专题3.3 函数的奇偶性、周期性与对称性（解析版）.docx

1、专题3.3 函数的奇偶性、周期性与对称性题型一判断函数的奇偶性题型二利用奇偶性求函数值或参数值题型三利用奇偶性求解析式题型四函数周期性的应用题型五函数对称性的应用题型六单调性与奇偶性的综合问题题型七对称性、周期性与奇偶性的综合问题题型一判断函数的奇偶性例1（2023北京房山统考二模）下列函数中，是偶函数且有最小值的是（）ABCD【答案】D【分析】判断二次函数的对称轴，可得函数不是偶函数，判断选项A，根据函数的定义域判断选项B，判断得，从而得函数为偶函数，结合三角函数的性质可判断得该函数不具有最小值，从而判断选项C，根据，得函数为偶函数，再利用基本不等式求解出最小值，即可判断选项D.【详解】对A

2、，二次函数的对称轴为，不是偶函数，故A错误；对B，函数的定义域为，定义域不关于原点对称，所以不是偶函数，故B错误；对C，定义域为，所以函数是偶函数，结合三角函数的性质易判断函数无最小值，故C错误；对D，定义域为，所以函数是偶函数，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以函数有最小值，故D正确.故选：D例2（2023山东青岛统考二模）已知函数，则大致图象如图的函数可能是（）ABCD【答案】D【分析】由函数的奇偶性及选项逐项排除即可得到答案【详解】，的定义域均为，且,，所以为奇函数，为偶函数.由图易知其为奇函数，而与为非奇非偶函数，故排除AB.当时，排除C.故选:D练习1（2023春北京高三北京师大

3、附中校考期中）下列函数是奇函数的是（）ABCD【答案】B【分析】利用奇偶性定义判断各项函数的奇偶性.【详解】显然各项函数的定义域均为R，偶函数，A不符合；，奇函数，B符合；，非奇非偶函数，C不符合；，非奇非偶函数，D不符合.故选：B练习2（2023上海高三专题练习）函数是（）A奇函数B偶函数C奇函数也是偶函数D非奇非偶函数【答案】B【分析】求出定义域，根据函数奇偶性的定义判断即可.【详解】由函数可知，定义域为关于原点对称，又，故函数为内的偶函数.故选：B练习3（2023北京海淀统考二模）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（）ABCD【答案】D【分析】根据函数的奇偶性以及单调性，结合基

4、本初等函数的性质，即可由选项逐一判断.【详解】对于A, 的定义域为，定义域不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，故A错误，对于B，的定义域为，定义域关于原点对称，又，所以为奇函数，但在单调递减，故B错误，对于C，的定义域为,关于原点对称，又，故 为偶函数，故C错误，对于D， 由正切函数的性质可知为奇函数，且在单调递增，故D正确，故选：D练习4（2023春上海松江高一上海市松江二中校考期中）下列函数在其定义域内既是严格增函数，又是奇函数的是（）ABCD【答案】D【分析】根据初等函数的单调性和奇偶性的判定方法，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，函数在定义域上不是严格的单调函数，不符合题意；对于B

5、中，函数的定义域为，所以为非奇非偶函数，不符合题意；对于C中，函数，可得，所以函数不是奇函数，不符合题意；对于D中，函数，在定义域上严格的单调递增函数，且，所以函数为奇函数，符合题意.故选：D.练习5（2023海南校联考模拟预测）函数的大致图象是（）ABCD【答案】D【分析】根据函数的奇偶性证明函数为偶函数；分别求出，利用排除法，结合选项即可求解.【详解】函数的定义域为，关于原点对称，则函数为偶函数，图象关于y轴对称，故排除C；又，故排除AB，D符合题意.故选：D.题型二利用奇偶性求函数值或参数值例3（2023春宁夏银川高二银川一中校考期中）若为奇函数，则（）AB2CD【答案】C【分析】利用奇

