专题4.11 直线与角章末八大题型总结（拔尖篇）（沪科版）（解析版）.docx

1、专题4.11 直线与角章末八大题型总结（拔尖篇）【沪科版】【题型1 线段中的动点问题】1【题型2 利用线段的条数解决实际问题】8【题型3 直线、射线、线段的规律探究】11【题型4 线段的和差的实际应用】15【题型5 三角板中角度探究】18【题型6 探究角度之间的关系】23【题型7 角度中的规律探究】31【题型8 动角旋转问题】35【题型1 线段中的动点问题】【例1】（2023下福建福州七年级统考开学考试）如图，已知OA+OB=20cm，点C、D分别为线段OA、OB上的动点，若点C从点O出发以1cm/s的速度沿OA方向运动，同时点D从点B出发以3cm/s的速度沿BO方向运动(1)如图1，当运动时

2、间为2s时，求AC+OD的值；(2)如图1，若在运动过程中，始终保持OD=3AC，求OA的长；(3)如图2，在（2）的条件下，延长BO到点M，使OM=OA，点P是直线OB上一点，且MP-BP=OP，求OPMB的值【答案】(1)AC+OD=12(2)OA=5cm(3)OPMB=1或12【分析】（1）先求出OC=12=2cm，BD=32=6cm，根据OA=20-OB，求出AC=OA-OC=20-OB-OC=20-OB-2=18-OB，OD=OB-BD=OB-6，最后求出结果即可；（2）设运动时间为t，则OC=t，BD=3t，求出OD=OB-3t，AC=OA-t，根据OD=3AC，得出OB-3t=3

3、OA-t，求出OB=3OA，再根据OA+OB=20cm求出结果即可；（3）当点P在O、B之间时，根据OA=5cm，得出MO=5cm，BO=15cm，求出BM=20cm，根据求出OP=MP-BP=MO+OP-BP=5+OP-BP，根据OP=OB-BP=15-BP，得出5+OP-BP=15-BP，求出OP=10cm，最后求出比值即可；当点P在点B右边时，可得OP=MB，进而可得结果【详解】（1）解：当运动时间为2s时，OC=12=2cm，BD=32=6cm，OA+OB=20cm，OA=20-OB，AC=OA-OC=20-OB-OC=20-OB-2=18-OB，OD=OB-BD=OB-6，AC+OD

4、=18-OB+OB-6=12cm；（2）解：设运动时间为t，则OC=t，BD=3t，OD=OB-3t，AC=OA-t，OD=3AC，OB-3t=3OA-t，OB=3OAOA+OB=20cm，OA+3OA=20cm，OA=5cm（3）解：OA=5cm，MO=5cm，BO=15cm，BM=20cm，MP-BP=OP，点P在点O右边，当点P在O、B之间时，OP=MP-BP=MO+OP-BP=5+OP-BP，OP=OB-BP=15-BP，5+OP-BP=15-BP，OP=10cm，OPMB=1020=12当点P在点B右边时，MP-BP=OP，MP-BP=MB，OP=MB，OPMB=1；综上，OPMB=

5、1或12【点睛】本题主要考查了线段的和差运算，解题的关键是数形结合，根据线段之间的数量关系求出结果【变式1-1】（2023上山西太原七年级校考期末）如图，直线上有A，B，C，D四个点，BC=2CD，AD=8CD，CD=4cm(1)线段AB=_cm(2)动点P，Q分别从A点，D点同时出发，点P沿线段AC以3cm/秒的速度，向右运动，到达点C后立即按原速向A点返回；点Q沿线段DA以1cm/秒的速度，向左运动；P点再次到达A点时，两点同时停止运动设运动时间为t（单位：秒）求P，Q两点第一次相遇时，运动时间t的值；求P，Q两点第二次相遇时，与点A的距离【答案】(1)20cm(2)8、20cm【分析】（

