四川省成都市第七中学高考一轮复习提升竞赛数学讲义：16函数综合(2)（含解析）.docx

1、A16.函数综合(2)一、基础知识1.恒成立与存在性问题是函数问题的一个较基本的存在形式.2.函数、向量、三角函数的综合.函数思想.二、典型例题与基本方法1.函数是定义在上的偶函数,且对任意的,都有.当时,.若直线与函数的图象有两个不同的公共点,则实数的值为 2.在锐角三角形中,若,则的最小值是 3.将的图象向右平移2个单位后得曲线,将的图象向下平移2个单位后得曲线与关于轴对称.若的最小值为且,则实数的取值范围为 4.在中,过顶点作的垂线,垂足为且满足.(1)求； (2)存在实数,使得向量,令,求的最小值.5.已知函数.(1)若不等式恒成立,求实数的最大值；(2)当时,函数有零点,求实数的取值

2、范围.6.已知,函数的最大值为.(1)求函数的单调递减区间；(2)在中,内角的对边分别为,若恒成立,求实数的取值范围.7.已知向量,函数的图象的对称中心与对称轴之间的最小距离为.(1)求的值,并求函数在区间上的单调增区间；(2)中,角的对边分别为,求的值.8.已知函数.(1)当时,求函数的单调递增与单调递减区间.(2)当时,函数在区间上的最大值为,试求实数的取值范围.(3)当时,若不等式对任意恒成立,求实数的取值范围.9.定义在上的奇函数,已知当时,.(1)求在上的解析式；(2)若时,不等式恒成立,求实数的取值范围.10.已知函数.(1)若,判断函数的奇偶性,并加以证明；(2)若函数在上是增函

3、数,求实数的取值范围；(3)若存在实数,使得关于的方程有三个不相等的实数根,求实数的取值范围.11. 已知,设函数.(1)若时,求函数的单调区间；(2)若,对于任意的,不等式恒成立,求实数的最大值及此时的值.B16.练习 姓名： 1.已知满足是的外心,且,则的面积是 2.将函数的图象向右平移个单位后得到函数 的图象,则正数的最小值等于 3.已知向量与的夹角为.定义,若,则的取值范围为 4.已知幂函数在上是增函数,且在定义域上是偶函数.(1)求的值,并写出相应的函数的解析式；(2)对于(1)中求得的函数设函数则是否存在实数使得在区间上是减函数,且在区间上是增函数?若存在,请求出来；若不存在,请说

4、明理由.5.已知函数.(1)判断函数在上的单调性并加以证明；(2)若函数有四个不同的零点,求实数的取值范围.A16.函数综合(2)一、基础知识1.恒成立与存在性问题是函数问题的一个较基本的存在形式.2.函数、向量、三角函数的综合.函数思想.二、典型例题与基本方法1.函数是定义在上的偶函数,且对任意的,都有.当时,.若直线与函数的图象有两个不同的公共点,则实数的值为 解：因为函数 fx 是定义在 R 上的偶函数,且对任意的 xR,都有 fx+2=fx.所以函数 fx 周期为 2,又当 0x1 时,fx=x2.结合其图象及直线 y=x+a 可知,直线 y=x+a 与函数 y=fx 的图象有两个不同

5、的公共点,包括相交、一切一交等两种情况,如图：在图示的情况下,它们有两个公共点.实数 a 的值为2n 或 2n-14 nZ2.在锐角三角形中,若,则的最小值是 解：由 sinA=sinB+C=2sinBsinC,得 sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC.两边同时除以 cosBcosC,得 tanB+tanC=2tanBtanC.令 tanB+tanC=2tanBtanC=m,又 ABC 是锐角三角形,所以 2tanBtanC=tanB+tanC2tanBtanC,则 tanBtanC1,所以 m2.又在三角形 ABC 中,有 tanAtanBtanC=-tanB+CtanBt

6、anC=-m1-12m12m=m2m-2=m-2+4m-2+42m-24m-2+4=8, 当且仅当 m-2=4m-2,即 m=4 时取等号,故 tanAtanBtanC 的最小值为 8. 3.将的图象向右平移2个单位后得曲线,将的图象向下平移2个单位后得曲线与关于轴对称.若的最小值为且,则实数的取值范围为 解：首先应求出 gx 的表达式,曲线 C1 对应的函数式为 y=2x-2-a2x-2,曲线 C2 与 C1 关于 x 轴对称,因此 C2 的函数解析式为 y=-2x-2-a2x-2=-2x-2+a2x-2,C2 向上平移 2 个单位,就是函数 gx 的图象,则 gx=-2x-2+a2x-2+