6、函数的定义，对分类讨论即可得解.【详解】因为函数为奇函数，所以的定义域关于原点对称.若，则的定义域不关于原点对称，所以的定义域为且，所以，解得.所以，定义域为.令，得，故，此时经检验，为奇函数.故选：C.例4（2023春河北保定高三保定一中校考期中）已知函数且，则的值为_【答案】【分析】由函数的解析式发现，它是由一个奇函数加一个常数的形式，再注意到已知的函数值和要求的函数值，它们的自变量互为相反数，所以可以直接代入利用奇函数的性质求解.【详解】因为，所以，所以，所以，故答案为：.练习6（2022秋高三课时练习）为奇函数，为偶函数，且则（）A3B-1C1D-3【答案】A【分析】根据函数奇偶性可知

7、，解方程组即可求得.【详解】因为为奇函数，为偶函数，则所以两式相加可得，即故选：A.练习7（2023辽宁校联考二模）“”是“函数是奇函数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【分析】函数为奇函数，解得，判断与的互推关系，即可得到答案.【详解】当函数为奇函数，则，解得.所以“”是“函数为奇函数”的充分不必要条件.故选：A.练习8（2022秋江苏南通高一江苏省通州高级中学校考阶段练习）若函数是偶函数，则的最小值为（）A4B2CD【答案】A【分析】根据为偶函数求出，再利用基本不等式求解.【详解】由为偶函数可得，即，所以因为，且，所以，所以，则，当且仅当，即

8、时，取最小值4故选：A练习9（2023广西玉林统考三模）函数，若，则_【答案】3【分析】根据题意可得，结合计算即可求解.【详解】由题得，所以故答案为：3.练习10（2023上海金山统考二模）已知是定义域为的奇函数，当时，则_.【答案】【分析】根据奇函数性质求解即可.【详解】因为函数是定义域为的奇函数，所以，故答案为：.题型三利用奇偶性求解析式例5（2023全国高一专题练习）已知奇函数则_【答案】【分析】根据奇函数的定义，先求当时，再进一步求解.【详解】当时，则故答案为：.例6（2023春上海宝山高三上海交大附中校考期中）已知是定义域为R的奇函数，当时，则当时，的表达式为_【答案】/【分析】根据

9、给定条件，利用奇函数的定义求出时的解析式作答.【详解】是定义域为R的奇函数，当时，则当时，所以当时，的表达式为.故答案为：练习11（2023安徽马鞍山统考三模）函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（）ABCD【答案】B【分析】根据奇偶函数的定义可得，再利用基本不等式求最小值.【详解】由题意可得，解得，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：B.练习12（2023全国模拟预测）已知函数是奇函数，函数是偶函数若，则（）ABC0D【答案】C【分析】根据函数的奇偶性结合已知等式可得，联立可得，即得答案.【详解】由函数是奇函数，函数是偶函数，故，即，将该式和相减可得，则，故选：

10、C练习13（2023全国高三专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，则函数的解析式为_【答案】【分析】利用函数的奇偶性求解即可.【详解】由于函数是上的奇函数，则.当时，设，则，则，所以.综上所述，.故答案为：【点睛】方法点睛：根据函数奇偶性求解析式的步骤：（1）设：要求哪个区间的解析式，就设在哪个区间；（2）代：利用已知区间的解析式代入进行推导；（3）转：根据的奇偶性，把写成或，从而解出.练习14（2023秋安徽芜湖高三统考期末）函数为偶函数，当时，则时，_【答案】【分析】由偶函数的定义求解【详解】时，是偶函数， 故答案为：练习15（2022秋安徽马鞍山高三安徽省马鞍山市第二十二中学校考期

11、中）已知是定义在上的奇函数，当时，(1)求的解析式；(2)若方程有两个实数解，求的取值范围【答案】(1)(2)【分析】（1）设，则，然后由函数是定义在上的奇函数求解的解析式.（2）在同一坐标系中作出函数的图象，根据方程有两个解，转化为函数的图象有两个交点求解.【详解】（1）设，则，所以，因为函数是定义在上的奇函数，所以所以；（2）在同一坐标系中作出函数的图象，因为方程有两个解，所以函数的图象有两个交点，由图象知：或，所以的取值范围是.题型四函数周期性的应用例7（2023山西运城统考三模）已知定义在上的函数满足，为奇函数，则（）A0B1C2D3【答案】C【分析】由题意推出函数的周期以及满足等式，