6、1）根据BC=2CD，AD=8CD，CD=4cm算出BC,AD，再根据AB=AD-BC-CD即可解答；（2）根据P，Q两点第一次相遇时，P，Q两点所走的路程之和是DA的长列方程即可求解；根据P，Q两点第二次相遇时，P点所走的路程与AC的差和Q所走的路程与CD的差相等列方程即可求解；【详解】（1）CD=4cm,BC=2CD,AD=8CDBC=24=8cm,AD=84=32cmAB=AD-BC-CD=32-8-4=20cm故线段AB的长为20cm（2）P，Q两点第一次相遇时根据题意可得：3t+t=32解得： t=8 秒故P，Q两点第一次相遇时，运动时间t的值是8秒；由（1）得 AC=AB+BC=2

7、8cm当P，Q两点第二次相遇时： 3t-28=t-4解得： t=12 秒 PC=312-AC=36-28=8 cm AP=28-8=20 cm故P，Q两点第二次相遇时，与点A的距离是20cm【点睛】本题考查了两点之间的距离，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是解答该题的关键【变式1-2】（2023上浙江衢州七年级校考期末）如图，点O为数轴的原点，A，B在数轴上按顺序从左到右依次排列，点B表示的数为7，AB=12.(1)直接写出数轴上点A表示的数.(2)动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒32个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动

8、.经过多少秒，点P是线段OQ的中点？在P、Q两点相遇之前，点M为PO的中点，点N在线段OQ上，且QN=23OQ.问：经过多少秒，在P、M、N三个点中其中一个点为以另外两个点为端点的线段的三等分点(把一条线段分成1:2的两条线段的点叫做这条线段的三等分点.)？【答案】(1)-5;(2)349秒;7433秒或10339秒或349秒或134或 112.【分析】（1）根据AB=12，点B表示的数是7，即可确定OA的长度，得到点A表示的数；（2）根据题意得到OP=PQ，列式计算即可；先求得MN、MP的长度，再分两种情况：当点P是线段MN的三等分点时，或当点N是线段MP的三等分点时，分别求出t的值.【详解

9、】(1)点A表示的数是-5；(2) 由题意得：OP=3t-5，OQ=7+32t，点P是线段OQ的中点，OP=12OQ,3t-5=12(7+32t),t=349,经过349秒，点P是线段OQ的中点；由知OP=3t-5,OQ=7+32t,点M为PO的中点，OM=MP= 12OP=32t-52,QN=23OQ,QN=23(7+32t)=32t+143,MN=OQ-OM-QN=196-t,分两种情况：i：如图1，当点P是线段MN的三等分点时，得MP=13MN 或MP=23MN,32t-52=13(296-t)或32t-52=23(296-t)，得t=7433或t=10339当P在O左侧时，MP=13P

10、N2-52+32t-5+3t=73+12t-52+32t得t=112ii：如图2，当点N是线段MP的三等分点时，得MN=13MP或MN=23MP,296-t=13(32t-52)或296-t=23(32t-52)，得t=349或t=134，综上，经过7433秒或10339秒或349秒或134h或 112秒时，在P、M、N三个点中其中一个点为以另外两个点为端点的线段的三等分点.【点睛】此题是一道有理数的动点问题,根据点在数轴上运动的规律,确定线段间的数量关系,从而求得t的值,注意中应分情况求值.【变式1-3】（2023上广东梅州七年级校考阶段练习）【新知理解】如图，点C在线段AB上，图中的三条线

11、段AB，AC和BC若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”(1)填空：线段的中点_这条线段的巧点；（填“是”或“不是”或“不确定是”）(2)【问题解决】如图，点A和B在数轴上表示的数分别是-20和40，点C是线段AB的巧点，求点C在数轴上表示的数(3)【应用拓展】在（2）的条件下，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB向点B匀速运动：动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿BA向点A匀速运动点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，两个点运动同时停止，设运动的时间为t秒，当t为何值时，A，P，Q三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？并求

12、出此时巧点在数轴上表示的数（直接写出答案）【答案】(1)是(2)10或0或20(3)t=12或607或454，“巧点”P表示的数为：-5或-8或-207；“巧点”Q表示的数为：-8或-807或-5【分析】（1）根据新定义，结合中点把原线段分成两短段，满足原线段是短线段的2倍关系，进行判断便可；（2）设C点表示的数为x，再根据新定义列出合适的方程便可；（3）先用t的代数式表示出线段AP，AQ，PQ，再根据新定义列出方程，得出合适的解便可【详解】（1）解：因原线段是中点分成的短线段的2倍，所以线段的中点是这条线段的巧点，故答案为：是；（2）解：设C点表示的数为x，则AC=x+20，BC=40-x，

