人教版选修21第三章直线与平面的夹角讲义.docx

1、案例（二）-精析精练课堂 合作 探究重点难点突被知识点一 公式cos=cos1cos2如右图,已知OA是平面a的一条斜线,ABa,则OB是OA在平面a内的射影,设OM是a内通过点O的任意一条直线,OA与OB所成的角为1,OB与OM所成的角为2,OA与OM所成的角为,则有cos=cos1cos2,我们简称此公式为三余弦公式,它反映了三个角的余弦值之间的关系.在上述公式中,因为0cos21，所以coscos1,因为1和都是锐角,所以10,由此我们可以得到最小角定理:斜线和它在平面内的射影所成的角,是斜线和这个平面内所有直线所成的角中最小的角. 知识点二 斜线和平面所成的角 (1)定义:斜线和它在平

2、面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角).(2)斜线和平面所成角的范围:(0,).(3)直线和平面所成角的范围:O,其中当一条直线与一个平面垂直时,这条直线与平面的夹角为,当一条直线与个平面平行或在平面内时,这条直线与平面的夹角为0. (4)直线和平面所成角的求法:几何法:用几何法求直线和平面所成角的步骤:i)找(或作)出直线和平面所成的角；ii)计算,即解三角形；iii)结论,即点明直线和平面所成角的大小.向量法:若直线AB与平面a所成的角为,平面a的法向量为n,直线与向量n所成的角为，则+=,利用向量的夹角公式求出cos=,再根据sin=|cos|求出利用公式cos=c

3、os1cos2求解. 典型例题分析 题型1 几何法求直线和平面的夹角 【例1】 如下图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,AA1=5,试求B1D1与面A1BCD1所成角的正弦值解析 作出B1点在平面A1BCD1上的射C影,从而得到B1D1在平面上的射影.又因为平面A1B1D面A1BCD1,故只要过B1作A1B的垂线,垂足就是B1的射影.答案 作B1EA1B,又因为A1D1平面ABB1A1,A1D1B1E.由B1EA1B及B1EA1D1得知B1E面A1BCD1,所以,D1E就是D1B1在平面A1BCD1上的射影,从而B1D1E就是D1B1与面A1BCD1所成的角. 在Rt

4、B1D1E中,有sinB1D1E=上的射影. 但D1B1=5,又=A1B1EB1=A1B1BB1,A1B=, EB1=,sinB1D1E=. 方法指导 如果随意地在直线B1D1上取一点,然后过这一点向平面A1BCD1作垂线,虽然也可以找出直线B1D1和平面A1BCD1所成的角,但面临的一个问题是如何求出这个角,因此“作、证、求”三者是紧密联系在一起的,必须系统地统筹考虑. 【变式训练1】 已知直角三角形ABC的斜边BC在平面a内,直角边AB,AC分别和a成30和45角.求斜边BC上的高AD与平面a所成角的大小.答案 如下图,作AOa,O为垂足,连结OB,OC,OD,则ABO,ACO,ADO分别

5、为AB,AC,AD与a所成的角,则ABO=30,ACO=45. 设AO=h,则AC=h,AB=2h. BC=h, AB=h. RtAOD中, sinADO=,ADO=60. AD与平面a所成的角的大小为60. 【例2】 如下图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求直线AA1与平面A1BD所成的角.解析 在确定A在平面上的射影时,既可以利用线面垂直,也可以分析四面体A1-ABD的性质. 答案 解法一:连结AC,设ACBD=O,连结A1O,在A1AO内作AHA1O,H为垂足. A1A平面ABCD,BD平面ABCD, A1ABD. 又BDAC,ACA1A=A, BD平面A1AD,B

6、DAH.又AHA1O,A1OBD=O,AH平面A1BD,AA1H为斜线A1A与平面A1BD所成的角.在RtA1AO中,A1A=1,AO=,A1O=.:A1AAO=A1OAH,AH=.sinAA1H=.AA1H=arc sin.A1A平面A1BD所成角的大小为arc sin.解法二:AA1=AD=AB,点A在平面A1BD上的射影H为A1BD中心,连结A1H,则A1H为正A1BD外接圆半径,正A1BD边长为,A1H=.RtAHA1中,cosAA1H=.AA1H为AA1与平面A1BD所成的角,A1A与平面A1BD所成角的大小为arc sin.解法三:同解法二分析,A1H为BA1D的平分线,BA1H=

7、30,又AA1B=45,由最小角原理公式cosAA1B=cosAA1HcosBA1H,得cosAA1H=AA1H=arc cos方法指导 在研究空间图形时,基本元素的位置关系和数量关系是密不可分、相互转化的.解法二在数量关系AA1=AD=AB的基础上,得到A在平面A1BD上的射影的性质,解法三在找到基本图形-三棱锥A1-ABD后,利用最小角原理公式,最小角原理公式是立体几何的重要公式之一,解法三利用该公式,解法简捷明了. 【变式训练2】 如下图,在四棱锥P一ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD,PDDC,E是PC的中点.(1) 证明PA平面EDB；(2) 求EB与底面ABCD

