2022秋高中数学 第二章 直线和圆的方程 测评试题 新人教A版选择性必修第一册.docx

1、第二章测评一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021北京通州区校级月考)直线x+3y+m=0(mR)的倾斜角为()A.30B.60C.150D.1202.已知直线l1:ax+2y-1=0,直线l2:8x+ay+2-a=0,则“a=-4”是“l1l2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(2021广东广州期中)已知三角形的三个顶点A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),则BC边上的中线所在直线的方程为()A.5x+3y-6=0B.3x-5y+15=0C.x+13y+5=0D

2、.3x+8y+15=04.已知正方形的一组对边所在的直线方程分别为3x+2y+1=0和3x+2y+4=0,另一组对边所在的直线方程分别为4x-6y+c1=0和4x-6y+c2=0,则|c1-c2|=()A.32B.31313C.61313D.65.已知圆C经过两点A(0,2),B(4,6),且圆心C在直线l:2x-y-3=0上,则圆C的方程为()A.x2+y2-6y-16=0B.x2+y2-2x+2y-8=0C.x2+y2-6x-6y+8=0D.x2+y2-2x+2y-56=06.(2021安徽宿州期中)若圆x2+(y-a)2=4上总存在两个点到坐标原点的距离为1,则实数a的取值范围是()A.

3、(1,3)B.1,3C.(-3,-1)(1,3)D.-3,-11,37.两圆x2+y2=1与x2+y2-2ax-2by+a+b=4有且只有一条公切线,那么1a+2b的最小值为()A.1B.3+22C.5D.428.(2021山西太原模拟)已知圆M:(x-a)2+(y-b)2=3(a,bR)与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,且|AB|=3,则下列错误的结论是()A.MAMB是定值B.四边形OAMB的面积是定值C.a+b的最小值为-2D.ab的最大值为2二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分

4、.9.(2021福建三明期中)已知直线5x-12y+a=0与圆(x-1)2+y2=1相切,则实数a的值可能为()A.-8B.8C.-18D.1810.已知直线l1:x-ay+2=0,l2:ax+y-2=0,aR,以下结论正确的是()A.不论a为何值时,l1与l2都互相垂直B.当a变化时,l1与l2分别经过定点A(-2,0)和B(0,2)C.不论a为何值时,l1与l2都关于直线x+y=0对称D.设O为坐标原点,如果l1与l2交于点M,则|MO|的最大值是2211.(2021辽宁沈阳检测)已知实数x,y满足方程x2+y2-2x-4y+1=0,则下列说法正确的是()A.x2+y2的最大值为2+5B.

5、(x+2)2+(y+1)2的最大值为22+122C.x+y的最大值为3+22D.4x-3y的最大值为812.已知圆C:(x-2)2+y2=1,点P是直线l:x+y=0上一动点,过点P作圆C的切线PA,PB,切点分别是A和B,下列说法正确的为()A.圆C上恰有一个点到直线l的距离为12B.切线长PA的最小值为1C.四边形ACBP面积的最小值为2D.直线AB恒过定点32,-12三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.光线沿直线7x-y-3=0入射到直线2x-y+2=0后反射,则反射光线所在直线的方程为.14.当平面内一点P(3,2)到直线l:mx-y+1-2m=0的距离最大时,m的值

6、为.15.(2021安徽黄山期中)如图,菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合,边长为2,一边在x轴的正半轴上,BOD=60,则菱形的内切圆方程为.16.(2021江苏南京期中)如图,点P是圆O:x2+y2=1上一动点,过点P的圆O的切线l与O1:(x-a)2+(y-2)2=16始终交于A,B两点.(1)实数a的取值范围是;(2)若a=32,|O1P|=392,则O1AB的面积是.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2021浙江温州期中)已知点A(2,1),直线l:(a-1)x+y+2+a=0(aR).不论a取何值,直线l过定点P.(1)求

7、点P的坐标,及点A(2,1)到直线l距离的最大值;(2)若直线l在两坐标轴上的截距相等,求a的值.18.(12分)求符合下列条件圆的方程.(1)圆心为点(-1,2),面积为9;(2)与圆x2+y2-2x-2y+1=0关于y轴对称.19.(12分)(2021江苏连云港期中)已知直线l经过两条直线2x+3y+8=0和x-y-1=0的交点,且,若直线m与直线l关于点(1,0)对称,求直线m的方程.(注:试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中,完成解答,若选择多个条件分别解答,按照第一个解答计分.)与直线3x+2y+8=0垂直;在y轴上的截距为12.20.(12分)已知圆M:x2+y2-2ax+

