCtanODC，即CD2COBC=12（m+1）12（1m）=1m2

8、4，在RtAOF中，AF2AO2+OF2m2+1m21；点B是点A关于函数对称轴的对称点，连接FB交对称轴于点Q，则点Q为所求点，进而求解解：（1）令yx2（m+1）x+m0，解得x1或m，故点A、B的坐标分别为（m，0）、（1，0），则点C的横坐标为12（m+1），即点C的坐标为（m+12，0）；（2）由点C的坐标知，CO=m+12=CE，故BCOBCO112（m+1）=1m2，BDC+DBC90，BDC+ODC90，DBCODC，tanDBCtanODC，即CD2COBC=12（m+1）12（1m）=1m24，点C是OE中点，则CD为三角形EOF的中位线，则FO2（2CD）24CD21m2

9、，在RtAOF中，AF2AO2+OF2m2+1m21，点B是点A关于函数对称轴的对称点，连接FB交对称轴于点Q，则点Q为所求点，理由：AFQ的周长AF+FQ+AQ1+QF+BQ1+BF为最小，即1+BF=125，则BF2OF2+OB21m2+1（1251）2，解得m=15，1m0，故m=15总结提升：主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系类型三 求比值或比值的最值典例4（2022宿迁）如图，二次函数y=12x2+bx+c与x轴交于O（0，0），A（4，0）两点，顶点

10、为C，连接OC、AC，若点B是线段OA上一动点，连接BC，将ABC沿BC折叠后，点A落在点A的位置，线段AC与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合（1）求二次函数的表达式；（2）求证：OCDABD；求DBBA的最小值；（3）当SOCD8SABD时，求直线AB与二次函数的交点横坐标思路引领：（1）利用交点式可得二次函数的解析式；（2）根据两角相等可证明两三角形相似；根据OCDABD，得OCAB=CDBD，则BDAB=CDOC，即BDAB的最小值就是CDOC的最小值，OC为定值，所以当CD最小为2时，DBBA有最小值是22；（3）解法一：根据面积的关系可得：OCDABD时，相似比为22：1，可得A

11、BAB1，作辅助线，构建直角三角形，根据等角的正切可得AG和BG的长，最后再证明AGBQOB，可得OQ的长，利用待定系数法可得AB的解析式，最后联立方程可得结论解法二：设BDt，根据OB3列方程可得t的值，计算AD，AM的长，表示点M的坐标，计算BM的解析式，列方程可得结论（1）解：二次函数y=12x2+bx+c与x轴交于O（0，0），A（4，0）两点，二次函数的解析式为：y=12（x0）（x4）=12x22x；（2）证明：如图1，由翻折得：OACA，由对称得：OCAC，AOCOAC，COAA，ADBODC，OCDABD；解：OCDABD，OCAB=CDBD，ABAB，BDAB=CDOC，BD

12、AB的最小值就是CDOC的最小值，y=12x22x=12（x2）22，C（2，2），OC22，当CDOA时，CD最小，BDAB的值最小，当CD2时，BDAB的最小值为222=22；（3）解法一：SOCD8SABD，SOCD：SABD8，OCDABD，SOCDSABD=（OCAB）28，OCAB=22，OC22，ABAB1，BF211，如图2，连接AA，过点A作AGOA于G，延长CB交AA于H，设抛物线的对称轴与x轴交于点F，由翻折得：AACH，AHBBFC90，ABHCBD，BCFBAH，tanBCFtanGAA，BFCF=AGAG=12，设AGa，则AG2a，BG2a1，在RtAGB中，由勾

13、股定理得：BG2+AG2AB2，a2+（2a1）212，a10（舍），a2=45，BG2a1=851=35，AGOQ，AGBQOB，AGOQ=BGOB，即45OQ=353，OQ4，Q（0，4），设直线AB的解析式为：ykx+m，m=43k+m=0，解得：k=43m=4，直线AB的解析式为：y=43x+4，43x+4=12x22x，3x24x240，解得：x=22193，直线AB与二次函数的交点横坐标是22193（3）解法二：如图3，过点M作MHOA于H，OCDABD，OCAB=CDBD=ODAD=22，OC22，ABAB1，设BDt，则CD22t，AD2222t，OD22AD88t，OBOD+

14、BD413，88t+t3，t=57，AD221027=427，ABAB，AOAC，ABDABN，ABDABM（ASA），AMAD=427，AHM是等腰直角三角形，AHMH=47，M（247，47），易得BM的解析式为：y=43x+4，43x+4=12x22x，解得：3x24x240，解得：x=22193，直线AB与二次函数的交点横坐标是22193总结提升：本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求解析式，对称的性质，三角形相似的性质和判定，配方法的应用，勾股定理的应用，熟练掌握二次函数的图像及性质，数形结合是解本题的关键类型四 求点的坐标典例5 （2021惠阳区一模）如图，已知抛物线经过原点O，

