人教版高中数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程2.3双曲线（教师版）【个性化辅导含答案】.docx

1、双曲线 _1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程及简单性质2.了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用3.理解数形结合的思想1双曲线的定义平面内动点与两个定点F1，F2(|F1F2|2c0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|大于零)，则点的轨迹叫双曲线这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c为常数且a0，c0：(1)若ac时，则集合P为空集2双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRxR，ya或ya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(a，0)，A2(a，0)A

2、1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长a，b，c的关系c2a2b2(ca0，cb0)类型一双曲线的定义及应用例1：(1)已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_【解析】利用动圆M同时与圆及圆外切,可得的轨迹为到定点,距离差为常数2的点的集合,即双曲线的左支,从而可得方程.【答案】动圆的圆心为,动圆的圆心为动圆M同时与圆及圆外切,动圆M的半

3、径,即的轨迹为到定点,距离差为常数2的点的集合,即双曲线的左支的轨迹方程为因此，本题正确答案是:练习1：已知双曲线x2y21，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1PF2，则|PF1|PF2|的值为_【答案】练习2：设P是双曲线1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右焦点，若|PF1|9，则|PF2|()A1B17C1或17D以上答案均不对【答案】B练习3：已知F是双曲线1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|PA|的最小值为()A5B54C7D9【答案】D类型二双曲线的标准方程例2:已知双曲线中心在原点且一个焦点为F1(，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1

4、的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是()A.BC.D.【解析】F1(，0)，PF1的中点坐标为(0,2)，P的坐标为(，4)又双曲线的一个焦点为F1(，0)，另一个焦点为F2(，0)2a|PF1|PF2|2.a1.又c，b2c2a24.双曲线方程为x21.【答案】B练习1：设双曲线与椭圆1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(，4)，则此双曲线的标准方程是_【答案】根据题意可以知道椭圆的焦点在y轴上,且,故焦点坐标为由双曲线的定义可得,故,故所求双曲线的标准方程为因此，本题正确答案是:规律方法待定系数法求双曲线方程具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a

5、，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为(0)，再由条件求出的值即可练习2：根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为；(2)焦距为26，且经过点M(0，12)；(3)经过两点P(3，2)和Q(6，7)【答案】(1)设双曲线的标准方程为1或1(a0，b0)由题意知，2b12，e.b6，c10，a8.双曲线的标准方程为1或1.(2)双曲线经过点M(0,12)，M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a12.又2c26，c13.b2c2a225.双曲线的标准方程为1.(3)设双曲线方

6、程为mx2ny21(mn0)双曲线的标准方程为1.类型三双曲线的几何性质例3：(1)设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为()A3x4y0B3x5y0C4x3y0D5x4y0【解析】等腰三角形中,到的距离为2a化简得所以渐近线方程【答案】C练习1： 设直线x3ym0(m0)与双曲线1(a0，b0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m，0)满足|PA|PB|，则该双曲线的离心率是_【答案】：练习2：设a1，则双曲线的离心率e的取值范围是()A(，2)B(，)C(2,5)D(2

7、，)【解析】e.a1，01，112，er2，椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，椭圆、双曲线的离心率分别为e1，e2.则由椭圆、双曲线的定义，得r1r22a1，r1r22a2，平方得4arr2r1r2，4ar2r1r2r.又由余弦定理得4c2rrr1r2，消去r1r2，得a3a4c2，即4.所以由柯西不等式得.所以.7.中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且F1F22，椭圆的半长轴长与双曲线半实轴长之差为4，离心率之比为37.(1)求这两曲线方程；(2)若P为这两曲线的一个交点，求F1PF2的面积【答案】解：(1)设椭圆方程为，双曲线方程为(a，b，m，

8、n0，且ab)，则解得：a7，m3，b6，n2，椭圆方程为，双曲线方程为.(2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则PF1PF214，PF1PF26，PF110，PF24，cosF1PF2，sinF1PF2.SF1PF2PF1PF2sinF1PF210412._基础巩固1. 下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是（）AB.C.D.【答案】C2.以椭圆两焦点为直径端点的圆，交椭圆于四个不同点，顺次连结这四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率等于()【答案】C3. 过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则（）A.B

9、.C.6D.【答案】D4. 设双曲线（a0,b0）的右焦点为1，过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点，过B,C分别作AC，AB的垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（）A、B、C、D、【答案】A5.设F1、F2为椭圆的两个焦点，椭圆上有一点P与这两个焦点张成90度的角，且PF1F2PF2F1，若椭圆离心率为，则PF1F2：PF2F1为()A1：5B1：3C1：2D1：l【答案】A能力提升6. 已知ab0，椭圆C1的方程为1，双曲线C2的方程为1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为()A.xy0B.xy0C.x2y0D.2xy0【答案】A7.设

10、F1，F2是双曲线x21的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|4|PF2|，则PF1F2面积等于()A4B8C24D48【答案】C8. 设是双曲线：的一个焦点，若上存在点，使线段的中点恰为其虚轴的一个端点，则的离心率为_【答案】.9. 如图17，O为坐标原点，椭圆C1：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2.已知e1e2，且|F2F4|1.(1)求C1，C2的方程；(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值图17【答案】(1)由题可得,且

11、,因为,且,所以且且,所以椭圆方程为,双曲线的方程为.(2)由(1)可得,因为直线不垂直于轴,所以设直线的方程为,联立直线与椭圆方程可得,则,则,因为在直线上,所以,则直线的方程为,联立直线与双曲线可得,则,则,设点到直线的距离为,则到直线的距离也为,则,因为在直线的两端,所以,则,又因为在直线上,所以,则四边形面积,因为,所以当时,四边形面积的最小值为.10.直线l：ykx1与双曲线C：2x2y21的右支交于不同的两点A、B.(1)求实数k的取值范围；(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由【答案】解：(1)将直线l的方程ykx1代入双曲线C的方程2x2y21后，整理得，(k22)x22kx20.依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故解得k的取值范围是2k.(2)设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则由式得假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0)则由FAFB得(x1c)(x2c)y1y20，即(x1c)(x2c)(kx11)(kx21)0.整理得(k21)x1x2(kc)(x1x2)c210.把式及c代入式化简得5k22k60.解得k或k(舍去)可知k时使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F.