专题8三角形（真题15模拟28）-备战2023年中考数学历年真题 1年模拟新题分项详解（重庆专用）【解析版】.docx

1、备战2023年中考数学历年真题+1年模拟新题分项详解（重庆专用）专题8三角形（真题15模拟28）历年中考真题一选择题（共3小题）1（2021重庆）如图，点B，F，C，E共线，BE，BFEC，添加一个条件，不能判断ABCDEF的是（）AABDEBADCACDFDACFD【分析】根据全等三角形的判定方法，可以判断添加各个选项中的条件是否能够判断ABCDEF，本题得以解决【解答】解：BFEC，BF+FCEC+FC，BCEF，又BE，当添加条件ABDE时，ABCDEF（SAS），故选项A不符合题意；当添加条件AD时，ABCDEF（AAS），故选项B不符合题意；当添加条件ACDF时，无法判断ABCDEF

2、，故选项C符合题意；当添加条件ACFD时，则ACBDFE，故ABCDEF（ASA），故选项D不符合题意；故选：C2（2021重庆）如图，在ABC和DCB中，ACBDBC，添加一个条件，不能证明ABC和DCB全等的是（）AABCDCBBABDCCACDBDAD【分析】根据证明三角形全等的条件AAS，SAS，ASA，SSS逐一验证选项即可【解答】解：在ABC和DCB中，ACBDBC，BCBC，A：当ABCDCB时，ABCDCB（ASA），故A能证明；B：当ABDC时，不能证明两三角形全等，故B不能证明；C：当ACDB时，ABCDCB（SAS），故C能证明；D：当AD时，ABCDCB（AAS），故D

3、能证明；故选：B3（2013重庆）如图，在ABC中，A45，B30，CDAB，垂足为D，CD1，则AB的长为（）A2BCD【分析】在RtACD中求出AD，在RtCDB中求出BD，继而可得出AB【解答】解：在RtACD中，A45，CD1，则ADCD1，在RtCDB中，B30，CD1，则BD，故ABAD+BD+1故选：D二填空题（共3小题）4（2015重庆）如图，AC是矩形ABCD的对角线，AB2，BC2，点E，F分别是线段AB，AD上的点，连接CE，CF当BCEACF，且CECF时，AE+AF【分析】过点F作FGAC于点G，证明BCEGCF，得到CGCB2，根据勾股定理得AC4，所以AG42，在

4、RtAFG中，解直角三角形即可解决问题；【解答】解：过点F作FGAC于点G，如图所示，在BCE和GCF中，BCEGCF（AAS），CGBC2，tanACB，ACB30，AC2AB4AG42，ADBC，FAGACB30，BEFG2，AF2FG4，AEABBE4，AE+AF故答案为：5（2014重庆）如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE2CE，过点C作CFBE，垂足为F，连接OF，则OF的长为【分析】在BE上截取BGCF，连接OG，证明OBGOCF，则OGOF，BOGCOF，得出等腰直角三角形GOF，在RtBCE中，根据射影定理求得GF的长，即可求得O

5、F的长【解答】解：如图，在BE上截取BGCF，连接OG，RtBCE中，CFBE，EBCECF，OBCOCD45，OBGOCF，在OBG与OCF中OBGOCF（SAS）OGOF，BOGCOF，OGOF，在RtBCE中，BCDC6，DE2EC，EC2，BE2，BC2BFBE，则62BF，解得：BF，EFBEBF，CF2BFEF，CF，GFBFBGBFCF，在等腰直角OGF中OF2GF2，OF解法二：证明OBFEBD，利用相似三角形的性质求解故答案为：6（2014重庆）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是AB边上一点，G是AD延长线上一点，BEDG，连接EG，CFEG交EG于点H，交AD于点F，

6、连接CE，BH若BH8，则FG5【分析】如解答图，连接CG，首先证明CGDCEB，得到GCE是等腰直角三角形；过点H作AB、BC的垂线，垂足分别为点M、N，进而证明HEMHCN，得到四边形MBNH为正方形，由此求出CH、HN、CN的长度；最后利用相似三角形RtHCNRtGFH，求出FG的长度【解答】解：如图所示，连接CG在CGD与CEB中CGDCEB（SAS），CGCE，GCDECB，GCE90，即GCE是等腰直角三角形又CHGE，CHEHGH过点H作AB、BC的垂线，垂足分别为点M、N，则MHN90，又EHC90，12，HEMHCN在HEM与HCN中，HEMHCN（ASA）HMHN，四边形M

7、BNH为正方形BH8，BNHN4，CNBCBN642在RtHCN中，由勾股定理得：CH2GHCH2HMAG，13，23又HNCGHF90，RtHCNRtGFH，即，FG5故答案为：5三解答题（共13小题）7（2019重庆）如图，在ABC中，ABAC，ADBC于点D（1）若C42，求BAD的度数；（2）若点E在边AB上，EFAC交AD的延长线于点F求证：AEFE【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到BADCAD，根据三角形的内角和即可得到BADCAD904248；（2）根据等腰三角形的性质得到BADCAD根据平行线的性质得到FCAD，等量代换得到BADF，于是得到结论【解答】解：（1）ABAC，

8、ADBC于点D，BADCAD，ADC90，又C42，BADCAD904248；（2）ABAC，ADBC于点D，BADCAD，EFAC，FCAD，BADF，AEFE8（2019重庆）如图，在ABC中，ABAC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分ABC交AC于点E，过点E作EFBC交AB于点F（1）若C36，求BAD的度数；（2）求证：FBFE【分析】（1）利用等腰三角形的三线合一的性质证明ADB90，再利用等腰三角形的性质求出ABC即可解决问题（2）只要证明FBEFEB即可解决问题【解答】（1）解：ABAC，CABC，C36，ABC36，BDCD，ABAC，ADBC，ADB90，BAD903

9、654（2）证明：BE平分ABC，ABECBEABC，EFBC，FEBCBE，FBEFEB，FBFE9（2017重庆）如图，ABC中，ACB90，ACBC，点E是AC上一点，连接BE（1）如图1，若AB4，BE5，求AE的长；（2）如图2，点D是线段BE延长线上一点，过点A作AFBD于点F，连接CD、CF，当AFDF时，求证：DCBC【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到ACBCAB4，根据勾股定理得到CE3，于是得到结论；（2）根据等腰直角三角形的性质得到CAB45，由于AFBACB90，推出A，F，C，B四点共圆，根据圆周角定理得到CFBCAB45，求得DFCAFC135，根据全等三角

10、形的性质即可得到结论【解答】解：（1）ACB90，ACBC，ACBCAB4，BE5，CE3，AE431；（2）ACB90，ACBC，CAB45，AFBD，AFBACB90，A，F，C，B四点共圆，CFBCAB45，DFCAFC135，在ACF与DCF中，ACFDCF，CDAC，ACBC，DCBC补充方法（不用四点共圆）：延长AF到T，使得ATBF可得ACTBCF，推出ACTBCF，推出FCTACB90，FCT是等腰直角三角形，推出AFCCFD135，证明ACFDCF，可得CDCACB10（2017重庆）在ABM中，ABM45，AMBM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC（1）如图1，若

11、AB3，BC5，求AC的长；（2）如图2，点D是线段AM上一点，MDMC，点E是ABC外一点，ECAC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：BDFCEF【分析】（1）先由AMBMABcos453可得CM2，再由勾股定理可得AC的长；（2）延长EF到点G，使得FGEF，证BMDAMC得ACBD，再证BFGCFE可得BGCE，GE，从而得BDBGCE，即可得BDGGE【解答】解：（1）ABM45，AMBM，AMBMABcos4533，则CMBCBM532，AC；（2）延长EF到点G，使得FGEF，连接BG由DMMC，BMDAMC，BMAM，BMDAMC（SAS），ACBD，又

