专题24.8 切线的判定和性质【九大题型】（举一反三）（沪科版）（解析版）.docx

1、专题24.8 切线的判定和性质【九大题型】【沪科版】【题型1 有关切线的说法辨析】1【题型2 判断或补全使直线为切线的条件】4【题型3 证明某直线是圆的切线（连半径证垂直）】9【题型4 证明某直线是圆的切线（作垂直证半径）】16【题型5 利用切线的性质求线段长度】20【题型6 利用切线的性质求角度大小】29【题型7 利用切线的性质证明】33【题型8 切线的判定与性质的综合运用】38【题型9 过圆外一点作圆的切线】47【知识点 切线的判定】（1）切线判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法） 如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径，那么这条

2、直线是圆的切线（2）切线判定常用的证明方法：知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径【题型1 有关切线的说法辨析】【例1】（2023春山东日照九年级统考期中）如图，点B在A上，点C在A外，以下条件不能判定BC是A切线的是（）AA50，C40BBCACAB2+BC2AC2DA与AC的交点是AC中点【答案】D【分析】根据切线的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论【详解】解：A、A50，C40，B180AC90，BCAB，点B在A上，AB是A的半径，BC是A切线；B、BCA，BA+C，A+B+C180，B90，BCAB，点B在A上，AB是A的

3、半径，BC是A切线；C、AB2+BC2AC2，ABC是直角三角形，B90，BCAB，点B在A上，AB是A的半径，BC是A切线；D、A与AC的交点是AC中点，AB12AC，但不能证出B90，不能判定BC是A切线；故选：D【点睛】本题考查了切线的判定、勾股定理的逆定理、三角形内角和定理等知识；熟练掌握切线的判定是解题的关键【变式1-1】（2023春九年级课时练习）下列直线中可以判定为圆的切线的是（）A与圆有公共点的直线B经过半径外端的直线C垂直于圆的半径的直线D与圆心的距离等于半径的直线【答案】D【分析】根据切线的判定方法逐项分析即可【详解】解：A与圆有且仅有一个公共点的直线是圆的切线，故该选项不

4、正确，不符合题意；B经过半径外端的直线且垂直于半径的直线是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意；C经过半径外端的直线且与半径垂直的直线是圆的切线，故不正确；D与圆心的距离等于半径的直线，故该选项正确，符合题意；故选：D【点睛】本题考查了切线的判定方法，如果直线与圆只有一个公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点；经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【变式1-2】（2023春西藏拉萨九年级校考期末）下列四个选项中的表述，一定正确的是（）A经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线B经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线C经过半径的外

5、端且垂直于这条半径的直线是圆的切线D经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线【答案】C【分析】根据切线的判定对各个选项进行分析，从而得到答案【详解】由切线的判定定理可知：经过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线，故A，B，D选项不正确，C选项正确，故选：C【点睛】此题主要考查了圆中切线的判定，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键【变式1-3】（2011秋湖北黄冈九年级统考期末）如图，已知AB、AC分别为O的直径和弦，D为BC 的中点，DE垂直于AC的延长线于E，连接BC，若DE=6cm，CE=2cm，下列结论一定错误的是()ADE是O的切线B直径AB长为20cmC弦AC长为16cmD

6、C为AD 的中点【答案】D【分析】AB是圆的直径，则ACB=90，根据DE垂直于AC的延长线于E，可以证得EDBC，则DEOD，即可证得DE是圆的切线，根据切割线定理即可求得AC的长，连接OD，交BC与点F，则四边形DECF是矩形，根据垂径定理即可求得半径【详解】解：连接OD，OCD是弧BC的中点，则ODBC，DE是圆的切线故A正确；DE2=CE?AE即：36=2AEAE=18，则AC=AE-CE=18-2=16cm故C正确；AB是圆的直径ACB=90，DE垂直于AC的延长线于ED是弧BC的中点，则ODBC，四边形CFDE是矩形CF=DE=6cmBC=2CF=12cm在直角ABC中，根据勾股定

7、理可得：AB=AC2+BC2=162+122=20故B正确；在直角ABC中，AC=16，AB=20，则ABC30，而D是弧BC的中点弧AC弧CD故D错误故选D【题型2 判断或补全使直线为切线的条件】【例2】（2023春北京九年级统考期末）在下图中，AB是O的直径，要使得直线AT是O的切线，需要添加的一个条件是 （写一个条件即可）【答案】ABT=ATB=45（答案不唯一）【分析】根据切线的判定条件，只需要得到BAT=90即可求解，因此只需要添加条件：ABT=ATB=45即可【详解】解：添加条件：ABT=ATB=45，ABT=ATB=45，BAT=90，又AB是圆O的直径，AT是圆O的切线，故答案

