专题28 二次函数图象中由动点引起的分类讨论问题(解析版).docx

1、专题28 二次函数图象中由动点引起的分类讨论问题 【题型演练】一、单选题1如图，二次函数的图象与轴交于点，点是抛物线上的一个动点，且满足，则点的坐标是（）ABC或D或【答案】C【分析】根据抛物线的解析式，即可确定点A的坐标，由于OA是定长，根据AOP的面积即可确定P点纵坐标的绝对值，将其代入抛物线的解析式中，即可求得P点的坐标【详解】解：抛物线的解析式中，令y0，得：x22x0，解得x0，x2；A（2，0），OA2；SAOPOA|yP|3，|yP|3；当P点纵坐标为3时，x22x3，x22x30，4120，方程无解，此种情况不成立；当P点纵坐标为3时，x22x3，x22x30，解得x1，x3；

2、P（1，3）或（3，3）；故选：C【点睛】能够根据三角形面积来确定P点的坐标，是解答此题的关键2如图，在中，动点M、N分别从A、C两点同时出发，点M从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长的速度移动，点N从点C开始沿CB向点B以每秒2个单位长的速度移动设运动的时间为t，点M、C之间的距离为y，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（）A正比例函数关系，一次函数关系B正比例函数关系，二次函数关系C一次函数关系，正比例函数关系D一次函数关系，二次函数关系【答案】D【分析】求出y与t，S与t满足的函数关系式，再根据函数的类型进行判断即可【详解】解：由题意得，AMt，CN2t，MCACAM5

3、t，即y5t，SMCCN5tt2，因此y是t的一次函数，S是t的二次函数，故选：D【点睛】本题考查一次函数、二次函数，理解一次函数、二次函数的意义是正确解答的前提，求出y与t，S与t的函数关系式是正确判断的关键3如图，二次函数yx2+2x+m+1的图象交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，图象的顶点为D下列四个命题：当x0时，y0；若a1，则b4；点C关于图象对称轴的对称点为E，点M为x轴上的一个动点，当m2时，MCE周长的最小值为2；图象上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x11x2，且x1+x22，则y1y2，其中真命题的个数有（）A1个B2个C3个D4个【答案】A

4、【分析】错误，由图象可知当axb时，y0；错误，当时，；错误，MCE的周长的最小值为22；正确，函数图象在x1时，y随x增大而减小，则y2y1【详解】解：当axb时，二次函数图象在轴上方，则y0，故错误；1，当a1时，b3，故错误；这是将军饮马问题，作E关于x轴的对称点，连接、，如图所示：当m2时，C（0，3），E（2，3），与E关于x轴对称，（2，3），MCE的周长的最小值就是三点共线时取到为2，MCE的周长的最小值为22，故错误；设x1关于对称轴的对称点 ，2x1，x1+x22，x2x1+2，x2，x11x2，x11x2，函数图象在x1时，y随x增大而减小，y2y1，则正确；故选：A【点睛

5、】本题考查二次函数综合题、最小值问题、增减性问题等知识，解题的关键是灵活掌握二次函数的有关性质，第四个结论的判断关键是利用对称点性质解决问题，所以中考压轴题4已知点是二次函数（a0）的图象上一个定点，而（m，n）是二次函数图象上动点，若对任意的实数m，都有，则（）ABCD【答案】D【分析】对任的实数m，有，即当时，对任的实数m，；当时，对任的实数m，；综上可知为二次函数的顶点，再根据顶点的横坐标与对称轴的值相等，据此即可求解【详解】解：对任的实数m，有，当时，对任的实数m，；当时，对任的实数m，；综上：为二次函数的顶点，故，故故选：D【点睛】此主考二次数的性质和图像，解题的关键是熟知二次函数的

6、图形与性质，并据此判断出为二次函数的顶点5如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、C两点，与x轴交于点，若P是x轴上一动点，点D的坐标为，连接PD，则的最小值是（）A4BCD【答案】A【分析】过点P作PJBC于J，过点D作DHBC于H，根据，求出的最小值即可解决问题【详解】解：连接BC，过点P作PJBC于J，过点D作DHBC于H二次函数的图像与x轴交于点，b2，二次函数的解析式为，令y0，-x2+2x+30，解得x1或3，A（1，0），令x0，y=3，B（0，3），OBOC3，BOC90，OBCOCB45，D（0，-1），OD1，BD4，DHBC，DHB90，设，则,，PJCB，

7、DP+PJ的最小值为，的最小值为4故选：A【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，得到OBCOCB45，是解题的关键6如图，已知二次函数的图象与一次函数的图象交于点A，O，过线段AO上一动点E作直线EF轴交抛物线于点F，则线段EF的最大值为()ABCD【答案】A【分析】先联立二次函数和一次函数的解析式得出点A的坐标，再设点的坐标为，由二次函数的解析式可得点F的坐标为，从而可得EF的值和m的取值范围，然后根据二次函数的性质求解即可得【详解】由二次函数的图象可知，联立，解得或则点A的坐标为设点的坐标为，则，点F的坐标为此二次函数的增减性为：当时，EF

