专题27 最值模型之胡不归模型（解析版）.docx

1、专题27 最值模型之胡不归模型胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。 【模型背景】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前

2、到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题. 知识储备：在直角三角形中锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作sinA，即。【模型解读】一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V11，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短。例1（2023辽宁锦州统考中考真题）如图，在中，按下列步骤作图：在和上分别截取、，使分别以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M作射线交于点F若点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是 【答案】【分析】过点P作于点Q，过点C作于点H，先利

3、用角平分线和三角形的内角和定理求出，然后利用含的直角三角的性质得出，则，当C、P、Q三点共线，且与垂直时，最小，最小值为，利用含的直角三角的性质和勾股定理求出，最后利用等面积法求解即可【详解】解：过点P作于点Q，过点C作于点H，由题意知：平分，当C、P、Q三点共线，且与垂直时，最小，最小值为，即最小值为故答案为：【点睛】本题考查了尺规作图-作角平分线，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，注意掌握利用等积法求三角形的高或点的线的距离的方法例2（2023河北保定统考一模）如图，在矩形中，对角线交于点O，点M在线段上，且点P为线段上的一个动点（1） ；（2）的最小值为 【答案】 2【分析】（1）由

4、矩形的性质得到，又由得到是等边三角形，则，即可得到答案；（2）过点P作于点E，过点M作于点F，证明，进一求解即可得到答案【详解】解：（1）四边形是矩形，是等边三角形，故答案为：（2）过点P作于点E，过点M作于点F，在中，由（1）知：，在矩形中，在中，的最小值为2，故答案为：2【点睛】此题考查了矩形的性质、含的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握矩形的性质、含的直角三角形的性质是解题的关键例3（2023陕西西安校考二模）如图，在菱形中，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值为 【答案】【分析】过作，由菱形，得到为平分线，求出，在中，利用角所对的直角

5、边等于斜边的一半，得到，故，求出的最小值即为所求最小值，当、三点共线时最小，求出即可【详解】解：过作，菱形，即为等边三角形，在中，当、三点共线时，取得最小值，在中，则的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，以及菱形的性质，解直角三角形，熟练掌握各自的性质是解本题的关键例4（2023广东佛山校考一模）在边长为1的正方形中，是边的中点，是对角线上的动点，则的最小值为 _【答案】0【分析】作于，可得出，从而得的最小值，将变形为，进一步得出结果【详解】解：如图，作于，四边形是正方形，的最小值为0，的最小值为0，故答案为：0【点睛】本题考查了正方形的性质，解直角三角形等知识，解题关

6、键是作辅助线转化线段例5（2023湖南湘西统考中考真题）如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为 【答案】6【分析】过点P作，连接并延长交于点F，连接，根据等边三角形的性质和圆内接三角形的性质得到，然后利用含角直角三角形的性质得到，进而求出，然后利用代入求解即可【详解】如图所示，过点P作，连接并延长交于点F，连接是等边三角形， 是等边三角形的外接圆，其半径为4， ，的最小值为的长度是等边三角形，的最小值为6故答案为：6【点睛】此题考查了圆内接三角形的性质，等边三角形的性质，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知

7、识点例6（2023广东深圳校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，点在y轴上，连接，则的最小值是 【答案】【分析】过作，过作再由得，根据垂线段最短可知，的最小值为，求出即可【详解】解：连接，过作，过作，令，即，解得或1，根据垂线段最短可知，的最小值为，的最小值为故答案为：【点睛】本题考查胡不归问题，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是将求的最小值转化为求的最小值属于中考选择题中的压轴题例7（2023江苏宿迁统考二模）已知中，则的最大值为 【答案】【分析】过点C作，垂足为D，取，即可说明

8、是等腰直角三角形，求出，进一步求出，继而将转化为，推出点D在以为直径的圆上，从而可知当为等腰直角三角形时，最大，再求解即可【详解】解：如图，过点C作，垂足为D，取，是等腰直角三角形，而一定，当的面积最大时，最大，点D在以为直径的圆上，当D平分时，点D到的距离最大，即高最大，则面积最大，此时，则为等腰直角三角形，故答案为： 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，圆周角定理，解题的关键是添加辅助线，将最值转化为的长例8（2023四川自贡统考中考真题）如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线上的一动点，动点，连接当取最

