专题3.14 一次方程与方程组章末十六大题型总结（拔尖篇）（沪科版）（解析版）.docx

1、专题3.14 一次方程与方程组章末十六大题型总结（拔尖篇）【沪科版】【题型1 解含参数的一元一次方程】1【题型2 整体代入法解一元一次方程】3【题型3 解含绝对值的一元一次方程】6【题型4 利用一元一次方程解决规律问题】8【题型5 一元一次方程中的动点问题】13【题型6 一元一次方程中的数形结合问题】17【题型7 一元一次方程的新定义问题】24【题型8 一元一次方程的应用】30【题型9 二元一次方程的整数解】34【题型10 由方程组的错解问题求参数的值】36【题型11 解含参数的二元一次方程组】38【题型12 根据二元一次方程方程有公共解求解】40【题型13 整体思想解二元一次方程组】43【题

2、型14 二元一次方程组的新定义问题】47【题型15 二元一次方程组的规律探究】50【题型16 二元一次方程（组）的阅读理解类问题】54【题型1 解含参数的一元一次方程】【例1】已知关于x的一元一次方程x2023+a=2023x的解是x=2022，关于y的一元一次方程b2023+2023c=-a的解是y=-2021（其中b和c是含有y的代数式），则下列结论符合条件的是（）Ab=-y-1,c=y+1Bb=1-y,c=y-1Cb=y+1,c=-y-1Db=y-1,c=1-y【答案】B【分析】根据x=2022，y=-2021得到x=1-y，得到1-y2023+2023y-1=-a的解为y=-2021，

3、类比b2023+2023c=-a得到答案【详解】x=2022，y=-2021得到x=1-y，1-y2023+2023y-1=-a的解为y=-2021，方程b2023+2023c=-a的解是y=-2021，b=1-y,c=y-1，故选B【点睛】本题考查了一元一次方程的解即使得方程左右两边相等的未知数的值，正确理解定义是解题的关键【变式1-1】已知关于x的方程kx-2x=5的解为正整数，则整数k的值为 【答案】3或7【分析】解方程用含有k的式子表示x，再根据5除以几得正整数，求出整数k【详解】解：kx-2x=5，解得，x=5k-2，k为整数，关于x的方程kx-2x=5的解为正整数，k-2=1或k-

4、2=5，解得，k=3或k=7，故答案为：3或7【点睛】本题考查了一元一次方程的解，解题关键是根据方程的解为正整数，k为整数，确定未知数的系数的值【变式1-2】已知a，b为定值，且无论k为何值，关于x的方程kx-a3=1-2x+bk2的解总是x2，则ab= 【答案】-4【分析】根据一元一次方程的解法，去分母并把方程整理成关于a、b的形式，然后根据方程的解与k无关分别列出方程求解即可【详解】解：方程两边都乘6，去分母得2（kx-a）=6-3（2x+bk）， 2kx-2a=6-6x-3bk， 整理得（2x+3b）k+6x=2a+6， 无论k为何值，方程的解总是2， 2a+6=62，22+3b=0，

5、解得a=3，b=-43， ab=3(-43)=-4 故答案为：-4【点睛】本题考查了一元一次方程的解，根据方程的解与k无关，则k的系数为0列出方程是解题的关键【变式1-3】已知关于x的方程x-2-ax6=x3-2有非负整数解，则整数a的所有可能的取值的和为（）A-23B23C-34D34【答案】C【分析】先根据解方程的一般步骤解方程，再根据非负数的定义将a的值算出，最后相加即可得出答案【详解】解：x-2-ax6=x3-2去分母，得6x-2-ax=2x-12去括号，得6x-2+ax=2x-12移项、合并同类项，得4+ax=-10将系数化为1，得x=-104+a x=-104+a是非负整数解a=-

6、5或-6，-9，-14时，x的解都是非负整数则-5+-6+-9+-14=-34故选C【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键【题型2 整体代入法解一元一次方程】【例2】已知关于x的一元一次方程12020x+3=2x+b的解为x=2，那么关于的y一元一次方程12020(y-1)=2y+b-5解为 【答案】y=3【分析】将方程12020x+3=2x+b变形为12020(y-1)+3=2(y-1)+b，在根据方程12020x+3=2x+b的解为x=2得到2=y-1，即可求解【详解】解：将关于y的一元一次方程12020(y-1)=2y+b-5变形为12020(y-1)+