13、AB=40+20=60，根据“巧点”的定义可知：当AB=2AC时，有60=2x+20，解得，x=10；当BC=2AC时，有40-x=2x+20，解得，x=0；当AC=2BC时，有x+20=240-x，解得，x=20综上，点C表示的数为10或0或20；（3）解：由题意得，AP=2t，AQ=60-4t，PQ=60-6t(0t10)6t-60(10t15)，i)若0t10时，点P为AQ的“巧点”，有当AQ=2AP时，60-4t=22t，解得，t=152，AP=15，点P表示的数为-20+15=-5当PQ=2AP时，60-6t=22t，解得，t=6；AP=12，点P表示的数为-20+12=-8当AP=

14、2PQ时，2t=2(60-6t)，解得，t=607；AP=1207，点P表示的数为-20+1207=-207综上，“巧点” P表示的数为：-5或-8或-207；ii)若10t15时，点Q为AP的“巧点”，有当AP=2AQ时，2t=2(60-4t)，解得，t=12；AQ=60-412=12，点Q表示的数为-20+12=-8，当PQ=2AQ时，6t-60=2(60-4t)，解得，t=907；AQ=607，点Q表示的数为-20+607=-807，当AQ=2PQ时，60-4t=2(6t-60)，解得，t=454AQ=15，点Q表示的数为-20+15=-5，综上，“巧点” Q表示的数为：-8或-807或

15、-5故，“巧点” P表示的数为：-5或-8或-207；“巧点” Q表示的数为：-8或-807或-5【点睛】本题是新定义题，是数轴的综合题，主要考查了数轴上的点与数的关系，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，关键是根据新定义列出方程是现在的考试新动向，主要训练学生自学能力，运用新知识的能力【题型2 利用线段的条数解决实际问题】【例2】（2023上河南许昌七年级许昌市第一中学校联考期末）2022年9月8日，随着列车从郑州港区段鸣笛出发，郑许市域铁路开始空载试运行，未来“双城生活模式”指日可待图中展示了郑许市域铁路的其中五个站点，若要满足乘客在这五个站点之间的往返需求，铁路公司需要准备 种不同的

16、车票【答案】20【分析】先求得单程的车票数，在求出往返的车票数即可【详解】解：5个点中线段的总条数是452=10（种），任何两站之间，往返两种车票，应印制102=20（种），故答案为：20【点睛】此题考查了数线段，解决本题的关键是掌握“直线上有n个点，则线段的数量有nn-12条”【变式2-1】（2023上山东聊城七年级统考期中）如图，点B，C，D在线段AE上（1）图中共有几条线段？说说你分析这个问题的具体思路（2）你能用上面的思路来解决“8位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制（即每两位同学之间都要进行一场比赛），那么一共要进行多少场比赛”这个问题吗？【答案】（1）10，思路见解析；（

17、2）28【分析】(1)从左向右依次固定一个端点A，B，C，D找出线段，最后求和即可；(2) 设线段上有m个点，该线段上共有线段x条，根据数线段的特点列出式子化简即可，把8位同学看作直线上的8个点即可得出结果【详解】解：(1) 共有10条线段， 以点A为左端点向右的线段有：线段AB、AC、AD、AE，以点B为左端点向右的线段有线段BC、BD、BE，以点C为左端点向右的线段有线段CD、CE，以点D为左端点的线段有线段DE，共有10条线段；(2) 设线段上有m个点，该线段上共有线段x条，则x=m-1+m-2+m-3+3+2+1， 倒序排列有x=1+2+3+m-3+m-2+m-1，两式相加得2x=m+