9、小值时，的最小值是 【答案】【分析】作出点，作于点D，交x轴于点F，此时的最小值为的长，利用解直角三角形求得，利用待定系数法求得直线的解析式，联立即可求得点D的坐标，过点D作轴于点G，此时的最小值是的长，据此求解即可【详解】解：直线与x轴，y轴分别交于A，B两点， 作点B关于x轴的对称点，把点向右平移3个单位得到，作于点D，交x轴于点F，过点作交x轴于点E，则四边形是平行四边形，此时，有最小值，作轴于点P， 则，即，则，设直线的解析式为，则，解得，直线的解析式为，联立，解得，即；过点D作轴于点G，直线与x轴的交点为，则，即的最小值是，故答案为：【点睛】本题考查了一次函数的应用，解直角三角形，利

10、用轴对称求最短距离，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题例9（2023.重庆九年级一诊）如图，抛物线yx2+x+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D为线段AC的中点，直线BD与抛物线交于另一点E，与y轴交于点F（1）求直线BD的解析式；（2）如图，点P是直线BE上方抛物线上一动点，连接PD，PF，当PDF的面积最大时，在线段BE上找一点G，使得PGGE的值最小，求出点G的坐标及PGGE的最小值；【答案】（1）yx+1；（2）点G（，），最小值为；【分析】（1）令-x2+x+4=0，可求出点A和点B的坐标，令x=0，可求出点C的坐标，再根据点D时AC的中点，可求出点D的坐标，利用待定系数

11、法求直线解析式即可（2）求三角形的面积最值可以转化为求线段长度的最大值，利用点坐标表示线段长度，配方求最值，求PG-GE的最小值，可将不共线的线段转换为共线的线段长度【详解】解：（1）令x2+x+40，解得x12，x24，B（2，0），A（4，0），令x0，y4，C（0，4），D为AC的中点，D（2，2），设直线BD的解析式为ykx+b（k0），代入点B和点D，解得，直线BD的解析式为yx+1（2）如图所示，过点P作y轴的平行线，交BE交于点H，设点P的坐标为（t，t2+t+4），则点H为（t， t+1），PHt2+t+4（t+1）（t）2+，当t时，PH最大，此时点P为（，），当PH最大时，

12、PDF的面积也最大直线BD的解析式为yx+1，令x0，y1，点F（0，1），在RtBFO中，根据勾股定理，BF，sinFBO过点E作x轴的平行线与过点G作y轴的平行线交于点M，MEGFBO，MGEGsinMEGEG，PGGEPGMG，当P、M、G三点共线时，PGMGPM，否则都大于PM，当P、M、G三点共线时，PGMG最小，此时点G与点H重合，令x2+x+4x+1，解得x13，x22，点E（3，），PM，点G（，），点G（，），PGGE的最小值为【点睛】本题考查二次函数求最值问题，线段的和差求最值问题，找等腰三角形的分类讨论，综合性较强课后专项训练1（2023重庆九年级期中）如图所示，菱形的边

13、长为5，对角线的长为，为上一动点，则的最小值为A4B5CD解：如图，过点作于点，过点作于点，连接交于点四边形是菱形，的最小值为4，故选：2（2023山东淄博二模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点C的坐标是，点是x轴上的动点，点B在x轴上移动时，始终保持是等边三角形（点P不在第二象限），连接，求得的最小值为（）AB4CD2【答案】C【分析】如图1所示，以OA为边，向右作等边AOD，连接PD，过点D作DEOA于E，先求出点D的坐标，然后证明BAOPAD得到PDA=BOA=90，则点P在经过点D且与AD垂直的直线上运动，当点P运动到y轴时，如图2所示，证明此时点P的坐标为（0，-2）从而求