8、随m的增大而增大；当，EF随m的增大而减小则当时，EF取得最大值，最大值为故选：A【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质（增减性）等知识点，依据题意求出EF的表达式和m的取值范围是解题关键7在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A（3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C.点P是直线AC上方的抛物线上一动点，若点P使ACP的面积最大，则点P的坐标为（）A（，）B（，）C（，1）D（，3）【答案】A【分析】利用待定系数法求出二次函数和直线AC的解析式，过点P作PGy轴交AC于点G，设P（t，），则G（t，t2），求出PG，可得，进而可得当t时，有最大值，问题得解【详解

9、】解：将点A（3，0），B（1，0）代入中，得，解得：，二次函数解析式为，令x0，则，C（0，2），设直线AC的解析式为ymxn，代入A（3，0），C（0，2）得，解得，直线AC的解析式为yx2，过点P作PGy轴交AC于点G，设P（t，），则G（t，t2），PG，当t时，有最大值，此时P（，），故选：A【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的最值问题，求出函数解析式，表示出PG的长是解答本题的关键8如图，在平面直角坐标系中，二次函数yx22xc的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则PDPC的最小值是（）A4B2

10、2C2D【答案】A【分析】过点P作PJBC于J，过点D作DHBC于H根据，求出的最小值即可解决问题【详解】解：过点P作PJBC于J，过点D作DHBC于H二次函数yx22x+c的图象与y轴交于点B（0，3），c3，二次函数的解析式为yx22x3，令y0，x22x30，解得x1或3，A（1，0），B（0，-3），OBOC3，BOC90，OBCOCB45，D（0，1），OD1，BD4，DHBC，DHB90，设，则,，PJCB，DP+PJ的最小值为，的最小值为4故选：A【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题9如图，在

11、平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，点Q（0，2）在y轴上，连接PQ，则的最小值是（）A6BCD【答案】D【分析】连接，过点P作PDBC于D，过点Q作QHBC于H根据，可得的最小值为的长，即可解决问题【详解】如图，连接，过点P作PDBC于D，过点Q作QHBC于H由，令，则，解得，令，解得，当为与轴交点时最小，最小值为的长，Q（0，2）,，设，则,，则的最小值是故选D【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题10已知二次函数与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C下

12、列说法正确的是（）线段的长度为；抛物线的对称轴为直线；P是此抛物线的对称轴上的一个动点，当P点坐标为时，的值最大；若M是x轴上的一个动点，N是此抛物线上的一个动点，如果以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，满足条件的M点有4个ABCD【答案】C【分析】求出抛物线与坐标轴的交点A，C的坐标，利用两点间距离求出AC；根据抛物线对称轴的求法即可求出对称轴；延长AC，与直线交于点P，求出AC的表达式，可得点P坐标；结合图像画出符合条件的平行四边形，从而判断点P的个数【详解】解：在中，令x=0，则y=2，令y=0，则，解得x=或2，A（，0），C（0，2），AC=，正确；，抛物线的对称轴为直线，正

13、确；延长AC，与对称轴交于点P，此时的值最大，A（，0），C（0，2），设直线AC的表达式为：y=mx+n，则，解得：，直线AC的表达式为y=4x+2，令，则y=5，当点P的坐标为（，5）时，的值最大，错误；如图，若以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，当AC为边时，有ACM1N1，ACM2N2，ACM3N3，共3个平行四边形，当AC为对角线时，有AMCN1，共1个平行四边形，符合条件的点M有4个，正确，故选C【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，平行四边形的性质，最短路径问题，知识点较多，综合性较强，解题的关键是从图像出发，利用数形结合的思想解决问题二、填空题11一动点在二次函数的图

14、像上自由滑动，若以点为圆心，1为半径的圆与坐标轴相切，则点的坐标为_【答案】或或【分析】根据题意可分两种情况讨论：当与x轴相切时，则点P的纵坐标为1，则得一元二次方程，解方程即可；当与y轴相切时，点P的横坐标为1或-1，则可得点P的坐标，综上即可求解【详解】解：如图所示：则可分两种情况：当与x轴相切时，则点P的纵坐标为1，令，解得，此时点P的坐标为：或，当与y轴相切时，点P的横坐标为1或-1，则此时点P的坐标为：或，综上所述：点P的坐标为：或或，故答案为：或或【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质和圆的切线的应用，掌握切线的性质，巧妙运用分类讨论思想解决问题是解题的关键12“一切为了U”是常山

15、在赶考共同富裕道路上，最新确定的城市品牌已知线段，对于坐标平面内的一个动点P，如果满足，则称点P为线段的“U点”，如图，二次函数与x轴交于点A和点B（1）线段的长度为_；（2）若线段的“U”点落在y轴的正半轴上，则该“U点”的坐标为_【答案】 ； 或【分析】令，得到，求得两点坐标，即可求得的长度，以为边，向上作等边三角形，再以为圆心，以为半径画弧，交轴于点，求得点坐标，设，根据求解即可【详解】解：令，得到解得，即，以为边，向上作等边三角形，再以为圆心，以为半径画弧，交轴于点，如下图：设原点为，由圆周角定理可知，由题意可得：作ODAB，则，设，则，化简可得，解得，即，故答案为：；或，【点睛】此题