7、2. Fx=2xa-12x-2x-2+a2x-2+2,其最小值大于 2+7,说明函数 Gx=2xa-12x-2x-2+a2x-2=4-a4a2x+4a-12x 的最小值大于 7.下面观察函数 Gx,若 4-a4a 0,则当 x+ 时,Gx-,Gx 无最小值,同理当 4a-17,解得 12a2.4.在中,过顶点作的垂线,垂足为且满足.(1)求；(2)存在实数,使得向量,令,求的最小值.解：(1) 由 AD=511DB,且 A,B,D 三点共线,可知 AD=511DB.又 AD=5,所以 DB=11.在 RtADC 中,CD2=AC2-AD2=75,在 RtBDC 中,BC2=DB2+CD2=19

8、6,所以 BC=14.所以 AB-AC=CB=14.(2) 由(1)知 AB=16,AC=10,BC=14.由余弦定理,得 cosA=102+162-14221016=12.由 x=AB+tAC,y=tAB+AC,知k=xy=AB+tACtAB+AC=tAB2+t2+1ACAB+tAC2=256t+t2+1161012+100t=80t2+356t+80.由二次函数的图象,可知该函数在 1,+ 上单调递增,所以当 t=1 时,k 取得最小值 516.5.已知函数.(1)若不等式恒成立,求实数的最大值；(2)当时,函数有零点,求实数的取值范围.解：(1)因为 fx=x-a+12a,所以 fx+m

9、=x+m-a+12a,所以 fx-fx+m=x-a-x+m-am,所以 m1,所以 -1m1,所以实数 m 的最大值为 1.(2)当 a12 时, gx=fx+2x-1=x-a+2x-1+12a=-3x+a+12a+1,x12, 所以 gxmin=g12=12-a+12a=-2a2+a+12a0,所以 0a12,-2a2+a+10 或 a0,-2a2+a+10, 所以 -12a0,所以实数 a 的取值范围是 -12,0.最好数形结合做出.6.已知,函数的最大值为.(1)求函数的单调递减区间；(2)在中,内角的对边分别为,若恒成立,求实数的取值范围.解：(1) 函数fx=ab=23sinxcos

10、x+sinx+cosxsinx-cosx=3sin2x-cos2x=232sin2x-12cos2x=2sin2x-6因为 fx 的最大值为 2,所以解得 =1,则 fx=2sin2x-6.由 2k+22x-62k+32,可得：2k+232x2k+53,k+3xk+56,所以函数 fx 的单调减区间为 k+3,k+56,kZ.(2)由 cosA=2b-a2c=b2+c2-a22bc,可得 2b2-ab=b2+c2-a2,即 b2+a2-c2=ab,解得 cosC=12,即 C=3.因为 0A23,所以 -62A-676,所以 -120 恒成立,则 2sin2A-6m 恒成立,即 m-1.7.已

11、知向量,函数的图象的对称中心与对称轴之间的最小距离为.(1)求的值,并求函数在区间上的单调增区间；(2)中,角的对边分别为,求的值.解： (1) fx=mn=3sinx+3-cosx+3=2sinx+6 由于图象的对称中心与对称轴的最小距离为 4,所以 T=2=44=,=2,令 2k-22x+62k+2,解得 k-3xk+6kZ,又 x0,所以所求单调增区间为 0,6,23,.(2) 因为 fA=2sin2A+6=1,所以 sin2A+6=12,所以 2A+6=2k+6 或 2A+6=2k+56, 所以 A=k 或 A=k+3kZ,又 A0,故 A=3,因为 cosC=35,C0,所以 sin

12、C=45,所以 sinB=sinA+C=sin3+C=33+410,由正弦定理得 bsinB=asinA,所以 b=53sinBsinA=33+4.8.已知函数.(1)当时,求函数的单调递增与单调递减区间.(2)当时,函数在区间上的最大值为,试求实数的取值范围.(3)当时,若不等式对任意恒成立,求实数的取值范围.解： (1) 当 a=k=1 时,y=2x+1x-1,由对勾函数的性质可知当 x0 时,x0,22 为单调递减区间；当 x22,+ 为单调递增区间；当 x0,所以 12x+223xm,因为 gx=12x+223x 在 R 上单调递减,所以 x-2,-1 时,gx=12x+223x 的最

