专题7.1 不等式的性质(解析版).docx

1、7.1 不等式的性质思维导图知识点总结1.两个实数比较大小的方法(1)作差法(2)作商法2.不等式的性质性质1若ab，则bb，bc，则ac.性质3若ab，则acbc.性质4若ab，c0，则acbc；若ab，c0，则acb，cd，则acbd.性质6若ab0，cd0，则acbd.性质7若ab0，则anbn(nN*).常用结论1.证明不等式的常用方法有：作差法、作商法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.有关分式的性质(1)若ab0，m0，则(bm0).(2)若ab0，则ab.典型例题分析考向一 比较数(式)的大小例1 (1)若a0，b0，则p与qab的大小关系为()A.pq B.pq C.pq D

2、.pq答案B解析pqab(b2a2)，因为a0，b0，所以ab0，ab0.若ab，则pq0，故pq；若ab，则pq0，故pq.综上，pq.(2)ee与ee的大小关系为_.答案eeee解析，又01，0e1，所以1，即1，即eeee.感悟提升比较大小的常用方法(1)作差法：作差；变形；定号；得出结论.(2)作商法：作商；变形；判断商与1的大小关系；得出结论.考向二 构造法比较大小例2 (1)若a，b0，)，A，B，则A，B的大小关系是()A.AB B.AB C.AB D.AB答案B解析由题意得B2A220，又A0，B0，所以AB.(2)若a，b，c，则()A.abc B.cbaC.cab D.ba

3、c答案B解析法一易知a，b，c都是正数，log8164b；log6251 0241，所以bc.即cb0，得0xe；由f(x)e.f(x)在(0，e)上为增函数，在(e，)上为减函数.f(3)f(4)f(5)，即abc.论考向三 不等式的基本性质例3 (1)(多选)(2023张家口一模)若ab，则下列不等式中正确的有()A.ab0 B.2a2bC.acbc D.a2b2答案AB解析对于A，因为ab，所以ab0，故A正确；对于B，因为ab，且指数函数y2x在R上单调递增，所以2a2b，故B正确；对于C，若c0，则acbc，故C错误；对于D，当a1，b2时，a2b2，故D错误.(2)(多选)(202

4、3泰州调研)若ab0c，则()A. B.C.acbc D.ac2答案ABD解析对于A，因为ab0，所以，因为c0，所以，正确；对于B，因为ab0c，所以ba0，ac0，所以，正确；对于C，因为c0，所以yxc单调递减，又ab，所以acbc，错误；对于D，aca(c)22，正确.感悟提升解决此类题目常用的三种方法：(1)直接利用不等式的性质逐个验证，要特别注意前提条件；(2)利用特殊值排除法；(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数、对数、幂函数等函数的单调性进行判断.考向四 不等式性质的综合应用例4 (1)已知1x4，2y3，则xy的取值范围是_，3x2y的取

5、值范围是_.答案(4，2)(1，18)解析因为1x4，2y3，所以3y2，所以4xy2.由33x12，42y6，得13x2y18.(2)已知a(3，2)，b(2，4)，则的取值范围是_.答案解析a(3，2)，故，又2b4，2，则2.迁移 在本例(1)中，把条件改为“1xy4，2xy3，求3x2y的取值范围.解设3x2y(xy)(xy)，即3x2y()x()y，于是解得3x2y(xy)(xy).1xy4，2xy3，(xy)2，5(xy)，(xy)(xy)b，则下列不等式一定成立的是（）AB-a-bCD【答案】C【分析】根据给定条件，利用不等式性质判断B，C；举例说明判断A，D作答.【详解】非零实

6、数a，b满足ab，对于A，取，满足ab，而，A不一定成立；对于B，因ab，则-ab，则，C成立；对于D，取，满足ab，而，D不一定成立.故选：C2若实数满足，则下列选项正确的是（）ABCD【答案】C【解析】代入特殊值可判断A、B、D是否正确，结合幂函数的单调性即可判断C选项，进而可选出正确答案.【详解】取满足，则，则A、B、D错误；因为函数在定义域上单调递增，因为，所以，即，故选:C【点睛】本题考查了不等式性质，考查了幂函数的性质，属于基础题.3已知，且，则下列结论中正确的是（）ABCD【答案】A【分析】根据不等式的性质判断A；举反例即可判断B，C，D.【详解】由，且，可得，A正确；取，满足条

7、件，但，B错误；取，满足条件，但，C，D错误；故选：A4已知，则下列不等式一定成立的是（）ABCD【答案】C【分析】根据题意得到无法确定，也可能为0，结合不等式的性质，即可求解.【详解】因为，可得无法确定，也可能为0，对于A中，例如，此时不等式不成立，所以A不符合题意；对于B中，当时，不等式不成立，所以B不符合题意；对于C中，由，可得不等式一定成立，所以C符合题意；对于D中，由，即，所以D不成立.故选：C.5若，则下列各式一定成立的是（）ABCD【答案】D【分析】运用不等式的可加性，可判断A；由反比例函数的单调性，可判断D；由 ，可判断C；由二次函数的单调性可判断B【详解】对于A，若，则，故A

