专题23 平行四边形(解析版).docx

1、专题23 平行四边形 【专题目录】技巧1：判定平行四边形的五种常用方法技巧2：平行四边形中的折叠问题【题型】一、平行线的性质【题型】二、平行线的性质证明【题型】三、平行线性质与判定【题型】四、平行线性质与判定证明【题型】五、三角形中位线有关的面积计算【考纲要求】1、掌握平行四边形的概念及有关性质和判定，并能进行计算和证明2、了解镶嵌的概念，会判断几种正多边形能否进行镶嵌.【考点总结】一、平行四边形平行四边形平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形的表示用符号“”表示，平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”平行四边形的性质1、 平行四边形对边平行

2、且相等；几何描述：四边形ABCD是平行四边形 AB=CD,AD=BC; ABCD,ADBC2、平行四边形对角相等、邻角互补；几何描述：四边形ABCD是平行四边形 1=3，2=4，1+4=1803、平行四边形对角线互相平分；几何描述：四边形ABCD是平行四边形 AO=OC=12AC,BO=OD=12BD平行四边形的判定定理1、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。2、两组对角分别相等的四边形是平行四边形。3、对角线互相平分的四边形是平行四边形。4、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。平行四边形的面积公式：面积=底高【技巧归纳】技巧1：判定平行四边形的五种常用方法【类型】一、利用两组对边分别平

3、行判定平行四边形1如图，在四边形ABCD中，ADBC，BCE是边BC上一点，且DEDC求证：ADBE【分析】根据等边对等角的性质求出DECC，再由BC得DECB，所以ABDE，得出四边形ABED是平行四边形，进而得出结论【解答】证明：DEDC，DECCBC，BDEC，ABDE，ADBC，四边形ABED是平行四边形ADBE【类型】二、利用两组对边分别相等判定平行四边形2如图，已知ABD，BCE，ACF都是等边三角形求证：四边形ADEF是平行四边形【分析】根据ABD与BCE是等边三角形，利用边角边定理容易得到全等条件证明ABCDBE，然后利用全等三角形对应边相等的性质得到DEAC，又因为ACF也是

4、等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等的性质，ACAF，所以DEAF，同理可证ADEF，然后根据两组对边相等的四边形是平行四边形即可证明；【解答】证明：ABD和BCE都是等边三角形，DBE+EBAABC+EBA60，DBEABC，在ABC与DBE中，BD=BADBE=ABCBE=BC，ABCDBE（SAS）ACDE，又ACF是等边三角形，AFAC，DEAF，同理可得：EFAD，四边形ADEF平行四边形；【类型】三、利用一组对边平行且相等判定平行四边形3如图，点E，F在ABCD的边BC，AD上，BE=13BC，FD=13AD，连接BF，DE求证：四边形BEDF是平行四边形【分析】根据平行四边形

5、的性质得出ADBC，ADBC，进而得出DFBE，利用平行四边形的判定解答即可【解答】证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ADBC，BE=13BC，FD=13AD，BEDF，DFBE，四边形BEDF是平行四边形【类型】四、利用两组对角分别相等判定平行四边形4.下面给出了四边形ABCD中A、B、C、D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（） A1：2：2：1 B2：2：1：1 C1：2：1：2 D1：1：2：2 【考点】平行四边形的判定 【分析】根据题意可得出A与C是对角，B与D是对角，再由A=C，B=D，即可得出结论 【解答】解：由题意得：A与C是对角，B与D是对角， 当

6、A=C，B=D时，四边形ABCD是平行四边形， 故选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意， 故选：C【类型】五、利用对角线互相平分平分判定平行四边形5如图，将ABCD的对角线BD向两个方向延长，分别至点E和点F，BEDF求证：四边形AECF是平行四边形 【分析】由四边形ABCD是平行四边形易知OAOC，OCOD，再证得OEOF，即可得出结论【解答】证明：连接AC，设AC与BD交于点O如图所示：四边形ABCD是平行四边形，OAOC，OBOD，又BEDF，OEOF四边形AECF是平行四边形技巧2：平行四边形中的折叠问题【类型】一、平行四边形中的折叠问题1如图，E，F分别是ABCD的边AD、BC上

