2013版高中全程复习方略数学（理） 7.3 空间点、直线、平面之间的位置关系.ppt

1、第三节空间点、直线、平面之间的位置关系三年9考高考指数:1理解空间直线、平面位置关系的定义；2了解可以作为推理依据的公理和定理；3能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题1点、线、面的位置关系是本节的重点，也是高考的热点2.从考查形式看，以考查点、线、面的位置关系为主，同时考查逻辑推理能力和空间想象能力.3从考查题型看，多以选择题、填空题的形式考查，有时也出现在解答题中，一般难度不大，属低中档题1.平面的基本性质图形文字语言公理1 如果一条直线上的_在一个平面内，那么这条直线在此平面内A Bl两点符号语言图形文字语言公理2 过不在_，有且只有一个平面A，B，C三点不共

2、线公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们_条过该点的公共直线若P且P，则=a，且PaCBAPa一条直线上的三点有且只有一个平面，使A,B,C有且只有一符号语言【即时应用】(1)思考：三个公理的作用分别是什么？你能说出公理2的几个推论吗？提示：公理1的作用：()判断直线在平面内；()由直线在平面内判断直线上的点在平面内公理2的作用：确定平面的依据，它提供了把空间问题转化为平面问题的条件公理3的作用：()判定两平面相交；()作两平面的交线；()证明点共线公理2的三个推论为：()经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；()经过两条相交直线，有且只有一个平面；()经过两条平行直线

3、，有且只有一个平面(2)判断下列说法的正误.(请在括号中填写“”或“”)如果两个不重合的平面,有一条公共直线a，就说平面,相交，并记作=a ()两个平面,有一个公共点A，就说,相交于过A点的任意一条直线()两个平面,有一个公共点A，就说,相交于A点，并记作=A ()两个平面ABC与DBC相交于线段BC ()【解析】根据平面的性质公理3可知对；对于，其错误在于“任意”二字上；对于，错误在于=A上；对于，应为平面ABC和平面DBC相交于直线BC.答案：(3)平面,相交，在,内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定_个平面【解析】如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果这四点不共面，则任意

4、三点可确定一个平面，所以可确定四个答案：1或42.空间中两直线的位置关系(1)空间两直线的位置关系图形语言符号语言公共点平行直线ab 个0ab图形语言符号语言公共点相交直线ab=A 个异面直线a,b是异面直线个10Aabba(2)平行公理和等角定理平行公理平行于_的两条直线平行用符号表示：设a,b,c为三条直线，若ab,bc，则ac等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角_同一条直线相等或互补(3)异面直线所成的角定义：已知两条异面直线a,b，经过空间中任一点O作直线aa,bb，把a与b所成的_叫做异面直线所成的角(或夹角)范围：_.锐角(或直角)【即时应用】(1)思考：不相交

5、的两条直线是异面直线吗？不在同一平面内的直线是异面直线吗？提示：不一定因为两条直线没有公共点，这两直线可能平行也可能异面；因为不同在任何一个平面内的直线为异面直线，故该结论不一定正确(2)和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是_.【解析】画出图形分析.图中，AB、CD与异面直线a、b都相交，此时AB、CD异面；图中，AB、AC与异面直线a、b都相交，此时AB、AC相交.答案：异面或相交3.空间直线与平面、平面与平面的位置关系图形语言符号语言公共点直线与平面相交a=A 个平行a个在平面内a个aA10无数aa平面与平面平行 个相交=l个无数0l【即时应用】(1)判断下列说法是否正确.(请在括号

6、中填写“”或“”)经过三点确定一个平面()梯形可以确定一个平面()两两相交的三条直线最多可以确定三个平面()如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合()(2)两个不重合的平面可把空间分成_部分【解析】(1)经过不共线的三点可以确定一个平面，不正确；两条平行线可以确定一个平面，正确；两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面，正确；命题中没有说清三个点是否共线，不正确.(2)当两平面平行时可分为3部分；绷狡矫嫦嘟皇狈治4部分答案：(1)(2)3或4平面的基本性质及其应用【方法点睛】考查平面基本性质的常见题型及解法(1)判断所给元素(点或直线)是否能确定唯一平面，关键是分析所给元素是否具有确定唯一