8、为：ABT=ATB=45（答案不唯一）【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，三角形内角和定理，熟知圆切线的判定条件是解题的关键【变式2-1】（2023春山东德州九年级统考期中）如图，A、B是O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果AOB=120，那么当CAB的度数等于 度时，AC才能成为O的切线【答案】60【分析】由已知可求得OAB的度数，因为OAAC，AC才能成为O的切线，从而可求得CAB的度数【详解】解：AOB中，OA=OB，AOB=120，OAB=OBA=12180-AOB=30，当OAAC即OAC=90时，AC才能成为O的切线，当CAB的度数等于60，即OAAC时，AC才能成为O的切线故

9、答案为：60【点睛】本题考查了切线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握切线的判定定理是解答此题的关键【变式2-2】（2023春河南信阳九年级统考期中）如图，在RtABC中，ACB=90，以AC为直径作O交AB于D点，连接CD（1）求证：A=BCD；（2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与O相切？并说明理由【答案】（1）证明见试题解析；（2）M为BC的中点【详解】试题分析：（1）根据圆周角定理可得ADC=90，再根据直角三角形的性质可得A+DCA=90，再由DCB+ACD=90，可得DCB=A；（2）当MC=MD时，直线DM与O相切，连接DO，根据等等边对等角可

10、得1=2，4=3，再根据ACB=90可得1+3=90，进而证得直线DM与O相切试题解析：（1）证明：AC为直径，ADC=90，A+DCA=90，ACB=90，DCB+ACD=90，DCB=A；（2）当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与O相切；解：连接DO，DO=CO，1=2，DM=CM，4=3，2+4=90，1+3=90，直线DM与O相切，故当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与O相切考点：切线的判定【变式2-3】（2023春江西上饶九年级统考期末）已知：ABC内接于O，过点A作直线EF（1）如图甲，AB为直径，要使EF为O的切线，还需添加的条件是（写出两种情况，不需要证

11、明）： 或 ；（2）如图乙，AB是非直径的弦，若CAF=B，求证：EF是O的切线（3）如图乙，若EF是O的切线，CA平分BAF，求证：OCAB【答案】（1）OAEF；FAC=B；（2）见解析；（3）见解析【分析】(1) 添加条件是:OAEF或FAC=B根据切线的判定和圆周角定理推出即可(2) 作直径AM,连接CM，推出M=B=EAC，求出FAC+CAM=90，根据切线的判定推出即可(3)由同圆的半径相等得到OA=OB，所以点O在AB的垂直平分线上，根据FAC=B，BAC=FAC，等量代换得到BAC=B，所以点C在AB的垂直平分线上，得到OC垂直平分AB【详解】（1）OAEFFAC=B， 理由是

12、：OAEF，OA是半径，EF是O切线，AB是0直径，C=90，B+BAC=90，FAC=B，BAC+FAC=90，OAEF，OA是半径，EF是O切线，故答案为：OAEF或FAC=B，（2）作直径AM，连接CM，即B=M（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），FAC=B，FAC=M，AM是O的直径，ACM=90，CAM+M=90，FAC+CAM=90，EFAM，OA是半径，EF是O的切线 （3）OA=OB，点O在AB的垂直平分线上，FAC=B，BAC=FAC，BAC=B，点C在AB的垂直平分线上，OC垂直平分AB，OCAB【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，三角形的内角和定理等知识点，注

13、意:经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，直径所对的圆周角是直角【题型3 证明某直线是圆的切线（连半径证垂直）】【例3】（2023春江西宜春九年级江西省丰城中学校考开学考试）如图，在中，平分交于点D，O为上一点，经过点A，D的分别交，于点E，F(1)求证：是的切线；(2)若，求的半径【答案】(1)见解析(2)的半径为5【分析】（1）连接，可得，根据等边对等角，以及角平分线的定义，可得，根据“内错角相等，两直线平行”可得，根据平行线的性质，可得，再根据切线的判定方法，即可判定；（2）过点O作，交于点G，根据垂径定理可得，故，根据矩形的判定和性质，即可求解【详解】（1）证明：如图，连接，则，