15、顶点为A（1，1），且与直线yx2交于B，C两点（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）求ABC的面积；（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MNx轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由思路引领：（1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得C点坐标；（2）设直线AC的解析式为ykx+b，与x轴交于D，得到y2x1，求得BD212=32于是得到结论；（3）设出N点坐标，可表示出M点坐标，从而可表示出MN、ON的长度，当MON和ABC相似时，利用三角形相似的性质可得MNAB=ON

16、BC或MNBC=ONAB，可求得N点的坐标解：（1）顶点坐标为（1，1），设抛物线解析式为ya（x1）2+1，又抛物线过原点，0a（01）2+1，解得a1，抛物线解析式为y（x1）2+1，即yx2+2x，联立抛物线和直线解析式可得y=x2+2y=x2，解得x=2y=0或x=1y=3，B（2，0），C（1，3）；（2）设直线AC的解析式为ykx+b，与x轴交于D，把A（1，1），C（1，3）的坐标代入得1=k+b3=k+b，解得：k=2b=1，y2x1，当y0，即2x10，解得：x=12，D（12，0），BD212=32ABC的面积SABD+SBCD=12321+123233；（可以利用勾股定理

17、的逆定理证明ABC90）（3）假设存在满足条件的点N，设N（x，0），则M（x，x2+2x），ON|x|，MN|x2+2x|，由（2）知，AB=2，BC32，MNx轴于点N，ABCMNO90，当ABC和MNO相似时，有MNAB=ONBC或MNBC=ONAB，当MNAB=ONBC时，|x2+2x|2=|x|32，即|x|x+2|=13|x|，当x0时M、O、N不能构成三角形，x0，|x+2|=13，x+213，解得x=53或x=73，此时N点坐标为（53，0）或（73，0）；当MNBC=ONAB时，|x2+2x|32=|x|2，即|x|x+2|3|x|，|x+2|3，x+23，解得x5或x1，此

18、时N点坐标为（1，0）或（5，0），综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（53，0）或（73，0）或（1，0）或（5，0）总结提升：本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、图象的交点问题、直角三角形的判定、勾股定理及逆定理、相似三角形的性质及分类讨论等在（1）中注意顶点式的运用，在（3）中设出N、M的坐标，利用相似三角形的性质得到关于坐标的方程是解题的关键，注意相似三角形点的对应本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中第二部分 专题提优训练1（2022河东区一模）如图，A为反比例函数y=kx（其中x0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB4连接OA，AB，且OAAB=210，过

19、点B作BCOB，交反比例函数y=kx（其中x0）的图象于点C，连接OC交AB于点D，则k ；ADDB=思路引领：过点A作AHx轴，垂足为点H，AH交OC于点M，利用等腰三角形的性质可得出DH的长，利用勾股定理可得出AH的长，进而可得出点A的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值；由OB的长，利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出BC的长，利用三角形中位线定理可求出MH的长，进而可得出AM的长，由AMBC可得出ADMBDC，利用相似三角形的性质即可求出ADDB的值解：过点A作AHx轴，垂足为点H，AH交OC于点M，如图所示OAAB，AHOB，OHBH=12OB2，AH=OA2OH2

20、=6，点A的坐标为（2，6）A为反比例函数y=kx（其中x0）图象上的一点，k2612BCx轴，OB4，点C在反比例函数y=12x上，BC=kOB=3AHBC，OHBH，MH=12BC=32，AMAHMH=92AMBC，ADMBDC，ADDB=AMBC=32，故答案为12，32总结提升：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是构建相似三角形2如图，在平面直角坐标系中，RtBCD中，其中B（0，4），C（2，0），点D在反比例函数y=kx（x0）图象上，且CD=5，以BC为边作平行四边形BCEF，其中点F在反比例函数y=kx（x0

21、）图象上，点E在x轴上，则点E的横坐标为（）A5B52C3D72思路引领：如图，作DHx轴于H利用相似三角形的性质求出点D坐标，求出k的值以及点F坐标即可解决问题；解：如图，作DHx轴于HBOCBCDCHD90，BCO+OBC90，BCO+DCH90，OBCDCH，BOCCHD，BCCD=OBCH=OCDH，B（0，4），C（2，0），CD=5，BC25，CH2，DH1，D（4，1），D在y=kx上，k4，F（1，4），四边形BCEF是平行四边形，BFEC，BFEC，EC1，OE3，点E的横坐标为3故选：C总结提升：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质

22、等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型3（2021越秀区模拟）如图，点A（2，n）和点D是反比例函数y=mx（m0，x0）图象上的两点，一次函数ykx+3（k0）的图象经过点A，与y轴交于点B，与x轴交于点C，过点D作DEx轴，垂足为E，连接OA、OD已知OAB与ODE的面积满足SOAB：SODE3：4（1）求m；（2）已知点P（6，0）在线段OE上，当PDECBO时，求点D的坐标思路引领：（1）根据一次函数解析式求得点B的坐标，得到OB的长度，结合点A的坐标和三角形面积求出OAB的面积，进而求出ODE的面积，由反比例函数系数k的几何意义求得m的值；（