12、CEAC，因此BDCE，由BFFC，BFGEFC，FGFE，BFGCFE，故BGCE，GE，所以BDCEBG，因此BDGGE11（2016重庆）在ABC中，B45，C30，点D是BC上一点，连接AD，过点A作AGAD，在AG上取点F，连接DF延长DA至E，使AEAF，连接EG，DG，且GEDF（1）若AB2，求BC的长；（2）如图1，当点G在AC上时，求证：BDCG；（3）如图2，当点G在AC的垂直平分线上时，直接写出的值【分析】（1）如图1中，过点A作AHBC于H，分别在RTABH，RTAHC中求出BH、HC即可（2）如图1中，过点A作APAB交BC于P，连接PG，由ABDAPG推出BDPG

13、，再利用30度角性质即可解决问题（3）如图2中，作AHBC于H，AC的垂直平分线交AC于P，交BC于M则APPC，作DKAB于K，设BKDKa，则AKa，AD2a，只要证明BAD30即可解决问题【解答】解：（1）如图1中，过点A作AHBC于HAHBAHC90，在RTAHB中，AB2，B45，BHABcosB22，AHABsinB2，在RTAHC中，C30，AC2AH4，CHACcosC2，BCBH+CH2+2（2）证明：如图1中，过点A作APAB交BC于P，连接PG，AGAD，DAFEAC90，在DAF和GAE中，DAFGAE，ADAG，BAP90DAG，BADPAG，BAPB45，ABAP，

14、在ABD和APG中，ABDAPG，BDPG，BAPG45，GPBGPC90，C30，PGGC，BDCG（3）如图2中，作AHBC于H，AC的垂直平分线交AC于P，交BC于M则APPC，在RTAHC中，ACH30，AC2AH，AHAP，在RTAHD和RTAPG中，AHDAPG，DAHGAP，GMAC，PAPC，MAMC，MACMCAMAH30，DAMGAM45，DAHGAP15，BADBAHDAH30，作DKAB于K，设BKDKa，则AKa，AD2a，AGCGAD，12（2016重庆）已知ABC是等腰直角三角形，BAC90，CDBC，DECE，DECE，连接AE，点M是AE的中点（1）如图1，若

15、点D在BC边上，连接CM，当AB4时，求CM的长；（2）如图2，若点D在ABC的内部，连接BD，点N是BD中点，连接MN，NE，求证：MNAE；（3）如图3，将图2中的CDE绕点C逆时针旋转，使BCD30，连接BD，点N是BD中点，连接MN，探索的值并直接写出结果【分析】（1）先证明ACE是直角三角形，根据CMAE，求出AE即可解决问题（2）如图2中，如图2中，延长EN至F使NFNE，连接AF、BF，先证明DNEBNF，再证明ABFACE，推出FABEAC，可得FAEFAB+BAEBAE+EAC90，由此即可解决问题（3）如图3中，延长DM到G使得MGMD，连接AG、BG，延长AG、EC交于点

16、F，先证明ABGCAE，得到BGAE，设BC2a，在RTAEF中求出AE，根据中位线定理MNBGAE，由此即可解决问题【解答】解：（1）ABC是等腰直角三角形，ABAC4，BAC90，BACD45，BC4，DCBC2，EDEC，DEC90，DEEC2，DCEEDC45，ACE90，在RTACE中，AE2，AMME，CMAE（2）如图2中，延长EN至F使NFNE，连接AF、BF在DNE和BNF中，DNEBNF，BFDEEC，FBNEDN，ACBDCE45，ACE90DCB，ABFFBNABNBDEABN180DBCDGBABN180DBCDCBCDEABN180（DBC+ABN）DCB45180

17、4545DCB90DCBACE，在ABF和ACE中，ABFACEFABEAC，FAEFAB+BAEBAE+EAC90，N为FE中点，M为AE中点，AFNM，MNAE（3）如图3中，延长DM到G使得MGMD，连接AG、BG，延长AG、EC交于点FAMGEMD，AGDEEC，GAMDEM，AGDE，FDEC90，FAC+ACF90，BCD+ACF90，BCD30，CAF30，BAGBAC+CAF120，BAGACE120，在ABG和CAE中，ABGCAE，BGAE，BNND，DMMG，BGAE2MN，FACBCD30，设BC2a，则CDa，DEECa，ACa，CFa，AFa，EFa，AEa，MNa

18、，13（2016重庆）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CEDF，ECBD，ACFD求证：AEFB【分析】根据CEDF，可得ACED，再利用SAS证明ACEFDB，得出对应边相等即可【解答】证明：CEDF，ACED，在ACE和FDB中，ACEFDB（SAS），AEFB14（2016重庆）如图，在ABC和CED中，ABCD，ABCE，ACCD求证：BE【分析】根据两直线平行，内错角相等可得BACECD，再利用“边角边”证明ABC和CED全等，然后根据全等三角形对应角相等证明即可【解答】证明：ABCD，BACECD，在ABC和CED中，ABCCED（SAS），BE15（2015重庆）如图1，在

19、ABC中，ACB90，BAC60，点E是BAC角平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DHAC，垂足为H，连接EF，HF（1）如图1，若点H是AC的中点，AC2，求AB，BD的长；（2）如图1，求证：HFEF；（3）如图2，连接CF，CE猜想：CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，说明理由【分析】（1）根据直角三角形的性质和三角函数即可得到结果；（2）如图1，连接AF，证出DAEADH，DHFAEF，即可得到结果；（3）如图2，取AB的中点M，连接CM，FM，在RtADE中，AD2AE，根据三角形的中位线的性质得到AD2FM，

20、于是得到FMAE，由CAECAB30CMFAMFAMC30，证得ACEMCF，问题即可得证【解答】解：（1）ACB90，BAC60，ABC30，AB2AC224，ADAB，CAB60，DAC30，AHAC，AD2，BD2；（2）如图1，连接AF，AE是BAC角平分线，HAE30，ADEDAH30，在DAE与ADH中，DAEADH，DHAE，点F是BD的中点，DFAF，EAFEABFAB30FABFDHFDAHDAFDA60（90FBA）6030FBA，EAFFDH，在DHF与AEF中，DHFAEF，HFEF；（3）如图2，取AB的中点M，连接CM，FM，F、M分别是BD、AB的中点，FMAD，

21、即FMAB在RtADE中，AD2AE，DFBF，AMBM，AD2FM，FMAE，ABC30，ACCMABAM，CAECAB30CMFAMFAMC30，在ACE与MCF中，ACEMCF，CECF，ACEMCF，ACM60，ECF60，CEF是等边三角形16（2015重庆）如图，在ABD和FEC中，点B，C，D，E在同一直线上，且ABFE，BCDE，BE求证：ADBFCE【分析】根据等式的性质得出BDCE，再利用SAS得出：ABD与FEC全等，进而得出ADBFCE【解答】证明：BCDE，BC+CDDE+CD，即BDCE，在ABD与FEC中，ABDFEC（SAS），ADBFCE17（2015重庆）如

22、图，ABC和EFD分别在线段AE的两侧，点C，D在线段AE上，ACDE，ABEF，ABEF求证：BCFD【分析】根据已知条件得出ACBDEF，即可得出BCDF【解答】证明：ABEF，AE，在ABC和EFD中ABCEFD（SAS）BCFD18（2014重庆）如图，ABC中，BAC90，ABAC，ADBC，垂足是D，AE平分BAD，交BC于点E在ABC外有一点F，使FAAE，FCBC（1）求证：BECF；（2）在AB上取一点M，使BM2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME求证：MEBC；DEDN【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质求出BACB45，再求出ACF45，从而得到BACF，根据同角的