18、m+m=mm-1，x=mm-12 把8位同学看作直线上的8个点，每两位同学之间的一场比赛看作为一条线段，直线上8个点所构成的线段条数就等于比赛的场数，因此一共要进行88-12=28场比赛【点睛】本题考查的是线段的计数问题，主要是数线段的技巧和方法，解本题的关键是找出规律，此类题目容易数重或遗漏，要特别注意【变式2-2】（2023上内蒙古巴彦淖尔七年级校考期末）3个篮球队进行单循环比赛,总的比赛场次是多少?4个球队呢?5个球队呢?【答案】见解析【详解】试题分析：用直线上的点代表球队，进行单循环比赛可用线段来表示，3个篮球队比赛的总场次可以看作直线上三个点所得线段的条数，4个篮球队比赛的总场次可以

19、看作直线上4个点所得线段的条数，5个篮球队比赛的总场次可以看作直线上5个点所得线段的条数，画出图形，即可得结论.试题解析：用直线上的点代表球队,进行单循环比赛可用线段来表示.3个球队共比赛用线段AB,BC,AC表示,共有3场;4个球队比赛用线段AB,AC,AD,BC,BD,CD表示,共有6场;5个球队比赛用线段AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE表示,共有10场.【变式2-3】（2023上江西吉安七年级校考阶段练习）观察图形，并回答下列问题：(1)图中共有几条线段？说明你分析这个问题的具体思路；(2)请你用上面的思路来解决“十五个同学聚会每个人都与其他人握一次手，共握了多

20、少次”这个问题；(3)十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片呢，共送了几张？【答案】(1)10条，见解析；(2)共握了105次；(3)共送了210张【分析】（1）根据线段的概念，分别得到以A、B、C、D为端点，且不重复的线段，相加即可得到答案；（2）将人演化成点，根据（1）结论，即可得到答案；（3）十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片，即每个人都送了14次，据此即可得到答案【详解】（1）解：图中共有10条线段，分析思路如下：以A为端点的线段有：AB、AC、AD、AE，共4条；以B为端点，且与前面不重复的线段有：BC、BD、BE，共3条；以C为端点，且与前面不重复的线段有：CD、CE，

21、共2条；以D为端点，且与前面不重复的线段有：DE，共1条；答：图中共有4+3+2+1=10条线段；（2）解：将人演化成点，根据（1）结论可知，握手的次数为：14+13+12+3+2+1=105，答：十五个同学聚会每个人都与其他人握一次手，共握了105次；（3）解：十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片，即每个人都送了14次，1514=210，答：十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片呢，共送了210张【点睛】本题考查了线段的计数，线段计数时注意分类讨论，做到不遗漏，不重复，理解（3）互送的区别【题型3 直线、射线、线段的规律探究】【例3】（2023上湖北武汉七年级校考阶段练习）如图，点

22、M在线段AN的延长线上，且线段MN=20，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点M1，N1；第二次操作：分别取线段AM1和AN1的中点M2,N2；第三次操作：分别取线段AM2和AN2的中点M3,N3；连续这样操作10次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和M1N1+M2N2+M10N10=()A20-1029B20+1029C20-10210D20+10210【答案】A【分析】根据MN=20，M1、N1分别为AM、AN的中点，求出M1N1的长度，再由M1N1的长度求出M2N2的长度，找到MnNn的规律即可求出M1N1+M2N2+M10N10的值.【详解】解：MN=20，M1、N1分别为AM、A

23、N的中点，M1N1=AM1-AN1=12AM-12AN=12AM-AN=1220=10，M2、N2分别为AM1、AN1的中点，M2N2=AM2-AN2=12AM1-12AN1=12AM1-AN1=1210=5，根据规律得到MnNn=202n，M1N1+M2N2+M10N10=202+2022+20210=2012+122+1210=20-1029，故选A.【点睛】本题是对线段规律性问题的考查，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，相对较难.【变式3-1】（2023上重庆江津七年级统考期末）如图，图中有1条线段，图中有3条不同线段，图中有6条不同线段，按此规律下去，图中有（）条不同的线段A21B

24、22C24D28【答案】D【分析】有3个图可知，图1有2个点，图2 比图1增加一个点，增加了2条线段；图3比图2增加一个点，增加3条线段，得规律为：每增加一个点，就增加前一个图中点的个数条线段，故图7有1+2+3+4+5+6+7=28条线段【详解】解：图1有2个点，1条线段；图2有2+1=3个点，1+2=3条线段；图3有3+1=4个点，1+2+3=6条线段；图7有7+1=8个点，1+2+3+4+5+6+7=28条线段，故选：D【点睛】本题考查的是图形的变化类，解题的关键是找到每增加一个点，就增加前一个图中点的个数条线段，这一规律【变式3-2】（2023河北唐山校联考一模）如图，平面内有公共端点

