2012高考总复习数学文科新人教A版课件第4单元 第3节 平面向量的数量积及应用举例.ppt

1、第三节平面向量的数量积及平面向量的应用举例基础梳理|a|b|cos|a|b|cos1.平面向量的数量积(1)平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b,它们的夹角为,把数量叫做a和b的数量积(或内积),记作ab,即ab=,并规定零向量与任一向量的数量积为.0|a|cos(2)a在b方向上的投影设为两个非零向量a,b的夹角，则叫做a在b方向上的投影.b在a方向上的投影（3）ab的几何意义数量积ab等于a的长度|a|与|b|cos的乘积.|a|cos0|a|b|2.向量的数量积的性质设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,是a与e的夹角,则(1)ea=ae=.(2)abab=.(3)当a

2、与b同向时,ab=.当a与b反向时,ab=.特别地:aa=a2=|a|2或|a|=.(4)|ab|a|b|.(5)cosa,b=.-|a|b|baa(b)(ab)3.向量数量积的运算律(1)ab=(交换律);(2)(a)b=(数乘结合律);(3)(a+b)c=(分配律).ac+bc联系向量问题向量运算几何关系x1x2+y1y2x1x2+y1y2=04.平面向量数量积的坐标表示a=(x1,y1),b=(x2,y2).(1)ab=；(2)|a|=,|b|=;(3)ab ;(4)若a与b夹角为,则cos=(5)若A(x1,y1)，B（x2,y2）,则A、B两点间的距离为|AB|=.5.平面向量在平面

3、几何中的应用用向量方法解决几何问题一般分四步:(1)选好基向量；(2)建立平面几何与向量的,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为;(3)通过研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;(4)把运算结果“翻译”成.3.（2011嘉兴模拟）向量a的模为10，它与x轴的夹角为150，则它在x轴上的投影为.基础达标1.（教材改编题）边长为2的等边三角形ABC中，ABBC的值为.2.（教材改编题）设向量a=(4,5)，b=(-1,0),则向量a+b与a-b的夹角的余弦值为.-2 1.解析：2.解析：ab(3,5)，ab(5,5)，cosab，ab4.如图，在平行四边形ABCD中，AC=(

4、1,2)，BD=(-3,2),则ADAC=.3 3.解析：a在x轴上的投影为|a|cos 15010 .4.解析：令则a(2,0)，b(1,2)，所以b(ab)3.5.(教材改编题)已知a=(1,6),b=(2,k),若ab,k=;若ab，则k=.12 13-解析：若ab，则1k620，k12.若ab，则ab0，126k0，k.13-经典例题题型一平面向量的数量积【例1】已知a,b是非零向量.（1）若ab，判断函数f(x)=(x a+b)(x b-a)的奇偶性；（2）若f(x)为奇函数，证明：ab.解：（1）f(x)=x2ab+(b2-a2)x-ab,ab,ab=0，f(x)=(b2-a2)x

5、.当|a|b|时，f(x)为奇函数；当|a|=|b|时，f(x)既是奇函数又是偶函数.（2）因为f(x)为奇函数，所以f(-x)=-f(x)对于xR恒成立，所以f(0)=0,即-ab=0,又a,b是非零向量，故ab.变式1-1已知向量a=(cosx,sinx),b=(3,-1),且f(x)=ab，求f(x)的最大值.解：f(x)=ab=cosx-sinx=2（cosx-sinx）,f(x)=2sin（-x）,f(x)max=2.题型二模与垂直问题【例2】（2010广东改编）已知向量a=(1,1)，b=(2，5)，c=(3，x).(1)若|2a+b-c|=1,求实数x的值；(2)若(8a-b)c

6、，求实数x的值.解：(1)2a+b-c=2(1,1)+(2,5)-(3,x)=(1,7-x).又|2a+b-c|=1,(7-x)2=0,x=7.(2)8a-b=8(1,1)-(2,5)=(6,3).由(8a-b)c,得18+3x=0,x=-6.变式2-1已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是120.(1)计算|a+b|,|4a-2b|;(2)k为何值时，(a+2b)(ka-b)?解：由已知,ab=48-（）=-16.(1)|a+b|2=a2+2ab+b2=16+2(-16)+64=48,|a+b|=.|4a-2b|2=16a2-16ab+4b2=1616-16(-16)+464=3162,

7、|4a-2b|=.(2)若(a+2b)(ka-b),则(a+2b)(ka-b)=0,ka2+(2k-1)ab-2b2=0,即16k-16(2k-1)-264=0,k=-7.题型三夹角问题【例3】（2011台州模拟）在ABC中，满足ABAC，M是BC的中点.若|AB|=|AC|，求向量AB+2AC与2AB+AC的夹角的余弦值.解：设向量AB+2AC与向量2AB+AC的夹角为，|AB|=|AC|=a,ABAC,|AB|=|AC|,(AB+2AC)(2AB+AC)=2AB2+5ABAC+2AC2=4a2,|AB+2AC|=,同理可得|2AB+AC|=,cos=变式3-1(2011北京模拟)已知非零向

8、量a,b满足|a|=2|b|,且b(a+b),求向量a,b的夹角a,b.解：|a|=2|b|,b(a+b),ba+b2=0,ab=-|b|2.又cosa,b=又a,b0,a,b=.易错警示【例】已知a,b均为单位向量，且ab,若向量a+b与a+2b的夹角为钝角，求的取值范围.错解：|a|=|b|=1,ab=0,(a+b)(a+2b)=a2+(2+2)ab+2b2=+2=3.又a+b与a+2b的夹角为钝角，(a+b)(a+2b)0,30,0.错解分析cosa,b0a,b ,本题中a+b,a+2b为钝角，故须a+b,a+2b=时的的值舍去.正解：a+b与a+2b的夹角为钝角，(a+b)(a+2b)

9、0,即0,且,.综上，的取值范围为(-,-)(-,0).链接高考1.（2010天津）如图，在ABC中，ADAB,BC=BD,|AD|=1,则ACAD=()A.2 B.C.D.B.知识准备:1.平面向量的数量积公式;2.基底向量表示目标向量.1.D解析：由图可得：ACAD=(AB+BC)AD=ABAD+BCAD=0+BDAD=(BA+AD)AD=|AD|2=.2.（2010安徽）设向量a=(1,0)，b=（,）,则下列结论中正确的是()A.|a|=|b|B.ab=C.a-b与b垂直D.ab知识准备:1.向量的长度及数量积的坐标运算公式；2.向量平行、垂直的坐标判定方法.2.C解析:由|a|=,|b|=,所以|a|b|,故A错误;由ab=1 +0 =,故B错误;由(a-b)b=+（-）=0,所以(a-b)b,故C正确;显然D错误.