23、余角相等求出BAECAF，然后利用“角边角”证明ABE和ACF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）过点E作EHAB于H，求出BEH是等腰直角三角形，然后求出HEBH，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DEHE，然后求出HEHM，从而得到HEM是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求解即可；求出CAECEA67.5，根据等角对等边可得ACCE，再利用“HL”证明RtACM和RtECM全等，根据全等三角形对应角相等可得ACMECM22.5，从而求出DAEECM，根据等腰直角三角形的性质可得ADCD，再利用“角边角”证明ADE和CDN全等，根据全等三角形对应边相等证明即可【解

24、答】证明：（1）BAC90，ABAC，BACB45，FCBC，BCF90，ACF904545，BACF，BAC90，FAAE，BAE+CAE90，CAF+CAE90，BAECAF，在ABE和ACF中，ABEACF（ASA），BECF；（2）如图，过点E作EHAB于H，则BEH是等腰直角三角形，HEBH，BEH45，AE平分BAD，ADBC，DEHE，DEBHHE，BM2DE，HEHM，HEM是等腰直角三角形，MEH45，BEM45+4590，MEBC；由题意得，CAE45+4567.5，CEA1804567.567.5，CAECEA67.5，ACCE，在RtACM和RtECM中，RtACMRt

25、ECM（HL），ACMECM4522.5，又DAE4522.5，DAEECM，BAC90，ABAC，ADBC，ADCDBC，在ADE和CDN中，ADECDN（ASA），DEDN19（2014重庆）如图，在ABC中，ACB90，ACBC，E为AC边的中点，过点A作ADAB交BE的延长线于点D，CG平分ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且ACFCBG求证：（1）AFCG；（2）CF2DE【分析】（1）要证AFCG，只需证明AFCCBG即可（2）延长CG交AB于H，则CHAB，H平分AB，继而证得CHAD，得出DGBG和ADE与CGE全等，从而证得CF2DE【解答】证明：（1）ACB9

26、0，CG平分ACB，ACGBCG45，又ACB90，ACBC，CAFCBF45，CAFBCG，在AFC与CGB中，AFCCBG（ASA），AFCG；（2）延长CG交AB于H，CG平分ACB，ACBC，CHAB，CH平分AB，ADAB，ADCG，DEGC，在ADE与CGE中，ADECGE（AAS），DEGE，即DG2DE，ADCG，CH平分AB，DGBG，AFCCBG，CFBG，CF2DE一年模拟新题一选择题（共10小题）1（2022永川区模拟）如图，在ABC和BAD中，ACBD，要使ABCBAD，则需要添加的条件是（）ABADABCBBACABDCDACCBDDCD【分析】根据全等三角形的判定

27、方法对各选项进行判断【解答】解：ACBD，ABBA当添加BACABD时，可根据“SAS”判定ABCBAD故选：B2（2022渝中区模拟）如图，点F，B，E，C在同一条直线上，ABCDEF，若A36，F24，则DEC的度数为（）A50B60C65D120【分析】根据全等三角形的对应角相等求出D，然后利用三角形外角的性质即可得解【解答】解：ABCDEF，A36，DA36，F24，DECD+F36+2460故选：B3（2022南岸区校级模拟）如图，点B、E、C、F四点共线，BDEF，BECF，添加一个条件，不能判定ABCDEF的是（）AADBABDECACDFDACDF【分析】求出BCEF，根据AC

28、DF推出FACB，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可【解答】解：BECF，BE+ECCF+EC，即BCEF，AAD，BDEF，BECF，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出ABCDEF，故本选项不符合题意；BABDE，BDEF，BECF，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出ABCDEF，故本选项不符合题意；CACDF，ACBF，BDEF，BECF，ACBF，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出ABCDEF，故本选项不符合题意；DACDF，BECF，BDEF，不符合全等三角形的判定定理，不能推出ABCDEF，故本选项符合题意；故选：D4（2022重庆模拟）勾股定理是人类早期发现并证明的

29、重要数学定理之一，是数形结合的重要纽带数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理：以直角三角形ABC的三条边为边长向外作正方形ACHI，正方形ABED，正方形BCGF，连接BI，CD，过点C作CJDE于点J，交AB于点K设正方形ACHI的面积为S1，正方形BCGF的面积为S2，长方形AKJD的面积为S3，长方形KJEB的面积为S4，下列结论：BICD；2SACDS1；S1+S4S2+S3；+其中正确的结论有（）A1个B2个C3个D4个【分析】根据SAS证ABIADC即可得证正确，过点B作BMIA，交IA的延长线于点M，根据边的关系得出SABIS1，即可得出正确，过点C作CNDA交DA的延长线于点N，

30、证S1S3即可得证正确，利用勾股定理可得出S1+S2S3+S4，即能判断不正确【解答】解：四边形ACHI和四边形ABED都是正方形，AIAC，ABAD，IACBAD90，IAC+CABBAD+CAB，即IABCAD，在ABI和ADC中，ABIADC（SAS），BICD，故正确；过点B作BMIA，交IA的延长线于点M，BMA90，四边形ACHI是正方形，AIAC，IAC90，S1AC2，CAM90，又ACB90，ACBCAMBMA90，四边形AMBC是矩形，BMAC，SABIAIBMAIACAC2S1，由知ABIADC，SACDSABIS1，即2SACDS1，故正确；过点C作CNDA交DA的延长

31、线于点N，CNA90，四边形AKJD是矩形，KADAKJ90，S3ADAK，NAKAKC90，CNANAKAKC90，四边形AKCN是矩形，CNAK，SACDADCNADAKS3，即2SACDS3，由知2SACDS1，S1S3，在RtACB中，AB2BC2+AC2，S3+S4S1+S2，又S1S3，S1+S4S2+S3，即正确；在RtACB中，BC2+AC2AB2，S3+S4S1+S2，故错误；综上，共有3个正确的结论，故选：C5（2022梁山县一模）如图，在ABC中，C90，AD是BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的O经过点D若BD5，DC3，则AC的长为（）A6BC2D8【分析】

32、过点D作DEAB，根据角平分线的性质可知CDDE3，由勾股定理得到BE的长，再通过证明BDEBAC，根据相似三角形的性质得出AC的长【解答】解：过点D作DEAB，AD是BAC的平分线，CDDE3在RtBDE中，BED90，由勾股定理得：BE4，BEDC90，BB，BDEBAC即AC6，故选：A6（2021北碚区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，点M为线段AB的中点点C、D分别在x轴、y轴的负半轴上，且ABCD4在第三象限内作以CD为腰的等腰直角三角形CDN，则线段MN的最大值为（）A8B2+2C24D4+2【分析】取CD的中点E，连接OM，OE，NE，利用

33、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得OMOE2，由勾股定理得NE2，再利用两点之间，线段最短，可得答案【解答】解：取CD的中点E，连接OM，OE，NE，AOB90，点M为AB的中点，OMAB2，同理，OE2，在RtECN中，由勾股定理得，NE2，MNNE+OE+OM，MN的最大值为：2+2+22+4，故选：D7（2021沙坪坝区模拟）如图，在矩形ABCD中，EF垂直平分AC，交BC于点E，连接DE，将DEC沿直线DE翻折得到DEM，EM与AD相交于点N若AB3，BC3，则点A到直线EM的距离为（）ABCD【分析】由题意首先求出ACE30，AC6，由EF垂直平分AC，EF，再证DNEN，在Rt

