2015高中数学 1.7.1正切函数的定义 1.7.2正切函数的图像与性质 课件（北师大版必修四）.ppt

1、7 正 切 函 数7.1 正切函数的定义7.2 正切函数的图像与性质问题引航1.什么是正切函数？如何画正切函数的图像？2.正切函数有哪些性质？如何应用其性质解题？1.正切函数的定义在直角坐标系中，如果角满足：，那么，角的终边与单位圆交于点P(a,b)，把比值叫作角的正切函数，记作y=tan，其中R，+k,kZ.R，+k(kZ)2.正切函数的图像与性质(1)正切线:如图所示，线段_为角的正切线.AT(2)正切函数y=tan x(xR,x +k,kZ)的图像与性质：函数性质y=tan x 图像函数性质y=tan x 定义域值域_ 奇偶性_ 周期性周期函数，周期是k(kZ,k0),最小正周期是_ R

2、奇函数函数性质y=tan x 单调性增区间减区间无渐近线1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)正切函数的定义域和值域都是R.()(2)正切曲线是中心对称图形，有无数个对称中心.()(3)正切曲线有无数条对称轴，其对称轴是x=k+(kZ).()2做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)函数y=tan(x-)的定义域为_.(2)函数y=tan(2x-)的周期为_.(3)函数y=tan(2x-)的单调区间是_.【解析】1.(1)错误.正切函数的定义域为(kZ),值域为R.(2)正确.点(kZ)是其对称中心.(3)错误.正切曲线没有对称轴.答案：(1)(2)(3)2.(1)由，kZ，得x +k,

3、kZ.答案：x|xR且x +k,kZ(2)T=.答案：(3)由kZ，得所以函数的单调增区间是答案：【要点探究】知识点正切函数的图像与性质1.对正切函数值符号的理解正切函数值的符号是由a，b的符号决定的，故当角为第一、三象限角时，a，b同号，正切函数值为正；当角为第二、四象限角时，a，b异号，正切函数值为负.2.正切函数与正弦、余弦函数之间的联系3.作正切函数的图像的两种方法(1)几何法：利用单位圆中的正切线来作出正切函数的图像，该方法作图较为精确，但画图时较烦琐.(2)三点两线法：“三点”是指,(0,0),；“两线”是指x=-和x=.在三点、两线确定的情况下，类似于五点法作图，可大致画出正切函

4、数在上的简图，然后向左、向右扩展即得正切曲线.4.对函数y=Atan(x+)+k(A0)的周期性的说明一般地，函数y=Atan(x+)+k(A0)的最小正周期T=事实上，不妨设0，由y=tan x是周期函数，且最小正周期为可知：只有当x至少增加到x+时函数值才重复出现.所以函数y=Atan(x+)+k中只有x至少增加到x+，即x至少增加到x+时函数值才重复出现.所以当0时，函数y=Atan(x+)+k具有周期性，最小正周期是.【知识拓展】几个特殊角的正切函数值x0tan x01不存在【微思考】(1)根据正切函数的定义回答，当角的终边在x轴、y轴时，正切函数值的情况如何？提示：当角的终边在x轴上

5、时，tan=0；当角的终边在y轴上时，a=0，比值没意义，故角的正切值不存在.(2)正切函数在定义域内是增加的吗？提示：不是.正切函数在每个单调区间(kZ)上是增加的，但在整个定义域内不单调.【即时练】下列关于函数y=tan 2x的说法中，错误的是()A.是奇函数B.最小正周期为C.单调减区间是D.单调增区间是【解析】选D.因为函数y=tan 2x只有单调增区间是(kZ)，所以函数y=tan 2x只有单调减区间【题型示范】类型一正切函数的定义【典例1】(1)(2014长春高一检测)已知函数y=tan(2x+)的图像过点则的值可以为()(2)已知角的终边过P(-t,4)，且cos=-，求tan.