14、出直线PD的解析式；如图3所示，作点A关于直线PD的对称点G，连接PG，过点P作PFy轴于F，设直线PD与x轴的交点为H，先求出点H的坐标，然后证明HCO=30，从而得到，则当G、P、F三点共线时，有最小值，即有最小值，再根据轴对称的性质求出点G在x轴上，则OG即为所求【详解】解：如图1所示，以OA为边，向右作等边AOD，连接PD，过点D作DEOA于E，点A的坐标为（0，2），OA=OD=2，OE=AE=1，点D的坐标为；ABP是等边三角形，AOD是等边三角形，AB=AP，BAP=60，AO=AD，OAD=60，BAP+PAO=DAO+PAO，即BAO=PAD，BAOPAD（SAS），PDA=

15、BOA=90，点P在经过点D且与AD垂直的直线上运动， 当点P运动到y轴时，如图2所示，此时点P与点C重合，ABP是等边三角形，BOAP，AO=PO=2，此时点P的坐标为（0，-2），设直线PD的解析式为，直线PD的解析式为；如图3所示，作点A关于直线PD的对称点G，连接PG，过点P作PFy轴于F，连接CG，设直线PD与x轴的交点为H，点H的坐标为，OCH=30，由轴对称的性质可知AP=GP，当G、P、F三点共线时，有最小值，即有最小值，A、G两点关于直线PD对称，且ADC=90，AD=GD，即点D为AG的中点，点A的坐标为（0，2），点D的坐标为，AG=2AD=2OA=4，AC=4，CAG=

16、60，ACG是等边三角形，OC=OA，OGAC，即点G在x轴上，由勾股定理得，当点P运动到H点时，有最小值，即有最小值，最小值即为OG的长，的最小值为，故选：C【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题，解直角三角形等等，正确作出辅助线确定点P的运动轨迹是解题的关键3（2023.重庆九年级期中）如图，在中，若是边上一动点，则的最小值为AB6CD3解：过点作射线，使，再过动点作，垂足为点，连接，如图所示：在中， ，当，在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长，此时，是等边三角形，在中，的最小值为3，故选：4（2022河北

17、九年级期中）如图，在ABC中，A15，AB2，P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），连接BP，则AP+PB的最小值是（）ABCD2【解答】解：如图，在ABC内作MBA30过点A作AEBM于点E，BM交AC于点P，BAC15，APE45EPAP当BPAE时，则AP+PBPE+PB的值最小，最小值是BE的长，在RtABE中，ABE30，AB2BEABcos30AP+PB的最小值是故选：B5（2023安徽合肥校联考一模）如图，在RtABC中，ACB90，B30，AB4，点D、F分别是边AB，BC上的动点，连接CD，过点A作AECD交BC于点E，垂足为G，连接GF，则GF+ FB的最小值是（）AB

18、CD【答案】C【分析】由FB联想到给FB构造含30角的直角三角形，故把RtABC补成等边ABP，过F作BP的垂线FH，故GF+FBGF+FH，易得当G、F、H成一直线时，GF+FB最短又由于点G为动点，易证点G在以AC为直径的圆上，求点G到PB的最短距离即当点G在点O到BP的垂线段上时，GQ的长度【详解】延长AC到点P，使CPAC，连接BP，过点F作FHBP于点H，取AC中点O，连接OG，过点O作OQBP于点Q，ACB90，ABC30，AB4ACCP2，BPAB4ABP是等边三角形FBH30RtFHB中，FHFB当G、F、H在同一直线上时，GF+FBGF+FHGH取得最小值AECD于点GAGC

19、90O为AC中点OAOCOGACA、C、G三点共圆，圆心为O，即点G在O上运动当点G运动到OQ上时，GH取得最小值RtOPQ中，P60，OP3，sinP OQGH最小值为 故选C【点睛】本题考查了含30直角三角形性质，垂直平分线性质，点到直线距离，圆上点与直线距离，最短路径解题关键是找到点G运动到什么位置时，GH最小，进而联想到找出点G运动路径再计算6（2023上广东深圳九年级校考期中）如图，在中，.，分别是边，上的动点，且，则的最小值为 【答案】【分析】作，连接，过B点作的延长线与G点根据相似三角形的性质可得，因此，根据两点之间线段最短可知当B、E、F三点共线时，此时的值最小，为BF再证四边