7、的点，EF6，DEF60，将四边形EFCD沿EF翻折，得到EFCD，ED交BC于点G，则GEF的周长为（）A9B12C93D18【分析】由折叠得：DEFDEF60，在由平行四边形的对边平行，得出内错角相等，得出GEF是等边三角形，已知边长求出周长即可【解答】解：由折叠得：DEFDEF60，四边形ABCD是ABCD，ADBC，DEFEFG60，GEF是等边三角形，EFFGGE6，GEF的周长为6318，故选：D【题型讲解】【题型】一、平行线的性质例1、如图，在ABCD中，CE平分BCD，交AB于点E，EA3，EB5，ED4则CE的长是（）A5B6C4D5【答案】C【提示】根据平行四边形的性质和角

8、平分线的定义可得ADBCEB5，根据勾股定理的逆定理可得AED90，再根据平行四边形的性质可得CDAB8，EDC90，根据勾股定理可求CE的长【详解】解：CE平分BCD，BCEDCE，四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ADBC，ABCD，BECDCE，BECBCE，BCBE5，AD5，EA3，ED4，在AED中，32+4252，即EA2+ED2AD2，AED90，CDAB3+58，EDC90，在RtEDC中，CE4故选：C【题型】二、平行线的性质证明例2、如图，四边形是平行四边形，点E，B，D，F在同一条直线上，请添加一个条件使得，下列不正确的是（ ）ABCD【答案】A【提示】根据平行四边

9、形的性质结合全等三角形的判定，逐项进行判断即可.【详解】解：四边形ABCD是平行四边形，AB=CD，ABCD，ABD=BDC，ABE+ABD=BDC+CDF，ABE=CDF，A.若添加，则无法证明，故A错误；B.若添加，运用AAS可以证明，故选项B正确；C.若添加，运用ASA可以证明，故选项C正确；D.若添加，运用SAS可以证明，故选项D正确故选：A【题型】三、平行线性质与判定例3、已知，O为对角线AC的中点，过O的一条直线交AD于点E，交BC于点F（1）求证：；（2）若，的面积为2，求的面积【答案】（1）见解析；（2）16.【提示】（1）由平行四边形的性质得出ADBC，得出EAOFCO，由A

10、SA即可得出结论；（2）由于，O为对角线AC的中点，得出AEOADC，根据的面积为2，可得ADC的面积，进而得到的面积【详解】解：（1）四边形ABCD是平行四边形，ADBC，EAOFCO，O是AC的中点，OAOC，在AOE和COF中，AOECOF（ASA）；（2）=1：2，O为对角线AC的中点，AO:AC=1:2，EAODAC，AEOADC，的面积为2，ADC的面积为8，ABCD的面积为16.【题型】四、平行线性质与判定证明例4、已知：如图，在梯形中，对角线、相交于点E，过点A作，交对角线于点F（1）求证：；（2）如果，求证：线段是线段、的比例中项【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1

11、）延长AF交BC于点G，可证AD=GC，由，可证，由，可证，进而可证结论成立；（2）证明，可证，由（1）得，即，进而可证线段是线段、的比例中项【详解】证明：（1）如图，延长AF交BC于点G，四边形AGCD是平行四边形，AD=GC， ， ；（2）， ， ， ，【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及平行线分线段成比例定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形【题型】五、三角形中位线有关的面积计算例5、如图，A

12、BC中，AD、BE是两条中线，则SEDC：SABC=（ ）A1：2B2：3C1：3D1：4【答案】D【解析】试题提示：ABC中，AD、BE是两条中线，DE是ABC的中位线，DEAB，DE=AB，EDCABC，SEDC：SABC=（）2=故选D相似三角形（达标训练）一、单选题1在四边形中，对角线和交于点，下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（）A，B，C，D，【答案】D【分析】利用平行四边形的判定定理分别进行分析即可【详解】A、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；B、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，

13、故此选项不合题意；C、根据一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；D、根据一组对边平行，另一组对边相等的四边形不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；故选：D【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形2如图，平行四边形中，点在上，且，则的度数是（）ABCD【答案】A【分析】由平行四边形的性质得出AD/CB，ADC