8、项错误；对于D，函数在上单调递减，若，则，故D项正确；对于C，当时，即不等式不成立，故C项错误；对于B，函数在上单调递减，若，则，故B项错误，故选D【点睛】本题考查不等式的性质和运用，考查函数的单调性和反例法，考查推理、判断能力，属于基础题6下列命题中正确的是（）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】A【分析】对于选项，由不等式性质得该选项正确；对于选项，符号不能确定，所以该选项错误；通过举反例说明选项和选项错误.【详解】对于选项，若，所以，则，所以该选项正确；对于选项，符号不能确定，所以该选项错误；对于选项，设，所以，所以该选项错误；对于选项，设，所以该选项错误；故选：A【点睛】本题主要考

9、查不等式的性质，考查实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、多选题7下列说法正确的是（）A若ab，cd，则a-cb-dB若，则abC若，则D若，则【答案】BC【分析】取特殊值排除AD，利用不等式性质判断BC正确，得到答案.【详解】取，则，A错误；，故，则，B正确；，故，故，C正确；取，不成立，D错误.故选：BC.【点睛】本题考查了不等式性质，意在考查学生的推断能力，取特殊值排除是解题的关键.8已知，则下列不等式恒成立的是（）ABCD【答案】AC【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，作差法以及特殊值法，即可求解.【详解】对于，因为，所以，则，故选项成立；对于，作差：，由已知可

10、知：，当的符号不确定，故与的大小关系不确定，故选项错误；对于，作差： ，因为，所以，则，即，故选项正确；对于，当，时，满足，但，故选项错误；综上：不等式恒成立的是，故选：.三、填空题9已知，其中均为正数，则的大小关系为_.【答案】【分析】利用作差法即可比较大小.【详解】由，且均为正数，则，即，所以.故答案为：【点睛】本题考查了作差法比较两式的大小，考查了基本运算能力，属于基础题.10已知，则的取值范围是_【答案】【分析】结合不等式的性质即可求出结果.【详解】因为，所以，且，因此，故答案为：.11已知请比较下面两式大小:_【答案】【分析】运用做差法因式分解即可得出大小关系.【详解】解：因为所以，

11、所以故答案为：.【点睛】本题考查作差法、因式分解方法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.12请根据“糖水加糖变得更甜了”提炼出一个不等式：_（设糖水为a克，含糖为b克，加入的糖为m克）【答案】【分析】克糖水中有克糖，若再添克糖，浓度发生了变化，只要分别计算出添糖前后的浓度进行比较即得【详解】克糖水中有克糖，糖水的浓度为：；克糖水中有克糖，若再添克糖，则糖水的浓度为，又糖水变甜了，说明浓度变大了，.故答案为：，四、解答题13已知，求证.【答案】见解析【解析】利用作差法证明不等式即可.【详解】证明：，.【点睛】本题主要考查了利用作差法证明不等式，属于基础题.14比较下列各组中的两

12、个实数或代数式的大小:（1）2x23与x2，xR；（2）a2与，aR，且a1.【答案】（1）2x23x2；（2）当a1时，a2； 当a1时，a2【分析】（1）对代数式作差，配方后判断结果的正负即可比较大小；（2）对代数式作差，通分后结合对二次三项式配方，即可容易判断.【详解】（1）因为()-()=20，所以.（2）(a2).由于a2a1=0，所以当a1时，0，即a2;当a1时，0，即a2.故当a1时，a2； 当a1时，a2【点睛】本题考查利用作差法比较大小，属基础题.15已知，（）证明：；（）证明：【答案】（）见解析；（）见解析【分析】（）由不等式的性质得出，将不等式平方得出，并在不等式左边加

13、上，右边加上，化简后可得出所证不等式；（）在所证不等式两边同时除以，将所证不等式转化为，利用指数函数的单调性证明出和，于此可证明所证不等式【详解】（）由abcd0得adbc0，即(ad)2(bc)2，由adbc得(ad)24ad(bc)24bc，即(ad)2(bc)2，故adbc（）.因为，所以，故.同理，.从而.即【点睛】本题考查不等式的证明，常用方法有不等式的性质以及比较法，以及函数单调性等一些基本方法，证明时应该根据不等式的结果选择合适的方法来进行证明，考查分析问题的能力，属于中等题16（1）比较和的大小；（2）已知，求的取值范围【答案】（1） ；（2） 【分析】（1）利用作差法比较大小；（2）直接利用不等式的性质求出的取值范围.【详解】（1）因为，所以（2）因为，所以因为，所以，故