14、是的平分线，为的半径，点D在上，是的切线；（2）解：过点O作，交于点G，如图，四边形是矩形，的半径为5【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆的垂径定理，矩形的判定和性质、等腰三角形的性质、角平分线的定义、平行线的判定和性质，解题的关键是准确作出辅助线【变式3-1】（2023春全国九年级专题练习）如图，中，以为直径的交于点，点在上，的延长线交于点F(1)求证：与相切；(2)若的半径为3，求的长【答案】(1)见解析(2)6【分析】（1）连接、，则，所以，由，得，所以，即可证明与相切；（2）由切线的性质得，得，则，即可根据勾股定理列方程，求解即可【详解】（1）证明：如图，连接、，则，经过的半径的外端，

15、且，与相切（2）解：由（1）知与相切，的长为6【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、圆的切线的判定、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键【变式3-2】（2023春江西九江九年级校考期中）如图，为的直径，C为上一点，P为延长线上的一点，使得(1)求证：是的切线(2)F为上一点，且经过的中点E求证：；若，求的半径长【答案】(1)见解析；(2)见解析；的半径为5【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得出，进而得出，即，即可得出结论；（2）先根据直径所对的圆周角是直角得出，进而得出，根据题意可得出，推出，即可得出结论；设,则，由知，得出和都是直角三角形，在中，根据勾股定理得出，求出，

16、在中，根据勾股定理得出，即可得出答案【详解】（1）证明：为的直径，即，是的切线；（2）证明：为的直径，经过的中点E，；解：设,则，由知，和都是直角三角形，在中，解得：（负值舍去），即，在中，解得：，即的半径为5【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，勾股定理，掌握切线的判定定理是解题的关键【变式3-3】（2023春江苏无锡九年级统考期中）如图，已知半径为的经过轴上一点，与轴交于、两点，连接、，平分，(1)判断与轴的位置关系，并说明理由；(2)求的长【答案】(1)相切，理由见解析(2)【分析】（1）连接，由平分可得，又，所以，进而可得，所以，可得轴，进而可得结论；（2）过点作轴于点，则，且四边形

17、是矩形，设可分别表达和，进而根据勾股定理可建立等式，得出结论；【详解】（1）解：与轴相切，理由如下：如图，连接，平分，又， ，轴，轴，是半径，与轴相切（2）如图，过点作轴于点，四边形是矩形，设则，在中，解得或舍去，【点睛】本题主要考查切线的定义，勾股定理，矩形的性质与判定，垂径定理，待定系数法求函数表达式，题目比较简单，关键是掌握相关定理【题型4 证明某直线是圆的切线（作垂直证半径）】【例4】（2023春山东日照九年级日照市新营中学校考期中）如图，在四边形ABCD中，ABC90，ADBC，CBCD，连接BD，以点B为圆心，BA长为半径作B，交BD于点E（1）试判断CD与B的位置关系，并说明理由

18、（2）若AB6，BDC60，求图中阴影部分的面积【答案】（1）相切，理由见解析；（2）【分析】(1)过点B作BFCD，证明ABDFBD，得到BF= BA，即可证明CD与圆B相切；(2)先证明BCD是等边三角形，根据三线合得到ABD= 30，求出AD，再利用阴影部分的面积= SABDS扇形ABE求出阴影部分面积【详解】解：(1) 过点B作BFCD，垂足为F，BFD=90，ADBC，ABC90，ABC90，BAD=90，BAD=BFD，ADBC，ADB= CBD，CB= CD，CBD= CDB，ADB = CDB，在ABD和FBD中 ，ABDFBD (AAS)，BF= BA，则点F在圆B上，CD与

19、B相切；(2) BCD= 60，CB= CD，BCD是等边三角形，CBD = 60， BFCD，ABD= DBF= CBF= 30 ，ABF= 60 ， AB= BF= 6，AD= DF = 2，阴影部分的面积= SABDS扇形ABE= = 【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积，三角函数的定义，题目的综合性较强，解题的关键是正确作出辅助线【变式4-1】（2023江西南昌九年级期末）如图，为正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点. （1）求证：与相切. （2）若正方形的边长为1，求半径的长.【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）根