34、MND中，利用勾股定理列方程求出MN的长，再根据ANHDNM求出AH的长即可【解答】解：如图，过A作AHEM，连接AE，EF垂直平分AC，AECE，EACACE，ADBC，DACACE，AB3，BC3，tanACE，ACE30，ABACsin30，AC6，CFAF3，EFCFtan30，CEEM，由翻折知，DCEDME，DECDEM，ADBC，ADEDEC，ADEDEM，NDNE，设MNa，DNNE2，解得a，ANHDNM，故选：A8（2021铜梁区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，RtOAB的边OA在x轴上，OAB的两条中线OC与AD交于点M，反比例函数y（x0）的图象经过点M若OA6，t

35、anAOC，则k的值为（）AB7CD8【分析】过M点作MHOA于H，如图，先确定M点为OAB的重心，则OM2MC，再利用平行线分线段成比例定理得到OH4，接着利用正切的定义计算出MH，所以M（4，），然后利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k，从而得到反比例函数解析式【解答】解：过M点作MHOA于H，如图，OAB的两条中线OC与AD交于点M，M点为OAB的重心，OM2MC，MHAC，2，OHOA64，在RtOMH中，tanMOH，MH4，M（4，），反比例函数y（x0）的图象经过点M，k4故选：A9（2021沙坪坝区模拟）下列长度的线段中，与长度为3，5的两条线段能组成三角形的是（）A2B7C

36、9D11【分析】利用三角形三边关系判断即可，两边之和第三边两边之差【解答】解：两边的长度为3，5，2第三边8能与3，5能组成三角形的是7，故选：B10（2021大渡口区模拟）如图，在ABC中，C90，点D在斜边AB上，且ADCD，则下列结论中错误的结论是（）ADCBBBBCBDCADBDDACDBDC【分析】根据同角的余角相等判断A；根据题意判断B；根据等腰三角形的性质判断C；根据三角形的外角性质判断D【解答】解：C90，A+B90，ACD+BCD90，ADCD，AACD，BBCD，A选项结论正确，不符合题意；BC与BD不一定相等，B选项结论错误，符合题意；BBCD，BDCD，ADCD，ADB

37、D，C选项结论正确，不符合题意；AACD，BDCA+ACD2ACD，ACDBDC，D选项结论正确，不符合题意；故选：B二填空题（共5小题）11（2022沙坪坝区模拟）清代数学家梅文鼎在勾股举隅一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形ABCD的方法证明了勾股定理（如图）连结CE，若CE5，BE4，则正方形ABCD的边长为 【分析】根据全等三角形的性质得到CFBE4，根据勾股定理求出EF，求出BF，进而得出AE，根据勾股定理计算，得到答案【解答】解：如图所示：由四个全等的直角三角形可得，BECF4，AEBF，由勾股定理得，EF，BFBEEF431，由勾股定理得，AB，故答案为：12（2022大渡口

38、区模拟）如图，将ABC沿BC边上的中线AD平移到ABC的位置，已知ABC的面积为18，阴影部分三角形的面积为2若AD2，则AA等于 4【分析】由SABC18、SAEF2且AD为BC边的中线知SADESAEF1，SABDSABC9，根据DAEDAB知（）2，据此求解可得【解答】解：SABC18、SAEF2，且AD为BC边的中线，SADESAEF1，SABDSABC9，将ABC沿BC边上的中线AD平移得到ABC，AEAB，DAEDAB，则（）2，即（）2，解得AD6（负值舍去），AAADAD624，故答案为：413（2021江津区模拟）直角三角形的两边分别是6和8，则第三边等于10或2【分析】分两

39、种情况：当6和8为两条直角边长时，由勾股定理求出斜边长即可；当8为斜边长时，由勾股定理求出第三边的长即可【解答】解：分两种情况：当6和8为两条直角边长时，第三边长斜边长10；当8为斜边长时，第三边的长2；综上所述：第三边的长为10或2；故答案为：10或214（2021江津区模拟）如图，在RtABC中，ACB90，ACBC，以BC为直径作半圆，交AB于点D，则阴影部分的面积是2【分析】连接CD，根据圆周角定理得到CDAB，再判断出ACB是等腰直角三角形，得到CDBD，根据三角形的面积公式即可得到结论【解答】解：连接CD，BC是半圆的直径，CDAB，在RtABC中，ACB90，ACBC2，ACB是

40、等腰直角三角形，CDAD2，弓形AD的面积等于弓形BD的面积，阴影部分的面积222，故答案为：215（2021沙坪坝区校级模拟）如图，在ABC中，B90，AC的垂直平分线交BC于点E、交AC于点D，若BEDE，DC3，则AE的长为2【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EAEC，根据角平分线的判定定理得到EACBAE，得到EACCBAE30，根据余弦的定义计算，得到答案【解答】解：DE是线段AC的垂直平分线，EAEC，EACC，BEDE，B90，EDAC，EACBAE，EACCBAE30，在RtCED中，EC2，AE2，故答案为：2三解答题（共15小题）16（2022大足区模拟）在ABC中，点D

41、在边BC上，连接AD（1）如图1，已知ABAC点D为BC中点，CEAD于点E若AD7，CE4，求AE的长度；（2）如图2，当B45，ACAD时，过点C作CEAD交AD于点E，交AB于点F，连接DF，求证：DC（3）如图3，当B45，AC12，点D是边BC中点时，过点D作DNAC交AC于点N，当线段DN取最大值时，请直接写出AD2的值【分析】（1）如图1，过点B作BFAD于F，证明BFDCED（AAS），得DFDE，BFCE4，设DEa，则DFa，AE7a，根据等角的正切列等式可得a的值，从而得结论；（2）如图2，过点A作AHBC于H，过点F作FGBC于G，证明BFG是等腰直角三角形，则FGBF

42、，再证明CGFAHD（AAS），可得FGDH，从而得结论；（3）如图3，作ABC的外接圆O，连接OA，OC，OD，根据圆周角定理可得AOC90，得半径OAOC6，由垂径定理得ODC90，则点D在以OC为直径的圆I上运动，当DN过圆心I时，DN的值最大，计算DN的长，最后由勾股定理可得AD2的值【解答】解：（1）如图1，过点B作BFAD于F，D为BC的中点，BDCD，FCED90，BDFCDE，BFDCED（AAS），DFDE，BFCE4，设DEa，则DFa，AE7a，ABAC，BAF+CAE90，CAE+ACE90，ACEBAF，tanACEtanBAF，即，a1或1（舍），AE7a716；（

43、2）如图2，过点A作AHBC于H，过点F作FGBC于G，ACAD，DHCH，B45，BFG是等腰直角三角形，FGBF，CFAD，AEC90，AECAHC90，AOECOH，EAOFCG，AFCB+BCF45+BCF，BACBAH+CAH45+CAH，AFCBAC，ACCFAD，AHDCGF90，CGFAHD（AAS），FGDH，CDBF，CDBF；（3）如图3，作ABC的外接圆O，连接OA，OC，OD，B45，AOC90，OAOC，AC12，OAOC6，D是BC的中点，ODBC，ODC90，点D在以OC为直径的圆I上运动，当DN过圆心I时，DN的值最大，OC6，OIICID3，NCI45，CN

44、I是等腰直角三角形，NICN3，DN的最大值3+3，AN1239，由勾股定理得：AD2AN2+DN292+（3+3）2108+1817（2022两江新区模拟）已知ABC中，ABAC，点D是BC延长线上的一点，E是AB上一点，连接DE交AC于点G，使得AED2ADC（1）如图1，若DEAB，ADG30，CD3，求线段AD的长（2）如图2，过点C作CFAB交DE于点F，在EG上取一点N，使得GNGC，连接AN，求证：AEDF（3）如图3，若点D是平面内任意一点，且满足ADC45，AC6，直接写出ACD面积的最大值【分析】（1）作CHAD于H，设BAC，分别表示出CAD，ACB和ABC，在ABC中根