14、+C= 180，得出D，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出DAE的度数【详解】四边形ABCD是平行四边形，ADCB，ADC+C= 180， D= 180-C= 80D=180- 100= 80AE= AD，D=AED=80DAE= 180- 80 2= 20故答案为：A【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形和内角和定理等知识；关键是掌握平行四边形对边平行，对角相等3如图，ABC中，AB10，AC7，BC9，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，则四边形DBFE的周长是（）A13B15C17D19【答案】D【分析】根据中位线的性质求出DE、EF的长即可求得四边

15、形DBFE的周长【详解】解：点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，DE、EF均为的中位线， AB10，BC9，四边形DBFE的周长故选：D【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，判断出DE、EF是三角形中位线，牢记中位线性质是解题关键4在中，对角线，相交于点，下列结论一定正确的是（）ABCD【答案】A【分析】首先根据平行四边形的性质得出相应结论，再逐项判断即可【详解】四边形ABCD是平行四边形，BO=DO，AO=CO，AB=CD，ABC=ADC，A正确，B，C，D不一定成立.故选：A【点睛】本题主要考查了根据平行四边形的性质解决问题，掌握平行四边形的性质是解题的关键.即平行四边形的平行且对边

16、相等，对角线互相平分，对角相等，邻角互补5已知：如图，在中，E，F分别是AB，CD的中点求证：四边形EBFD是平行四边形以下是排乱的证明过程：；四边形EBFD是平行四边形；又；四边形ABCD是平行四边形证明步骤正确的顺序是（）ABCD【答案】C【分析】根据平行形四边形的判定及性质即可求得【详解】解：四边形ABCD是平行四边形，又，四边形EBFD是平行四边形，故选C【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，正确书写证明过程是解题的关键二、填空题6如图，在平行四边形ABCD中，过AC中点O的直线分别交边BC，AD于点E，F，连接AE，CF只需添加一个条件即可证明四边形AECF 是菱形，这个条件可以

17、是_（写出一个即可）【答案】（答案不唯一）【分析】根据菱形的判定即可解【详解】是平行四边形ADBCFAC=ECA，AFE=FEC，AO=COAOFCOE(AAS)AF=CE又AF=CE四边形AECF 是平行四边形，又四边形AECF是菱形故答案为：（答案不唯一）【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定等，熟练掌握菱形判定是解决问题的关键7如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，这个四边形是_形；如果直尺的宽度是，两把直尺所夹的锐角为，那么这个四边形的周长为_【答案】 菱 12【分析】先证四边形是平行四边形，再证，则平行四边形是菱形，得，然后由等腰直角三角形的性质求出的

18、长，即可解决问题【详解】解：如图，过点作于，于两直尺的宽度相等为，四边形是平行四边形，又平行四边形的面积，平行四边形为菱形，是等腰直角三角形，菱形的周长，故答案为：菱，【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键三、解答题8在四边形ABCD中，已知ADBC，BD，AEBC于点E，AFCD于点F（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若AF2AE，BC6，求CD的长【答案】（1）见解析；（2）3【分析】（1）根据两组对边分别平行证明该四边形为平行四边形（2）利用等面积法求出CD长【详解】（1）证明：AD/

19、BC，BAD+B180，BD，BAD+D180，AB/CD，又AD/BC，四边形ABCD是平行四边形；（2）解：AEBC于点E，AFCD于点F，平行四边形的面积BCAECDAF，AF2AE，BC2CD6，CD3【点睛】本题考查平行四边形的判定和等面积法的使用，掌握这两点是解题关键相似三角形（提升测评）一、单选题1如图，ABCD中，点E在边BC上，以AE为折痕，将ABE向上翻折，点B正好落在CD上的点F处，若FCE的周长为7，FDA的周长为21，则FD的长为（）A5B6C7D8【答案】C【分析】根据翻折变换的性质、平行四边形的性质证明AD+DC14，此为解题的关键性结论；再运用FDA的周长为21

20、，求出FD的长，即可解决问题【详解】解：四边形ABCD为平行四边形，ADBC，ABDC由题意得，BEFE，ABAFFCE的周长为7，FDA的周长为21，CE+CF+EF7，DF+AD+AF21，（CE+EF）+（DF+CF）+AD+AF28，即2（AD+DC）28，AD+DC14，即AD+AF14，FD21-147故选：C【点睛】本题考查了翻折变换的性质及平行四边形的性质，根据以上性质找到等量关系AD+DC14是解题的关键2如图，在中，点D、E、F分别在边上，连接，若，则下列结论错误的是（）ABCD【答案】C【分析】利用平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质对每个选项