6、【解题探究】1.正切函数的图像与x轴交点坐标是什么？2.题(2)中角是第几象限角？【探究提示】1.(k,0)(kZ).2.因为角的终边过点P(t,4)，且cos=，所以角是第二象限角.【自主解答】(1)选B.点在y=tan(2x+)的图像上，所以所以+=k(kZ)，令k=0，得=.(2)r=|OP|=，而又cos=-,所以且为第二象限角，解得t=3(t=-3舍去)，所以【延伸探究】题(2)中若将“cos=-”改为“sin=”，其余条件不变，求tan 的值.【解题指南】利用sin=求出t的值，然后利用正切函数的定义求解.【解析】r=|OP|=，而sin=且为第一或第二象限角，解得t=3或t=-3

7、，当t=3时，tan=当t=-3时，tan=.【误区警示】本题易忽略所在的象限而出现漏解的情况.【方法技巧】当题目给出角终边所在直线方程时，求sin,cos,tan 经常采用的步骤【变式训练】若点(,9)在函数y=3x的图像上，则tan=_.【解析】因为点(,9)在函数y=3x的图像上，所以3=9,即=2，所以答案：【补偿训练】(2013南昌高一检测)已知cos=-，求sin 及tan 的值.【解析】因为cos=-0，tan 0，所以若是第三象限角，则sin 0，所以类型二与正切函数相关的单调性问题【典例2】(1)(2014天津高一检测)已知函数y=tan x在区间内是减少的，则()A.01

8、B.10 C.1 D.1(2)求函数y=3tan 的单调区间.【解题探究】1.题(1)中能否确定的符号？2.类比y=Asin(x+)(A,为常数)的单调区间的求法，求y=Atan(x+)(A,为常数)的单调区间时，应注意哪些问题？【探究提示】1.因为正切函数只有单调增区间，而函数y=tan x在区间内是减少的，所以0.2.类比y=Asin(x+)(A,为常数)的单调区间的求法，首先应注意的值是否为正，若不是正数，应先将其转化为正数再进行求解；其次要注意A的值是否为正，若A为负值，则可先求y=tan(x+)(0)的单调区间，求出的单调区间与要求的单调区间相反.【自主解答】(1)选B.若使函数y=

9、tan x在内是减少的，则有0，并且周期T=，则10.(2)令z=2x-,则y=-3tan(2x-)=-3tan z.因为y=-3tan z在(-+k,+k)(kZ)上是减少的.由-+k2x-f(-1)f(1)B.f(0)f(1)f(-1)C.f(1)f(0)f(-1)D.f(-1)f(0)f(1)【解题指南】y=tan x在上是增加的.根据诱导公式把x+转化到上再比较大小.【解析】选A.f(1)=tan(1+)=tan(1-),又所以f(0)f(-1)f(1).【补偿训练】求函数y=3tan(+2x)的单调区间.【解析】令z+2x，则y3tan(+2x)3tan z.因为函数y3tan z在

10、(kZ)上是增函数，kZ，即(kZ).又因为z+2x在R上为增函数，所以函数y3tan(+2x)的单调增区间为(kZ)，无单调减区间.类型三正切函数的定义域、值域问题【典例3】(1)(2014秦皇岛高一检测)函数y=lg(1tan x)的定义域是_.(2)求函数y=tan x+2 3的定义域与值域.【解题探究】1.对数函数对真数有什么要求？2.题(2)中的函数能否化成二次函数？【探究提示】1.真数大于零.2.若令t=，则y=t2+2t3，即能化成二次函数.【自主解答】(1)由题意知，1tan x0，即tan x所以+kx+k,kZ,即函数的定义域是(+k,+k)(kZ).答案：(+k,+k)(

11、kZ)(2)由题意知，所以kx+k,kZ，所以函数的定义域是令t=，t0，则y=t2+2t3,所以y=(t+1)24，又因为t0，所以ymin=14=3，即函数的值域是3,+).【方法技巧】1.确定正切函数定义域的关键点确定正切函数定义域的关键点是定义式中，分母等于零时分式无意义,也就是当角的终边落在y轴上时,横坐标为0，此时无意义，所以正切函数的定义域为2.解形如tan xa的不等式的步骤3.求与正切函数有关的值域问题时应注意的两个问题(1)注意函数的定义域，在定义域内求值域.(2)由正切函数复合成的函数求值域时，常用换元法，但应注意新“元”的范围.【变式训练】求函数的定义域.【解析】要使函

