吉林省梅河口市第五中学高一（奥赛班）暑期考试数学（文）试题.docx

1、梅河口市第五中学高一暑期奥赛班数学试题（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 x 2y 2 xy1、已知集合 M= x+= 1 ， N = y+= 1 ，则 M N = （） 94 32A、 B、(3,0), (2,0)C、 -3,3D、3,22、以下有关命题的说法错误的是（） A、命题“若 x 2 - 3x + 2 = 0 ，则 x = 1 ”的逆否命题为“若 x 1 ,则 x2 - 3x + 2 0 ”B、若 p q 为假命题，则 p 、 q 均为假命题C、“ x = 1”是“ x 2 - 3x + 2

2、= 0 ”的充分不必要条件D、对于命题 p : $x0 R ，使得 x0+ x0 + 1 f ( x)， 则 当a 0 时 ，f (a)和ea f (0)大 小 关 系 为A、 f (a) ea f (0)2C、 f (a) = ea f (0)D、 f (a ) e a f (0)11、已知椭圆 x + y94= 1 的左、右顶点分别为 A1 和 A2，垂直于椭圆长轴的动直线与椭圆的两个交点分别为 P1 和 P2，其中 P1 的纵坐标为正数，则直线 A1P1 与 A2P2 的交点 M 的轨迹方程 （）A、 x+ y = 1B、 y+ x = 1C、 x- y = 1D、 y - x = 19

3、494949412、如图，过双曲线 x- y = 1 的左焦点 F 引圆 x2+y2=16 的切线，切点为 T，延长 FT 交双曲线右支于 P 点，若 M1625为线段 FP 的中点，O 为坐标原点，则 MO - MT = （）A、1 B、 3C、 5D、 224二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13、与双曲线 x - y= 1 有共同渐近线，且过点 (2,2) 的双曲线方程是 。5414、在随机数模拟试验中，若 x = 3 * rand （）,y = 2 * rand （）,共做了 m 次试验，其中有 n 次满足x + y 1 ，94则椭圆 x+ y = 1 的面

4、积可估计为 。 ( rand （）表示生成 0 到 1 之间的随机数 )9415、以下四个关于圆锥曲线的命题中：设 A、B 为两个定点，k 为非零常数，若|PA|PB|=k，则动点 P 的轨迹为双曲线；过定圆 C 上一定点 A 作圆的动弦 AB，O 为坐标原点，若 OP = 1 OA + 1 OB ，则动点 P 的轨迹为椭圆；抛物线 x = ay 2 (a 0) 的焦点坐标是 ( 14a22,0) ；曲线 x- y = 1 与曲线x+ y= 1 （l35 且l10）有相同的焦点16935 - l10 - l其中真命题的序号为 。16、若 0 x 2，且 z = x + 2 y ，则 z 的取值

5、范围是 。sin x y cos x三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（10 分）已知 a 0 ，设命题 p:函数 y = a x 在 R 上单调递增；命题 q:不等式 ax2 - ax + 1 0 对 x R 恒成立，若p 且 q 为假，p 或 q 为真，求 a 的取值范围。118、（12 分）已知函数 f(x)x3ax2(a21)xb (a，bR)，其图象在点(1，f(1)处的切线方程为 xy30.3(1)求 a，b 的值；(2)求函数 f(x)的单调区间，并求出 f(x)在区间2,4上的最大值。19、（12 分）数列an 的前 n

6、 项和为 Sn ， a1 = 1 ， an +1 = 2Sn + 1 (n N) ，等差数列bn 满足 b3 = 3, b5 = 9 .（1）分别求数列an ，bn 的通项公式；（2）设 cn= bn + 2a n + 2(n N * ) ，求证 c cn 1 。320、（12 分）定义在 R 上的函数 f(x)ax3bx2cx3 同时满足以下条件：f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，)上是增函数； f ( x) 是偶函数；f(x)在 x0 处的切线与直线 yx2 垂直(1)求函数 yf(x)的解析式；(2)设 g(x) ln x - m ，若存在实数 x1，e，使 g(x) b 0) 的

7、焦距为 4,且过点 P( 2，3) .(2)设 Q( x0 , y0 )( x0 y0 0) 为椭圆 C 上一点,过点 Q 作 x 轴的垂线,垂足为 E .取点 A(0, 2 2 ) ,连接 AE ,过点 A 作 AE 的垂线交 x 轴于点 D .点 G 是点 D 关于 y 轴的对称点,作直线 QG ,问这样作出的直线 QG 是否与椭圆 C 一定有 唯一的公共点?并说明理由。一选择题：1.C；2.B；3.C；4.A；5.D；6.A；7.B；8.D；9.D；10.B；11.C；12.A 二填空题：213 5 y4- x 2 = 1；1424nm；15；16.三、解答题：17、解：y=ax 在 R