20、形是矩形，由矩形的性质可知，在中根据勾股定理可求出的长，即可知的最小值【详解】如图，作，连接，过B点作的延长线与G点，且，当B、E、F三点共线时，此时的值最小，为，又，四边形是矩形，故答案为：【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握以上知识，构造相似三角形是解题的关键7（2023上四川成都八年级校考期中）已知在等腰中，连接，在的右侧做等腰，其中，连接E，则的最小值为 (用含的代数式表示)【答案】【分析】过点作交延长线于，过点作于，作的垂直平分线交于，连接，利用证明，可得，进而可得，则由含度角的直角三角形的性质得到，故当、三点共线时，为最小值，当、三点共线时，

21、即，可得，再运用解直角三角形即可求得答案【详解】解：如图，过点作交延长线于，过点作于，作的垂直平分线交于，连接，在中，当、三点共线时，为最小值，当、三点共线时，与重合，是等腰三角形，的垂直平分线交于，在中，即的最小值故答案为：【点睛】本题字要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角用的推质，勾服定理，三角形内角和定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键8（2023黑龙江绥化九年级校联考阶段练习）如图，在矩形中，对角线、相交于点O，点E是的中点，若点F是对角线上一点，则的最小值是 【答案】【分析】过点F作于点G，证明为等边三角形，推出，则，进而得出，当点E、F、G在同一

22、条直线上时，取最小值，证明，根据相似三角形对应边成比例，即可求解【详解】解：过点F作于点G，如图，四边形为矩形，为等边三角形，当点E、F、G在同一条直线上时，取最小值，点E是的中点，则，解得：，综上：的最小值为，故答案为：【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线，找出9（2023上四川成都九年级校考期中）如图，在矩形中，点E，F分别在边上，且，沿直线翻折，点A的对应点恰好落在对角线上，点B的对应点为，点M为线段上一动点，则的最小值为 【答案】/【分析】作于H，作于L，首先利用勾股定理得的长，再根据，求出的长，再利

23、用，得，则当E、M、L三点共线时，最小，最小值为的长，进而解决问题【详解】解：如图，作于H，作于L，在矩形中， ，沿直线翻折，点A的对应点恰好落在对角线上，又，当E、M、L三点共线时，最小，最小值为的长，的最小值为，故答案为：【点睛】本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用，垂线段最短等知识，熟练掌握最短路径的计算方法是解题的关键10（2023新疆九年级期中）如图，在ACE中，CACE，CAE30，半径为5的O经过点C，CE是圆O的切线，且圆的直径AB在线段AE上，设点D是线段AC上任意一点（不含端点），则ODCD的最小值为 _【答案】【分析】作OF平分AO

24、C，交O于F，连接AF、CF、DF，易证四边形AOCF是菱形，根据对称性可得DF=DO过点D作DHOC于H，易得DH=DC，从而有CD+OD=DH+FD根据两点之间线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，后在RtOHF中运用三角函数即可解决问题【详解】解：作OF平分AOC，交O于F，连接AF、CF、DF，如图所示，OA=OC，OCA=OAC=30，COB=60，则AOF=COF=AOC=（180-60）=60 OA=OF=OC，AOF、COF是等边三角形，AF=AO=OC=FC，四边形AOCF是菱形，根据对称性可得DF=DO过点D作DHOC于H，则DH =DC，C

25、D+OD=DH+FD根据两点之间线段最短可得，当F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，OF=OA=5， 即CD+OD的最小值为故答案为：【点睛】本题主要考查了圆半径相等的性质，等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、两点之间线段最短、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，把CD+OD转化为DH+FD是解题的关键11（2023山东九年级专题练习）如图，直线yx3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C（0，1）在y轴上，点P在x轴上运动，则PCPB的最小值为_【答案】4【详解】思路引领：过P作PDAB于D，依据AOB是等腰直角三角形，可得BAOABO45BP