16、考查了二次函数与坐标的轴的交点问题，圆周角定理，勾股定理，等边三角形的性质，解题的关键是掌握并灵活利用相关性质进行求解13如图，二次函数与x轴交于AB两点（点A在点B左边），与y轴交于C点，若点D坐标为（0，2），以D点为圆心，R为半径作圆，P为D上一动点，当APC面积最小为5时，则R_【答案】【分析】如图，作所在直线，垂足为点HAC为定值，因此当PH取最小值时，APC面积取最小值，连接PD，可知当P，H，D共线时，APC面积最小，根据APC面积最小为5求出PH，利用求出DH，则【详解】解：如图，作所在直线，垂足为点HAC为定值，因此当PH取最小值时，APC面积取最小值，连接PD，可知当P，H

17、，D共线时，APC面积最小二次函数与x轴交于AB两点（点A在点B左边），令，得，解得或，令，得，APC面积最小为5，即，故答案为：【点睛】本题考查求二次函数与坐标轴的交点，勾股定理，三角形的面积，圆的基本知识，解直角三角形等，解题的关键确定APC面积最小时点P的位置14如图，设定点A（1，），点P是二次函数图象上的动点，将点P绕着点A顺时针旋转60，得到一个新的点P.已知点B（2，0）、C（3，0）.(1)若点P为（-5，），求旋转后得到的点P的坐标为 _ (2)求BCP的面积最小值为_ 【答案】 【分析】（1）由函数关系式求出点P坐标，过点P作PD/x轴，过点B作BDPD于点D，求出，故可知

18、在BD的延长线上，且,故可得结论；（2）连接AB，AC，将B，C绕点A逆时针旋转60得B，C，作AHx轴于点H，证明CAOCAB（SAS），利用待定系数法求出OC的函数表达式为：y=x，设过P且与BC平行的直线l解析式为y=x+b，由于SBCP=SBCP，当直线l与抛物线相切时取最小值，再利用一元二次方程根的判别式求解即可【详解】解：（1）抛物线的顶点坐标为（-5，）点P为抛物线的顶点，过点P作PD/x轴，过点B作BDPD于点D，如图，P（-5，），A（1，）， ， 又 是等边三角形，在BD的延长线上，且, 故答案为：（2）如图，连接AB，AC，将B，C绕点A逆时针旋转60得B，C，作AHx轴

19、于点HA（1，-），B（2，0），C（3，0），OH=BH=1，BC=1，OA=AB=OB=2，OAB为等边三角形，此时B与O重合，即B（0，0），连接CO，CAC=BAB=60，CAB=CAB，在CAO和CAB中，CAOCAB（SAS），CO=CB=1，COA=CBA=120，作CGy轴于G，在RtCGO中，COG=90-CBC=30，CG=OC=，OG=，C（，），此时OC的函数表达式为：y=x，设过P且与BC平行的直线l解析式为y=x+b，SBCP=SBCP，当直线l与抛物线相切时取最小值，则 ，即当=0时，即 解得b=，设l与y轴交于点T，连接CT，SBCT=SBCP，SBCP=BTC

20、G=故答案为：【点睛】本题考查了待定系数法，一次函数图象和性质，二次函数图象和性质，全等三角形判定和性质，等边三角形性质等知识，熟练掌握一次函数、二次函数的图象和性质，全等三角形判定和性质等相关知识，灵活运用数形结合思想是解题关键三、解答题15在平面直角坐标系中，二次函数 与直线 交于 、 两点，其中点 的坐标为 ，抛物线的顶点 在 轴上(1)求二次函数的表达式；(2)点 为线段 上的一个动点（点 不与 、两点重合），过点 作 轴交抛物线于点 ，设线段 的长为 ，点 的横坐标为 ，当 取何值时， 有最大值？最大值是多少？(3)点 为直线 与对称轴 的交点，在线段 上是否存在一点 ，使得四边形

21、是平行四边形？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)(2)当 为 时，的最大值为(3)存在，【分析】（1）根据交点在二次函数上，将交点坐标代入二次函数表达式中即可求解；（2）根据二次函数与一次函数有交点，先确定动点 横坐标 的移动的范围，即 ，在根据点 在一次函数图像上，点 在二次函数图像上，由此用含 的式子表示 的长度，根据二次函数的最值即可求出答案；（3）由直线 的表达式与对称轴 的交点即可求出点 的坐标，根据二次函数的表达式可以求出点 的坐标，从而求出 的长度，且 轴，根据平行四边形的性质可知，只需证明 ，由此确定等量关系，即可求出答案（1）解：将点 代入函数解析