45、据三角形内角和求得，进而解斜三角形ACD求得结果；（2）在AG上截取GHGF，连接NH，EH，设ABCACB，ADC，则AED2，通过角之间的关系推出AGDG，进而证明DGCAGN，进一步证明CGFNGH，从而得出AHDF，通过角之间关系得出ANHANE和AENNHG，从而得出点A、E、N、H四点共圆，从而得出AHEANE，AEHANH，进而AEHAHE，进一步得出结论；（3）根据“定弦对定角”得出点D的运动轨迹，进一步求得结果【解答】（1）解：如图1，作CHAD于H，设BAC，在RtADE中，DAE90ADE60，CADBADBAC60，ACE90，AED2ADC，ADC45，ACDADC+

46、CAD45+（60）105，ABAC，ABCACB105，在ABC中，ABC+ACB+BAC180，2（105）+180，30，CAD30，在RtCDH中，CHDHCDsinADC3sin4533，在RtACH中，AH3，ADDH+AH3+3；（2）证明：如图2，在AG上截取GHGF，连接NH，EH，设ABCACB，ADC，则AED2，AEDABC+BDE，2+BDE，BED2，ADEADCBED（2），ACBADC+DAC，+DAC，DAC，ADEDAC，AGDG，DGCAGN，CGGN，DGCAGN（SAS），AGDG，DCGANG，同理可得：CGFNGH（SAS），GHFG，FCGHNG

47、，DCGFCGANGHNG，即：ANHDCF，CFAB，FCDABC，CFGAEN，ANHABC，ACB180DCFFCG，ANE180ANHHNG，ANEACB，ANHANE，CFGAEN（已证），NHGCFG（已证），AENNHG，点A、E、N、H四点共圆，AHEANE，AEHANH，AEHAHE，AEAH，AGDG，GHFG，DFAH，AEDF；（3）解：如图，以AC为斜边作等腰直角三角形AOC，以点O为圆心，OA为半径作圆O，作OEAC于E，延长EO交O于D则点D在优弧ADC上运动，当点D运动到点D时，ACD的面积最大，在RtAOC中，OAAC3，OEAC3，EDOE+OD3+3，SA

48、CD最大9+918（2022重庆模拟）在ABC中，点D在边AB上，AECD于F交BC于E，AECD，ACD2BAE（1）如图1，若ACE为等边三角形，CD2，求AB的长；（2）如图2，作EGAB，求证：ADBE；（3）如图3，作EGAB，当点D与点G重合时，连接BF，请直接写出的值【分析】（1）过点A作AMBC于M，由锐角三角函数定义得AM，再证AMB是等腰直角三角形，即可得出结论；（2）过点C作CHAB于H，设BAE，则ACD2，证BGE是等腰直角三角形，得BEEG，再证ACHEAG（AAS），得AHEG，进而得出结论；（3）过点C作CHAB于H，过点F作FNAB于N，由三角形中位线定理得B

49、ECEa，再证EFDEDA，得EFa，然后证AFNAED，得FNDEa，ANADa，进而由勾股定理得BFa，即可得出结论【解答】（1）解：ACE为等边三角形，AECD，BCDACDACB6030，ACD2BAE，BAE15，过点A作AMBC于M，如图1所示：则EAM6030，AMsin60AEAECD2，BAMBAE+EAM15+3045，AMB是等腰直角三角形，ABAM；（2）证明：过点C作CHAB于H，如图2所示：设BAE，则ACD2，AECD，CAE90ACD902，BACCAE+BAE902+90，CHAB，ACH90BAC9090+，ACHDCH，ACCDAE，AHAD，AEC（18

50、0CAE）（18090+2）45+，AECB+BAE，45+B+，B45，BGE是等腰直角三角形，BEEG，在ACH和EAG中，ACHEAG（AAS），AHEG，BEAHAD，ADBE；（3）解：过点C作CHAB于H，过点F作FNAB于N，如图3所示：则DEFNCH，设BDa，由（2）得：DEa，AD2a，AHDHa，BEa，BDDH，DE是BCH的中位线，BECEa，在RtADE中，由勾股定理得：AEa，CDAE，DEAB，EFDEDA90，FEDDEA，EFDEDA，即，EFa，AFAEEFaaa，FNDE，AFNAED，FNDEa，ANADa，DNADAN2aaa，BNBD+DNa+aa

51、，在RtBNF中，由勾股定理得：BFa，19（2022秀山县模拟）如图，ABC中，BAC90，ABAC4BDE中，BDE90，DBDE（1）图1中，点D是AC上一点，若AD1，求BE的长；（2）图2中，点D是AC上一点，点M是BE的中点，求证：BDCM；（3）图3中，点N是AB的中点，点D是平面内一个动点，若AD1，当CNE的度数最大时，NE的长是多少？【分析】（1）利用勾股定理求解即可；（2）如图2中，连接CE，证明ABDCBE，推出ABCE90，由点M是BE的中点，推出CMBE，可得结论；（3）判断出点E在以C为圆心，为半径的圆上运动，当NE与C相切时，CNE最大【解答】（1）解：如图1中

52、，A90，AB4，AD1，BD，BDBE，BDE90，BEBD；（2）证明：如图2中，连接CE，ABC和BDE是等腰直角三角形，ABCDBE45，ABDCBE，ABDCBE，ABCE90，点M是BE的中点，CMBE，BEBD，CMBD，BDCM（3）如图2，由（2）得，ABDCBE，CEAD，点E在以C为圆心，为半径的圆上运动，当NE与C相切时，CNE最大，此时，CEN90，在RtACN中，CN2AC2+AN242+2220，在RtCNE中，NE320（2022南川区模拟）如图，在RtABC中，ABBC，ABC90，点P是RtABC斜边AC上一动点（不与A，C重合），连接BP，分别过点A、C作

53、直线BP的垂线，垂足分别为点E、F，Q是AC的中点，连接QF（1）如图，当点P在线段AC上，且APAC时，若BF5，CF9，求EF的长；（2）在（1）的条件下，求证：EFQF；（3）如图，连接BQ，当点P在线段CA的延长线上时，若QF2，请直接写出四边形AEBQ的面积【分析】（1）由“AAS”可证ABEBCF，可得CFBE9，即可求解；（2）由“ASA”可证EQQK，CKAE，由等腰直角三角形的性质可得结论；（3）由全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质，可证S四边形AEBQS四边形BQCFS正方形FNQH，即可求解【解答】（1）解：AEBE，BFBE，AEBBFC90，ABE+CBE90AB

54、E+BAE，BAECBE，又ABBC，AEBBFC90，ABEBCF（AAS），CFBE9，AEBF，EFBEBF954；（2）证明：如图，连接EQ，并延长交CF于K，点Q是AC的中点，AQCQ，AEBE，BFBE，AECF，EAQKCQ，又AQECQK，AQCQ，AQECQK（ASA），EQQK，CKAE，AEBFCK，EFFK，又EFK90，EQQK，FQEQ，FQEK，EFQF；（3）解：如图，过点Q作QHBE于H，QNCF于N，同理可证ABEBCF（AAS），SABESBCF，ABBC，ABC90，点Q在AC的中点，BQAQCQ，AQBCQB90，ACBCBQ45，ABQCBQ（SAS