20、据正方形的性质可知，AC是角平分线，再根据角平分线的性质进行证明即可；（2）根据正方形的边长求出AC的长，再根据等腰直角三角形的性质得出 即可求出.【详解】解：（1）如图，连接，过点作于点，与相切，四边形是正方形，平分，与相切. （2）四边形为正方形，. 又，解得.【点睛】本题主要考查了正方形的性质和圆的切线的性质和判定，还运用了数量关系来证明圆的切线的方法.【变式4-2】（2023武汉模拟）如图，在RtABC中，B90，BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DEDC，以D为圆心，DB长为半径作D，AB5，EB3（1）求证：AC是D的切线；（2）求线段AC的长【分析】（1）过点D作DF

21、AC于F，求出BDDF等于半径，得出AC是D的切线（2）先证明BDEDCF（HL），根据全等三角形对应边相等及切线的性质的ABAF，得出AB+EBAC【解答】证明：（1）过点D作DFAC于F；AB为D的切线，B90ABBCAD平分BAC，DFACBDDFAC与D相切；（2）在BDE和DCF中；BDDF，DEDC，RtBDERtDCF（HL），EBFCABAF，AB+EBAF+FC，即AB+EBAC，AC5+38【变式4-3】（2023椒江区一模）如图，ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与O相切于点D求证：AC是O的切线【分析】过点O作OEAC于点E，连接OD，OA，根据切线的性质得

22、出ABOD，根据等腰三角形三线合一的性质得出AO是BAC的平分线，根据角平分线的性质得出OEOD，从而证得结论【解答】证明：过点O作OEAC于点E，连接OD，OA，AB与O相切于点D，ABOD，ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，AO是BAC的平分线，OEOD，即OE是O的半径，圆心到直线的距离等于半径，AC是O的切线【知识点2 切线的性质】（1）切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径（2）切线性质的推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心【题型5 利用切线的性质求线段长度】【例5】（2023春河南九年级校联考期末）如图，AB为O的直径，C，E是O

23、上不同于A，B的两点，过点C的切线垂直于AE交AE的延长线于点D，连接AC(1)求证：EC=BC；(2)若AC=43，CE=33，则CD的长为_【答案】(1)见解析(2)1235【分析】（1）连接CO，可证ADOC，从而可证DAC=CAB，即可求证（2）过C作CFAB交AB于F，可求BC=33，AB=AC2+BC2，12ACBC=12ABCF，接可求解【详解】（1）证明：如图，连接CO，CD为O的切线，OCCD，ADCD，ADOC，DAC=ACO，AO=CO，CAB=ACO，DAC=CAB，EC=BC（2）解：过C作CFAB交AB于F，由（1）得：DAC=CAB，CE=BC=33，CDAE，C

24、D=CF，AB是O的直径，ACB=90，AB=AC2+BC2=432+332=53，12ACBC=12ABCF，4333=53CF，解得：CF=1253， CD=1253；故答案：1253【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，切线的性质，角平分线的性质定理，勾股定理等，作出适当的辅助线，掌握相关的性质是解题的关键【变式5-1】（2023春北京西城九年级北师大实验中学校考开学考试）如图，AB是O的直径，点C在O上，过点C作O的切线l，过点B作BDl于点D(1)求证：BC平分ABD；(2)连接OD，若ABD=60，CD=3，求OD的长【答案】(1)证明见解析(2)7【分析】（1）连接OC，求得OCB

25、D，得到OBC=CBD，即可求得BC平分ABD（2）连接AC，求得ACB=90，在RtBDC中，求得BC=23；在RtACB中，AB=2AC，OC=2；在RtOCD中，利用勾股定理可求得OD=7【详解】（1）证明：如图，连接OC直线l与O相切于点C，OCl于点COCD=90BDl于点D，BDC=90OCD+BDC=180OCBDOCB=CBDOC=OB，OBC=OCBOBC=CBDBC平分ABD（2）解：连接ACAB是O的直径，ACB=90ABD=60，OBC=CBD=12ABD=30在RtBDC中，CBD=30，CD=3，BC=2CD=23在RtACB中，ABC=30，AB=2ACAC2+BC2=AB2，AB=4OC=12AB=2在RtOCD中，OC2+CD2=OD2，OD=7【点睛】本题是圆与三角形综合题，考查了切线的性质、角平分线的判定和和勾股定理，作出恰当的辅助线是解决问题的关键【变式5-2】（2023春广东韶关九年级校考期末）如图，已知ABC内接于O，AB是O的直径，点F在O上，且点C是弧BF的中点，过点C作O的切线交AB的延长线于D点，交AF的延长线于E点(1)求证：AEDE；(2)若D=30，AE=3，求CD的长【答案】(1)见解析