7、平面的条件，此时需要利用公理2及其推论(2)证明点或线共面问题，一般有两种途径：首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合(3)证明点共线问题，一般有两种途径：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；直接证明这些点都在同一条特定直线上(4)证明线共点问题，常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点【例1】(1)给出以下四个命题不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面；若直线a、b共面，直线a、c共面，则直

8、线b、c共面；依次首尾相接的四条线段必共面.正确命题的个数是()(A)0 (B)1 (C)2 (D)3(2)如图，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，BAD=FAB=90，BCAD且BC=AD，BEAF且BE=AF，G，H分别为FA，FD的中点.证明：四边形BCHG是平行四边形；C，D，F，E四点是否共面？为什么？【解题指南】(1)根据确定平面的公理及推论进行判断.(2)证明BC、GH平行且相等即可；证明EFCH，由此构成平面，再证点D在该平面上【规范解答】(1)选B.假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面.这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线

9、，所以正确.从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线，则结论不正确；不正确；不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形.(2)由题设知，FG=GA，FH=HD，所以GHAD且GH=AD,又BCAD且BC=AD，故GHBC且GH=BC，所以四边形BCHG是平行四边形C，D，F，E四点共面理由如下：由BEAF且BE=AF，G是FA的中点知，BEGF且BE=GF，所以四边形EFGB是平行四边形，所以EFBG.由知BGCH，所以EFCH，故EC，FH共面.又点D在直线FH上，所以C，D，F，E四点共面.空间中两直线的位置关系【方法点睛】判定空间直线位置关系

10、的方法空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决【提醒】在空间中两直线的三种位置关系中，验证异面直线及其所成角是考查的热点.【例2】(1)(2012广州模拟)若a,b是异面直线，b、c是异面直线，则()(A)ac (B)a、c是异面直线(C)a、c相交(D)a、c或平行或相交或异面(2)如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为()(A)ACBD(B)AC截面PQMN(C)AC=BD(D

11、)异面直线PM与BD所成的角为45【解题指南】(1)构造正方体为模型进行判断.(2)结合图形，根据有关的知识逐一进行判断注意本题选择的是错误选项！【规范解答】(1)选D.如图正方体ABCD-A1B1C1D1中，a,b,c的位置有三种情况:AD=a,CC1=b,A1B1=c;AB=a,A1B1=c,CC1=b;A1D1=a,A1B1=c,CC1=b故选D.(2)选C.因为四边形PQMN为正方形，所以PQMN，又PQ 平面ADC，MN 平面ADC，所以PQ平面ADC.又平面BAC平面DAC=AC，所以PQAC.同理可证QMBD.由PQAC，QMBD，PQQM可得ACBD，故A正确；由PQAC可得A

12、C截面PQMN，故B正确；异面直线PM与BD所成的角等于PM与PN所成的角，故D正确；综上知C错误.【反思感悟】解决此类问题常出现的错误是不善于挖掘题中的条件，不能将问题适当地转化；另外，图形复杂、空间想象力不够、分析问题不到位等，也是常出现错误的原因异面直线所成的角【方法点睛】1.找异面直线所成的角的方法(1)利用图中已有的平行线平移；(2)利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；(3)补形平移2.求异面直线所成角的步骤(1)作：通过作平行线，得到相交直线；(2)证：证明相交直线所成的角或其补角为异面直线所成的角；(3)算：通过解三角形，求出该角【例3】(1)如图，已知两个正方形ABCD

13、和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点求证：直线ME与BN是两条异面直线(2)已知三棱锥ABCD中，AB=CD，且直线AB与CD成60角，点M、N分别是BC、AD的中点，求直线AB和MN所成的角.【解题指南】(1)采用反证法证明；(2)取AC中点P，连PM，PN，利用三角形中位线性质可得PMAB，PNCD，从而得MPN的大小，然后解三角形可得所求角.【规范解答】(1)假设直线ME与BN共面，则AB 平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN由已知，两正方形不共面，故AB 平面DCEF又ABCD，所以AB平面DCEF线EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，所以ABEN又

14、ABCDEF，所以ENEF，这与ENEF=E矛盾，故假设不成立所以ME与BN不共面，它们是异面直线.(2)如图，取AC的中点P.连接PM、PN，则PMAB，且PM=AB.PNCD，且PN=CD，所以MPN为AB与CD所成的角(或所成角的补角).则MPN=60或MPN=120,若MPN=60,因PMAB，所以PMN是AB与MN所成的角(或所成角的补角).又因为AB=CD，所以PM=PN，则PMN是等边三角形，所以PMN=60,即AB与MN所成的角为60.若MPN=120,则易知PMN是等腰三角形.所以PMN=30,即AB与MN所成的角为30.故直线AB和MN所成的角为60或30.【反思感悟】1.