55、），SABQSCBQ，S四边形AEBQS四边形BQCF，QHBE，QNCF，CFB90，四边形FNQH是矩形，CFBBQC90，点B，点Q，点C，点F四点共圆，QFCQBC45，QCBQFB45，QFBQFC45，又QHBE，QNCF，QHQN，四边形FNQH是正方形，QFQN2，QN2，CFBBQC90，QCF+QBF180，又QBE+QBF180，QCFQBH，又QHQN，QHBQNC90，QBHQCN（AAS），SQBHSQCN，S四边形AEBQS四边形BQCFS正方形FNQH421（2022大渡口区模拟）如图，ABC中，ABC90，ABBCCDE中，CDE90，DCDE（1）图1中，点

56、D是AB上一点，ABBC4，BD1，求CE的长；（2）图2中，点D是AB上一点，点F是CE的中点，求证：；（3）图3中，ABBC4，点M是BC的中点，点D是平面内一个动点，BD1，当AME的度数最大时，直接写出ME的长度【分析】（1）解RtBCD和RtCDE，从而求得结果；（2）连接AE，可证得BCDACE，从而得出CAEB90，进一步推出结论；（3）由BCDACE，求得AEBD，从而点E在以A为圆心，为半径的圆上运动，进而得出当ME与A相切时，AME最大，然后解直角三角形ABM和RtAEM，进一步求得结果【解答】（1）解：在RtBCD中，由勾股定理得，CD，在RtCDE中，CD，E45，CE

57、；（2）证明：如图1，连接AE，ABC和CDE是等腰直角三角形，ACBDCE45，ACBACDDCEACD，即：BCDACE，BCDACE，CAEB90，点F是CE的中点，AFCE，同理可得：DFCE，DFAF，CDDFAF；（3）如图2，由（2）得，BCDACE，AEBD，点E在以A为圆心，为半径的圆上运动，当ME与A相切时，AME最大，此时，AEM90，在RtABM中，AM2AB2+BM242+2220，在RtAME中，ME322（2022开州区模拟）在等腰ABC和等腰DBE中，ABAC，DBDE，BACBDE120（1）如图1，点D在线段BC上，且AB5，BD2时，求CE的长；（2）如图

58、2，连接AD，BE，CD，CE，若BE经过CD的中点F，且CEDE时，求证：BFCEAD；（3）如图3，若AB5，BD2，点F为CD的中点，连接AD，AF，当AF最短时，求ADF的面积【分析】（1）由等腰三角形的性质可求DNDE，NEDN3，由勾股定理可求解；（2）由“AAS”可证BDFDEC，可得BFCD，通过证明DBEABC，可得，通过证明ABDCBE，可得，可得结论；（3）由题意可得当点F在AH上时，AF有最小值为AHHF，即可求解【解答】（1）解：如图，过点A作AHBC于H，过点E作ENBC于N，ABAC，DBDE，BACBDE120，AHBC，ABCACBCBE30DEB，BHCH，

59、ADAB，BHCH，CDE60，NEBC，DEN30，DNDE，NEDN3，CNBCBDDN222，CE；（2）证明：如图2，过点A作AHBC于H，ABAC，AHBC，BAC120，BHCH，ABC30，AHAB，DHAH，BCAB，DBDE，BDE120，DBEDEB30，点F是DC的中点，CEDE，DFFCEF，DEFFDE30，DFBDCE60，又BDDE，DBEEDC30，BDFDEC（AAS），BFCD，CDE30，DEEC，DC2CE，BF2CE，ABAC，DBDE，BACBDE120，DBEABC，DBEABC，DBAEBC，ABDCBE，CEAD，BFCECEAD；（3）如图3

60、，取BC的中点H，连接HF，AH，ABAC，点H是BC的中点，BAC120，BHCH，AHBC，ABC30，AH，BHCH，点F是CD中点，BHCH，FHBD，在AHF中，AFAHHF，当点F在AH上时，AF有最小值为AHHF，此时，SADFSAFCAFCH（）23（2022永川区模拟）已知：在ABC中，ABC90，点D为直线BC上一点，连接AD并延长，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E（1）如图1，若BAC60，tanEAC，AB1，求线段AE的长度；（2）如图2，若ACEC，点F是线段BA延长线上一点，连接EF与BC交于点H，且BADACF，求证：AF2BH；（3）如图3，AB2，BC

61、6，点M为AE中点，连接BM，CM，当|CMBM|最大时，直接写出BMC的面积【分析】（1）由cosBAC，可求出AC长，利用tanEAC，可求出EC长，最后利用勾股定理即可（2）作EQBC，由题意易证ABCCQE，得出ABCQ，BCEQ利用余角和等腰三角形的性质可证出BCBF，从而得到BQ，AF，在FBD和HQE中，利用“AAS“可证明FBHHQE，即可推出BHQH，从而得证（3）由ACE90，M为AE中点，得到AMCM当点A、B、M三点在同一直线上时，CMBM|的值最大等于AB的长，再利用勾股定理和三角形面积公式即可求出BMC的面积【解答】解：（1）ABC90，BAC60，AB1，cos6

62、0AC2，ACE90，tanEAC，EC1，在RtAEC中，AE（2）如图，作EQB，EQBC，ACEC，EQCACE90，QEC+QCE90，QCE+QCA90，QCEQCA，ABCCQE90在ABC和CQE中，ABCCQE（AAS），ABCQ，BCEQACCE，ACEC，CAECEA45，BAD+CAE+ACB+ABD180，BAD+ACB45，ACF+ACB45，FCBBFC45，BCBF，又CQAB，BCEQBF，BQAF，在FBH和HQE中，FBHHQE（AAS），BHQH，AF2BH（3）ACE90，M为AE中点，AMCM，|CMBM|AMBM|AB，如图，即当点A，B，M再同一条

63、直线上时，|CMBM|最大且值为线段AB的长在RtABC中，AC，在RtACE中，AC2+EC2AE2，解得EC，AE，BM，24（2022宜昌模拟）如图，在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CFAB，交ED的延长线于点F（1）求证：BDECDF；（2）当ADBC，AE2，CF1时，求AC的长【分析】（1）根据平行线的性质得到BFCD，BEDF，由AD是BC边上的中线，得到BDCD，于是得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到BECF1，求得ABAE+BE3，于是得到结论【解答】证明：CFAB，BFCD，BEDF，AD是BC边上的中线，BDCD，在BDE和CDF中，BD

64、ECDF（AAS）；（2）BDECDF，BECF1，ABAE+BE2+13，ADBC，BDCD，ACAB325（2021重庆模拟）如图，在RtABC中，BAC90，ABAC，D是BC边上一动点（1）如图，若BC，CAD15，求BD的长；（2）如图，D是BC边的中点，E是BA延长线上一点，连接CE，过点A作AFCE于点F，过点B作BGAF交FA延长线于点G，连接DG请猜想BG、CF、DG的关系，并证明你的结论；（3）如图，若AB，M是ABC内部一点，当CM+AM+BM取得最小值时，请直接写出ABM的面积【分析】（1）如图中，过点D作DEAC于点E，在AC上取一点F，使得DFAF，连接DF设ECE

65、Dm，则CDm，构建方程求出m即可；（2）结论：CF+BGFG如图中，连接FD，延长FD到T，使得DTDF利用全等三角形的性质以及等腰直角三角形的判定和性质解决问题即可；（3）如图中，将ABM绕点B逆时针旋转90得到RBQ，连接MQ，CR，过点C作CLRB交RB的延长线于点L由旋转的性质可知，AMRQ，BMBQ，ABBRAC，ABRMBQ90，推出MQBM，可得AM+MC+BMCM+MQ+QRCR，解直角三角形，求出CR，当AM+CM+BM的取得最小值时C，MQR共线，过点B作BJCR于点J求出BJ，RQ的值，可得结论【解答】解：（1）如图中，过点D作DEAC于点E，在AC上取一点F，使得DF