26、D，进而得到BDP是等腰直角三角形，故PDPB，当C，P，D在同一直线上时，CDAB，PC+PD的最小值等于垂线段CD的长，求得CD的长，即可得出结论答案详解：如图所示，过P作PDAB于D，直线yx3分别交x轴、y轴于B、A两点，令x0，则y3；令y0，则x3，A（0，3），B（3，0），AOBO3，又AOB90，AOB是等腰直角三角形，BAOABO45BPD，BDP是等腰直角三角形，PDPB，PC+PB（PCPB）（PC+PD），当C，P，D在同一直线上，即CDAB时，PC+PD的值最小，最小值等于垂线段CD的长，此时，ACD是等腰直角三角形，又点C（0，1）在y轴上，AC1+34，CDAC

27、2，即PC+PD的最小值为，PC+PB的最小值为4，故答案为：412（2023陕西宝鸡统考二模）如图，在矩形中，点是对角线上的动点，连接，则的最小值为_【答案】【分析】直接利用已知得出，再将原式变形，进而得出最小值，进而得出答案【详解】过点A作，过点D作于点H，交于点，在矩形中，则，此时最小，的最小值是故答案为：【点睛】此题主要考查了胡不归问题，正确作出辅助线是解题关键13（2023湖南湘西八年级统考阶段练习）如图，已知菱形ABCD的边长为4，点是对角线AC上的一动点，且ABC=120，则()的最小值是_【答案】【分析】作DEAB于E点，连接BD，根据垂线段最短，此时DE最短，即PA+PB+P

28、D最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出DE的长，进而得出结论【详解】解：如图，作DEAB于E点，连接BD 菱形ABCD中，ABC120DAB=60，则ABD为等边三角形PAE=30AP=2PEPD=PBPA+PB+PD=2PE+2PD=2DE根据垂线段最短，此时DE最短，即PA+PB+PD最小菱形的边长为4AB=4，AE=2DE=2DE= PA+PB+PD最小值为故答案为：【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，掌握菱形的性质，将多条线段转化是解题关键14（2023四川宜宾校考模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，DAB=60，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的

29、最小值等于_【答案】【分析】过点P作PQAD于点Q，由于PDQ=60，因此，由此可知当B、P、Q三点共线时有最小值，然后利用解直角三角形的知识进行求解即可.【详解】过点P作PQAD，垂足为Q，四边形ABCD是平行四边形，DC/AB，QDP=DAB=60，PQ=PDsinQDP=PD，=BP+PQ，当点B、P、Q三点共线时有最小值，的最小值为，故答案为：3.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，线段之和最短问题，正确添加辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键.15（2023成都市九年级课时练习）点E为正方形ABCD的AB边上的一个动点，AB=3，如图1，将正方形ABCD对折，使点A与点

30、B重合，点C与点D重合，折痕为MN思考探索(1)如图2，将正方形ABCD展平后沿过点C的直线CE折叠，使点B的对应点B落在MN上，折痕为EC点B在以点E为圆心，的长为半径的圆上；BM=_；拓展延伸(2)当AB=3AE时，正方形ABCD沿过点E的直线l（不过点B）折叠后，点B的对应点B落在正方形ABCD内部或边上，连接ABABB面积的最大值为_；点P为AE的中点，点Q在AB上，连接PQ，若AQP=ABE、求BC+2PQ的最小值【答案】(1)BE；(2)3；BC+2PQ的最小值为【分析】（1）由折叠的性质知，点B在以点E为圆心，BE的长为半径的圆上，由折叠的性质得出BE=BE，BC=BC，MA=M

31、B=NC=ND=AB=，B=EBC，进而求解；（2）ABB面积的最大时，只要AB边上的高最大即可，故当BEAB时，ABB面积的最大，进而求解；证明PQ是AEB的中位线，故E、B、C三点共线时，BC+2PQ取得最小值为CE，即可求解（1）解：由折叠的性质知，BE=BE，BC=BC，MA=MB=NC=ND=AB=，B=EBC，由题意得，点B在以点E为圆心，BE的长为半径的圆上；MB=MN-NB=MN-；故答案为：BE；（2）解：AB=3AE=3，AE=1，BE=2，点B在以点E为圆心，BE的长为半径的圆上，如图1， ABB面积的最大时，只要AB边上的高最大即可，当BEAB时，ABB面积的最大，AB