12、数有意义，必须满足即所以所以-+2kx +2k(kZ),所以函数的定义域为【补偿训练】求函数ytan2x10tan x1，x的值域【解题指南】将tan x看作整体，求出tan x的取值范围，进而问题转化为二次函数在给定区间上的值域问题.【解析】由x ，得tan x1，所以ytan2x10tan x1(tan x5)224.由于1tan x 所以8y10 4，所以函数的值域是8,10 4.类型四正切函数性质的综合应用【典例4】(1)(2014济宁高一检测)函数f(x)=tan x(0)的图像的相邻两支截直线y=1所得线段长为，则的值为()(2)已知f(x)=tan(x-),求函数f(x)的定义域

13、，作出函数f(x)在一个周期开区间上的简图；求函数f(x)的单调区间及图像的对称中心.【解题探究】1.题(1)所给周期函数的图像的相邻两支的水平距离与周期有什么关系？2.题(2)中函数的最小正周期是多少？作函数图像时可使用什么方法？【探究提示】1.题(1)所给周期函数的图像的相邻两支的水平距离是一个周期.2.函数的最小正周期T=，作函数图像时可使用“三点两线”法.【自主解答】(1)选D.正切函数相邻两支之间的距离为周期T，从而所以=4,所以(2)由x-k+(kZ)得xk+(kZ),所以函数f(x)=tan(x-)的定义域为函数f(x)在开区间上的简图(如图).x0-101由kZ得(kZ),所以

14、函数f(x)的增区间为(k-,k+)(kZ),无减区间.由x-kZ得x=(kZ),函数f(x)的图像的对称中心为(kZ).【方法技巧】1.研究正切函数性质需要注意的问题(1)正切函数的定义域是x|xR,xk+,kZ，而不是R，这一点要特别注意.(2)正切函数的图像是间断的，不是连续的，因此研究正切函数的性质，可以先弄清楚区间上的性质，然后加上k研究区间(kZ)上的性质.2.三角函数图像的对称性问题对称轴对称中心y=sin x 直线 x=k+(kZ)(k,0)(kZ)y=cos x 直线 x=k(kZ)(k+,0)(kZ)y=tan x 无(,0)(kZ)【变式训练】写出函数f(x)=的单调区间

15、及对称中心.【解析】由得+3kx2+3k，kZ，所以函数的单调减区间为(+3k,2+3k)(kZ).由得所以函数的对称中心是(,0)(kZ).【补偿训练】求函数f(x)=tan|x|的定义域与值域，作出其图像，并判断奇偶性、周期性.【解析】f(x)=tan|x|可化为可知，函数的定义域为x|xR且xk+,kZ,值域为(-,+).其图像如图所示.由图像知f(x)为偶函数，但不是周期函数.【易错误区】根据正切函数的图像求参数的误区【典例】(2014武汉高一检测)函数y=2tan(3x+)()的图像的一个对称中心为(,0)，则=_.【解析】因为函数的图像的对称中心为(kZ)，令3x+=，kZ，由题意

16、知，kZ，即=kZ，因为所以当k=1时，=，当k=2时，=，即=或.答案：或【常见误区】错解错因剖析在阴影处没有考虑的范围而对k的取值进行讨论，而漏解【防范措施】1.正切函数图像与性质的灵活应用解题时，要注意正切函数图像与性质的灵活应用，如本例，对正切函数的对称中心要把握准确，不能误认为对称中心是(k,0)(kZ).2.函数解析式中参数的取值范围解题时，要注意参数是否有特殊的限定条件，如本例，如果没注意到的范围，从而未对k的取值分情况讨论，将造成漏解.【类题试解】函数y=2tan 的对称中心的坐标是_.【解析】令kZ，得x=+k，kZ,所以函数对称中心的坐标是(+k,0)(kZ).答案：(+k,0)(kZ)