8、所成的角的正切值.答案 (1)连结AC,AC交BD于O.连结EO.底面ABCD是正方形,点O是AC的中点.在PAC中,EO是中位线,PAEO.而EOC平面EDB且PA平面EDB,所以PA平面EDB.(3) 作EFDC交DC于F,连结BF,设正方形ABCD的边长为a. PD底面ABCD,PDDC. EFPD,F为DC的中点 EF底面ABCD,BF为BE在底面ABCD内的射影,故EBF为直线EB与底面ABCD所成的角.在RtBCF中,BF=.EF=PD=,在RtEFB中,tanEBF=. 所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为 题型2 向量法求直线与平面的夹角 【例3】 在以边长为1的正方体AB

9、CD-A1B1C1D1中,E和F分别是BC和C1D1上的点,BE=C1F=，试求EF与平面A1BD所成的角的余弦值. 解析 如下图建立恰当的空间直角坐标系,用坐标向量及平面的法向量求解. 答案 以A为原点,分别以,方向为x轴,y轴,z轴的正方向而建立坐标系,如上图所示,则A1(0,0,1),B(1,0,0),D(0,1,0),C(1,1,1),E(1,0),F(,1,1). =(1,1,1),=(1,0,-1),(0,1,-1). 由于=(1,1,1)(1,0,-1)=1-1=0, , .=(1,1,1)(0,1,-1)=1-1=0, , 平面A1BD,故是平面A1BD的法向量. 又=(-,1

10、),=(-,1)(1,1,1)=,|=,|=. 记为与之间所成之角则cos=. 以记与平面A1BD所成之角,则=, cos=cos(-)=sin=.规律总结 利用向量法求直线与平面所成角的解题步粟可以分解为:根据题设条件,图形特征建立适当的空间直角坐标系；得到相关点的坐标,进而求出相关向量的坐标；利用分式cos=,进行计算,其中向量a是直线的方向向量,b可以是平面的法向量,可以是直线在平面内射影的方向向量；将(a,b)转化为所求的线面角. 这里要注意的是:平面的斜线的方向向量与平面法向量所成的锐角是平面的斜线与平面所成角的余角. 【变式训练3】 如下图所示,已知直角梯形ABCD,其中AB=BC

11、=2AD,AS平面ABCD,ADBC,ABBC且AS=AB.求直线SC与底面ABCD的夹角的余弦值. 答案 由题设条件知,可建立以AD为x轴,AB为y轴,AS为z轴的空间直角坐标系,如下图所示,设AB=1,则A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D(,0,0),S(0,0,1).=(0,0,1),=(-1,-1,1).显然是底面的法向量,它与已知向量的夹角=90-,故有sin=cos =,于是cos=. 【例4】 如下图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,ACB=90,侧棱AA1=2,D、E分别是CC1与A1B的中点,点E在平面ABD上的射影是ABD的重心

12、G. 求A1B与平面ABD所成角的大小.(结果用反三角函数值表示) 解析 求线面角关键在于找到平面的一个法向量,法向量与直线所在的向量夹角的互余的角,即为所求的角,因此结合图形的特征,可以先建立空间直角坐标系,求出平面ABD的法向量,再按公式求解. 答案 以C为原点,CA所在直线为x轴建立空间直角坐标系,设AC的长为a,则A(a,0,0),B(0,a,0)D(0,0,1)A1(a,0,2,)则点G(,),E(,1). 由于E在面ABD内的射影为G点,所以 GE面ABD.又=(a,0,-1),=(-a,a,0) =(,),由=0及 =0可得解得a=2. 取=(,)=(,)为平面ABD的法向量,=

13、(-2,2,-2).设A1B和平面ABD所成的角为,则sin=.故所求A1B和平面ABD所成的角为arin2方法指导 本题也可以不用向量方法求解,而用传统的几何方法求解,但处理的过程不像向量法简单直接.请读者用传统方法试着处理一下. 规律 方法 总结 (1)利用平面a的法向量n求斜线AB与平面a的夹角时,应注意关系,sin=|cos),其中，不要认为或就是角； (2)求直线与平面夹角的常见方法: 当直线与平面垂直时,直线与平面所成的角为90,当直线与平面平行或在平面内时,直线与平面所成的角为0； 当直线与平面斜交时,用以下三种方法求角： 方法一:定义法:在直线上任取不同于斜足的一点作面的垂线,

14、确定射影,找出斜线与平面所成的角,通过解三角形求得； 方法二:向量法:建立空间直角坐标系,求出平面的法向量,由向量夹角公式,求出法向量n与斜线对应向量的夹角(锐角),则所求线面角为-； 方法三:由公式cos=cos1cos2,求斜线与平面所成的角.定时 巩固 检测基础训练1.平面的一条斜线和这个平面所成角的范围是 （ ） A.090 B.090 C.090 D.0180 【答案】 A(点拨:由与平面相交但不垂直的直线为平面的斜线知090.)2.一条直线与平面a所成的角为30,则它和平面a内所有直线所成的角中最小的角是 （ ） A.30 B.60 C.90 D.150 【答案】 A(点拨:本题考