32、B面积=ABBE=32=3，故答案为：3；AQP=ABE，PQBE，P是AE的中点，PQ是AEB的中位线，如图2，PQ=BE，即BC+2PQ=BC+BE，E、B、C三点共线时，BC+2PQ取得最小值为CE，则CE=，即BC+2PQ的最小值为【点睛】本题是几何变换综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，等边三角形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键16（2023上重庆沙坪坝九年级校考阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线经过点，与x轴交于点，点C为中点，反比例函数刚好经过点C将直线绕点A沿顺时针方向旋转得直线，直线与x轴交于点D(1)求反比例函数解析式；(2)

33、如图2，点Q为射线以上一动点，当取最小值时，求的面积；(3)将沿射线方向进行平移，得到且刚好落在y轴上，已知点M为反比例函数上一点，点N为y轴上一点，若以M，N，B，为顶点的四边形为平行四边形，直接写出所有满足条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程【答案】(1)反比例函数解析式为(2)的面积为(3)N点坐标为，或，过程见解析【分析】（1）过点A作于点E，过点C作于点F，根据平行线分线段定理可得，从而求得，再利用待定系数法求反比例函数解析式即可；（2）由锐角三角函数求得，再由三角形内角和求得，从而求得，根据等腰三角形的性质可得，从而求得，作直线，可得，过点Q作于点H，则，可得

34、当D，Q，H三点共线时，取最小值，此时Q与A重合，再利用求解即可；（3）由平移的性质可知，设，分类讨论：当为对角线、为对角线或为对角线时，利用中点坐标公式求解即可【详解】（1）解：过点A作于点E，过点C作于点F，点C为中点，反比例函数解析式为； （2）解：，将直线顺时针旋转得到直线，作直线，过点Q作于点H，当D，Q，H三点共线时，取最小值，此时Q与A重合，的面积为；（3）解：N点坐标为，或，理由如下：由题可知，设，当为对角线时，解得：，当为对角线时，如图，解得， 当为对角线时，如图，解得，综上，N点坐标为，或【点睛】本题考查平行线分线段定理、用待定系数法求反比例函数解析式、等腰三角形的判定与性

35、质、平行四边形的性质、旋转的性质及平移的性质、中点坐标公式，熟练掌握相关的性质是解题的关键17（2023江苏中考模拟）如图，抛物线与直线交于，两点，交轴于，两点，连接，已知，（）求抛物线的解析式和的值；（）在（）条件下：（1）为轴右侧抛物线上一动点，连接，过点作交轴于点，问：是否存在点使得以，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由（2）设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒一个单位速度运动到点，再沿线段以每秒个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是多少时，点在整个运动中用时最少？解：（）把，代入，得，解得：抛物线的解析式为联立，解

36、得：或，点的坐标为如图1，是直角三角形，；（）方法一：（1）存在点，使得以，为顶点的三角形与相似过点作轴于，则设点的横坐标为，由在轴右侧可得，则，若点在点的下方，如图2，当时，则，则把代入，得，整理得：解得：（舍去），（舍去）如图2，当时，则同理可得：，则，把代入，得，整理得：解得：（舍去），；若点在点的上方，当时，则，同理可得：点的坐标为当时，则同理可得：点的坐标为，综上所述：满足条件的点的坐标为、，、，；方法二：作的“外接矩形” ，易证，以，为顶点的三角形与相似，或，设，（舍，满足题意的点的坐标为、，、，；（2）方法一：过点作轴于，如图3在中，即，点在整个运动中所用的时间为作点关于的对称点

