2014-2015学年高中人教数学选修2-2同步课件 第一章 导数及其应用 1.3.1 函数的单调性与导数.ppt

1、1.3导数在研究函数中的应用1.3.1 函数的单调性与导数 借助于函数的图象了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会用导数法求函数的单调区间本节重点：利用导数研究函数的单调性本节难点：用导数求函数单调区间的步骤1在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在定义域内通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间2在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意定义区间内的不连续点或不可导点3注意在某一区间内f(x)0(或f(x)0时，y0，函数在R上单调递增；(2)当a0时，y0，函数在R上单调递减；(3)当a0时，y0，函数在R

2、上不具备单调性点评判断函数单调性的方法有两种：(1)利用函数单调性的定义，在定义域内任取x1，x2，且x11，求证：xln(1x)点评 此类题的解题步骤一般是：首先构造函数，然后再采用求导的方法证明利用函数的单调性证明不等式也是证明不等式常用的方法 已知：x0，求证：xsinx.证明设f(x)xsinx(x0)f(x)1cosx0对x(0，)恒成立 函数f(x)xsinx在(0，)上是单调增函数 又f(0)0，f(x)0对x(0，)恒成立 即：xsinx(x0)例4已知向量a(x2，x1)，b(1x，t)，若函数f(x)ab在区间(1,1)上是增函数，求t的取值范围 分析由向量的数量积和运算法

3、则求函数f(x)的解析表达式，再f(x)0在(1,1)上恒成立，求出t的范围解析解法1：f(x)abx2(1x)t(x1)x3x2txtf(x)3x22xt函数f(x)在(1,1)上是增函数，f(x)0在x(1,1)上恒成立3x22xt0在(1,1)上恒成立即t3x22x在(1,1)上恒成立令g(x)3x22x，x(1,1)故要使t3x22x在区间(1,1)上恒成立，只需t5，即所求t的取值范围为：t5.解法2：依题意，得f(x)x2(1x)t(x1)x3x2txt，f(x)3x22xt函数f(x)在区间(1,1)上是增函数，f(x)0对x(1,1)恒成立又f(x)的图象是开口向下的抛物线当且

4、仅当f(1)t10，且f(1)t50，即t5时，f(x)在区间(1,1)上满足f(x)0使f(x)在(1,1)上是增函数故t的取值范围是t5.点评已知函数的单调性，确定字母的取值范围是高考考查的重点内容，解决这类问题的方法主要有两种，其一，转化为函数求最值，其二，若能比较容易求出函数的单调区间时，可利用子区间来解决特别注意的是，若导函数为二次函数时，也可借助图象，利用数形结合思想来解决，如上例中的解法2.解析f(x)x2axa1(x1)x(a1)当a11，即a2时，函数f(x)在(1，)上为增函数，不合题意当a11，即a2时，函数f(x)在(，1)上为增函数，例5f(x)是f(x)的导函数，f

5、(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是()分析 导函数值的正负决定了函数的增减，导函数值增减决定了函数值变化的快慢答案D解析由图可知，当bxa时，f(x)0，故在a，b上，f(x)为增函数且又由图知f(x)在区间a，b上先增大后减小，即曲线上每一点处切线的斜率先增大再减小，故选D.点评本题的关键是正确理解导函数与函数之间的关系如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数yf(x)的图象是()答案D因为当0 x时，f(x)xsinxx，所以函数的图象在yx的下方；当x2时，f(x)xsinxx，所以函数的图象在yx的上方故选D.一、选择题1函数

6、yx42x25的单调减区间为()A(，1和0,1B1,0和1，)C1,1D(，1和1，)答案A解析y4x34x令y0，即4x34x0解得x1或0 x0，且f(a)0，函数f(x)在区间(a，b)内是递增的，f(x)f(a)0.二、填空题4函数y(x1)(x21)的单调减区间为_答案 4解析因为f(x)x23xa.令x23xa0，由题意知x23xa0的解集恰为1,4，则由韦达定理知a144.三、解答题6已知函数f(x)x3ax1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由；(3)证明f(x)x3ax1的图象不可能总在直线ya的上方解析(1)由已知f(x)3x2a，f(x)在(，)上是单调递增函数，f(x)3x2a0在(，)上恒成立，即a3x2对xR恒成立3x20，只需a0，又a0时，f(x)3x20，f(x)x31在R上是增函数，a0.(2)由f(x)3x2a0在(1,1)上恒成立，得a3x2，在x(1,1)恒成立1x1，3x23，只需a3.当a3时，f(x)3(x21)，在x(1,1)上，f(x)0，即f(x)在(1,1)上为减函数，a3.故存在实数a3，使f(x)在(1,1)上单调递减(3)证明：f(1)a2a，f(x)的图象不可能总在直线ya的上方