专题24.7 点和圆、直线和圆的位置关系【九大题型】（举一反三）（沪科版）（解析版）.docx

1、专题24.7 点和圆、直线和圆的位置关系【九大题型】【沪科版】【题型1 判断点和圆的位置关系】1【题型2 根据点和圆的位置关系求半径】5【题型3 判断直线和圆的位置关系】7【题型4 根据直线和圆的位置关系求半径的取值范围】10【题型5 根据直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】14【题型6 根据直线与圆的位置关系确定交点个数】17【题型7 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离】22【题型8 求直线平移到与圆相切时运动的距离】27【题型9 利用直线与圆的位置关系求最值】32【知识点1 点和圆的位置关系】1. 点与圆的位置关系有：点在圆外，点在圆上，点在圆内三种。2. 用数量关系表示：若设O的半径

2、就是r，点P到圆的距离OP=d，则有： 点P在圆外,则 dr；点p在圆上则d=r；点p在圆内则dr,反之也成立。【题型1 判断点和圆的位置关系】【例1】（2023春四川自贡九年级统考期末）在平面直角坐标xOy中，O的半径为5，以下各点在O内的是（）A(-2,3)B(3,-4)C(-4,-5)D(5,6)【答案】A【分析】先根据勾股定理求出各点到O的距离，再与O的半径5相比较即可【详解】解：A、点(-2,3)到O的距离为22+32=1325=5，则点(-4,-5)在O外，本选项不符合题意；D、点(5,6)到O的距离为62+52=6125=5，则点(5,6)在O外，本选项不符合题意；故选：A【点睛

3、】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键【变式1-1】（2023春吉林通化九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，A0，4、B2，4、C4，2（1）经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为 ；（2）这个圆的半径为 ；（3）点D3，-1与M的位置关系为点D在M （填内、外、上）【答案】 1，1 10 内【分析】（1）作线段AB，BC的垂直平分线交于点M，点M即为所求；（2）根据点M的位置写出坐标即可，利用勾股定理求出半径；（3）根据点与圆的位置关系判断即可【详解】解：（1）如图，点M是线段AB，BC的垂直平分线的交点，MA=MB=MC，点M是经过A、B、C

4、三点的圆弧所在圆的圆心，点M1，1即为所求故答案为：1，1（2）M1，1，点A在M上，MA=12+32=10故答案为：10（3）D3，-1，M1，1，MD=3-12+-1-12=22，2210，MDMA，点D3，-1在M的内部故答案为：内【点睛】本题考查作图复杂作图，坐标与图形的性质，垂径定理，点与圆的位置关系，勾股定理，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质【变式1-2】（2023春山东滨州九年级统考期末）已知O的半径是8，点P到圆心O的距离d为方程x2-4x-5=0的一个根，则点P在（）AO的内部BO的外部CO上或O的内部DO上或O的外部【答案】A【分析】解一元

5、二次方程根据点与圆的关系直接判定即可得到答案【详解】解：解方程可得，x1=5，x2=-1，点P到圆心O的距离d为方程x2-4x-5=0的一个根，d=56,点B、C都在P外；故B、C选项都不符合题意；DP=2r；点P在圆上时，d=r；点P在圆内时，dr【变式2-2】（2023春浙江嘉兴九年级校考开学考试）已知O的圆心与坐标原点重合，半径为r，若点A(2,0)在O内，点P(2,2)在O外，则r的取值范围是 【答案】2r22【分析】由题意知，OA=2，OP=2-02+2-02=22，由点A(2,0)在O内，点P(2,2)在O外，可得2r22【详解】解：由题意知，OA=2，OP=2-02+2-02=2

