2022版新教材数学人教A版必修第一册学案：3-4 函数的应用（一） WORD版含答案.docx

1、3.4 函数的应用（一）课标解读课标要求素养要求了解函数模型（如一次函数、二次函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.数学建模会建立函数模型解决实际问题.自主检测必备知识名师点睛1.常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)=ax+b （a ，b 为常数，a0 ）二次函数模型f(x)=ax2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a0 ）分段函数模型fx=f1x,xD1f2x,xD2fnx,xDn2.解决函数应用问题的步骤利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：审题；建模；求模；还原.用框图表示为3.一次函数模型y=ax+b(a0) 的增长特点

2、是直线上升，增长速度不变.二次函数模型y=ax2+bx+c(a0) 的最值容易求出，常常用于解决最优、最省等最值问题.互动探究关键能力 探究点一 一次函数模型精讲精练例 某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本为25元，因为在生产过程中，平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计了两个污水处理方案，并准备实施.方案1：工厂污水净化后再排出，每处理1立方米污水所耗原料费为2元，并且每月排污设备损耗费为30000元；方案2：工厂污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元排污费.（1）若工厂每月生产3000件产品，在不污染环境,又节约资金的前提下，应选

3、择哪个污水处理方案？请通过计算加以说明；（2）当工厂每月生产6000件产品时，又该如何决策呢？答案：设工厂生产x 件产品时，依方案1得到的利润为y1 元，依方案2得到的利润为y2 元，则y1=(50-25)x-20.5x-30000=24x-30000 ，y2=(50-25)x-140.5x=18x .（1）当x=3000 时，y1=42000 ，y2=54000 .因为y1y2 ，所以应选择方案2处理污水.（2）当x=6000 时，y1=114000 ，y2=108000 .因为y1y2 ，所以应选择方案1处理污水.解题感悟 （1）应用一次函数模型时，本着“问什么，设什么，列什么”的原则求解

4、.（2）一次函数求最值问题，常转化为求解不等式ax+b0 （或0 ）的问题.解答时，注意系数a 的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值.迁移应用1.车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有3500辆次，其中电动车保管费是每辆一次0.5元，自行车保管费是每辆一次0.3元.（1）若设停放的自行车的辆次为x ，总的保管费收入为y 元，试写出y 关于x 的函数关系式；（2）若估计前来停放的3500辆次自行车和电动车中，电动车的辆次数不小于25% ，但不大于40% ，试求该车管站这个星期日收入保管费总数的范围.答案：（1）由题意得，y=0.3x+0.5(3500-x)=-0.2x+1750 （x

5、N* 且0x3500 ）.（2）若电动车的辆次数不小于25% ，但不大于40% ，则3500(1-40%)x3500(1-25%) ，即2100x2625 .由函数y=-0.2x+1750(2100x2625) 的图象（图略），可得函数y=-0.2x+1750(2100x2625) 的值域是1225,1330 ，即收入在1225元至1330元之间.探究点二 二次函数模型精讲精练例 一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别是40cm 与60cm ，现在将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，问怎样剪才能使剩下的残料最少，并求出此时残料的面积.答案：如图所示，根据题意，设直角三角形为A

6、BC ，AC=40cm ，BC=60cm ，矩形为CDEF ，CD=xcm ，CF=ycm ，则由RtAFERtEDB 得AFED=FEBD ，即40-yy=x60-x ，化简得y=40-23x .设剩下的残料面积为Scm2 ，则S=126040-xy=23x2-40x+1200=23(x-30)2+600(0x60) ，故当x=30 时，S 取得最小值，为600，此时y=20 ，所以当x=30 ，y=20 时，剩下的残料面积最小，最小为600cm2 .解题感悟利用二次函数求最值的方法及注意点（1）方法：根据实际问题建立函数模型后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从

7、而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题.（2）注意判断取得的最值对应的自变量与实际意义是否相符.迁移应用1.为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入资金200万元，搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入资金20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜.根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P 、种黄瓜的年收入Q 与各自的资金投入a1 ，a2 （单位：万元）满足P=80+42a1 ，Q=14a2+120 .设甲大棚的资金投入为x （单位：万元），每年两个大棚的总收入为f(x) （单位：万元）.（1）求f(50) 的值；（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的资金投入，才能使总

8、收入f(x) 最大.答案：（1）当甲大棚的资金投入为50万元时，乙大棚的资金投入为150万元，则由P=80+42a1 ，Q=14a2+120 ，可得f(50)=80+4250+14150+120=277.5 （万元）.（2）根据题意，可知总收入f(x)=80+42x+14(200-x)+120=14x+42x+250 ，由题意知x20,200-x20, 解得20x180 ，令t=x ，t25,65 ，则f(t)=-14t2+42t+250=-14(t-82)2+282 ，t25,65 .因为8225,65 ，所以当t=82 ，即x=128 时，总收入最大.所以当甲大棚投入资金为128万元，乙大

9、棚投入资金为72万元时，总收入最大.探究点三 分段函数模型精讲精练例 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/时）是关于车流密度x （单位：辆/千米）的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时.研究表明：当20x200 时，车流速度v 是关于车流密度x 的一次函数.（1）当0x200 时，求函数v(x) 的解析式；（2）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时）f(x)=xv(x) 可以达到最大？并求出最大值.