12、赋值求得，利用函数的周期性即可求得答案.【详解】因为，所以，所以的周期为6，又为奇函数，所以，所以，令，得，所以,所以，故选：C.例8（2023陕西商洛统考三模）定义在R上的奇函数满足R，且当时，则_【答案】1012【分析】根据函数的奇偶性、周期性求解即可.【详解】因为是奇函数，且，所以，故是周期为4的周期函数所以，令,可得，所以，因为函数为奇函数且周期为4，所以，则，则故答案为:1012.练习16（2023春江西高三江西师大附中校考阶段练习）已知定义在上的函数满足，且当时，则的值为（ ）A3B3C1D1【答案】D【分析】根据，可得，从而可得函数的周期，再根据函数的周期性计算即可.【详解】因为

13、，所以，则，所以，所以函数是以为周期的周期函数，则.故选：D.练习17（2023全国模拟预测）已知函数，则的值为（）ABCD【答案】C【分析】通过，和的方程联立，得到，根据函数的周期性赋值求解.【详解】当时，由，得，联立，可得,得把代入可得，即，故，故选：C.练习18（2023全国高三专题练习）若函数满足，且当时，则（）A1BC0D【答案】B【分析】先利用求出函数的周期，利用周期性转化代入即可求解.【详解】依题意，因为，所以，所以，所以函数的周期为4，所以.又因为，所以，当时，所以，所以.故选：B.练习19（2023广东高三专题练习）已知，函数都满足，又，则_【答案】/【分析】首先确定函数的周

14、期，再根据条件和函数的周期，求函数值.【详解】根据题意，显然，所以，所以，所以函数的周期为8，所以.故答案为：练习20（2023秋黑龙江哈尔滨高三哈尔滨三中校考期末）已知定义在R上的奇函数满足恒成立，且，则的值为_【答案】【分析】由函数的奇偶性得到，且，结合函数的周期和，求出，得到答案.【详解】因为是定义在R上的奇函数，故，且，又，所以，且，当时，故，解得：，种，当时，又，所以，故.故答案为：-1题型五函数对称性的应用例9（2023湖北统考二模）已知函数图象的对称轴为，则图象的对称轴为（）ABCD【答案】C【分析】根据题设条件可得，故可得正确的选项.【详解】设，则，故，整理得到，所以图象的对称

15、轴为.故选：C.例10（2023浙江高三专题练习）定义在R上的非常数函数满足：，且.请写出符合条件的一个函数的解析式_.【答案】（答案不唯一）【分析】根据已知，且得出对称轴和对称中心，确定一个具体函数即可.【详解】因为.得出对称中心，且得出对称轴为轴，且周期为4的函数都可以.故答案为：练习21（2023山西晋中统考二模）已知函数，则的图象（）A关于直线对称B关于点对称C关于直线对称D关于原点对称【答案】B【分析】利用函数的对称性及奇偶性即可求解.【详解】对于A，由，所以的图象不关于直线对称，故A错误；对于B，由，所以的图象关于点对称故B正确；对于C，由，所以不是偶函数，故的图象不关于直线对称，

16、故C错误；对于D，由，所以不是奇函数，故的图象不关于原点对称，故D错误；故选：B.练习22（2023陕西安康统考二模）已知定义在上的奇函数满足，则（）AB0C1D2【答案】B【分析】由奇偶性及对称性得函数的周期性，由周期性计算函数值，【详解】由及是奇函数得，所以，所以是周期函数，周期为4，故选：B练习23（2023秋河北承德高三统考期末）已知函数满足，若与图象的交点为，则（）AB0C4D8【答案】D【分析】由和的图象都关于直线对称，利用对称性求解.【详解】由可知的图象关于直线对称，的图象关于直线对称，所以.故选：D练习24（2021春陕西汉中高三统考期中）已知二次函数，满足，且，则不等式的解集

