六年级上册数学培优奥数讲义-第26讲 数与形.docx

1、第26讲 数与形知识装备数与形是数学中的两个最古老、也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。来源:学科网数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。初级挑战1根据上面图形与数的规律，接着这样排列下去，如果不画，你知道第10个数是多少吗？第n个数呢？ 来源:Z#xx#k.

2、Com思路点拨：第1个数是1，图形有1个；第2个数是4，图形有224（个）；第3个数是9，图形有339（个）,这说明每个数与对应图形的个数相同，而第n个数可通过（ ）得到。答案：1010100，nnn2能力探索1一些小圆形如下排列：照这样画下去，第5个图形最外圈有（ ）个小圆形；第8个图形最外圈有（ ）个小圆形。答案：第5个图形：624220，第8个图形：927232。初级挑战2如下图，摆1个正方形需4根火柴棒，摆2个正方形需7根火柴棒，摆3个正方形需10根火柴棒照这样摆下去，摆4个正方形需（ ）根火柴棒；摆10个正方形需（ ）根火柴棒；摆n个正方形需要（ ）根火柴棒。【思路点拨】摆一个正方形

3、需要（ ）根火柴棒，后面每多摆一个正方形，就多需要（ ）根火柴棒，如果摆n个正方形，一共就要（ ）根火柴棒。答案：摆4个正方形需13根火柴棒；摆10个正方形需31根火柴棒；摆n个正方形需要（3n1）根火柴棒。能力探索21、按下列规律摆放，则第堆有多少个？第堆有多少个？答案：第堆有17个；第堆有29个。2、明明用小棒搭了3间房子(如下图所示)，像这样搭下去，搭5间房子要用_根小棒；搭n间房子要用_根小棒。答案：搭5间房子要用26根小棒；搭n间房子要用（5n1）根小棒。中级挑战1 如上图，在11的方格中，画一条直线穿过1个方格，在22的方格中，画一条直线最多可穿过3个方格，在33的方格中，画一条直

4、线最多可穿过5个方格，如果照这样画下去，请填写下面的表格，并根据规律说一说在1010的方格中画一条直线最多穿过多少个方格？边长数123456n穿过格数135( )( )( )( )规律每边n个方格，画一条直线，最多可穿过（ ）个方格。思维点拨：画图试一试，将表格填完整，并从表格中观察发现，穿过格数与边长数之间的关系。答案：边长数123456n穿过格数135( 7 )( 9 )( 11 )(2n1)规律每边n个方格，画一条直线，最多可穿过(2n1)个方格。在1010的方格中画一条直线最多穿过19个方格。能力探索3准备若干个边长为1厘米的等边三角形，并按下图所示一个接一个地拼接起来，然后填下表。三

5、角形个数123456n拼成图形的周长（厘米）回答：（1）当三角形的个数是10时，所拼成图形的周长是（ ）厘米。（2）当三角形的个数是100时，所拼成图形的周长是（ ）厘米。答案： 三角形个数123456n拼成图形的周长（厘米）345678n2（1）当三角形的个数是10时，所拼成图形的周长是（ 12 ）厘米。（2）当三角形的个数是100时，所拼成图形的周长是（ 102 ）厘米。中级挑战2如下图，在直角三角形ABC中，a、b、c分别是三角形三条边的长。用8个完全相同的直角三角形ABC，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像图和图那样拼成两个大正方形。试根据图和图，说明：a2b2c2。 【思

6、路点拨】从图中可以看到，图的面积是a2b2ab24a2b22ab，图的面积是ab24c22abc2，而这两个大正方形的边长都是ab，所以图和图面积相等。即a2b22ab2abc2，整理得a2b2c2。 能力探索4如图，以直角三角形ABC的三条边为边，分别向外作正方形，那么三个正方形的面积有什么关系？试说明。答案：S1S2S3。设ABC的三边分别是a、b、c，因为ABC是直角三角形，那么有a2b2c2，而S1 b2，S2 a2，S3c2，所以S1S2S3。聪明泉智斗猪八戒 话说唐僧师徒西天取经归来，来到郭家村，受到村民的热烈欢迎，大家都把他们当作除魔降妖的大英雄，不仅与他们合影留念，还拉他们到家

7、里作客。 面对村民的盛情款待，师徒们觉得过意不去，一有机会就帮助他们收割庄稼，耕田耙地。开始几天猪八戒还挺卖力气，可过不了几天，好吃懒做的坏毛病又犯了。他觉得这样干活太辛苦了，师傅多舒服，只管坐着讲经念佛就什么都有了。其实师傅也没什么了不起的，要不是猴哥凭着他的火眼金睛和一身的本领，师傅恐怕连西天都去不了，更别说取经了。要是我也有这么一个徒弟，也能有一番作为，到那时，哈哈，我就可以享清福了。于是八戒就开始张落起这件事来，没几天就召收了9个徒弟，他给他们取名：小一戒、小二戒小九戒。按理说，现在八戒应该潜心修炼，专心教导徒弟了。可是他仍然恶习不改，经常带着徒弟出去蹭吃蹭喝，吃得老百姓叫苦不迭。老百