10、（精确到1辆/时）答案： （1）由题意，当0x20 时，v(x)=60 ；当20x200 时，设v(x)=ax+b ，则200a+b=0,20a+b=60, 解得a=-13,b=2003,所以v(x)=13(200-x) ，20x200 .故函数v(x) 的解析式为vx=60,0x20,13200-x,20x200.（2）依题意并结合（1）可得fx=60,0x20,13x200-x,20x200.当0x20 时，f(x) 为增函数，故当x=20 时，f(x) 在区间0,20 上取得最大值6020=1200；当20x200 时，f(x)=13x(200-x)=-13(x-100)2+100003

11、 ，当x=100 时，f(x) 在区间(20,200 上取得最大值100003 .1000031200 ，综上，当x=100 时，f(x) 在区间0,200 上取得最大值1000033333 .即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/时.解题感悟应用分段函数解决实际问题时的注意点（1）分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏.（2）分段函数的定义域为每一段自变量取值范围的并集.（3）分段函数的值域的求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论.1. （2021山东泰安高一期末）某企业开发生产了一种大型电子产品，生产这种产品的年固定成本为2500万元每生产x 百件

12、，需另投入成本c(x) （单位：万元），当年产量不足30百件时，c(x)=10x2+100x ；当年产量不小于30百件时，c(x)=501x+10000x-4500 ；若每件电子产品的售价为5万元，通过市场分析，该企业生产的电子产品能全部销售完（1）求年利润y （万元）关于年产量x （百件）的函数关系式；（2）年产量为几百件时，该企业在这一电子产品的生产中获利最大？答案：（1）当0x30 时，y=500x-10x2-100x-2500=-10x2+400x-2500 ；当x30 时，y=500x-501x-10000x+4500-2500=2000-(x+10000x) .y=-10x2+40

13、0x-2500,0x30,2000-x+10000x,x30.（2）当0x30 时，y=-10(x-20)2+1500 ， 当x=20 时，y 取得最大值1500；当x30 时，y=2000-(x+10000x)2000-2x10000x=2000-200=1800 .当且仅当x=10000x ，即x=100 时，y 取得最大值1800.18001500 ， 年产量为100百件时，该企业获得利润最大，最大利润为1800万元.评价检测素养提升1.在一定范围内，某种产品的购买量y （单位：吨）与单价x （单位：元）之间满足一次函数关系.若购买1000吨，则每吨800元，若购买2000吨，则每吨70

14、0元，那么一客户购买400吨，其价格为每吨( )A.820元B.840元C.860元D.880元答案：C2.一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽车以1米/秒2的加速度匀加速开走（路程=12 加速度的平方时间），那么( )A.人可在7秒内追上汽车B.人可在10秒内追上汽车C.人追不上汽车，其间距最少为5米D.人追不上汽车，其间距最少为7米答案：D3.某汽车在同一时间内的速度v(km/h) 与耗油量Q(L) 之间有近似的函数关系：Q=0.0025v2-0.175v+4.27 ，则车速为 km/h 时，汽车的耗油量最少.答案：35解析： 由题意得，Q=

15、0.0025v2-0.175v+4.27=0.0025(v2-70v)+4.27=0.0025(v-35)2-352+4.27=0.0025(v-35)2+1.2075 .所以当v=35km/h 时，汽车的耗油量最少.4.某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x （元）与产品的日销售量y （件）之间的关系如表所示：x/ 元130150160y/ 件705035如果日销售量y是关于销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得的利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？答案：设y=ax+b(a0) ，则130a+b=70,150a+b=50, 解得a=-1,b=200,y=200-x .当每件产品的销售价为x 元时，每件产品的销售利润为(x-120) 元，设每天的销售利润为S 元，则S=(200-x)(x-120)=-x2+320x-24000=-(x-160)2+1600，120x200 ， 当x=160 时，S 取得最大值1600.所以，要使每天所获得的利润最大，每件产品的销售价应定为160元，此时每天的销售利润为1600元.