25、的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7.(1)“17”在射线_上.(2)请写出OA，OB，OD三条射线上数字的排列规律.(3)“2019”在哪条射线上？【答案】(1)OE；(2)见解析；(3)“2019”在射线OC上.【分析】（1）根据数字排列规律，依次数下去就可以得到）“17”在射线 OE上；（2）因为正整数按照6个数字一循环，依次排列，因此，出现在每一条射线上的数字都可以看做一个等差数列，根据等差数列通项公式an=a1+（n-1）d即可写出（3）因为正整数按照6个数字一循环，依次排列，所以将2019除以6，如果

26、能被整除，则落在射线OF上，如果有余数，则依次落在OA至OE上【详解】解：(1) 根据已知总结排列如下：射线OA：1 7 13 19 射线OB：2 8 14 20 射线OC：3 9 15 21 射线OD：4 10 16 22 射线OE：5 11 17 23 射线OF：6 12 18 24 故“17”在射线 OE上 (2) 根据已知总结排列如下：射线OA：1 7 13 19 数字排列规律：6n-5 （n为正整数）射线OB：2 8 14 20 数字排列规律：6n-4 （n为正整数） 射线OC：3 9 15 21 数字排列规律：6n-3 （n为正整数） 射线OD：4 10 16 22 数字排列规律：

27、6n-2 （n为正整数） (3) 射线OE：5 11 17 23 数字排列规律：6n-1 （n为正整数） 射线OF：6 12 18 24 数字排列规律：6n （n为正整数）在六条射线上的数字规律中，只有6n-3=2019有整数解，解为n=337“2019”在射线OC上.【点睛】本题考查数字的排列规律，考查了学生要从数字的排列中找到规律，然后写出规律即可求出相应值此外掌握等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d对解决此类问题有很大帮助【变式3-3】观察图形找出规律，并解答问题 (1)5条直线相交，最多有_个交点，平面最多被分成_块；(2)n条直线相交，最多有_个交点，平面最多被分成_块【答案】

28、(1)10,16;(2)nn-12,1nn+12【分析】（1）根据每两条直线就有一个交点，可以列举出所有情况后再求解；（2）根据列举的数值得出规律，再根据规律解题【详解】如图，（1）任意画2条直线，它们最多有1个交点；（2）任意画3条直线，它们最多有3个交点；（3）任意画4条直线（只画交点个数最多的情况），最多有6个交点；（4）5条直线最多有10个交点；n条直线最多有12n（n-1）个交点一条直线可以把平面分成两部分，两条直线最多可以把平面分成4部分，三条直线最多可以把平面分成7部分，四条直线最多可以把平面分成11部分，可以发现，两条直线时多了2部分，三条直线比原来多了3部分，四条直线时比原来

29、多了4部分，n条时比原来多了n部分因为n=1，a1=1+1，n=2，a2=a1+2，n=3，a3=a2+3，n=4，a4=a3+4，n=n，an=an-1+n，以上式子相加整理得，an=1+1+2+3+n=1+nn+12当n=5时，1+nn+12=16【点睛】本题考查了直线射线和线段，要知道从一般到具体的探究方法，并找到规律【题型4 线段的和差的实际应用】【例4】（2023上河南周口七年级校考阶段练习）如图1是一种壁挂式折叠凳完全开启时，与完全闭合时的状态，图2是完全开启状态的侧面结构示意图，外框宽AB与CD相等，具体数据如图2所示，则外框宽为（）A3cmB4cmC5cmD6cm【答案】A【分

