四川省成都市第七中学高考一轮复习提升竞赛数学讲义：7函数与方程(2)（含解析）.docx

1、A7.函数与方程(2)一、基础知识1.强化数形结合思想：借助于图象解决代数问题,借助于代数性质刻画图象.图象性质和代数性质结合使用.2.强化方程的根的情况可以通过函数与的交点来刻画.二、典型例题与基本方法1.已知,若关于的方程有且只有一个解,则实数的取值范围是 2.已知函数则函数的零点个数为 3.已知,函数的零点分别为函数的零点分别为,则的最小值为 4.定义在上的奇函数,当时,则函数的所有零点之和为 5.已知函数若函数有三个不同的零点,则实数的取值范围是 6.若直线与函数且的图象有两个公共点,则的取值范围是 7.已知直线与的图象恰有四个不同的交点,则实数的取值范围为 8.已知以为周期的函数其中

2、若方程恰有5个不同的实数解,则实数的取值范围为 9.已知函数(1)若存在,使 求实数的取值范围；(2)若对任意,都存在使得成立,求实数的最小值10.设(1)若在上有两个不相等的实根,求的取值范围；(2)若存在,使得对任意的都有成立,求实数的取值范围. 11.已知函数的图象经过点且函数与函数的图象只有一个交点 (1)求函数与的解析式；(2)设函数求的最小值与单调区间；(3)设解关于的方程.B7.练习 姓名： 1.已知则方程的实根的个数是 2.已知函数有两个相异的零点.若这两个零点均比1大,则实数的取值范围为 3.已知函数若直线与函数的图象有个交点,则实数的取值范围为 4.已知函数函数其中若函数恰

3、有4个零点,则的取值范围是 5.对实数与,定义新运算“”：设函数.若函数的图象与轴恰有两个公共点,则实数的取值范围是 6.对于实数定义运算“”：,设,且关于的方程恰有三个互不相等的实数根则的取值范围是 7.已知函数(1)当时,求函数的零点. (2)若函数有零点,求实数的取值范围.8.若关于的方程有两个不同的实数解,求实数的取值范围A7.函数与方程(2)一、基础知识1.强化数形结合思想：借助于图象解决代数问题,借助于代数性质刻画图象.图象性质和代数性质结合使用.2.强化方程的根的情况可以通过函数与的交点来刻画.二、典型例题与基本方法1.已知,若关于的方程有且只有一个解,则实数的取值范围是 解：画

4、出的图象,结合图象,则实数的取值范围是2.已知函数则函数的零点个数为 解：画出与的图象,可知,它们有个交点,所以零点个数为3.已知,函数的零点分别为函数的零点分别为,则的最小值为 解：由题知,所以所以又所以,所以的最小值为4.定义在上的奇函数,当时,则函数的所有零点之和为 解：由题可画出函数的图象,如图：显然与图象有个交点,故有 个零点,从左到右依次记为结合图象可知,所以.由可求得所以函数的所有零点之和为5.已知函数若函数有三个不同的零点,则实数的取值范围是 解：画的图象,即与有三个不同交点,由图象得所以实数的取值范围是6.若直线与函数且的图象有两个公共点,则的取值范围是 解：按和分类讨论.结

5、合的图象知当时,只有1个公共点；当时,为满足题设应保证.所以的取值范围是7.已知直线与的图象恰有四个不同的交点,则实数的取值范围为 解：是偶函数,当时,作出的图象.当时,直线与函数的图象有四个公共点；当时,要使它们有四个公共点,则需直线与的图象有一个公共点.由,由方程有两等根,得,解得 当时,根据对称性可得从而满足条件的取值范围是8.已知以为周期的函数其中若方程恰有5个不同的实数解,则实数的取值范围为 解：若则与的交点为3个.要使与有5个交点,所以由图易知直线与第二个折线段无交点,因此当直线 与第一折线段和第二个半椭圆相交,而与第三个半椭圆无公共点时,方程恰有5个实数解.有解.令则恒成立.令则

6、综上知所以实数的取值范围为也可用法求解的边界值.9.已知函数(1)若存在,使 求实数的取值范围；(2)若对任意,都存在使得成立,求实数的最小值解：(1)若存在,使成立,则实数的范围是函数在区间上的值域,因为函数在区间上为减函数,可得的值域为所以实数的取值范围为(2)因为对任意,都存在使得成立,所以在区间上的值域是函数在区间上值域的子集.函数在区间上为减函数,所以在区间上的值域为函数在区间上为增函数,所以在区间上的值域为所以又所以所以实数的最小值为2.10.设(1)若在上有两个不相等的实根,求的取值范围；(2)若存在,使得对任意的都有成立,求实数的取值范围. 解： (1)依题意可设其中又因为所以

7、从而于是(2)由题意,问题转化为对任意的恒成立.对于函数,令则则问题转化为对任意的恒成立.因为的对称轴为当即时,当即时,当即时,所以当时,对恒成立,即对恒成立.所以于是从而当时,对恒成立,则对恒成立,因为所以于是或从而.当时,对恒成立,则对恒成立,得从而综上,满足题意的范围是11.已知函数的图象经过点且函数与函数的图象只有一个交点 (1)求函数与的解析式；(2)设函数求的最小值与单调区间；(3)设解关于的方程.解：(1)由函数的图像经过点得解得从而 由函数与函数的图象只有一个交点,得 又从而 (2) 当即时,在为减函数,在为增函数. (3)原方程可化为 即.即也就是令如图所示当时,原方程有一解

8、；当时,原方程有两解；当时,原方程有一解；当或时,原方程无解 B7.练习 姓名： 1.已知则方程的实根的个数是 解：分别作出和的图象,图象有两个交点,故方程的实根的个数为2.2.已知函数有两个相异的零点.若这两个零点均比1大,则实数的取值范围为 解：设两个零点为从而有即有解得实数的取值范围为3.已知函数若直线与函数的图象有个交点,则实数的取值范围为 解：的图象如下：从而所以实数的取值范围为4.已知函数函数其中若函数恰有4个零点,则的取值范围是 解：函数有4个零点,即方程有4个不同的实根,函数和函数的图象关于直线对称,画出它们的图象如图所示.分析知,当时,当时,再由对称性,可以画出函数的图象,如

9、图所示,结合图象分析,的取值范围是5.对实数与,定义新运算“”：设函数.若函数的图象与轴恰有两个公共点,则实数的取值范围是 解：函数 由图可知,函数与的图象有两个公共点,所以实数的取值范围是6.对于实数定义运算“”：,设,且关于的方程恰有三个互不相等的实数根则的取值范围是 解：不妨设,由已知可得 ,画出及的图象如图所示.由已知条件结合图象可知, 所以因为,所以所以的取值范围是7.已知函数(1)当时,求函数的零点. (2)若函数有零点,求实数的取值范围.解：(1)或(舍去).所以所以函数的零点为0.(2)若函数有零点,则有解.于是令则于是所以所以实数的取值范围为8.若关于的方程有两个不同的实数解,求实数的取值范围解：已知方程等价于即于是令则已知方程有两个不同的实数解当且仅当与的图象有两个不同的交点.如图可得到所以实数的取值范围为