2013版高三新课标理科数学一轮复习课件 2.10 函数模型及其应用.ppt

1、第十节函数模型及其应用三年9考高考指数:1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.1.函数模型的应用是高考考查的重点.2.建立函数模型解决实际问题是高考命题的热点，常与导数、均值不等式、函数的单调性、最值等交汇命题，主要考查建模能力及分析问题和解决问题的能力.3.选择题、填空题、解答题三种题型都有所涉及，但以解答题为主.1.三种函数模型性质比较y=ax(a1）y=logax (a1）y=xn(n0)在(0,+)上的单调性增长速度图

2、象的变化相对平稳随n值变化而不同单调增函数单调增函数单调增函数越来越快越来越慢随x值增大,图象与y轴接近平行随x值增大,图象与x轴接近平行【即时应用】(1)思考：对于直线上升、指数增长、对数增长三种增长模型，你作为老板，希望公司的利润和员工奖金按何种模型增长?提示:公司的利润选择直线上升或指数模型增长,而员工奖金选择对数模型增长.(2)当x越来越大时，判断下列四个函数中，增长速度最快的是_.y=2x,y=x10,y=lgx,y=10 x2【解析】由函数图象知，y=2x的增长速度最快.答案:(3)函数y=2x与y=x2的图象的交点个数是_.【解析】由y=2x与y=x2的图象知有3个交点.答案:3

3、(4)当2x4时,2x,x2,log2x的大小关系是_.【解析】在同一平面直角坐标系中画出函数y=log2x,y=x2,y=2x的图象,在区间(2，4)内从上往下依次是y=x2,y=2x,y=log2x的图象，所以x22xlog2x.答案:x22xlog2x2.常见的几种函数模型(1)直线模型:一次函数模型y=_,图象增长特点是直线式上升(x的系数k0),通过图象可以直观地认识它,特例是正比例函数模型y=_.(2)反比例函数模型:y=_,增长特点是y随x的增大而减小.kx+b(k0)kx(k0)(3)指数函数模型:y=abx+c(b0,b1,a0)型，其增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的

4、速度越来越快(底数b1,a0)，常形象地称为指数爆炸.(4)对数函数模型:y=mlogax+n(a0,a1,m0)型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢(底数a1,m0).(5)幂函数模型:y=axn+b(a0)型，其中最常见的是二次函数模型:_(a0)，其特点是随着自变量的增大，函数值先减小，后增大(a0).(6)分段函数模型：,其特点是每一段自变量变化所遵循的规律不同.可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的取值范围,特别是端点.y=ax2+bx+c【即时应用】(1)据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了

5、5%，如果按此速度，设2011年的冬季冰雪覆盖面积为m，从2011年起，经过x年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是_.(2)某公司为了适应市场需求对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后期增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用六种常见模型中的_.(3)某种电热水器的水箱盛满水是200 L，加热到一定温度，即可用来洗浴.洗浴时，已知每分钟放水34 L，若放水t分钟时，同时自动注水总量为2t2 L.当水箱内的水量达到最少时，放水程序自动停止，现假定每人洗浴用水量为65 L，则该热水器一次至多可供_人洗浴.【解析】(1)设每年的冰雪

6、覆盖面积与上一年的比为a,则由题意得1-0.05=a50.a=y=()xm=m,xN*.(2)由增长特点知应选对数函数模型.(3)在放水程序自动停止前,水箱中的水量为y=2t2-34t+200=2(t-8.5)2+55.5，由二次函数的性质得，经过8.5 min，放水停止,共出水348.5=289(L)，289654.45.故至多可供4人洗浴.答案：(1)y=m,xN*(2)对数函数模型(3)4利用函数刻画实际问题【方法点睛】用函数图象刻画实际问题的解题思路将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可.【例

7、1】如图所示，向高为H的容器A，B，C，D中同时以等速注水，注满为止：(1)若水深h与注水时间t的函数图象是下图中的(a)，则容器的形状是_;(2)若水量v与水深h的函数图象是下图中的(b)，则容器的形状是_;(3)若水深h与注水时间t的函数图象是下图中的(c)，则容器的形状是_;(4)若注水时间t与水深h的函数图象是下图中的(d)，则容器的形状是_.【解题指南】根据实际问题中水深h,水量v和注水时间t之间的关系，结合图象使之吻合即可.【规范解答】(1)该题图中的(a)说明了注入水的高度是匀速上升的，只有C中的容器能做到，所以应填C；(2)该题图中的(b)说明了水量v增长的速度随着水深h的增长

8、越来越快，在已知的四个容器中，只有A中的容器能做到，所以应填A；(3)该题图中的(c)说明水深h与注水时间t之间的对应关系，且反映出来的是升高的速度是由快到慢再到快，在已知的四个容器中，只有D中的容器能做到，所以应填D；(4)该题图中的(d)说明水深h与注水时间t之间的对应关系，且反映出来的是水深升高的速度是先慢后快，在已知的四个容器中，只有B中的容器能做到，所以应填B.答案：(1)C (2)A (3)D (4)B【反思感悟】用函数刻画实际问题的关键是分析所给实际问题中两个变量间的关系，从中发现其变化的规律，并与函数的图象、性质联系起来，从而使问题解决.利用已知函数模型解决实际问题【方法点睛】