37、，连接，则有，根据两点之间线段最短可得：当、三点共线时，最小此时，四边形是矩形，对于，当时，有，解得：，点的坐标为 方法二：作点关于的对称点，交于点，显然，作轴，垂足为，交直线于点，如图4，在中，即，当、三点共线时，最小，为的中点，方法三：如图，5，过作射线轴，过作射线轴，与交于点，当且仅当时，取得最小值，点在整个运动中用时最少为：，抛物线的解析式为，且，可求得点坐标为则点横坐标为2，将代入，得所以18（2022广东广州统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，BAD = 120，AB = 6，连接BD (1)求BD的长；(2)点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合）， 点F在边AD上，且BE=

38、DF，当CE丄AB时，求四边形ABEF的面积；当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+CF的值是否也最小？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，请说明理由【答案】(1)；(2)四边形ABEF的面积为；最小值为12【分析】（1）证明ABC是等边三角形，可得BO= ，即可求解；（2）过点E作AD的垂线，分别交AD和BC于点M，N， 根据菱形的面积可求出MN=，设BE=，则EN=，从而得到EM=MN-EN=，再由BE=DF，可得DF=，从而得到四边形ABEF的面积s= SABD - SDEF ，当CEAB时，可得点E是ABC重心，从而得到BE=CE=BO=，即可求解；作CHAD于H，可得当点E和

39、F分别到达点O和点H位置时，CF和CE分别达到最小值；再由，可得当，即BE=时， s达到最小值，从而得到此时点E恰好在点O的位置，而点F也恰好在点H位置，即可求解【详解】（1）解连接AC，设AC与BD的交点为O，如图，四边形ABCD是菱形，ACBD ， OA=OC，ABCD，AC平分DAB，BAD = 120，CAB=60，ABC是等边三角形，BO=ABsin60=，BD=2BO=；（2）解：如图，过点E作AD的垂线，分别交AD和BC于点M，N， ABC是等边三角形，AC=AB=6，由（1）得：BD=；菱形ABCD中，对角线BD平分ABC，ABCD，BC=AB=6，MNBC，BAD=120，A

40、BC=60，EBN=30；EN=BE，MN=，设BE=，则EN=，EM=MN-EN=， S菱形ABCD= ADMN=，SABD= S菱形ABCD=，BE=DF，DF=，SDEF=DF EM= =，记四边形ABEF的面积为s，s= SABD - SDEF =-（），点E在BD上，且不在端点，0BEBD，即；当CEAB时，OBAC，点E是ABC重心，BE=CE=BO=，此时 =，当CEAB时，四边形ABEF的面积为；作CHAD于H，如图，COBD，CHAD，而点E和F分别在BD和AD上，当点E和F分别到达点O和点H位置时，CF和CE分别达到最小值；在菱形ABCD中，ABCD，AD=CD，BAD=1

41、20，ADC=60，ACD是等边三角形，AH=DH=3，CH=，当，即BE=时， s达到最小值，BE=DF，DF=3，此时点E恰好在点O的位置，而点F也恰好在点H位置，当四边形ABEF面积取得最小值时，CE和CF也恰好同时达到最小值，CE+CF的值达到最小，其最小值为CO+CH=12【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，二次函数的性质，三角形的重心，解直角三角形等知识，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质，二次函数的性质，三角形的重心，解直角三角形等知识是解题的关键19（2020四川乐山市中考真题）已知抛物线与轴交于，两点，为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交轴于点，连结

42、，且，如图所示（1）求抛物线的解析式；（2）设是抛物线的对称轴上的一个动点过点作轴的平行线交线段于点，过点作交抛物线于点，连结、，求的面积的最大值；连结，求的最小值【答案】（1）；（2）；【分析】（1）先函数图象与x轴交点求出D点坐标，再由求出C点坐标，用待定系数法设交点式，将C点坐标代入即可求解；（2）先求出BC的解析式，设E坐标为，则F点坐标为，进而用t表示出的面积，由二次函数性质即可求出最大值；过点作于，由可得，由此可知当BPH三点共线时的值最小，即过点作于点，线段的长就是的最小值，根据面积法求高即可【详解】解：（1）根据题意，可设抛物线的解析式为：，是抛物线的对称轴，又，即，代入抛物线的解析式，得，解得 ，二次函数的解析式为 或；（2）设直线的解析式为 ， 解得