13、大值为 g-2=12-2+223-2=172,所以 m172.10.已知函数.(1)若,判断函数的奇偶性,并加以证明；(2)若函数在上是增函数,求实数的取值范围；(3)若存在实数,使得关于的方程有三个不相等的实数根,求实数的取值范围.解：. (1) 函数 y=fx 为奇函数.当 a=0 时,fx=xx+2x,所以 f-x=-xx-2x=-fx,所以 函数 y=fx 为奇函数.(2) fx=x2+2-2ax,x2a-x2+2+2ax,x2a,当 x2a 时,fx 的对称轴为：x=a-1；当 x1 时,即 2aa+1a-1,所以 fx 在 -,a+1 上单调增,在 a+1,2a 上单调减,在 2a

14、,+ 上单调增,所以当 f2atf2afa+1 时,关于 x 的方程 fx=tf2a 有三个不相等的实数根；即 4at4a1,所以 1t14a+1a+2.设 ha=14a+1a+2,因为存在 a-2,2,使得关于 x 的方程 fx=tf2a 有三个不相等的实数根,所以 1thamax,又可证 ha=14a+1a+2 在 1,2 上单调增,所以 hamax=98,所以 1t98.当 a-1 时,即 2aa-1a+1,所以 fx 在 -,2a 上单调增,在 2a,a-1 上单调减,在 a-1,+ 上单调增,所以当 fa-1tf2af2a 时,关于 x 的方程 fx=tf2a 有三个不相等的实数根；

15、即 -a-12t4a4a,因为 a-1,所以 1t-14a+1a-2, 设 ga=-14a+1a-2,因为存在 a-2,2,使得关于 x 的方程 fx=tf2a 有三个不相等的实数根,所以 1tgamax,又可证 ga=-14a+1a-2 在 -2,-1 上单调减,gamax=98,所以 1t98；综上：1t98.11. 已知,设函数.(1)若时,求函数的单调区间；(2)若,对于任意的,不等式恒成立,求实数的最大值及此时的值.解： (1) 当 a=1 时,fx=-x2,x1,x2-2x,x1, 函数 fx 的单调递增区间为 -,0,1,+,单调递减区间为 0,1.(2) fx=-x2+a-1x

16、,xa,x2-a+1x,xa. （i）当 a-1 时,aa-12a+120,fx 在 0,t 上单调递增,fxmin=f0=0,fxmax=ft=t2-a+1t,由题意得 fxmax6,即t2-a+1t6,解得0ta+1+a+12+242,令 m=-a+10,hm=m2+24-m2=12m2+24+m 在 0,+ 上单调递减,所以 hmmax=h0=6,即当 a=-1 时,tmax=6.（ii）当 -1a0 时,a-12a00,hm=m+m2+242 在 0,1 上单调递增,所以 hmmax=h1=3,即当 a=0 时,tmax=3.（iii）当 0a1 时,a-120-2,-1x+2+x,x

17、-2, 函数 fx 在 -2,-1 上递减,证明如下：设 x1,x2-2,-1,且 x1x2,则fx1-fx2=1x1+2-1x2+2+x1-x2=x1-x21-1x1+2x2+2.因为 -2x1x2-1,所以 x1-x20,0x1+2x2+21,所以 1-1x1+2x2+20,即 fx1fx2,所以函数 fx 在 -2,-1 上递减.(2) 函数 gx=fx-2x-m 有四个零点, 函数 fx=1x+2+x 的图象与函数 y=2x+m 的图象有四个交点.结合图象,（i）当 x-2 时,为满足 gx 有 4 个不同的零点,则函数 fx=1x+2+xx-2 的图象与函数 y=2x+m 的图象恰有三个交点符合要求.而 fx=1x+2+xx-2 过点 0,12,结合图象知则m-2 相切时,在 -2,+ 内只有两个交点. y=1x+2+x,y=-2x+m, 消去 y 得 1x+2+3x-m=0 整理得3x2+6-mx+1-2m=0,所以=6-m2-431-2m=0,解得m=-6-23舍去,m=-6+23.所以当 m-6+23,12 时,函数 gx 有 4 个零点.