30、析】根据图2给出的信息进行计算即可【详解】解： 由题意可知，折叠凳的内层长为37cm，即BC=37cm，又AB=CD，AB=AD-BC2=43-372=3cm，外框宽为3cm，故选：A【点睛】本题考查了线段和与差的应用，弄清图中线段之间的关系是解题的关键【变式4-1】（2023上山东菏泽七年级统考期末）某摄制组从A市到B市有一天的路程，由于堵车中午才赶到一个小镇（D），只行驶了原计划的三分之一（原计划行驶到C地），过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息（休息处E），司机说：再走从C地到这里路程的二分之一就到达目的地了，问：A，B两市相距多少千米【答案】A，B两市相距600千米【分析】根

31、据题意可知DE的距离且可以得到AD=12DC，EB=12CE，AD+EB=12(DC+CE)=12DE，由AB=AD+EB+DE=12DE+DE计算即可得出结果【详解】如图，由题意可知，DE=400千米，AD=12DC，EB=12CE， AD+EB=12(DC+CE)=12DE=12400=200（千米） AB=AD+EB+DE=200+400=600（千米）答：A，B两市相距600千米【点睛】本题考查了求解线段长度在实际生活中的应用，能够找出线段之间的等量关系是解题关键【变式4-2】（2023上浙江温州七年级统考期末）如图1，一款暗插销由外壳AB，开关CD，锁芯DE三部分组成，其工作原理如图

32、2，开关CD绕固定点O转动，由连接点D带动锁芯DE移动.图3为插销开启状态，此时连接点D在线段AB上，如D1位置.开关CD绕点O顺时针旋转180后得到C2D2，锁芯弹回至D2E2位置（点B与点E2重合），此时插销闭合如图4.已知CD=74mm，AD2-AC1=50mm，则BE1= mm.【答案】24【分析】结合图形得出当点D在O的右侧时，即D1位置时，B与点E的距离为BE1，当点D在O的左侧时，即D2位置时，B与点E重合，即E2位置，得出BE1=OD1+OD2=2OD2，再由图形中线段间的关系得出D=OC1+OD2=OD2+50+OD2=74mm，即可求解【详解】解：由图3得，当点D在O的右侧

33、时，即D1位置时，B与点E的距离为BE1，由图4得，当点D在O的左侧时，即D2位置时，B与点E重合，即E2位置，BE1=OD1+OD2=2OD2，AD2-AC1=50mm，AO-OD2-AO-OC1=50mm，OC1-OD2=50mm，OC1=OD2+50，CD=OC+OD=OC1+OD1，CD=OC1+OD2=OD2+50+OD2=74mm，2OD2=24mm，BE1=24mm，故答案为：24【点睛】题目主要考查线段间的数量关系，理解题意，结合图形求解是解题关键【变式4-3】（2023上江苏扬州七年级校考期末）如图1，线段OP表示一条拉直的细线，A、B两点在线段OP上，且OA：AP1：2，O

34、B：BP2：7若先固定A点，将OA折向AP，使得OA重叠在AP上；如图2，再从图2的B点及与B点重叠处一起剪开，使得细线分成三段，则此三段细线由小到大的长度比是（ ）A1:1:2B2:2:5C2:3:4D2:3:5【答案】B【分析】根据题意设OB的长度为2a,则BP的长度为7a，OP的长度为9a，从而根据比值可以得到图一中各线段的长，根据题意可以求出折叠后，再剪开各线段的长度，从而可以求得三段细线由小到大的长度比，本题得以解决【详解】解：设OB的长度为2a，则BP的长度为7a，OP的长度为9a，OA：AP1：2，OA3a，AP6a，又先固定A点，将OA折向AP，使得OA重叠在AP上，如图2，再

35、从图2 的B点及与B点重迭处一起剪开，使得细线分成三段，这三段从小到大的长度分别是：2a、2a、5a，此三段细线由小到大的长度比为：2a：2a：5a2：2：5，故选：B【点睛】本题考查比较线段的长短，解题的关键是理解题意，求出各线段的长度【题型5 三角板中角度探究】【例5】（2023上福建福州七年级统考期末）已知AOB在AOB内部画射线OC，得到三个角，分别为AOC,BOC,AOB若这三个角中有一个角是另外一个角的两倍，则称射线OC为AOB二倍角线(1)一个角的平分线 这个角的“二倍角线”（填“是”或“不是”）；(2)如图，若AOB=90,BOCAOC,OC为AOB的二倍角线，求AOC的度数；