66、AF，连接DFCAB90，ACAB，BC2，ACABBC，CB45，DEAC，CCDE45，ECED，设ECEDm，则CDm，AFDF，FADFDA15，EFDFAD+FDA30，DFAF2DE2m，EFDEm，m+m+2m，m，CDDE1，BDBCCD2（1）+1；（2）结论：CF+BGDG理由：如图中，连接FD，延长FD到T，使得DTDFAFEC，BGFG，AFCAGB90，AFC+AGB180，CFGT，CFDT，FDCTDB，DCDB，DFCDTB（AAS），CFBT，DFDT，CABCFAAGB90，CAF+GAB90，GAB+ABG90，CAFABG，ACAB，CFAAGB（AAS

67、），AFBGCFAG，AGBT，AF+AGBG+BT，即GFGT，GFDT45，GDFT，DFGDGF45，FGDG，CF+BGAG+AFFGDG即CF+BGDG（3）如图中，将ABM绕点B逆时针旋转90得到RBQ，连接MQ，CR，过点C作CLRB交RB的延长线于点L由旋转的性质可知，AMRQ，BMBQ，ABBRAC，ABRMBQ90，MQBM，AM+MC+BMCM+MQ+QR，CM+MQ+QRCR，CLRL，LCABAB90，四边形ABLC是矩形，ABAC，四边形ABLC是正方形，CLBLAB，RL2，CR，AM+CM+BM，AM+CM+BM的最小值为，此时C，MQR共线，过点B作BJCR于

68、点JSBCRBRCLCRBJ，BJ，RJ，BMQ是等腰直角三角形，BJMQ，MJJQBJ，QRJRIQ，SABMSBRQQRBJ26（2021重庆模拟）在ABC中，ABAC，BAC120，点F在线段AC上，连接BF，延长CA至点D，连接BD，满足ABFABD，H是线段BC上一动点（不与点B、C重合），连接DH交BF于点E，交AB于点G（1）如图，若ABFFBC，BD2，求DC的长；（2）如图，若CDH+BFDDEF，猜想AD与CH的数量关系，并证明你猜想的结论：（3）如图，在（1）的条件下，P是BCD内一点，连接BP，DP，满足BPD150，是否存在点P、H，使得2PH+CH最小？若存在，请直

69、接写出2PH+CH的最小值【分析】（1）解斜三角形BCD可求得结果；（2）作HNAB交AC于N，作NMBC于M，求得CNHC30，于是CH2HMHN，由条件推出BEDBAD60，进而证明ABDNDH，进一步可求得结果；（3）作等边三角形BDO，以O为圆心，OBBD2为半径作圆O，确定点P在O上运动，作BCR30，作HNCR，可得HN，从而得出PH+HN最小时，P、H、N共线，且PHN过点O，作OQCR于Q交AB于T，作BTOQ于T，解RtBOT，RtBCR，进一步求得结果【解答】解：（1）如图1，作DMBC于M，BMD90，ABAC，BAC120，ABCC30，ABFFBC15，ABDABF1

70、5，DBM45，DMBDsinDBM2sin45，CD2DM2；（2）如图2，CHAD，理由如下：作HNAB交AC于N，作NMBC于M，DNHBAD180BAC60，NHCDNHC603030，CNHC30，CH2HM2（HNcosNHC）2（HNcos30）HN，CDH+BFDDEF，CDH+BFD+DEF180，DEF120，BEDBAD60，AGDBGE，ADGABFABD，DBHABC+ABD30+ABD，BHDC+ADG30+ABD，DBHDHB，DHBD，ABDNDH（AAS），HNAD，CHAD；（3）如图3，作等边三角形BDO，以O为圆心，OBBD2为半径作圆O，点P在O上运动

71、，作BCR30，作HNCR于NHNPH+HN最小时，P、H、N共线，且PHN过点O故作OQCR于Q交AB于T，作BTOQ于T，ABCBCR30，ABCR，OQBT，作OB的垂直平分线交OT于M，OMBM，设BTx，OMBM2BT2x，MT，（）2+x222，x，BT（）x，TQBRBC（），OQ，PQOQOP2，2PH+CH2（PH+CH）2PH+CH的最小值是：2427（2021沙坪坝区校级二模）已知等边三角形ABC和等腰三角形BCD，且BCCD，BD交AC于点E（1）如图1，若ACCD，AB+1，求ABE的面积；（2）如图2，CF平分ACD交BD于点F，过A作AHCF交BD于点G，交BC于

72、点H，连接CG，当AGCG时，求证：GEGHAG；（3）如图3，P为平面内一点，连接PB，PC，PD，若BCD120，且BC，PC4，当PBPD取最大值时，求PBD的面积【分析】（1）设ABa，用a表示出AE，BF，可得结论（2）证明ABECAH（AAS），推出AHBE，再证明MCG30，推出MCGCGM，GMCMBG，可得结论（3）如图3中，以PC为边分别向上，向下作等边PCE，等边PCE，连接EF交PC于点O，连接AE，AF利用全等三角形的性质证明AFPB，AEPD，PBPDAFAEEF，求出EF4，推出当A，E，F共线时，AFAE的值最大，如图4中，过点P作PHBD于H，设DHx，利用勾

73、股定理求出PH，可得结论【解答】（1）解：如图1，设ABa，作BFAC 于F，ACCD，BFCACD90，BFCD，BEFDEC，ABC是等边三角形，ACBABC60，CDBCAB，sin60，FECFaAEAF+EF+a（）aSABE（）aa，（），；（2）证明：如图2，设ECFDCF，BCD60+2，CBDCDB60，ABE，AHCF，CAHECF，ABECAH，BACACB60，ABAC，ABECAH（AAS），AHBE，又ACBC，BHCE，AGEABE+BAHCAH+BAH60，AGEACH，C、EG、H共圆，BHGCEG，在EG上截取EMGH，AGBM，BGHCME（SAS），CM

74、BG，CMEBGHAGE60，MCGCMECGM，CGMAGCAGE906030，MCG30，MCGCGM，GMCMBG，GEGHGEEMGM；（3）解：如图3中，以PC为边分别向上，向下作等边PCE，等边PCE，连接EF交PC于点O，连接AE，AFACBPCF60，ACFBCP，CACB，CFCP，ACFBCP（SAS），PBAF，同法可证ACEDCP（SAS），AEPD，PBPDAFAE，AFAEEF，EFOF+OF2+24PBPD4，当A，E，F共线时，AFAE的值最大，如图4中，ECCFPFPE，EFCP，AOC90，AO3，OE2，PDAEAIEO，PBAF5，CBCD，BCD120

75、，BDBC，过点P作PHBD于H，设DHx，则有（5）2（x）2（）2x2，x，PH，SBCDBDPH28（2021九龙坡区校级模拟）如图，已知在直角ABC中，ABC90，E为AC边上一点，连接BE，过E作EDAC，交BC边于点D（1）如图1，若，求SAED；（2）如图2，作ABC的角平分线交AC于点F，连接DF，若BDECDF，求证：AE+DEBE；（3）如图3，在（1）的条件下，M为AB边的中点，G为AC边上一个动点，连接MG，将AMG沿MG翻折，得到AMG，连接AD，以AD为斜边向右作等腰直角三角ADN，连接CN，求CN的最小值【分析】（1）如图，过点B作BHAC于点H，连接AD想办法求