22、式 ， ，解得 ，二次函数的表达式为 ；故答案是：（2）解：根据题意，点 移动的范围是在点 、之间，令 ，解得 或 ， ，且 的横坐标为 （ ），点 在一次函数上，点 在二次函数 上， ， ， ，当 为 时，的最大值为 ，故答案是：当 为 时，的最大值为（3）解：存在，理由如下：抛物线的顶点为 ，点 为直线 与对称轴 的交点， ， ， ， ， ，若四边形 是平行四边形，则只需 ，由（2）知， ， ，解得 （舍）或 ， ，故存在一点 ，使得四边形是平行四边形，此时【点睛】本题主要考查二次函数的图像性质与动点结合的知识，理解和掌握二次函数图像性质，点坐标的特点是解题的关键16如图，在平面直角坐标系

23、中，二次函数的图像与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为，B点坐标为，连接、动点P从点A出发，在线段上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒(1)求二次函数的解析式(2)在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？(3)在线段上方的抛物线上是否存在点M，使是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)(2)当t时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为(3)存在，M(，)【分析】（1）将点A（

24、4，0），点B（-1，0）代入，得，进行计算即可得；（2）由（1）得：抛物线表达式为，当时，即C（0，4），即可得OAC是等腰直角三角形，即BAC45，由点P的运动可知：APt，过点P作PHx轴，垂足为H，则，即是等腰直角三角形，根据勾股定理得进行计算得，即，即H（4-t，0），d又Q（-1+t，0），即可得，根据二次函数的性质得当x=时，的面积有最小值，根据当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，即，AB5，所以，即可得；（3）假设点M是线段AC上方的抛物线上的点，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，连接MQ，MP，根据角之间的关系的，根据等量代换得，利用AAS

25、可证明，即，即可得，根据得点M的坐标为（4-2t，5-t），根据点M在抛物线上得，进行计算即可得（1）解：将点A（4，0），点B（-1，0）代入，得解得，二次函数的解析式为：（2）解：由（1）得：抛物线表达式为，当时，即C（0，4），OAC是等腰直角三角形，BAC45，由点P的运动可知：APt，如图所示，过点P作PHx轴，垂足为H， ，即是等腰直角三角形，即H（4-t，0），又Q（-1+t，0），当x=时，的面积有最小值，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，AB5，当时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为；（3）存在理由如下：解：假设点M是线段AC上方的抛物线上的点，如图，过点P作x轴的

26、垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，连接MQ，MP，PMQ是等腰直角三角形，PMPQ，又，在和中，（AAS），点M的坐标为（4-2t，5-t），点M在抛物线上，解得：t或（舍），M点的坐标为（，）【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解一元二次方程，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质17如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上(1)求二次函数的表达式；(2)连接DC，DB，设的面积为S，求S的最大值【答案】

27、(1)(2)4【分析】（1）根据直线求出点B、C的坐标，再根据B、C的坐标即可求出二次函数的表达式；（2）添加辅助线，将分解为和，设点，计算出线段MD的长度，从而得到的面积表达式，最后通过配方法求出最值即可（1）解：在直线上，当时，当时，二次函数经过点B、C， ，解方程得，二次函数的表达式为；（2）如下图所示，过点D作轴，交直线BC与点M，过点C作，垂足为P，设点,点M在直线上，当M的坐标为，点D在抛物线上，当M的坐标为，点D在BC下方，MD的长度为，S是以t为自变量的二次函数，且开口向下，顶点为当时，最大，且，故S的最大值为4【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数

28、的解析式，并将三角形面积的最大值问题转换为二次函数最大值的问题18二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为(1)求这个二次函数的表达式：(2)如图，是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当的垂直平分线恰好经过点时，求点的坐标；(3)如图，是该二次函数图象上的一个动点，连接，取中点，连接，当的面积为时，求点的坐标【答案】(1)(2)或(3)或【分析】（1）由于二次函数的图象与轴交于、两点，把，两点坐标代入，计算出和b的值即可求出抛物线解析式；（2）由线段垂直平分线的性质可得出，设，由勾股定理可得解方程可得出答案；（3）设交抛物线的对称轴于点，设直线的解析式为，由，求出的坐标，再由面积公式可

29、求出的值则可得出答案（1）解：将，代入，得，解得，二次函数的解析式为；（2）如图，图，连接，由点在线段的垂直平分线上，得 设，OC3，由两点间的距离可得：解得满足条件的点的坐标为或；（3）如图，设交抛物线的对称轴于点， 设点，的中点为点，由中点坐标公式得到点，设直线的解析式为，则，解得，直线的解析式为：，当时，解得或，当时，8，当时，24，综合以上可得，满足条件的点的坐标为或【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数图象与性质，垂直平分线的性质，勾股定理，三角形的面积；熟练掌握二次函数的性质及方程思想是解题的关键19二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点为E(1)求这个二次

30、函数的表达式，并写出点的坐标；(2)如图，点是图象对称轴右侧抛物线上的一个动点，连接，取中点，连接，当时，求点的坐标【答案】(1)，（4，-1）(2)（10，8）【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）如图所示，过点E作EHy轴于H，先求出点C的坐标，再求出点H的坐标，即可得到CH=HE=4，HCE=HEC=45，求出直线CE的解析式为；过点Q作交y轴于G，过点C作CFGQ于F，证明CF=GF，再由CEQ的面积为12，求出，则，得到直线QG的解析式为，设点Q的坐标为（t，-t+9），则点P的坐标为（2t，-2t+18），即可建立方程，据此求解即可（1）解：把代入二次函数解析式中得：解得，抛