36、(3)如图，将一块三角板AOB的直角顶点O放在直线MN上，且三角板AOB绕着点O转动，若OC是AOB的二倍角线，OB是CON的二倍角线，请直接写出BON的度数【答案】(1)是(2)60(3)15或30或60或22.5或45或90或120【分析】（1）根据“二倍角线”的定义，即可求解；（2）根据“二倍角线”的定义，可得AOC=2BOC，即可求解；（3）分9种情况结合“二倍角线”的定义，即可求解【详解】（1）解：一个角的平分线是这个角的“二倍角线”；故答案为：是（2）解：依题意得：AOC=2BOC， AOC+BOC=AOB=90，AOC=60；（3）解：当AOC=BOC,BON=BOC时，BON=

37、AOC=12AOB=45；当AOC=BOC,BON=2BOC时，BON=2AOC=AOB=90；当AOC=BOC,2BON=BOC时，BON=12AOC=14AOB=22.5；当AOC=2BOC,BON=BOC时，BON=BOC=23AOB=60；当2AOC=BOC,BON=BOC时，BON=BOC=13AOB=30；当AOC=2BOC,BON=2BOC时，BON=AOC=23AOB=60；当AOC=2BOC,2BON=BOC时，BON=14AOC=16AOB=15；当2AOC=BOC,2BON=BOC时，BON=AOC=13AOB=30；当2AOC=BOC,BON=2BOC时，BON=4AO

38、C=43AOB=120；终上所述，BON的度数为15或30或60或22.5或45或90或120【点睛】本题主要考查了有关角平分线的计算，理解新定义是解题的关键【变式5-1】（2023上福建福州七年级校考期末）将一副三角板如图1放置于桌面，其中30、45角共顶点，CM平分BCE，CN平分BCD当三角板DEC从图1中位置绕着点C逆时针旋转到图2中的位置时，MCN是（）A变大B不变C变小D无法确定【答案】B【分析】根据图形以及角平分线的定义，在图1和图2的情况下，表示出MCN，做比较即可作答【详解】如图，如图1，CM平分BCE，CN平分BCD，BCM=12BCE，BCN=12BCD，MCN=BCM+

39、BCN=12BCE+12BCD=12DCE，根据题意可知：DCE=30，MCN=12DCE=15；如图2，CM平分BCE，CN平分BCD，BCM=12BCE，BCN=12BCD，MCN=BCN-BCM=12BCD-12BCE=12DCE，根据题意可知：DCE=30，MCN=12DCE=15；即可知MCN大小不变，故选：B【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，掌握角平分线的定义是解答本题的关键【变式5-2】（2023下黑龙江齐齐哈尔七年级克东县第三中学校考开学考试）如图OB是AOC内部的一条射线，把三角板60角的顶点放到O处，转动三角板，当三角板的OD边平分AOB时，三角板的另一边OE也恰好平分

40、BOC：(1)求AOC的度数(2)射线OB一定平分EOD吗？若OB平分EOD，求COB和AOB度数【答案】(1)120(2)射线OB不一定平分EOD，COB的度数为60，AOB的度数为60【分析】（1）根据角平分线的定义可得AOB=2BOD，BOC=2BOE，然后根据角的和差关系进行计算即可解答；（2）根据EOB和BOD不一定相等，从而可得射线OB不一定平分EOD，然后利用角平分线的定义可得BOD=BOE=12EOD=30，再利用（1）的结论进行计算即可解答【详解】（1）OD边平分AOB，OE平分BOC，AOB=2BOD，BOC=2BOE，EOD=60，AOC=AOB+BOC=2BOD+2BO

41、E=2BOD+BOE=2EOD=120，AOC的度数为120；（2）射线OB不一定平分EOD，OB平分EOD，BOD=BOE=12EOD=30，由（1）可得：AOB=2BOD=60，BOC=2BOE=60，COB的度数为60，AOB的度数为60【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义，熟练掌握双角平分线模型是解题的关键【变式5-3】（2023上江苏泰州七年级校考期末）如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，将一直角三角板AOB(其中OAB=30)的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方，将直角三角板绕着点O按每秒10的速度逆时针旋转一周，