76、出DE，可得结论（2）如图2中，过点B作BTBE交ED的延长线于点T证明ABFDBF（SAS），推出ABBD，再证明ABEDBT（ASA），推出BEBT，AEDT，推出AE+DEDT+DEET，推出BET是等腰直角三角形，可得结论（3）如图3中，连接DM，以BM，BD为边构造矩形BMJD，连接JN，JC证明四边形BMJD是正方形，再证明MDAJDN，推出，推出JN，可得结论【解答】（1）解：如图，过点B作BHAC于点H，连接ADBABE，BHAE，AHHE，ABCCHB90，ABH+CBH90，C+CBH90，ABHC，tanABHtanC，BH，CH，CECHEH，DEEC，SADEAEDE

77、（2）证明：如图2中，过点B作BTBE交ED的延长线于点TBDECDF，CDEBDF，DEAC，DECABC90，A+CEDC+C90，EDCA，ABDF，ABFDBF，BFBF，ABFDBF（SAS），ABBD，ABCEBT90，ABEDBT，BDTCDEA，ABEDBT（ASA），BEBT，AEDT，AE+DEDT+DEET，BET是等腰直角三角形，ETBE，AE+EDBE（3）解：如图3中，连接DM，以BM，BD为边构造矩形BMJD，连接JN，JC由（1）可知AB2，BC4，CD3，M是AB的中点，AMBN1，BDBCCD1，BMBD1，四边形BMJD是正方形，DJBM1，CJ，DMBM

78、，MDJADN45，DMDJ，DADN，MDAJDN，MDAJDN，JN，CNCJJN，CN，CN的最小值为29（2021沙坪坝区校级模拟）在等腰ABC中，ABAC2，D，E两点在ABC边上运动（1）如图1，当BAC120时，D在边BC上，E在边AC上，BDCE2，求ADE的面积（2）如图2，当BAC60时，D在边BC上，E在AC延长线上，BDCE，连接AD、BE，取BE中点F，连接CF，H为CF上一点，G为AD上一点，连接BG、HG，且满足CHAG，求证：BGH60（3）如图3，当A90时，D在边AC上，E在边AB上，连接DE，AECD，求CD+DE的最小值【分析】（1）如图1中，过点D作D

79、HAB于H证明DADB，推出BDAB30，推出DAE90，从而可以求解本题（2）延长CF到R，使得CFFR，连接BR，BH证明ABDCBR（SAS），推出BAGBCH，再证明ABGCBH（SAS），推出BGBH，ABGCBH，推出GBH是等边三角形，可得结论（3）如图3中，如图3中，设AECDx，则DE，设yDE+CD，y+x，可得yx，两边平方整理得3x2（82y）x+24y20，根据0，转化为解不等式，可得结论【解答】（1）解：如图1中，过点D作DHAB于HABAC2，BAC120，BC30，DHB90，BDCE2，BHBDcos30，BHAH，DHAB，DBDA2，BDAB30，DAE9

80、0，AEACCE，AE22，SADEAEAD2（22）22（2）证明：延长CF到R，使得CFFR，连接BR，BHBFEF，BFREFC，CFFR，BFREFC（SAS），CEBR，RECF，BRAE，ABAC，BAC60，ABC是等边三角形，ABCACB60，ABBC，CBRBCA60，BDCE，BDBR，ABDCBR（SAS），BAGBCH，ABCB，AGCH，ABGCBH（SAS），BGBH，ABGCBH，GBHABC60，GBH是等边三角形，BGH60（3）解：如图3中，设AECDx，则DE，设yDE+CD，y+x，yx，两边平方整理得3x2（82y）x+24y20，0，（82y）212

81、（24y2）0，整理得，y22y60，解得y3+或y3+，y0，y3+，y的最小值为3+，CD+DE的最小值为3+解法二：转化为胡不归问题如图，取BC的中点O，连接OA，OE，ODABAC，BAC90，OBOC，AOBC，BAOACB45，OAOCOB，AECD，AOECOD（SAS），OEOD，AOECOD，EODAOC90，DEOD，CD+DECD+2OD2（OD+CD），作射线CM，使得ACM30，过点D作DKCM，过点O作OJCM，则DKCD，CD+DE2（OD+DK）2OJ，OC，OCJ75，OJOCcos15（3+），CD+DE3+，CD+DE的最小值为3+30（2021沙坪坝区校

82、级模拟）如图，已知ABC为等腰直角三角形，ABAC且CAB90，E为BC上一点，且BEAC，过E作EFBC且EFEC，连接CF（1）如图1，已知AB2，连接AE、AF，求AEF的面积；（2）如图2所示，D为AB上一点，连接DB，作DBH45交EF于H点，求证：CDHF+CE；（3）已知ABC面积为8+4，D为射线AC上一点，作DBH45，交射线EF于H，连接DH，点M为DH的中点，当CM有最小值时，请直接写出CMD的面积【分析】（1）过点A作ATBC于点T，则BTCT，根据SAEFSACFSACESCEF计算即可；（2）先利用ASA证明ABDEBH，得出ADEH，过点B作BRAB交CF的延长线

83、于点R，在RC上截取RKAD，连接BK，BF，再证明BRKBAD，CBDCBK，RtBRFRtBEF（HL），即可得出结论；（3）运用瓜豆原理得：点H的运动轨迹为射线EF，点M为DH的中点，点M的运动轨迹为射线AE，当CM有最小值时，CMAE，设ABa，则BCa，CE（）a，进而求得CMa，AMa，过点M作MKAB于K，过点E作ETAB于点T，由AETAMK，求得MKa，由CMDAMB，可得32，再利用SABCa28+4，即可求出答案【解答】解：（1）ABAC2，CAB90，BC2，ACB45，如图1，过点A作ATBC于点T，则BTCT，ATBC，BEAC2，CEBCBE22，EFBC且EFE

84、C，ECF45，CFCE（22）42，ACFACB+ECF45+4590，SAEFSACFSACESCEFACCFCEATCEEF2（42）12（22）（22）（22）34；（2）如图2，DBH45ABC，ABD+CBDEBH+CBD，ABDEBH，在ABD和EBH中，ABDEBH（ASA），ADEH，过点B作BRAB交CF的延长线于点R，在RC上截取RKAD，连接BK，BF，ABR90AACF，四边形ABRC是矩形，ABAC，四边形ABRC是正方形，BRAB，R90A，在BRK和BAD中，BRKBAD（SAS），BKBD，RKAD，ABDRBK，ABCRBC45，ABCABDRBCRBK，即

85、CBDCBK，在CBD和CBK中，CBDCBK（SAS），CDCKCF+FK，CFCE，CDFK+CE，在RtBRF和RtBEF中，RtBRFRtBEF（HL），FRFE，RKADEH，FRRKFEEH，即FKFH，CDFH+CE；（3）由（2）知，ABDEBH，ADEH，根据瓜豆原理，点H的运动轨迹为射线EF，点M为DH的中点，点M的运动轨迹为射线AE，当CM有最小值时，CMAE，AMC90，设ABa，则BCa，CE（）a，过点M作MKAB于K，过点E作ETAB于点T，BTEBKMAKMALMBAC90，ABC45，ETBTBEcosABCasin45a，ATABBTaaa，AEa，ETAC，CAMAET，AMCETA90，AMCETA，即，CMa，AMa，ETMK，AETAMK，即，MKa，SABMABMKaaa2，AMDBMD90，CMD+AMDAMB+AMD，CMDAMB，CAM+DCM90，CAM+BAM90，DCMBAM，CMDAMB，32，SCMD（32）SAMB（32）a2，SABCa28+4，a216+8，SCDM（32）a2（32）（16+8）2