7、3=2y+b-2，即12020(y-1)+3=2(y-1)+b，一元一次方程12020x+3=2x+b，x=y-1，x=2，2=y-1，y=3故答案为： y=3 【点睛】本题考查了换元法解一元一次方程，将关于y的一元一次方程12020(y-1)=2y+b-5变形为12020(y-1)+3=2(y-1)+b是解题关键【变式2-1】在解一元一次方程时，巧妙利用整体法，可以达到简化计算的效果例如，在解方程32x-1-3(2x-1)+3=5时，把2x-1看作一个整体令a=2x-1，得：3a-(3a+3)=5，去括号，得：3a-9a-9=5，合并同类项，得：-6a=14，系数化为1，得：a=-73，故2

8、x-1=-73，解得x=-23阅读以上材料，请用同样的方法解方程：42(x+2)-12(2x+4)+5=1.【答案】x=134【分析】把x+2看作一个整体，再按照解一元一次方程的方法求解即可【详解】解：令a=x+2，则2a=2x+4，原方程得：42a-(122a+5)=1，去括号，得：4a-20=1，移项，得：4a=21，系数化为1，得：a=214故x+2=214，解得x=134【点睛】本题考查了解一元一次方程，能正确换元是解此题的关键【变式2-2】在解方程3x+1-13x-1=2x-1-12x+1时，可先将x+1，x-1分别看成整体进行移项、合并同类项，得方程72x+1=73(x-1)，然后

9、再继续求解，这种方法叫做整体求解法，请用这种方法解方程：(1)7x+3+4=24-3x+3；(2)52x+3-34x-2=2x-2-122x+3【答案】(1)x=-1(2)x=-83【分析】（1）将x+3看成一个整体，移项、合并同类项、系数化成1即可（2）将2x+3、x-2分别看成一个整体，移项、合并同类项、系数化成1即可【详解】（1）移项，得7x+3+3x+3=24-4，整体合并，得10x+3=20，即x+3=2，解得x=-1.（2）52x+3-34x-2=2x-2-122x+3.移项、合并同类项得1122x+3=114x-2，去分母，得222x+3=11x-2，去括号，得44x+66=11

10、x-22，移项、合并同类项，得33x=-88，解得x=-83.【点睛】本题考查了解一元一次方程的应用，解决本题的关键是要注意用了整体代入思想【变式2-3】当x1时，式子ax3+bx+1的值是2，则方程ax+12+2bx-34=x4的解是 _【答案】x1【分析】把x1代入代数式，使其值为2，求出a+b的值，方程变形后代入计算即可求出解【详解】解：把x1代入得：a+b+12，即a+b1，方程去分母得：2ax+2+2bx3x，整理得：（2a+2b1）x1，即2（a+b）1x1，把a+b1代入得：x1故答案为：1【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，以及代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键【题型

11、3 解含绝对值的一元一次方程】【例3】若关于x的方程x-2-1=a有三个整数解，则a的值是()A0B1C2D3【答案】B【分析】根据绝对值的性质可得|x-2|-1=a,然后讨论x2及x2的情况下解的情况，再根据方程有三个整数解可得出a的值【详解】解：若|x-2|-1=a,当x2时，x-2-1=a,解得：x=a+3，a-1；当x-1；若|x-2|-1=-a,当x2时，x-2-1=-a,解得：x=-a+3，a1；当x2时，2-x-1=-a,解得：x=a+1，a1；又方程有三个整数解，可得：a=-1或1，根据绝对值的非负性可得：a0即a只能取1故选：B【点睛】本题考查含绝对值的一元一次方程，难度较大

12、，掌握绝对值的性质及不等式的解集的求法是关键【变式3-1】方程x-3x+1=2的解为x= 【答案】12或-34【分析】由绝对值的性质可得出3x+1=x2，从而可分类讨论：当3x+1=x-2时和当3x+1=x+2时，再根据方程有意义可得出x的取值范围，最后再次根据绝对值的性质解方程即可【详解】解：x-3x+1=2 x-3x+1=2，3x+1=x2；分类讨论：当3x+1=x-2时，方程有意义，x-20，解得：x2，3x+17，3x+1=x-2解得，x=-32，舍去；当3x+1=x+2时，方程有意义，x+20，解得：x-2，3x+1=(x+2)，即3x+1=x+2或3x+1=-x-2，解得：x=12