6、2，点A(2,0)在O内，点P(2,2)在O外，2r22，故答案为：2r22【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用【变式2-3】（2023春九年级单元测试）如图，矩形ABCD中AB=3，AD=4.作DEAC于点E，作AFBD于点F(1)求AF、AE的长；(2)若以点A为圆心作圆，B、C、D、E、F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，求A的半径r的取值范围【答案】(1)AF=125，AE=165(2)2.4r4【分析】（1）根据勾股定理求出AC=BD=32+42=5，根据等积法求出AF=345=125，根据勾股定理求出AE=42-1252

7、=165；（2）根据AFABAEADAC，结合点与圆的位置关系进行判断即可【详解】（1）解：矩形ABCD中AB=3，AD=4，AC=BD=32+42=5，12AFBD=12ABAD，AF=345=125，同理可得：DE=125，在RtADE中，AE=42-1252=165；（2）解：AFABAEADAC，若以点A为圆心作圆，B、C、D、E、F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，即点F在圆内，点D、C在圆外，A的半径r的取值范围为2.4r4【点睛】本题主要考查了矩形的性质，点与圆的位置关系，勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握点与圆的位置关系【知识点2 直线和圆的位置关系

8、】1. 直线与圆的位置关系有：相交、相切、相离三种。2. 直线与圆的位置关系可以用数量关系表示:若设O的半径就是r，直线l与圆心0的距离为d，则有：直线l与O相交则d r； 直线l与O相切则 d = r；直线l与O相离则d r,反之也成立。【题型3 判断直线和圆的位置关系】【例3】（2023春九年级课时练习）已知在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，以点A为圆心，r为半径作A，(1)当半径r为何值时，A与直线BC相切；(2)当半径r为何值时，A与直线BD相切；(3)当半径r的取值范围为何值时，A与直线BC相交且与直线CD相离【答案】(1)当半径r为3时，A与直线BC相切(2)当半径r为2.4时

9、，A与直线BD相切(3)当半径r的取值范围为3r3，又A与直线CD相离，圆心A到CD的距离为AD=4，r4，则当半径r的取值范围为3r3，即rd，直线与圆相交，故答案为：相交或相切【点睛】此题考查了一元二次方程的求解以及直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握一元二次方程的求解以及直线与圆的位置关系【变式3-2】（2023春全国九年级专题练习）已知O的直径为12，点O到直线l上一点的距离为210，则直线l与O的位置关系（）A相交B相切C相离D不确定【答案】D【分析】根据圆心到直线的距离与圆半径之间的大小关系，判断直线与圆的位置关系即可【详解】解：O的直径为12，O的半径为6，点O到直线l上一点的距

10、离为210，无法确定点O到直线l的距离，不能确定直线l与O的位置关系，故选D【点睛】本题考查直线与圆的位置关系熟练掌握圆心到直线的距离与圆半径之间的大小关系，判断直线与圆的位置关系，是解题的关键【变式3-3】（2023春九年级课时练习）如图所示，正方形ABCD的边长为2，AC和BD相交于点O，过O作EFAB，交BC于E，交AD于F，则以点B为圆心，2为半径的圆与直线AC，EF的位置关系分别是什么？【答案】见解析【分析】求点B到AC的距离，即BO，可知与B的半径相等，故圆与直线AC相切；点B到EF的距离BE2，小于B的半径，故圆与直线EF相交.【详解】由题中已知条件，得BOAC，BO=12BD=

11、12BC2+CD2=2，即点B到AC的距离为2，与B的半径相等，直线AC与B相切EFAB，ABC=90，BEEF，垂足为E，且BE=12BC=122=12，直线EF与B相交【点睛】本题考查正方形的性质，直线与圆的位置关系判定，根据点到直线的距离与半径的大小关系判定直线与圆的位置关系是解题的关键【题型4 根据直线和圆的位置关系求半径的取值范围】【例4】（2023春九年级课前预习）在平面直角坐标系中，以点A4,3为圆心、以R为半径作圆A与x轴相交，且原点O在圆A的外部，那么半径R的取值范围是（）A0R5B3R4C3R5D4R5【答案】C【分析】分别根据原点O在圆A的外部，圆A与x轴相交，可得半径R