8、姓想着他们曾经为大家做的好事，谁也不好意思到悟空那里告状。就这样，八戒们更是有恃无恐，大开吃戒，一顿要吃掉五、六百个馒头，老百姓被他们吃得快揭不开锅了。 邻村有个叫灵芝的姑娘，她聪明伶俐，为人善良，经常用自己的智慧巧斗恶人。她听了这件事后，决定惩治一下八戒们。她来到郭家村，开了一个饭铺，八戒们闻讯赶来，灵芝姑娘假装惊喜地说：“悟能师傅，你能到我的饭铺，真是太荣幸了。以后你们就到我这儿来吃饭，不要到别的地方去了。”她停了一下说：“这儿有张圆桌，专门为你们准备的，你们十位每次都按不同的次序入座，等你们把所有的次序都坐完了，我就免费提供你们饭菜。但在此之前，你们每吃一顿饭，都必须为村里的一户村民做一

9、件好事，你们看怎么样？”八戒们一听这诱人的建议，兴奋得不得了，连声说好。于是他们每次都按约定的条件来吃饭，并记下入座次序。这样过了几年，新的次序仍然层出不穷，八戒百思不得其解，只好去向悟空请教。悟空听了不禁哈哈大笑起来，说：“你这呆子，这么简单的帐都算不过来，还想去沾便宜，你们是永远也吃不到这顿免费饭菜的。”“难道我们吃二、三十年，还吃不到吗？”悟空说：“那我就给你算算这笔帐吧。我们先从简单的数算起。假设是三个人吃饭，我们先给他们编上1、2、3的序号，排列的次序就有6种，即123，132，213，231，312，321。如果是四个人吃饭，第一个人坐着不动，其他三个人的座位就要变换六次，当四个人

10、都轮流作为第一个人坐着不动时，总的排列次序就是6424种。按就样的方法，可以推算出：五个人去吃饭，排列的次序就有245120种10个人去吃饭就会有3628800种不同的排列次序。因为每天要吃3顿饭，用36288003就可以算出要吃的天数：1209600天，也就是将近3320年。你们想想，你们能吃到这顿免费饭菜吗？”经悟空这么一算，八戒顿时明白了灵芝姑娘的用意，不禁羞愧万分。 从此以后，八戒经常带着徙弟们帮村民们干活，他们又重新赢得了人们的喜欢。拓展挑战你能利用下面的图发现a2b2（ab）（ab）这一公式吗？利用你所学的面积计算的知识，探索一下。【思路点拨】根据上图可知，a、b分别是两个正方形的

11、边长，要求a2b2，也就是求两个正方形的面积差，即左下图中阴影部分的面积。将图形如右下图所示转换，即可得出阴影部分面积是（ab）（ab），所以a2b2（ab）（ab）。 能力探索5如图，边长为（m3）厘米的正方形纸片，剪出一个边长为m厘米的正方形之后，剩下的部分可以剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），已知长方形的宽为3厘米，则它的长是（ ）厘米。答案：2m3。剩下部分的面积是（m3）2m2，利用上面公式有（m3）2m2（m3m）（m3m）（2m3）3，所以长是2m3。课堂小测1、下面每个三角形图都是由一些相同的小三角形组成的。如果小三角形的边长是1，每个三角形的周长分别是多少？如果摆成一个n层的

12、大三角形，它的周长又是多少？答案：每个三角形的周长分别是3、6、9和12；如果摆成一个n层的大三角形，它的周长是3n。2、我国宋代数学家杨辉在公元1261年撰写了详解九章算法，他在这本著作中画了一个由数构成的三角形图，我们把它称为“杨辉三角”。根据 “杨辉三角”每行的和与所在行的关系列表如下，请将表格填写完整。行数第1行第2行第3行第4行第5行第6行和1来源:Z_xx_k.Com2 （ ）（ ）（ ）（ ）规律后一行的和是前一行和的（ ）倍。答案：行数第1行第2行第3行第4行第5行第6行和12 （ 4 ）（ 8 ）（16）（32）规律后一行的和是前一行和的（ 2 ）倍。来源:Z,xx,k.Com3、观察如图的点子图，找一找有什么规律，想一想，第8个图里有_个点，第n个图有_个点。来源:学科网答案：第8个图里有29个点，第n个图有4n3个点。4、图中，S1S7是各正方形的面积，你能说一说S7与其它几个正方形的面积关系吗？答案：S7S3S6；而S3S1S2，S6S4S5，所以S7S1S2S4S5。