13、或x=-34故答案为：12或-34【点睛】本题考查绝对值的性质，解一元一次方程根据绝对值的性质去绝对值是解题关键【变式3-2】设y1=2+x，y2=2-x，当y1=y2时，x的取值范围是 【答案】-2x0【分析】根据题意，得到2+x=2-x，即2+x+x=2，由绝对值的代数意义分情况讨论去掉绝对值，解方程即可得到答案【详解】解： y1=2+x，y2=2-x，当y1=y2时， 2+x=2-x，即2+x+x=2，当x-2时，2+x0,x0，则-2+x-x=2，即2x=-4，解得x=-2；当-2x0,x0，则2+x-x=2恒成立，即-2x0,x0，则2+x+x=2，即2x=0，解得x=0；综上所述，

14、当y1=y2时，x的取值范围是-2x0，故答案为：-2x0【点睛】本题考查含绝对值方程的解法，熟记绝对值的代数意义去绝对值是解决问题的关键【变式3-3】解方程：|3x+1|-|1-x|=2【答案】-13x1时，x=12；x-13时x=-2【分析】令3x+1=0，1-x=0，得x=-13，x=1，根据这两个数进行分段，去绝对值符号求x值.【详解】解：当x1时，3x+1+1-x=2，x=0，不存在；当-13x1时，3x+1+x-1=2，x=12；当x-13时，-3x-1-1+x=2，x=-2，|3x+1|-|1-x|=2的解是-13x1时，x=12；x4(2)当t为103或5时，三角形AEP的面积

15、等于5cm2【分析】（1）根据题意及线段的和差分两种情况求解即可得出答案；（2）分当P在AB上时及当P在BC上时两种情况分别画出图形，利用三角形的面积公式计算即可得出答案【详解】（1）解：当P在AB上时，BP=4-tcmt4当P在BC上时，BP=t-4cmt4（2）解：当P在AB上时，如图APE的面积等于5，12t3=5，解得t=103当P在BC上时，如图APE的面积等于5，S矩形ABCD-SCPE-SADE-SABP=5，即43-123-(t-4)124-123124-124(t-4)=5，解得t=5当t为103或5时，三角形AEP的面积等于5cm2【点睛】本题考查了一元一次方程的应用及列代

16、数式，熟记三角形的面积公式是解题的关键【变式5-3】如图，在长方形ABCD中，AD=32cm，AB=15cm动点P从点A出发，沿线段AB，BC向点C运动，速度为3cm/s；动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，速度为2cms，当点P运动到点C时，点P、Q同时停止运动设运动的时间是ts(1)当点P在AB上运动时，用含t的代数式表示下列线段的长度AP=_BQ=_ PB= _(2)当点P在AB上运动时，t为何值，能使PB=BQ？(3)点P能否追上点Q？如果能，求出t的值：如果不能，说明理由【答案】(1)3t， 2t，15-3t(2)3秒(3)能，15【分析】（1）由动点Q从点B出发，沿线段BC向点

17、C运动，速度为2cms，得BQ=2t；由点P从点A出发在AB上运动，速度为3cm/s，得BP=15-3tcm，于是得到问题的答案； （2）由点P在AB上运动，且BP=BQ，得15-3t=2t，解方程求出t的值即可； （3）先假设能够追上列方程，再解方程并检验即可【详解】（1）解：根据题意得AP=3t，BQ=2t，AB=15cm，AD=BC=32cm， 当点P在AB上运动，则BP=15-3tcm（2）当BP=BQ时，则15-3t=2t， 解得t=3， 当t的值是3时，BP=BQ（3）假设点P能追上点Q，则有3t-2t=15，解得t=15；当t=15时，3t=4515+32=47， 所以，当t=1