15、查最小角定理,斜线与平面所成的角是斜线与平面内直线所成角中最小的角.)3.如下图,正方体ABCD-A1B1C1D1中BC1与对角面BB1D1D所成的角是 （ ） A.C1BB1 BC1BD C.C1BD1 D.C1BO 【答案】 D(点拨:O是点C1在平面BB1D1D上的射影,BO为BC1在平面BB1D1D内的射影.C1BO为所求.)4.PA,PB,PC是从P点引出的三条射线,每两条夹角都为60,则直线PC与平面APB所成角的余弦值为 （ ）A. B. C. D.【答案】 C(点拨,设PC与平面APB所成角为,则由cos60=coscos30得cos=.)5.正方体ABCD-A1B1C1D1中

16、,O为侧面BCC1B1的中心,则AO与平面ABCD所成角的正弦值为 ( ) A. B. C. D. 【答案】 C(点拨:取BC中点M,连AM,OM,易知OAM即为AO与平面ABCD所成的角,可求得sinOAM=.)能力提升6.如右图所示,点P是ABC所在平面外的一点,若PA、PB、PC与平面a所成的角均相等,则点P在平面a上的射影P是ABC的 （ ） A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 【答案】 B(点拨:由于PA、PB、PC与平面a所成的角均相等,所以这三条由点P出发的平面ABC的斜线段相等,故它们在平面ABC内的射影PA、PB、PC也都相等,故点P是ABC的外心,因此,应选B.)7.从

17、同一点O引出不共面的三条射线OA,OB,OC且两两成60角,OA与平面BOC的夹角为【答案】 arc cos(点拨:设OA与平面BOC的夹角为,由上述分析可得cos60=coscos30,即cos=,所以OA与.平面BOC的夹角为arc cos.)8.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是AB、C1D1的中点,求A1B1与平面A1MCN所成角的大小. 【答案】 法一:分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系如上图,设正方体的棱长为1,则A1(1,0,1),M(1,1),N(0,1),B1(1,1,1),所以=(0,1,0),=(0,-1),=(-1,0

18、).设平面A1MCN的一个法向量为n=(x,y,z),则有得即，令y=2,则x=z=1,所以n=(1,2,1).cos,n)=.所以直线A1B1与平面A1MCN所成的角为arc cos.法二:连接MN,B1C,A1D,A1C,如右图、所示,由三垂线定理可得MNA1B1,MNB1C,所以MN平面A1B1CD,又MN平面A1MCN,所以平面A1MCN平面A1B1CD,又平面A1MCN与平面A1B1CD的交线是A1C,故点B1在平面A1MCN内的射影在直线A1C上,所以B1A1C就是A1B1与平面A1MCN所成的角,在RtB1A1C中,tanB1A1C=,即A1B1与平面A1MCN所成的角的大小是a

19、rc tan.9.如右图在矩形ABCD中,2AB=BC,沿对角线AC将ACB折起到ACB的位置,使平面ADB平面ACD. (1)求证:平面ACB平面CBD； (2)求AD与平面ACB所成角的大小. 【答案】 (1) CD平面ADB平面ACB平面CBD.(2) 作DEBC于E,连接AE.如图,由(1)知平面ACB平面CBD,所以DE平面ACB.所以DAE为AD与平面ACB所成的角.设CD=1,则BC=2,在RtBDC中,CDB=90,BC=BC=2,CD=1,所以BD=,所以DE=所以在RAED中,sinDAE=,故直线AD与平面ACB所成的角为arcsin=.10.P是ABC所在平面外一点,P

20、A,PB,PC两两互相垂直,且PA=10,PB=8,PC=6,求PA与平面ABC所成的角.【答案】APPB,PAPC,PA平面PBC,PABC,过A作ADBC于D,连接PD,那么BC平面PAD,过P作POAD于O.POAD;BCPO,PO面ABC,PAO就是PA与面ABC所成的角,PB=8,PC=6,BC=10,PD=,tanPAD=,因此PA与面ABC所成的角为arctan.11.如下图,在四棱锥P一ABCD中,底面为直角梯形,ADBC,BAD=90,PA底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点.求:CD与平面ADMN所成的角.【答案】建立如下图所示的空间直角坐标系Axyz,设PA=2,则P(0,0,2),B(2,0,0),D(0,2,0),C(2,1,0),则=(2,0,-2),=(0,2,0),=(2,-1,0).因为=(2,0,-2)(0,2,0)=0,所以PBAD.又因为由三垂线定理可得PBDM,所以PB平面ADMN.因此的余角即是CD与平面ADMN所成的角.因为cos(,)=,所以CD与平面ADMN所成的角为arcsin.