31、物线解析式为，点E的坐标为（4，-1）；（2）解：如图所示，过点E作EHy轴于H，令，则，点C的坐标为（0，3），点E的坐标为（4，-1），点H的坐标为（0，-1），CH=HE=4，HCE=HEC=45，设直线CE的解析式为，直线CE的解析式为；过点Q作交y轴于G，过点C作CFGQ于F，CF=GF，CEQ的面积为12，点G的坐标为（0，9），直线QG的解析式为，设点Q的坐标为（t，-t+9），则点P的坐标为（2t，-2t+18），又点P在二次函数图象上，解得或（舍去），点P的坐标为（10，8）；【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，二次函数综合，待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质

32、与判定，勾股定理，平行线的间间距相等等等，熟知相关知识正确作出辅助线是解题的关键20如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A（1，0）、B（，0），与y轴的正半轴交于点C(1)求二次函数的表达式；(2)点D是线段OB上一动点，过点D作y轴的平行线，与BC交于点E，与抛物线交于点F，连接CF，探究是否存在点D使得CEF为直角三角形？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由；(3)若点P在二次函数图象上，是否存在以P为圆心，为半径的圆与直线BC相切，若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由【答案】(1)(2)存在，点D坐标为（-2，0）或（-1，0）(3)存在，点P坐标为(-1，4)或(-2，3)或

33、()或()【分析】（1）将A、B坐标代入二次函数解析式求解即可；（2）求得C点坐标，从而得到BC解析式，由此可知CEF=45，因此可分CFE=90、ECF=90两种情况讨论；（3）过点P作PGBC，过点P作PHBC，过点P作x轴的垂线，交BC于点N，交x轴于点M，求出PH的解析式，联立直线PH和二次函数解析式，求解即可（1）解：将点代入，得：，解得：，二次函数解析式为（2）解：二次函数解析式为点C的坐标为（0，3），直线BC的解析式为 当CFE=90时，CFOB点C，F关于抛物线对称轴直线对称，点F（-2，3），此时点D坐标为（-2，0）当ECF=90时，作FGy轴于G，由OB=OC，BOC=

34、90，可知BCO=45CFCB，FCG=45，CFG是等腰直角三角形，设CG=a，则点F坐标为(-a,a+3)，代入得：解得，（舍去）点F（-1，4），此时点D坐标为（-1，0）综上所述：存在这样的点D，点D坐标为（-2，0）或（-1，0）（3）解： 当点P在BC上方时，过点P作PGBC于点G，作PMx轴，交BC于点N ，过点P 作直线PHBC则是等腰直角三角形，PG=，PN=2，PMx轴，直线PH由直线BC向上平移两个单位长度得到，直线PH的解析式为联立直线PH和抛物线的解析式，得：，解得：或点P坐标为(-1，4)或(-2，3) 当点P在BC下方时，同理可得直线PH由直线BC向下平移两个单位

35、长度得到，直线PH的解析式为，解得： 或点P坐标为()或()综上所述：点P坐标为(-1，4)或(-2，3)或()或()【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数的性质，圆的切线的性质，解题的关键是熟练掌握并灵活应用相关性质进行求解，难度适中21如图，二次函数yax2bxc(a0)的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为(3，0)，顶点C的坐标为(1，4)(1)求二次函数的解析式；(2)点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；(3)在抛物线上是否存在点Q，且点Q在第一象限，使BDQ中BD

36、边上的高为？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)yx22x3(2)(3)存在，(1，4)或(2，3)【分析】(1)由二次函数顶点C(1，4)，抛物线经过B(3，0)，用待定系数法可得二次函数的解析式为yx22x3；(2)在yx22x3中，可得D(0，3)，用待定系数法得直线BD解析式为yx3，设P(m，m3)，则M(m，m22m3)，PM(m)2，根据二次函数性质即得：当m时，PM取最大值，最大值为；(3)过Q作QGy轴交BD于点G，交x轴于点E，作QHBD于H，设Q(x，x22x3)，则G(x，x3)，可得QG|x22x3(x3)|x23x|，又OBOD，BDQ中B

37、D边上的高为时，可知QG2，即得x23x2，可解得点Q为(1，4)或(2，3)（1）解：由二次函数顶点C(1，4)，设ya(x1)24，将B(3，0)代入得：4a40，a1，y(x1)24x22x3，答：二次函数的解析式为yx22x3；（2）解：在yx22x3中，令x0得y3，D(0，3)，设直线BD解析式为ykx3，将B(3，0)代入得：3k30，解得k1，直线BD解析式为yx3，设P(m，m3)，则M(m，m22m3)，PMm22m3m3m23m(m)2，10，当m时，PM取最大值，最大值为；（3）解：存在点Q，使BDQ中BD边上的高为，理由如下：过Q作QGy轴交BD于点G，交x轴于点E，