18、5，点P能追上点Q【点睛】本题考查的是列代数式，一元一次方程的应用，理解题意，列出正确的代数式与方程是解本题的关键【题型6 一元一次方程中的数形结合问题】【例6】如图，已知数轴上A、B两定点对应的数是20，40，动点M、N同时从点A出发向点B运动，到达点B后折返向点A继续运动，其中某点回到点A时，全部停止（点M的速度为3个单位长度/秒，点N的速度为2个单位长度/秒）(1)在点M到达B点前，经过_秒M、N之间间隔6个单位长度：经过_秒原点刚好位于M、N的最中间；经过_秒点A到点N的距离刚好等于点B到点M的距离（即BM=AN）；(2)当动点M到达点B后，点N开始改变速度以a个单位长度/秒的速度继续

19、运动，4秒后，M、N两点之间相距4个单位长度，求a的值【答案】(1)6；8；12(2)a=1或a=3或a=7或a=9【分析】（1）设运动时间为t，依题意，点M表示的数为-20+3t，点N表示的数为-20+2t，根据MN=6，列方程，即可求解；根据MO=NO，列出一元一次方程，解方程，即可求解；根据BM=AN，列出一元一次方程，解方程，即可求解；（2）分情况讨论，当a5时，则N点到达B点时返回，点M继续运动，4秒后M表示的数为40-43=28，点N表示的数为20+40-4a=60-4a，根据题意，列出方程，解方程，即可求解【详解】（1）解：设运动时间为t，依题意，点M表示的数为-20+3t，点N

20、表示的数为-20+2t，-20+3t-20+2tMN=6时，即-20+3t-20+2t=6解得t=6，故答案为：6当原点刚好位于M、N的最中间，即-20+3t=0-20+2t解得：t=8故答案为：8当BM=AN时，40-20+3t=-20+2t-20解得：t=12，故答案为12；（2）当动点M到达点B后，此时-20+3t=40解得：t=20此时点N表示的数为-20+220=20，当M返回时，4秒后M表示的数为40-43=28，点N表示的数为20+4a，当20+4a40，即a5时，则N点到达B点时返回，点M继续运动，4秒后M表示的数为40-43=28，点N表示的数为20+40-4a=60-4a依

21、题意，60-4a-28=4，解得：a=7或a=9；综上所述，a=1或a=3或a=7或a=9【点睛】本题考查了数轴上两点距离，一元一次方程的应用，数形结合，分类讨论是解题的关键【变式6-1】如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t0)秒(1)数轴上点B表示的数是_，当t=2s时，点P表示的数是_；(2)动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发求：当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度

22、？【答案】(1)-4，-6(2)当点P运动5秒时，点P与点Q相遇；当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度【分析】（1）根据数轴上两点间的距离即可解答；（2）根据数轴上两点间的距离结合行程问题的特点列出方程求解；根据数轴上两点间的距离结合行程问题的特点列出方程求解【详解】（1）解：数轴上点A表示的数为6，OA=6，则OB=AB-OA=4，点B在原点左边，数轴上点B所表示的数为-4；动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点P运动t秒的长度为6t，P所表示的数为：6-6t；当t=2s时，点P表示的数是6-62=-6；故答案为：-4，-6；（2）解：点P运动t秒

23、时追上点Q，根据题意得6t=10+4t，解得t=5，答：当点P运动5秒时，点P与点Q相遇；当P不超过Q时，则10+4t-6t=8，解得t=1；当P超过Q时，则10+4t+8=6t，解得t=9；答：当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离和一元一次方程的应用，正确理解题意、灵活应用数形结合思想是解题的关键【变式6-2】如图，在数轴上，点O为坐标原点，点A、B、C、D表示的数分别是-8、3、9、13动点P、Q同时出发，动点P从点B出发，沿数轴以每秒2个单位的速度向点C运动，当点P运动到点C后，立即按原来的速度返回动点Q从点C出发，沿数轴以每秒1个単

24、位的速度向终点D运动当点Q到达点D时，点P也停止运动，设点P的运动时间为tt0秒(1)点A与原点O的距离是_(2)点P从点B向点C运动过程中，点P与原点O的距离是_（用含t的代数式表示）(3)点P从点B向点C运动过程中，当点P与原点O的距离恰好等于点P与点Q的距离时，求t的值(4)在点P、Q的整个运动过程中，若将数轴在点O和点P处各折一下，使点Q与点A重合，如图所示，当所构成的三角形OPQ中恰好有两条边相等时，直接写出t的值【答案】(1)8(2)2t+3(3)t=1(4)1，52，72【分析】（1）由点A表示的数是-8，得OA=|-8|=8，于是得到问题的答案；（2）由OB=|3|=3，BP=