42、设旋转时间为t秒(1)当直角三角板旋转到如图2的位置时，OB恰好平分COE，此时，AOC与AOD之间数量关系为_；(2)若射线OC的位置固定不变，且COE=130在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OB，OC，OD中的某一条射线是另外两条射线夹角的平分线？若存在，请求出所有满足题意t的值，若不存在，请说明理由；如图3，在旋转的过程中，边AB与射线OE相交(i)求AOC-BOE的值(ii)若2AOE+13BOD=AOD-15COD，求BOE的度数【答案】(1)AOC=AOD(2)存在，t=29.5、1、22；(i)40；(ii) BOE=48【分析】(1)由AOB=90知BOC+AOC=9

43、0、AOD+BOE=90，可得AOD=AOC；(2)当OB平分COD时BOD=BOC=、当OC平分BOD时BOC=COD、当OD平分BOC时BOD=COD，分别列出关于t的方程，解之可得；(i)根据角的和差即可得到结论；(ii)根据已知条件建立方程，解方程即可求解【详解】（1）解：AOD=AOC理由如下：AOB=90，BOC+AOC=90，AOD+BOE=90， OB恰好平分COEBOC=BOE，AOD=AOC，故答案为：AOD=AOC，（2）存在 理由：COE=130，COD=180-130=50，当OB平分COD时，BOD=BOC= 12 COD，即10t+90-25=360，解得t=29

44、.5；当OC平分BOD时，BOC=COD，即10t+90=250，解得t=1；当OD平分BOC时，BOD=COD，即360-10t=50+90，解得：t=22；综上所述，t的值为29.5、1、22；(i)AOC=COE-AOE=130-AOE，BOE=90-AOE，AOC-BOE=130-AOE-90-AOE=40，AOC-BOE的值为40(ii)COE=130设BOE=，则AOE=90-，BOD=180-，AOD=180-AOE=180-90-=90+，COD=180-COE=50，2AOE+13BOD=AOD-15COD，290-+13180-=90+-1550，解得：=48，即BOE=4

45、8【点睛】本题主要考查角平分线的定义、余角的性质及角的计算，一元一次方程的应用，根据题意全面考虑所有可能以分类讨论是解题的关键【题型6 探究角度之间的关系】【例6】（2023上北京海淀七年级北理工附中校考期末）对于同一平面内的AOB及内部的射线OC，给出如下定义：若组成的3个角：AOB，AOC和BOC中，一个角的度数是另一个角度数的两倍时，则称射线OC是AOB的“牛线”（1）图1中，OC平分AOB，则射线OC_AOB的一条“牛线”（填“是”或“不是”）（2）当射线OC是AOB的“牛线”时，直接写出所有满足条件的AOB与BOC的关系（3）已知：如图2，在平面内，AOB=60，若射线OC绕点O从射

46、线OB的位置开始，以每秒5的速度逆时针方向旋转同时射线OA绕点O以每秒1的速度逆时针方向旋转，当射线OC与射线OA碰撞后，射线OA的速度发生变化，以每秒5的速度继续旋转，此时的射线OC则以每秒1的速度继续旋转，当射线OA与射线OB的反向延长线重合时，所有旋转皆停止，若旋转的时间记为t秒，当射线OC是AOB的“牛线”时，直接写出所有满足条件的t的值【答案】（1）是；（2）AOB=2BOC，AOB=3BOC，AOB=32BOC；（3）203或307或12013或1807【分析】（1）由角平分线的性质得AOB=2AOC，根据“牛线”的定义可以证明射线OC是AOB的一条牛线；（2）分情况讨论，AOB=2BOC，AOC=2BOC，BOC=2AOC，分别求出AOB与BOC的关系；（3）分情况讨论，在OC与OA重合前，设BOC=5t，BOA=60+t，由（2）中的关系式列方程求解，在OC和OA重合后，设重合后旋转的时间是t2，则BOC=75+t2，AOB=75+5t2，同上列方程求解即可【详解】解：（1）是，OC平分AOB，AOB=2AOC，射线OC是AOB的一条牛线；（2）射线OC是AOB的一条牛线，