12、的取值范围【详解】解：A4,3，OA=32+42=5，原点O在圆A的外部，ROA，即R3，3R5，故选C【点睛】本题考查了坐标与图形性质，勾股定理，直线、点与圆的位置关系等知识点，能熟记直线、点与圆的位置关系是解此题的关键【变式4-1】（2023春全国九年级专题练习）对于P及一个矩形给出如下定义：如果P上存在到此矩形四个顶点距离都相等的点，那么称P是该矩形的“等距圆”如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A的坐标为(4,6)，顶点C、D在x轴上，且OC=OD若矩形ABCD的“等距圆” P始终在矩形内部（含边界），则P的半径r的取值范围是 【答案】0r7-26【分析】先确定最大圆的位

13、置，再根据勾股定理列方程求解即可【详解】解：矩形ABCD的顶点A的坐标为(4,6)，顶点C、D在x轴上，且OC=OD它的中心E点坐标为(0,3)，如图，经过点E且在矩形内部（含边界）的最大圆为过点E且和AD，CD相切的圆P，设切点分别为G，H，如图，连接PG，PH，PE，过点P作PFy轴于点F，设P的半径为r，则PG=PH=PE=r，PF=4-r，EF=3-r，在RtPEF中，PE2=EF2+PF2，r2=(3-r)2+(4-r)2，解得r1=7-26，r2=7+26，由题意，r3，r2=7+26应舍去，故答案为：0r7-26【点睛】本题考查矩形的性质，直线与圆的位置关系，勾股定理，一元二次方

14、程的解法，解题的关键是确定出最大圆的位置，利用勾股定理解答【变式4-2】（2023春上海徐汇九年级统考期中）如图，在梯形ABCD中，ADBC，B90，AD2，AB4，BC6，点O是边BC上一点，以O为圆心，OC为半径的O，与边AD只有一个公共点，则OC的取值范围是（）A4OC133B4OC133C4OC143D4OC143【答案】B【分析】作DEBC于E，当O与边AD相切时，圆心O与E重合，即OC4；当OAOC时，O与AD交于点A，设OAOCx，则OB6x，在RtABO中，由勾股定理得出方程，解方程得出OC133；即可得出结论【详解】作DEBC于E，如图所示：则DEAB4，BEAD2，CE4D

15、E，当O与边AD相切时，切点为D，圆心O与E重合，即OC4；当OAOC时，O与AD交于点A，设OAOCx，则OB6x，在RtABO中，由勾股定理得：42+（6x）2x2，解得：x133；以O为圆心，OC为半径的O，与边AD只有一个公共点，则OC的取值范围是4x133；故选B【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、直角梯形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握直角梯形的性质，分情况讨论是解题的关键【变式4-3】（2023全国九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=5，BC=12分别以点O、D为圆心画圆，如果O与直线AD相交、与直线CD相离，且D与O内切，那么D的半径长r

16、的取值范围是（）A12r4B52r6C9r252D9r13【答案】C【分析】过点O作OEAD，勾股定理求得BD=13，进而根据平行线分线段成比例得出OE=12AB,OF=12AD，根据题意，画出相应的图形，即可求解【详解】解：如图所示，当圆O与AD相切时，过点O作OEAD，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=5，BC=12ADCD，CD=AB=5，AD=BC=12，BD=AB2+AD2=13，OEDCOE=12AB=52，则r=OD+52=132+52=9；当圆O与CD相切时，过点O作OFCD于点F，如图所示，则OF=12AD=6则r=132+6=252O与直线AD相交、与直线C

17、D相离，且D与O内切时，9r252，故选：C【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，根据题意画出图形是解题的关键【题型5 根据直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】【例5】（2023河北唐山统考一模）如图，O的半径是5，点A在O上P是O所在平面内一点，且AP2，过点P作直线l，使lPA（1）点O到直线l距离的最大值为 ；（2）若M，N是直线l与O的公共点，则当线段MN的长度最大时，OP的长为 【答案】 7 21【分析】（1）如图1，当点P在圆外且O，A，P三点共线时，点O到直线l距离的最大，于是得到结论；（2）如图2，根据已知条件得到线