38、作QHBD于H，如图：设Q(x，x22x3)，则G(x，x3)，QG|x22x3(x3)|x23x|，OBOD，OBD45，BGE45QGH，QGH是等腰直角三角形，当BDQ中BD边上的高为时，即QHHG，QG2，点Q在第一象限，QG|x23x|，x23x2，解得x1或x2，Q(1，4)或(2，3)，综上可知存在满足条件的点Q，坐标为(1，4)或(2，3)【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质及方程思想等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质22如图1，已知二次函数的图象的顶点为，且经过点(1)求二次函数的解析式；(2)过点A的直线与二次函数图象

39、的另一交点为B，与y轴交于点C，若的面积是的两倍，求直线AB的解析式；(3)如图2，已知，是x轴上一动点（E，O不重合），过E的两条直线，与二次函数均只有一个交点，且直线，与y轴分别交于点M、N对于任意的点E，在y轴上（点M、N上方）是否存在一点，使恒成立若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由【答案】(1)(2)或(3)存在，【分析】（1）设出顶点式，利用待定系数法求解析式即可；（2）根据的面积是的两倍，得到的横坐标的绝对值是的两倍，根据在抛物线上，求出的坐标，待定系数法求直线解析式即可；（3）根据过的直线与抛物线只有一个交点，设直线的解析式为：，利用E点坐标得出：，联立两个函数，根据，列出

40、一元二次方程，根据根与系数的关系得到两条直线之间的关系式，设出和利用，对应边对应成比例，求解即可（1）解：设抛物线的解析式为：，抛物线的顶点为，将点代入得：，解得：，；（2）解：设 由题意得：，当时：，当时：，设直线的解析式为：，当时： ，解得：，；当时： ，解得：，；综上：或；（3）解：存在，设过点的直线的解析式为：，则：，直线与抛物线只有一个交点：，整理得：，设的两个根为：，设直线为：，则：， 设直线为：，则：， ， ，解得：，存在，当时，恒成立【点睛】本题考查二次函数的综合应用正确的求出二次函数的解析式，利用二次函数的性质进行求解，是解题的关键本题的综合性较强，难度较大，属于中考压轴题2

41、3如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为，点M是抛物线的顶点(1)求二次函数的关系式；(2)点P为线段MB上一个动点，过点P作轴于点D若，的面积为S，试判断S有最大值或最小值？并说明理由；(3)在MB上是否存在点P，使为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由【答案】(1)(2)存在最大值，最大值为(3)或【分析】（1）将、代入，列方程组求出、的值即可；（2）先求所在直线的解析式，用含的代数式表示点的坐标及的面积，求出关于的函数关系式，用函数的性质判断并求出的最值；（3）存在符合条件的点，分三种情况根据点的位置或勾股定理列方程求

42、出的值及点的坐标（1）解：把、代入，得，解得，二次函数的解析式为（2）解：有最大值理由如下：如图1，设直线的解析式为，该抛物线的顶点坐标为，把、代入，得，解得，；由，得；当点与点重合时，不存在以、为顶点的三角形，不存在最小值；，当时，的最大值为（3）解：存在，理由如下：若，如图2，则轴，且在直线上，解得，；若，如图3，则，整理，得，解得，（不符合题意，舍去）；，；若，则，整理，得，解得，此时不存在以，为顶点的三角形，舍去综上所述，点的坐标为或【点睛】此题重点考查二次函数的图象和性质、勾股定理、用待定系数法求函数解析式、二次根式的化简等知识，解第（3）题时应分类讨论并进行必要的检验，求出所有符合

43、条件的点的坐标24如图，若二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，连接(1)求该二次函数的解析式；(2)若点Q是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K，使以点B、C、Q、K为顶点，BC为边的四边形是矩形？若存在请求出点K的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)(2)存在，点的坐标为或【分析】（1）将、代入，联立方程组，求出、的值，即可得出该二次函数的解析式；（2）设，当时，过点作轴交点，过作轴交点，证明，得到，则，所以；当时，设与轴的交点为，与轴的交点为，过点作轴交点，过作轴交点，证明，则有，求得，则，可求，综合即可得出K点的坐标（1）解：把、代入，可得：，解得：，该二次函数的表达式为（2）解

44、：存在，理由如下：设，当时，如图1，矩形是以为边，过点作轴交点，过作轴交点，或（舍去），；当时，如图2，矩形是以为边，设与轴的交点为，与轴的交点为，过点作轴交点，过作轴交点，或（舍去），；综上所述，K点的坐标为或【点睛】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活应用矩形和等腰直角三角形的性质是解本题的关键25如图，已知抛物线经过点，三点，点是直线绕点逆时针旋转后与轴的交点，点是线段上的一个动点，设点的坐标为，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点(1)求该抛物线所表示的二次函数的解析式；(2)在点运动过程中，若存在以为直径的圆恰好与轴相切，求的值；(3)连接，将绕平面内某点