15、证明两直线为异面直线时可利用结论“过平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不过该点的直线为异面直线”；也可用反证法，即证明这两直线共面时不成立2.在求异面直线所成的角时常犯的错误是忽视角的范围，如在解三角形的过程中求得三角形内角的余弦值为负时，必须转化为(0，内的角【满分指导】求异面直线所成角主观题的规范解答【典例】(12分)(2011上海高考改编)已知ABCDA1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，高AA1=2，求(1)异面直线BD与AB1所成角的余弦值；(2)四面体AB1D1C的体积.【解题指南】(1)利用平行平移法得到异面直线所成的角，转化为解三角形的问题；(2)利用割补法求体积即可【

16、规范解答】(1)连BD，AB1，B1D1，AD1.1分BDB1D1,异面直线BD与AB1所成角为AB1D1(或其补角)，记AB1D1=,3分由已知条件得AB1=AD1=，在AB1D1中，由余弦定理得cos=6分异面直线BD与AB1所成角的余弦值为.7分(2)连接AC，CB1，CD1，则所求四面体的体积12分【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：失分警示在解答本题时有两点容易造成失分：(1)在用平行平移将异面直线所成的角转化为三角形的内角时，忽视对三角形的内角“即为两异面直线所成的角(或其补角)”的叙述；(2)在求几何体的体积时，不知将其转化为四棱柱的

17、体积与四个三棱锥体积的差备考建议解决异面直线所成角的问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：(1)辅助线的作法不灵活，不能利用已知条件中的平行或中点；(2)对立体几何计算题的解答规范不熟悉，书写不条理；(3)通过解三角形得到某一内角的余弦值为负值后，忽视角的范围，不知将其转化为正值来处理建议在备考中要强化对立体几何中解答题的训练，这是高考中的考查重点之一.同时要注重解答题的规范表达和准确计算.1.(2012深圳模拟)有下列四个命题：过三点确定一个平面；矩形是平面图形；三条直线两两相交则确定一个平面；两个相交平面把空间分成四个区域.其中，错误的命题是()(A)(B)(C)(D)【解

18、析】选B.若三点共线则不能确定一个平面，故错.对当两两相交的三条直线有公共交点时可能不能确定一个平面，故应选B.2.(2011四川高考)l1,l2,l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()(A)l1l2,l2l3l1l3(B)l1l2,l2l3l1l3(C)l1l2，l2l3l1,l2,l3共面(D)l1，l2,l3共点l1，l2,l3共面【解析】选B.对于A：空间中垂直于同一条直线的两条直线不一定平行，如图l1,l3可以相交或异面,故命题错误.对于B:由异面直线所成的角可知，l2l3,则l1与l3所成的角与l1与l2所成的角相等，故l1l3,故命题正确.对于C:空间中三条互相平行的直

19、线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱不共面,故命题错误.对于D:空间中共点的三条直线不一定共面，如三棱锥中共顶点的三条棱不共面.3.(2011大纲版全国卷)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为_.【解析】取A1B1的中点M，连接EM,AM,AE，则AEM就是异面直线AE与BC所成的角.设正方体棱长为2，则在AEM中，cosAEM=答案：4.(2012郑州模拟)已知：空间四边形ABCD(如图所示)，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上的点，且CG=BC，CH=DC.求证：(1)E、F、G、H四点共面；(2)三直线FH、EG、AC共点.【证明】(1)连接EF、GH.由E、F分别为AB、AD的中点，EF BD，又CG=BC，CH=DC，HG BD，EFHG且EFHG.EF、HG可确定平面,即E、F、G、H四点共面.(2)由(1)知：EFHG为平面图形，且EFHG，EFHG.四边形EFHG为梯形，设直线FH直线EG=O，点O直线FH，直线FH 面ACD，点O平面ACD.同理点O平面ABC.又面ACD面ABC=AC，点O直线AC(公理3).直线FH、EG、AC交于点O，即三直线共点.