23、2）利用待定系数法确定直线AC函数关系式，求出点C的坐标，根据正切的定义列出求出a、b的关系，解方程组得到答案解：（1）由一次函数ykx+3得，点B的坐标为（0，3），点A的坐标是（2，n），SOAB=12323，SOAB：SODE3：4，SODE4，点D是反比例函数y=mx（m0，x0）图象上的点，12mSODE4，解得，m8；（2）由（1）知，反比例函数解析式是y=8x，2n8，解得，n4点A的坐标为（2，4），将其代入ykx+3，得到2k+34解得，k=12，直线AC的解析式是：y=12x+3，令y0，则12x+30，x6，C（6，0），OC6，由（1）知，OB3设D（a，b），则DEb

24、，PEa6，PDECBO，tanPDEtanCBO，即OCOB=PEDE，63=a6b，整理得，a2b6，解方程组a2b=6ab=8，得a=2b=4或a=8b=1，点D在第一象限，D（8，1）总结提升：本题考查的是反比例函数系数k的几何意义、解直角三角形的应用，要灵活掌握待定系数法确定函数关系式，函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积公式4如图，二次函数yx2+bx+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（1，0），点D为OC的中点，点P在抛物线上（1）b ；（2）若点P在第一象限，过点P作PHx轴，垂足为H，PH与BC、BD分别交于点M、N是否存在

25、这样的点P，使得PMMNNH，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由思路引领：（1）将（1，0）代入yx2+bx+3求解（2）由抛物线解析式可得点C与点B坐标，从而可得直线BC，直线BD解析式，设P（t，t2+2t+3），则M（t，t+3），N（t，12t+32），H（t，0），由PMMNNH求解解：（1）将（1，0）代入yx2+bx+3得01b+3，解得b2，故答案为：2（2）b2，yx2+2x+3，将x0代入yx2+2x+3得y3，点C坐标为（0，3），点D为OC的中点，点D坐标为（0，32），令x2+2x+30，解得x11，x23，点B坐标为（3，0），由C（0，3），B（3，0）

26、可得直线BC解析式为yx+3，由D（0，32），B（3，0）可得直线BD解析式为y=12x+32，设P（t，t2+2t+3），则M（t，t+3），N（t，12t+32），H（t，0），PMt2+2t+3（t+3）t2+3t，MNt+3（12t+32）=12t+32，NH=12t+32，MHNH，PMMN，t2+3t=12t+32，解得t1=12，t23，0t3，t=12，点P坐标为（12，154）总结提升：本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握待定系数法求函数解析式5（2019盐城）如图所示，二次函数yk（x1）2+2的图象与一次函数ykxk+2的图象交于A、B两点，

27、点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k0（1）求A、B两点的横坐标；（2）若OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；（3）二次函数图象的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得ODC2BEC，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由思路引领：（1）将二次函数与一次函数联立得：k（x1）2+2kxk+2，即可求解；（2）分OAAB、OAOB两种情况，求解即可；（3）求出mk2kk2+1，在AHM中，tan=HMAH=mk=k+k2+1=tanBEC=BKEK=k+2，即可求解解：（1）将二次函数与一次函数联立得：k（x1）2+2kxk+2，解得：x1和2，故点A、B的坐

28、标横坐标分别为1和2；（2）OA=22+1=5，当OAAB时，即：1+k25，解得：k2（舍去2）；当OAOB时，4+（k+2）25，解得：k1或3；故k的值为：1或2或3；（3）存在，理由：当点B在x轴上方时，过点B作BHAE于点H，将AHB的图形放大见右侧图形，过点A作HAB的角平分线交BH于点M，过点M作MNAB于点N，过点B作BKx轴于点K，图中：点A（1，2）、点B（2，k+2），则AHk，HB1，设：HMmMN，则BM1m，则ANAHk，AB=k2+1，NBABAN，由勾股定理得：MB2NB2+MN2，即：（1m）2m2+（k2+1+k）2，解得：mk2kk2+1，在AHM中，tan=HMAH=mk=k+k2+1=tanBEC=BKEK=k+2，解得：k=3，此时k+20，则2k0，故：舍去正值，故k=3；当点B在x轴下方时，同理可得：tan=HMAH=mk=k+k2+1=tanBEC=BKEK=（k+2），解得：k=473或4+73，此时k+20，k2，故舍去4+73，故k的值为：3或473总结提升：本题为二次函数综合应用题，涉及到一次函数、解直角三角形的知识，其中（3），通过tan2求出tan，是此类题目求解的一般方法