45、旋转后，得到，点、的对应点分别是点、，是否存在点使得旋转后得到的的两个顶点恰好落在抛物线上，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)(2)2(3)或【分析】（1）设（），待定系数法求二次函数解析式即可求解；（2）设，（）得出，则，根据以为直径的圆与轴相切，得出，解方程即可求解；（3）设，由对称可得：，分情况讨论，若、在抛物线上，若、在抛物线上由、横坐标相同，所以不可能都在抛物线上，即可求解（1）设（），将代入得：，解得：，即；（2）在中，由旋转可得：，为等腰直角三角形，：，设，（），以为直径的圆与轴相切，即，解得：，（舍），（舍），（舍），；（3）设，关于中心对称，若、在抛物线

46、上，则、关于对称轴对称，对称轴：，解得：，即，解得：，若、在抛物线上，解得：，、横坐标相同，所以不可能都在抛物线上，综上，或【点睛】本题考查了二次函数与圆综合，切线的性质，综合运用二次函数与切线的性质是解题的关键26如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于，点在原点的左侧，点的坐标为点是抛物线上一个动点，且在直线的上方(1)求这个二次函数及直线的表达式(2)过点做轴交直线于点，求的最大值(3)点为抛物线对称轴上的点，问在抛物线上是否存在点，使为等腰直角三角形，且为直角，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)二次函数的表达式为，直线的表达式为；(2

47、)(3)存在，点的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）【分析】（1）利用待定系数法可直接求出二次函数和直线BC的解析式；（2）设动点P的坐标为（x，），则点D的坐标为（x，），PD，由二次函数的性质可得出答案；（3）分情况讨论：当点M在x轴上方，点N在对称轴左侧时，如图1，设对称轴与x轴交于点F，过点N作NEMF于点E，证明MENOFM（AAS），可得OFEM1，设点M坐标为（1，a），可得NEMFa，则N（1-a，1+a），把点N坐标代入二次函数解析式求出a的值，可得此时点的坐标；当点M在x轴上方，点N在对称轴右侧时，当点M在x轴下方，点N在对称轴左侧时，当点M在x轴下方，点N在对称轴右侧时

48、，同理可求点的坐标（1）解：把点B，点C的坐标代入解析式中，得：，解得：，二次函数得表达式为；设BC的函数表达式为y=kx+b，把点B，点C的坐标代入可得：，解得：，直线BC的函数表达式为：；（2）如图，轴，点P和点D的横坐标相同，设动点P的坐标为（x，），则点D的坐标为（x，），PD，当x=时，PD有最大值；（3）分情况讨论：当点M在x轴上方，点N在对称轴左侧时，如图1，设对称轴与x轴交于点F，过点N作NEMF于点E，为等腰直角三角形，且为直角，NMMO，NMO90，NMEOMF90，NMEMNE90，MNEOMF，又MENOFM90，MENOFM（AAS），OFEM，MFNE，二次函数的对

49、称轴为直线，OFEM1，设点M坐标为（1，a），则NEMFa，N（1-a，1+a），点N在抛物线上，整理得：，解得：，N（，），当点M在x轴上方，点N在对称轴右侧时，如图2，同理可得：点N坐标为（，）；当点M在x轴下方，点N在对称轴左侧时，如图3，同理可得：点N坐标为（，）；当点M在x轴下方，点N在对称轴右侧时，如图4，同理可得：点N坐标为（，）；综上，点的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合题，考查了待定系数法的应用，二次函数的图象和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及二次函数图象上点的坐标特征，其中第（3）问有一定难度，能够正确分类讨

50、论是解题的关键27次函数的图象交x轴于点A（1，0），B（4，0），两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MNx轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒(1)求二次函数的表达式；(2)连接BD，当时，求DNB的面积；(3)在直线MN上存在一点P，当PBC是以BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点P的坐标【答案】(1)(2)(3)P（1，1）或（3，3）【分析】（1）将A、B两点的坐标代入二次函数解析式中，求出系数a与b即可；（2）先求出BC的解析式，再将x=2代入和，得出D、N的坐标即可求出DN的值，再根据三角形的面积公

51、式计算出答案即可；（3）由BM的值得出M的坐标，因此设P（2t-1，m），由勾股定理可得，根据题意PB=PC，所以，得出P的坐标为，再利用勾股定理列出方程，解得t=1或t=2，代入求值即得出答案（1）解：将A(-1, 0)，B(4, 0)代入中，得： ，解得： 二次函数的表达式为（2）解：连接BD，如图所示，AM=3又，设直线BC的表达式为，将点C（0，2），B（4，0）代入得：，解得：，直线BC的解析式为：将x=2代入和，得D(2，3)，N（2，1），（3）解：，设P（2t-1，m），则，PB=PC，PCPB，将代入整理得：，解得：t=1或t=2将t=1或t=2分别代入中，P（1，1）或（3

52、，3）【点睛】本题是二次函数与几何的综合题，考查了待定系数法求二次函数表达式，根据点的坐标求平面内三角形的面积，以及根据等腰直角三角形求点的坐标，解题的关键是根据点的坐标求出函数解析式，同时根据解析式将点表示出来，列出方程进行计算28如图，已知抛物线经过点A(-1，0)，B(4，0)，C(0，2)三点，点D与点C关于x轴对称，点P是线段AB上的一个动点，设点P的坐标为(m，0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式；(2)在点P运动过程中，是否存在点Q，使得BQM是直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；(3)连接AC，