18、段MN是O的直径，根据勾股定理即可得到结论【详解】（1）如图1，lPA，当点P在圆外且O，A，P三点共线时，点O到直线l距离的最大，最大值为AO+AP5+27；（2）如图2，M，N是直线l与O的公共点，当线段MN的长度最大时，线段MN是O的直径，lPA，APO90，AP2，OA5，OPOA2-PA221，故答案为7, 21【点睛】此题主要考查点到直线的距离以及勾股定理的运用，熟练掌握，即可解题.【变式5-1】（2023春全国九年级专题练习）已知O的半径为5，直线l与O有2个公共点，则点O到直线l的距离可能是（）A3B5C7D9【答案】A【分析】根据题意得点O到直线l的距离小于圆的半径，即可解答

19、【详解】O的半径为5，直线l与O有2个公共点，点O到直线l的距离0d 2【答案】B【分析】根据题意，知直线和圆有公共点，则相切或相交，相切时，设切点为C，连接OC，根据等腰直角三角形的直角边是圆的半径1，求得斜边是2，所以x的取值范围是0x2【详解】解：设切点为C，连接OC，则圆的半径OC=1，OCPC，AOB=45，OAPC，OPC=45，PC=OC=1，OP=2，同理，原点左侧的距离也是2，且线段是正数所以x的取值范围是0x2故选：B【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，以及直径所对的圆周角是直角等知识，解题关键是求出相切的时候的x值，即可分析出x的取值范围【变式5-3】（2023春全

20、国九年级专题练习）如图，O的半径是3，点A在O上，点P是O所在平面内一点，且AP=2，过点P作直线l，使lPA（1）点O到直线l距离的最大值为 ；（2）若点M，N是直线l与O的公共点，则当线段MN的长度最大时，OP的长为 【答案】 5 5【分析】（1）如图1，当点P在圆外且O，A，P三点共线时，点O到直线l距离的最大，于是得到结论；（2）如图2，根据已知条件得到线段MN是O的直径，根据勾股定理即可得到结论【详解】解：（1）如图1，lPA，当点P在圆外且O，A，P三点共线时，点O到直线l的距离最大，最大值为AO+AP=3+2=5；（2）如图2，M，N是直线l与O的公共点，当线段MN的长度最大时，

21、线段MN是O的直径，lPA，APO=90，AP=2，OA=3，OP=OA2-PA2=5，故答案为：5，5【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键【题型6 根据直线与圆的位置关系确定交点个数】【例6】（2023春全国九年级统考期末）已知，RtABC中，C=90，斜边AB上的高为5cm，以点C为圆心，4.8为半径的圆与该直线AB的交点个数为（ ）A0个B1个C2个D3个【答案】A【分析】根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行判断若dr，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若dr，则直线与圆相离【详解】解：5cm4.8cm，d r.圆与该直线AB的位置关系

22、是相离，交点个数为0，故选A【点睛】考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系，关键是掌握d与r的大小关系所决定的直线与圆的位置关系【变式6-1】（2023春九年级课时练习）在RtABC，BAC=90，AB=8，AC=6，以A为圆心，4.8长度为半径的圆与直线BC的公共点的个数为 个【答案】1【分析】根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行判断，若dr，则直线与圆相离【详解】解：BAC=90，AB=8，AC=6，BC=10，斜边上的高为：ABACBC=4.8，d=r=4.8，圆与该直线BC的位置关系是相切，交点个数为1故答案为：1【点睛】考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系，难度一般，关键