9、利用已知函数模型解决实际问题的步骤若题目给出了含参数的函数模型，或可确定其函数模型的图象,求解时先用待定系数法求出函数解析式中相关参数的值,再用求得的函数解析式解决实际问题.【提醒】要结合实际意义限制自变量的范围.【例2】(1)某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=3 000+20 x-0.1x2(0 x240,xN)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是()(A)100台(B)120台(C)150台(D)180台(2)为了预防流感,某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时

10、间t(小时)成正比;药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y=(a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为_.【解题指南】(1)结合二次函数的性质及实际意义解题即可.(2)结合图象通过特殊点用待定系数法求出关系式.【规范解答】(1)选C.要使生产者不亏本，则有3 000+20 x-0.1x225x,解上式得：x-200或x150,又0 x0,y1=(10-m)x-20为增函数.又0 x200,xN,x=200时,生产A产品有最大利润为(10-m)200-20=1 980-200m(万美元).又y2=-0.05(x

11、-100)2+460,0 x120,xN,当x=100时,生产B产品有最大利润为460(万美元).因为(y1)max-(y2)max=(1 980-200m)-460=1 520-200m所以,当6m7.6时,可投资生产A产品200件;当m=7.6时,投资生产A产品200件与生产B产品100件均可;当7.6m8时,可投资生产B产品100件.【反思感悟】解决这类问题常见的两个误区(1)不会将实际问题转化为函数模型，从而无法求解.(2)在求解过程中忽视实际问题对变量参数的限制条件.【满分指导】函数应用解答题的规范解答【典例】(12分)(2011江苏高考)请你设计一个包装盒.如图所示,ABCD是边长

12、为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.E、F在AB上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设AE=FB=x(cm).(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值?(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.【解题指南】解决本题的关键是根据条件将侧面积和容积表示成x的函数，然后根据二次函数的最值求法和导数法求解.【规范解答】设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm).由已知得2分(1)S

13、=4ah=8x(30-x)4分=-8(x-15)2+1 800,所以当x=15时,S取得最大值.6分(2)V=,8分V=由V=0得x=0(舍)或x=20.9分当x(0,20)时,V0;当x(20,30)时,V0.所以当x=20时,V取得极大值,也是最大值.11分此时，即包装盒的高与底面边长的比值为.12分【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：失分警示在解答本题时有两点容易造成失分：(1)忽视实际问题对变量x的限制即定义域.(2)将侧面积、容积求错，从而造成后续的求解不正确.备考建议解决函数应用的解答题，还有以下几点容易造成失分，在备考中要高度关注：(

14、1)读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型.(2)对涉及到的相关公式，记忆错误.(3)在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确的求解.1.(2012梅州模拟)牛奶保鲜时间因储藏时温度不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度是一种指数函数型关系.若牛奶放在0的冰箱中，保鲜时间约是192 h,而在22的厨房中则约是42 h，则保鲜时间y(h)关于储藏温度x()的函数解析式是()【解析】选D.设y=abx.则由已知得:y=2.(2012佛山模拟)某种产品市场产销量情况如图所示，其中l1表示产品各年年产量的变化规律；l2表示产品各年的销售情况，下列叙述：(

15、1)产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原生产计划进行下去;(2)产品已经出现了供大于求的情况，价格将趋跌；(3)产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销量.你认为较合理的叙述是()(A)(1)(2)(3)(B)(1)(3)(C)(2)(D)(2)(3)【解析】选D.由图象知产品品产量、销售量均以直线上升，但产品产量比销售量上升速度快得多，由此必然产生供大于求的情况,从而导致价格下降，库存积压也越来越严重，由此分析得(2)(3)较为合理.3.(2011湖北高考)里氏地震M的计算公式为:M=lgA-lgA0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震

16、中,测震仪记录的最大振幅是1 000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为级_;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的倍_.【解析】当A0=0.001,A=1 000时,M=lgA-lgA0=lg1 000-lg0.001=设9级地震的最大振幅是A9,5级地震最大振幅是A5,则9=lgA9-lgA0,5=lgA5-lgA0，所以lgA9-lgA5=4，即答案:6 10 0004.(2012潮州模拟)某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合污染指数f(x)与时间x(小时)的关系为f(x)=,其中a是与气象有关的参数,且a0,若用每天f(x)的最大值表示当天的综合污染指数,并记作M(a).(1)令t=,求t的取值范围;(2)求函数M(a);(3)市政府规定,每天的综合污染指数不得超过2,试问目前市中心的综合污染是否超标?请说明理由.【解析】(1)t=,x0,24,x=0时,t=0.0 x24时,t=0t ,t0,.(2)令g(t)=当g(t)max=当g(t)max=g(0)=所以M(a)=(3)当a0,)时,M(a)是增函数,M(a)当a 时,M(a)是增函数,M(a)综上所述,市中心的综合污染没有超标.