17、为_【答案】【分析】根据二次函数的对称性、单调性求得正确答案.【详解】由于，所以二次函数的对称轴为，由于，所以开口向上，在上递减；在上递增，由得，即，所以不等式的解集为.故答案为：练习25（2023秋江苏苏州高三统考开学考试）写出一个非常数函数同时满足条件：，. 则_.【答案】（形如或或或）【分析】根据函数所满足的周期性、对称性写出满足条件的函数即可.【详解】因为，所以函数周期，函数对称轴为，故可取函数，故答案为：（答案不唯一，形如或或或都可以）题型六单调性与奇偶性的综合问题例11（2022秋新疆乌鲁木齐高三乌鲁木齐市第四中学校考期末）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，则a，b，c的大小关系

18、为（）ABCD【答案】B【分析】根据题意先求出函数在上为单调增函数且关于直线对称，然后利用函数的单调性和对称性即可求解.【详解】当时，恒成立，当时，即，函数在上为单调增函数，函数是偶函数，即，函数的图象关于直线对称，又函数在上为单调增函数，即，故选：B.例12（2022秋广东佛山高三佛山市荣山中学校考期中）若函数是定义在上的奇函数，当时，则当时，函数的解析式为_；若函数是定义在上的偶函数，且在上为增函数则不等式的解集为_【答案】 【分析】第一空利用奇函数的性质计算即可，第二空利用单调性结合偶函数的性质解不等式即可.【详解】令，即，则；由题意可得：.故答案为：；练习26（2023广西校联考模拟预

19、测）下列函数既是奇函数又在上是增函数的是（）ABCD【答案】A【分析】分别对每个选项中的函数进行奇偶性和增减性分析即可.【详解】对于，因为是奇函数，又在上是增函数，所以正确；对于，因为为偶函数，且定义域为，所以错误；对于，因为是奇函数，但在上为减函数，所以C错误；对于，因为为奇函数，但在上是减函数，所以错误.故选:A.练习27（2023全国高三专题练习）已知函数，则不等式的解集为（）ABCD【答案】D【分析】判断的奇偶性与单调性，根据单调性转化不等式再解不等式即可.【详解】由得，即函数的定义域为因为，所以为上的偶函数，当时，因为函数在上单调递减,所以在上单调递减，又都是在上单调递减，根据单调性

20、的性质，可知函数在上单调递减，又因为函数为偶函数，所以函数在上单调递增，又，所以，可得，所以，且，解得或，所以不等式的解集为.故选：D练习28（2023秋浙江杭州高三杭州市长河高级中学校考期末）若是奇函数，且在上是增函数，又，则的解是（）ABCD【答案】D【分析】先根据函数为奇函数求得且在上是增函数，进而根据得出且或且，最后取并集【详解】解：函数为奇函数，函数在上是增函数，函数在上是增函数，所以当或时，当或时，对于，则或，解得或的取值范围是故选：D练习29（2023春河北保定高三保定一中校考期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，(1)求函数的解析式(2)若，求实数的取值范围【答案】(1)(2

21、)【分析】（1）设，利用，可得解析式；（2）利用函数的奇偶性，根据单调性可去掉符号“f”，再考虑到定义域即可求出a的范围【详解】（1）因为为奇函数，设，则，则,因为为奇函数，则 ，则（2）当时，为单调递增函数，由奇函数可知是定义在3，3上的增函数，又，故有：，则有，解得： 所以实数a取值范围是：练习30（2023春陕西咸阳高三校考阶段练习）已知函数是奇函数(1)求的值(2)若时，是上的增函数，且，求的取值范围【答案】(1)(2)【分析】（1）根据奇函数的定义即可求的值（2）利用函数单调性和奇偶性解抽象不等式知识即可求的取值范围【详解】（1）函数是奇函数（2）若时，即时，是奇函数又是增函数，且，