53、将AOC绕平面内某点H顺时针旋转90，得到，点A、O、C的对应点分别是点、若的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“和谐点”，请直接写出“和谐点”的个数和点的横坐标【答案】(1)(2)存在，Q(3，2)或Q(-1，0)(3)两个“和谐点”，的横坐标是1或【分析】（1）把点A(1，0)、B(4，0)、C(0，3)三点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解；（2）分两种情况分别讨论，当QBM90或MQB90，即可求得Q点的坐标（3）两个和谐点，AO1，OC2，设(x，y)，则(x+2，y-1)，(x，y-1)，当、在抛物线上时，的横坐标是1；当、在抛物线上时，的横坐标是2；（1）设抛

54、物线解析式为，将点A(-1，0)，B(4，0)，C(0，2)代入解析式，得：，解得：，；（2）点C与点D关于x轴对称，D(0，-2)设直线BD的解析式为将(4，0)代入得：4k-20，解得：k直线BD的解析式为yx-2当P点与A点重合时，BQM是直角三角形，此时Q(-1，0)；当BQBD时，BQM是直角三角形，则直线BQ的直线解析式为y-2x+8，-2x+8-+x+2，解得：x3或x4(舍)x3Q(3，2)或Q(-1，0)；（3）AO1，OC2，设A1(x，y)，则C1(x+2，y-1)，O1(x，y-1)，分类讨论：当A1、C1在抛物线上时，如图，A1的横坐标是1；当O1、C1在抛物线上时，

55、A1的横坐标是；【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，直角三角形的性质，旋转的性质等，分类讨论思想的运用是解本题的关键29已知二次函数yax2+bx+3的图像和x轴交于点A（3，0）、B（1，0），与y轴交于点C、D（0，1）(1)求二次函数解析式；(2)在线段AC上方的抛物线上有一动点P，直线PC与直线BD交于点Q，当PAQ面积最大时，求点P的坐标及PAQ面积的最大值；(3)在（2）条件下，将抛物线yax2+bx+3沿射线AC平移2个单位长度，得到新二次函数yax2+bx+c，点R在新抛物线对称轴上，在直线yx上有一点S，使得以点P，D，R，S为顶点的四边形是平

56、行四边形，写出所有符合条件的点R的坐标，并写出求解点R的坐标的其中一种情况的过程【答案】(1)yx22x+3(2)PAQ的最大值为，此时P（，）(3)点R的坐标为：（1，）或（1，）或（1，）；过程见解析【分析】（1）将A，B的坐标代入二次函数解析式，建立方程组，求解即可；（2）分别求出直线AC，BD的解析式，可证ACBD，所以ACQ的面积ACD的面积，进而求PAQ的面积最大可转化为求PAC的面积最大；过点P作PEy轴交AC于点E，表达PAC的面积，利用二次函数的性质求解即可；（3）由平移的性质可知，抛物线yax2+bx+3沿射线AC平移2个单位长度，即向右平移2个单位，向上平移2个单位，由此

57、可得出新抛物线的解析式，可得出点R的横坐标，根据平行四边形的性质，可分类讨论：当PD是平行四边形的边时，当PD是平行四边形的对角线时，分别求解即可（1）解：二次函数yax2+bx+3的图像和x轴交于点A（3，0）、B（1，0）， 二次函数的解析式为：yx22x+3（2）解：抛物线与y轴交于点C，C（0，3），直线AC的解析式为：yx+3；B（1，0），D（0，1），直线BD的解析式为：yx1；ACBD，CD4，SACQSACD436SAPQSAPC+SACQSAPC+SACDSAPC+6过点P作PEy轴交AC于点E，如图，设点P的横坐标为t，则P（t，t22t+3），E（t，t+3），PEt2

58、3tSAPQSAPC+63（t23t）+6，当t时，PAQ的最大值为 ，此时P；（3）解：由平移的性质可知，抛物线yax2+bx+3沿射线AC平移2 个单位长度，即向右平移2个单位，向上平移2个单位，yx22x+3（x+1）2+4，当抛物线向右平移2个单位，向上平移2个单位后，平移后的抛物线为：y（x1）2+6x2+2x+5R在新抛物线对称轴上，R的横坐标为x1若以点P，D，R，S为顶点的四边形是平行四边形，根据题意，需要分以下两种情况：当PD为平行四边形的边时，xPxDxRxS或xPxDxSxR，01xS或0xS1，解得xS或xSS 或yPyDyRyS或yPyDySyR，（1）yR（）或（1）yR，yR或yRR（1，）或（1，）当PD为平行四边形的对角线时，xP+xDxR+xS，+01+xS，解得xS，S（，），yP+yDyR+yS，+（1）yR+，yRR（1，）综上，若以点P，D，R，S为顶点的四边形是平行四边形，点R的坐标为：（1，）或（1，）或（1，）【点睛】本题考查待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的图像和性质，与抛物线有关的动三角形的面积最值，平行四边形的存在性等问题，做题时注意分类讨论