23、是掌握d与r的大小关系所决定的直线与圆的位置关系【变式6-2】（2023春湖北武汉九年级校考阶段练习）如图，ACB30，点O是CB上的一点，且OC6，则以4为半径的O与直线CA的公共点的个数为（）A0个B1个C2个D无法确定【答案】C【分析】过O作ODOA于D，求出CD的长，根据直线和圆的位置关系判断即可【详解】解：过O作ODOA于D，AOB30，OC6，OD12OC34，以4为半径的O与直线CA的公共点的个数为2个，故选：C【点睛】本题主要考查直线与圆的公共点个数，会判断直线与圆的位置关系是解题的关键.【变式6-3】（2023春江苏镇江九年级统考期中）如图，在ABCD中，AB=4，BC=8，

24、ABC=60点P是射线BC上一动点，作PAB的外接圆O(1)当DC与PAB的外接圆O相切时，求O的半径；(2)直接写出O与ABCD的边的公共点的个数及对应的BP长的取值范围【答案】(1)1336(2)当0BP4时，O与ABCD的边的公共点的个数为3个；当4BP8时，点D在O的内部，O与ABCD的边的公共点的个数为2个【分析】（1）取BC的中点M，连接AM，证明ABM是等边三角形，得出BAC=90，AC=BC2-AB2=43，依题意O点在AB的垂直平分线上，作AB的垂直平分线交DC的延长线于点E，交AB于点F，连接OB,OP，在RtAOF中勾股定理即可求解；（2）分特殊点讨论，当O与AD相切时，

25、当O经过点D时，分别求得BP的长，结合图形即可求解【详解】（1）解：如图，取BC的中点M，连接AM，AB=4，BC=8，ABC=60BM=12BC=4，AB=BM=4，ABM是等边三角形，BAM=AMC=60，又AM=MC=4，MAC=MCA=30，BAC=90，AC=BC2-AB2=43设O的半径为r，点P是射线BC上一动点，作PAB的外接圆OO点在AB的垂直平分线上，OA=OB=OP=r如图，作AB的垂直平分线交DC的延长线于点E，交AB于点F，连接OB,OPDCEF四边形EFAC是矩形，EF=AC=43，当O经过点E时，CD是O的切线，在RtAOF中，AF=12AB=2，AO=r，OF=

26、EF-OE=43-rAO2=AF2+OF2r2=22+43-r2解得：r=1336（2）解：如图，当O与AD相切时，O与ABCD有3个交点，此时AOBC，根据对称性可知APB=ABP=60ABP是等边三角形，BP=AB=4即当0BP4时，O与ABCD的边的公共点的个数为3个；当O经过点D时，如图，连接PD，四边形ABCD是平行四边形ABCD，ADBCDP=AB=4 又ABC=60DCP是等边三角形CP=4BP=8 +4=12当4BP8时，点D在O的内部，O与ABCD的边的公共点的个数为2个；综上所述，当0BP4时，O与ABCD的边的公共点的个数为3个；当4BP8时，点D在O的内部，O与ABCD

27、的边的公共点的个数为2个【点睛】本题考查了切线的性质与判定，垂径定以及垂径定理的推论，三角形的外心，勾股定理，平行四边形的性质，直线与圆的位置关系，分类讨论是解题的关键【题型7 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离】【例7】（2023春黑龙江齐齐哈尔九年级统考期末）如图，直线AB，CD相交于点O，AOC30，半径为1cm的P的圆心在直线AB上，开始时，PO6cm如果P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么当P的运动时间t（s）为 时，P与直线CD相切【答案】4或8【分析】利用P的圆心在直线AB上，分别得出P在O点左边和右边两种情况，并根据直角三角形的性质即可计算出结果【详解】解解：当点P