21、进行判断即可【详解】解：、，故选项A正确；、，四边形是平行四边形，故选项B正确；、，与的大小关系不能确定，故选项C错误；、，故选项D正确，故选：C【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质，正确应用平行线分线段成比例定理是解题的关键3如图，平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于O，AC=14，BD=20，AB=11，则COD的周长是（）ABCD【答案】A【分析】由平行四边形的性质可得AB=CD=11，AO=CO=7，BO=DO=10，即可求COD的周长【详解】解：四边形ABCD是平行四边形，AB=CD=11，AO=CO=AC=7，BO=DO=BD

22、=10，COD的周长=OC+OD+CD=28故选：A【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练运用平行四边形的性质是本题的关键4如图，四边形中，ABDC，点，分别是边和对角线的中点，且与对角线交于点，则的长为（）ABCD【答案】B【分析】先证是的中位线，利用中位线的性质得出，再证为的中位线，进而得出，即可求出的长【详解】点，分别是边和对角线的中点，是的中位线，点为的中点，为的中位线，故选B【点睛】本题考查三角形中位线的判定与性质、平行线分线段成比例，解题的关键是掌握“三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的二分之一” 5如图，在中，作交边于点E，连接，则的值为（）ABCD【答案】A【

23、分析】过点作于点，过点作于点，根据三角函数以及勾股定理求出的长度，然后根据三角形面积公式得出的长度，结果可得【详解】解：过点作于点，过点作于点，四边形是平行四边形，即，故选：A【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，勾股定理，含的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握解直角三角形以及勾股定理是解本题的关键二、填空题6已知边长为4的等边，D，E，F分别为边，的中点，P为线段上一动点，则的最小值为_【答案】4【分析】连接，设交于点J，根据等边三角形的性质及中位线的性质得出， ，由三角形三边关系即可得出结果【详解】解：如图，连接，设交于点J，是等边三角形，D、E、F分别为边、的中点， ，是线段

24、的垂直平分线，的最小值为4，故答案为：4【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及中位线的性质，三角形的三边关系等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键7如图，在平行四边形ABCD中，B45，AD2，E，H分别为边AB，CD上一点将平行四边形ABCD沿EH翻折，使得AD的对应线段FG经过点C，若FGCD，C为FG的中点，则EF的长度为 _【答案】#【分析】延长CF与AB交于点M，由平行四边形的性质得BC，GMAB，即可得，然后可得GF，EFG，进而得FM，EFM，即可求得结果【详解】解：如图：延长CF与AB交于点M，四边形ABCD是平行四边形，BC=AD=2，FGCD， CMAB，B=45，BM

25、=CM，CM，由折叠知GF=AD=2，C为FG的中点，CG=1，EFG=A=180-B=135，MFE45，故答案为：【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、折叠的性质、等腰直角三角形的判定与性质，关键是作辅助线构造直角三角形三、解答题8如图，已知矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点A作AEBD，交CB的延长线于点E(1)求证：AE=AC；(2)若cosE=，CE=12，求矩形ABCD的面积【答案】(1)见解析(2)矩形ABCD的面积为48【分析】（1）由矩形的性质，可得AC=BD，ADBC，故可证四边形AEBD是平行四边形，从而得出AC=AE的结论；（2）首先根据等腰三角形的性质

26、得到EB的长，然后利用锐角三角函数求得AE的长，从而利用勾股定理求得AB的长,最后求得面积即可（1）证明：在矩形ABCD中，AC=BD，ADBC，又，四边形AEBD是平行四边形，BD=AE， AC=AE；（2）解：在矩形ABCD中，ABEC，AE=AC，EB=BC，CE=12，EB=6，AE=10，由勾股定理得：矩形ABCD的面积为【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识解此题的关键是能灵活运用矩形的性质，以及能利用锐角三角函数求线段9如图，在四边形中，点在延长线上，与交于点(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若平分，求和的长【答案】(1)见解析(2)5，8【分析】（1）先证，再由，即可得出结论；（2）由锐角三角函数定义得，再由平行四边形的性质得，然后证，则，进而证，得（1）证明：，四边形是平行四边形；（2），由（1）可知，四边形是平行四边形，平分，即，【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、锐角三角函数定义、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键