8、 上单调递增，a1；2 分 又不等式 ax2-ax+10 对 xR 恒成立，0，即 a2-4a0，0a4，4 分q：0a4而命题 p 且 q 为假，p 或 q 为真，那么 p、q 中有且只有一个为真，一个为假若 p 真，q 假，则 a4；6 分若 p 假，q 真，则 0a18 分所以 a 的取值范围为（0，14，+）10 分18、解：(1)f(x)x22axa21，(1，f(1)在 xy30 上，f(1)2，1(1,2)在 yf(x)上，23aa21b，又 f(1)1，a22a10，解得 a1，b8 6 分3x3238，f(x)x22x，3由 f(x)0 可知 x0 和 x2 是 f(x)的极

9、值点，所以有x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)极大值极小值所以 f(x)的单调递增区间是(，0)和(2，)，单调递减区间是(0,2)9分f(0)83，f(2)43，f(2)4，f(4)8，在区间2,4上的最大值为 8. 12 分19、解：解：（1）由 an +1 = 2Sn + 1 -得 an = 2Sn -1 + 1 -， - 得 an +1 - an = 2(Sn - Sn -1 ) ， an +1 = 3an 2 分 a = 3n -1 ；3 分 b5 - b3 = 2d = 6, d = 3 4 分 bn = 3n - 66 分（2）因为an + 2= 3n +1 ,

10、 b3nn= 3n-8 分所以c= = 9 分n 3n +1 3n所以 cn +1- cn= 1 - 2n 03n +110 分c c c = 1n +1 n 1 3111 分所以 cn +1 cn 12 分20、解：（(1)f(x)3ax22bxc，f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，)上是增函数，f(1)3a2bc01 分由 f(x)是偶函数得：b02 分又 f(x)在 x0 处的切线与直线 yx2 垂直，f(0)c13 分由得：a13，b0，c1，即 f(x)1x3x3. 4 分3(2)由已知得：存在实数 x1，e，使 lnxm xxlnxx3x6 分 设 M(x)xlnxx3xx1

11、，e，则 M(x)lnx3x227 分设 H(x)lnx3x22，则 H(x)1x6x16x x8 分x1，e，H(x)0，即 H(x)在1，e上递减于是，H(x)H(1)，即 H(x)10，即 M(x)2ee3 为所求21、解: (1)抛物线 C：y24x 的焦点为 F(1,0)，代入直线 y1xb2可得 b12l：y1 11 分设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，x，22 y 2 = 4 x联立 ，消去 y 得 x218x10， y =1 x - 122x1x218，x1x21，(方法一)|AB| 1k2|x1x2|5x1x2 24x1x220. 4 分4(方法二)|AB|x1x2p1

12、8220. 4 分(2)假设存在满足要求的直线 l：y12xb，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， y 2 = 4 x联立 ，消去 x 得 y28y8b0， y =1 x + b2y1y28，y1y28b，6 分设直线 OA、OB 的倾斜角分别为、 ，斜率分别为 k1 、k2 ，则 135，tan()tan135，1，8 分k1k2 1k1k2y14y2 4其中 k1 ，k2 ，代入上式整理得x1y1x2 y2y1y2164(y1y2)0，10 分8b16320，即 b2，11 分 代入6432b1280，满足要求综上，存在直线 l：y1 2 使得直线 OA、OB 的倾斜角之和为 135

13、.12 分222、解: (1)因为椭圆过点 P( 2，3) 2 + 3 = 1a2 b2且 a2 = b2 + c2x2 y 2 a 2 = 8b2 = 4c2 = 4椭圆 C 的方程是+ = 184（4 分）(2)由题意,各点的坐标如上图所示,（6 分）则 QG 的直线方程:y - 0 =x - 8x0y0 x - 8x0化简得 x y x - ( x 2 - 8) y - 8 y = 0（8 分）又 x02 + 2 y 2= 8 ,x2所以 x0 x + 2 y0 y - 8 = 0 带入y 2+ = 184得 x2 - 2 xx+ x 2 = 0（11 分）求得最后 D = 0所以直线 QG 与椭圆只有一个公共点.（12 分）