28、在射线OA上时P与CD相切，如图过P作PECD与E，PE1cm，AOC30，OP2PE2cm，P的圆心在直线AB上向右移动了（62）cm后与CD相切，P移动所用的时间t6-214（秒）；当点P在射线OB时P与CD相切， 如图，过P作PFCD与F，PF1cm，AOCDOB30，OP2PF2cm， P的圆心在直线AB上向右移动了（62）cm后与CD相切，P移动所用的时间t6+218（秒）综上所述，t4秒或8秒故答案为：4或8【点睛】此题主要考查了直线与圆的位置关系，利用数形结合的思想并能利用直角三角形的性质得出结论是解题的关键【变式7-1】（2023春山东临沂九年级统考期中）如图，O的半径OC=5

29、cm，直线lOC，垂足为H，且l交O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线平移后与O相切，则平移的距离是（） A1cmB2cmC8cmD2cm或8cm【答案】D【详解】试题分析：连接OA，如图：OHAB，AB=8cm，AH=12AB=4cm，OA=OC=5cm，由勾股定理可得OH=3cm，当直线向下平移到点H与点C重合时，直线与圆相切，CH=OC-OH=2cm；同理：当直线向上平移到与圆相切时，平移的距离=5+3=8cm，所以直线在原有位置移动2cm或8cm后与圆相切，故选D考点：垂径定理、勾股定理、直线与圆的位置关系【变式7-2】（2023春天津宝坻九年级校联考期末）如图，已知APB

30、=30，OP=3cm，O的半径为1cm，若圆心O沿着BP的方向在直线BP上移动（）当圆心O移动的距离为1cm时，说明O与直线PA的位置关系（）若圆心O的移动距离是d，当O与直线PA相交时，求d的取值范围【答案】相切;1cmd5cm【详解】试题分析：（1）如图，当点O向左移动1cm时，PO=POOO=31=2cm，作OCPA于C，P=30度，OC=12PO=1cm，圆的半径为1cm，O与直线PA的位置关系是相切；（2）如图：当点O由O向右继续移动时，PA与圆相交，当移动到C时，相切，此时CP=PO=2，点O移动的距离d的范围满足1cmd5cm时相交考点：直线与圆的位置关系【变式7-3】（2023

31、天津九年级统考期中）如图，APB=30，圆心在PB上的O的半径为1cm，OP=3cm，若O沿BP方向平移，当O与PA相切时，圆心O平移的距离为 cm【答案】1或5【分析】首先根据题意画出图形，然后由切线的性质，可得OCP=90，又由APB=30，OC=1cm，即可求得OP的长，继而求得答案【详解】解：有两种情况：（1）如图1,当O平移到O位置时，O与PA相切时，且切点为C，连接OC,则OCPA，即OCP=90，APB=30,OC=1cm，OP=2OC=2cm，OP=3cm，OO=OPOP=1(cm).（2）如图2，同理可得：OP=2cm，OO=5cm.故答案为1或5.【点睛】本题主考考查圆与直

32、线相切. 本题要应用分类讨论思想分别画出O 与直线PA相切时的图形，利用切线性质即可求出答案.【题型8 求直线平移到与圆相切时运动的距离】【例8】（2010四川南充中考真题）如图，直线l1l2，O与l1和l2分别相切于点A和点B点M和点N分别是l1和l2上的动点，MN沿l1和l2平移O的半径为1，1=60下列结论错误的是（）AMN=433B若MN与O相切，则AM=3C若MON=90，则MN与O相切Dl1和l2的距离为2【答案】B【分析】根据直线与圆的相关知识，逐一判断【详解】解：A、平移MN使点B与N重合，1=60，AB=2，解直角三角形得MN=433，正确；B、当MN与圆相切时，M，N在AB左侧以及M，N在A，B右侧时，AM=3或33，错误；C、若MON=90，连接NO并延长交MA于点C，则AOCBON，故CO=NO，MONMOC，故MN上的高为1，即O到MN的距离等于半径正确；D、l1l2，两平行线之间的距离为线段AB的长，即直径AB=2，正确故选：B【点睛】本题考查了直线与圆相切的判断方法和性质，全等三角形的判定及性质，平行线间的距离，熟练掌握直线与圆相切的判断方法和性质是解题的关键