22、可得，即的取值范围是.题型七对称性、周期性与奇偶性的综合问题例13（2023新疆喀什统考模拟预测）已知函数的定义域为，满足为奇函数且，当时，则（）ABC0D10【答案】D【分析】根据题意推得，得到函数的周期为，利用函数的周期性和对称，结合，代入即可求解.【详解】由为奇函数，可得函数的对称中心为，即 又由，则的对称轴为，即，所以，即，又由，所以，即函数的周期为，则.故选：D.例14（山东省烟台市2023届高考适应性练习（一）数学试题）（多选）定义在上的函数满足，是偶函数，则（）A是奇函数BC的图象关于直线对称D【答案】ABD【分析】利用函数的奇偶性、对称性、周期性求解即可.【详解】对于选项，是偶

23、函数，函数关于直线对称，是奇函数，则正确；对于选项，,的周期为，则正确；对于选项，若的图象关于直线对称，则，但是，即，这与假设条件矛盾，则选项错误；对于选项，将代入，得，将，代入，得，同理可知， 又的周期为，正奇数项的周期为，则正确.故选：ABD.练习31（2023贵州毕节统考模拟预测）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（）ABCD【答案】B【分析】根据给定的条件，探求函数的性质，再逐项分析判断作答.【详解】函数的定义域为，为偶函数，则，即，又为奇函数，则，即有，亦即，因此，即，由，得，则有，即函数是上的偶函数，又，从而是周期为6的周期函数，显然，而没有条件能求出，即CD错误；，没有条

24、件能求出，A错误；由，得，即，所以，B正确.故选：B练习32（2023河南校联考模拟预测）已知将函数的图像向左平移1个单位后关于轴对称，若，且，则（）A2BC1D【答案】B【分析】由题意得函数关于对称，即，结合，可得函数的周期为2，再根据，求出的值.【详解】因为将函数的图像向左平移1个单位后关于轴对称，所以函数关于对称，即，即；又因为，所以，即，所以，因为，所以，即，所以由，得，即，所以函数的周期为2，则，由，得.故选：B.练习33（2023春安徽合肥高三合肥市第八中学校考期中）若函数的定义域为，是偶函数，且则下列说法正确的个数为（）的一个周期为2；的一条对称轴为；A1B2C3D4【答案】C【

25、分析】根据给定条件，结合奇偶函数的定义，可得，由此推理计算即可判断各命题作答.【详解】对于：是偶函数，设，得，因，所以，故，故，即，故，所以，所以的一个周期为4，故错误.对于：由于，令，得.故正确.对于：由知函数的一条对称轴为，因为的一个周期为4，所以也是函数的一条对称轴，故正确.对于：因，得，即.因，所以，故正确故选：C.练习34（2023山东菏泽山东省东明县第一中学校联考模拟预测）（多选）已知函数的定义域为R，为奇函数，且对，恒成立，则（）A为奇函数BCD【答案】BCD【分析】根据函数定义换算可得为偶函数，根据偶函数和奇函数性质可知为周期函数，再根据函数周期性和函数特殊值即可得出选项.【详

26、解】因为为奇函数，所以，故又，所以，故，所以，为偶函数，A错误；为奇函数，所以，所以，B正确；，又的图象关于点对称，所以，所以，C正确；又，所以是以4为周期的函数，D正确故选：BCD练习35（2023重庆校联考模拟预测）（多选）已知上的偶函数在区间上单调递增，且恒有成立，则下列说法正确的是（）A在上是增函数B的图象关于点对称C函数在处取得最小值D函数没有最大值【答案】BC【分析】由得函数图象关于点对称，再结合偶函数性质得出函数的周期性，从而可得函数的单调性，然后可判断各选项【详解】因为又是偶函数，且在上单调递增，则在上单调递减，设是上任一点，它关于的对称点是，即也是函数图象上的点，函数的图象关于点中心对称，B正确；从而在上单调递减，A错误；由上推导知在上递减，由对称性知在上递增，又，即是周期函数，4是它的一个周期，从而在上递增，在上递减，因此是函数的最小值，是函数的最大值，C正确，D错误故选：BC