25、2t，得OP=BP+OB=2t+3，于是得到问题的答案；（3）当点P与点C重合时，则2t=9-3，求得t=3，当点P从点B向点C运动时，0t3，由OP=2t+3，PQ=9+t-(2t+3)=6-t，且OP=PQ，得2t+3=6-t，求得t=1；（4）当点Q与点D重合时，则t=13-9=4，所以0t4，当点P从点C按原来的速度返回时，点P表示的数是9-2(t-3)，即15-2t(3t4)，所以OP=15-2t，PQ=9+t-(15-2t)=3t-6，可知三角形OPQ的三边长分别为OQ=OA=8，OP=2t+3，PQ=6-t，或OP=15-2t，PQ=3t-6，再按OP=OQ，OP=PQ，PQ=O

26、Q分别列方程，求出符合题意的t值即可【详解】（1）解： 点A表示的数是-8，OA=|-8|=8，故答案为：8（2）点B表示的数是3，OB=|3|=3，BP=2t，OP=BP+OB=2t+3，故答案为：2t+3（3）当点P与点C重合时，则2t=9-3，解得t=3，当点P从点B向点C运动时，0t3，点P表示的数是2t+3，点Q表示的数是9+t，且点Q在点P右侧，PQ=9+t-(2t+3)=6-t，OP=2t+3，且OP=PQ，2t+3=6-t，解得t=1，t的值是1（4）t的值是52或72或1，理由如下：当点Q与点D重合时，则t=13-9=4，0t4，当点P从点C按原来的速度返回时，点P表示的数是

27、9-2(t-3)，即15-2t(3t4)，OP=15-2t，PQ=9+t-(15-2t)=3t-6，三角形OPQ的三边长分别为OQ=OA=8，OP=2t+3，PQ=6-t，或OP=15-2t，PQ=3t-6，当OP=OQ时，则2t+3=8或15-2t=8，解得t=52或t=72；当OP=PQ且点P从点B向点C运动时，由（3）得t=1；当OP=PQ且点P从点C按原来的速度返回时，则15-2t=3t-6，解得t=215，不符合题意，舍去；当PQ=OQ=8且点P从点B向点C运动时，则6-t=8，解得t=-2，不符合题意，舍去；当PQ=OQ=8且点P从点C按原来的速度返回时，则3t-6=8，解得t=1

28、43，不符合题意，舍去，综上所述，t的值是52或72或1【点睛】此题重点考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题、数轴上的动点问题的求解、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，正确地用代数式表示点P和点Q对应的数是解题的关键【变式6-3】将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到如图所示的“折线数轴”，图中点A表示-10，点B表示10，点C表示18我们称点A和点C在数轴上的“友好距离”为28个单位长度动点P从点A出发，以2单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其正方向运动当运动到点O与点B之间时速度变为原来的一半经过点B后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，

29、以1单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其负方向运动，当运动到点B与点O之间时速度变为原来的两倍，经过O后也立刻恢复原速设运动的时间为t秒(1)动点P从点A运动至点C需要 秒，动点Q从点C运动至点A需要 秒；(2)P，Q两点相遇时，求出相遇点M在“折线数轴”上所对应的数；(3)是否存在t值，使得点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”等于点A和点B在“折线数轴”上的“友好距离”？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由【答案】(1)19，23(2)163(3)存在；t的值为83秒或533秒【分析】（1）先求出AC、QC的长度，再根据路程除以速度等于时间即可解答；（2）根据相遇时，点P和点Q所用的时间相等，列方程即可解答；（3）由路程、速度、时间三者关系，根据PQ=AB列方程求解即可【详解】（1）解：根据题意可得，动点P从点A运动至点C需要的时间是：102+101+82=19（秒），动点Q从点C运动至点A需要的时间是：101+102+81=23（秒）；（2）解：根据题意可知，P、Q两点在OB上相遇于M点，设OM=x,则102+x1=81+10-x2，解得x=163，即点M在“折线数轴”上所对应的数是163；（3）解：设存在t使得点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”等于点A和点B在“折线数轴”上的“友好距离”，即PQ=AB，