8、10ay-24=0,圆N:x2+y2+2x+2y-8=0,且圆M上任意一点关于直线x+y+4=0的对称点都在圆M上.(1)求圆M的方程;(2)证明圆M和圆N相交,并求两圆公共弦的长度l.21.(12分)(2021江苏南通期中)已知方程x2+y2-2x+4y+4m=0.(1)若此方程表示圆,求实数m的取值范围;(2)若m的值为(1)中能取到的最大整数,则得到的圆设为圆E,若圆E与圆F关于y轴对称,求圆F的一般方程.22.(12分)(2021安徽黄山期中)已知圆C:(x-1)2+(y-3)2=9,线段RQ的端点Q的坐标是(4,3),端点R在圆C上运动,且点T满足线段RT=2TQ,记T点的轨迹为曲线

9、.(1)求曲线的方程.(2)过点A(0,3)斜率为k的直线l与曲线交于M,N两点,试探究:设O为坐标原点,若OMON=26,这样的直线l是否存在?若存在,求出|MN|;若不存在,说明理由.求线段MN的中点D的轨迹方程.第二章测评1.C直线x+3y+m=0(mR)的斜率为-33,直线倾斜角的范围是0,180),所以所求直线倾斜角为150.2.C直线l1:ax+2y-1=0,直线l2:8x+ay+2-a=0,a=-4时,a8=2a-12-a,l1l2,当l1l2时,a8=2a-12-a,解得a=-4,“a=-4”是“l1l2”的充要条件.3.C三角形三个顶点A(-5,0),B(3,-3),C(0,

10、2),BC的中点坐标为32,-12,BC边上中线所在直线方程是yx+5=-1232+5,整理得x+13y+5=0.4.D正方形的一组对边所在的直线方程分别为3x+2y+1=0和3x+2y+4=0,另一组对边所在的直线方程分别为4x-6y+c1=0和4x-6y+c2=0,根据正方形的两组对边间的距离相等,可得|1-4|32+22=|c1-c2|42+62,则|c1-c2|=6.5.C因为圆心C在直线l:2x-y-3=0上,设圆心C(a,2a-3),又圆C经过两点A(0,2),B(4,6),所以|CA|=|CB|,故a2+(2a-5)2=(a-4)2+(2a-9)2,解得a=3,所以圆心C(3,3

11、),半径r=|CA|=32+12=10,则圆的方程为(x-3)2+(y-3)2=10,化为一般方程为x2+y2-6x-6y+8=0.6.C根据题意,到坐标原点的距离为1的点的轨迹方程为x2+y2=1,是圆心为(0,0),半径r=1的圆,若圆x2+(y-a)2=4上总存在两个点到坐标原点的距离为1,则圆x2+(y-a)2=4与圆x2+y2=1相交,圆x2+(y-a)2=4,圆心为(0,a),半径R=2,则有2-1|a|2+1,即1|a|3,解可得-3a-1或1a0,b0,则ba+2ab2ba2ab=22,当且仅当b=2a时等号成立,故1a+2b3+22,即1a+2b的最小值为3+22.8.C圆M

12、的圆心M(a,b),半径r=3,则MAB为边长为3的等边三角形,对于A,MAMB=|MA|MB|cos60=3312=32,A正确;对于B,OA=OB=1,AB=3,OAB的高h=12,SABO=12123=34,SMAB=34(3)2=334,S四边形OAMB=34+334=3,B正确;对于C,由B知S四边形OAMB=12OMAB,OM=233=2,即a2+b2=2,a2+b2=4,2(a2+b2)(a+b)2,(a+b)28,-22a+b22,当且仅当a=b时取等号,a+b的最小值为-22,C错误;对于D,由C得,a2+b2=42ab,ab2,当且仅当a=b时取等号,ab的最大值为2,D正

13、确.9.BC圆(x-1)2+y2=1的圆心为(1,0),半径为1,直线5x-12y+a=0与圆(x-1)2+y2=1相切,|51-120+a|52+(-12)2=1,解得a=8或a=-18.故选BC.10.ABD直线l1:x-ay+2=0,l2:ax+y-2=0,aR,对于A,1a-a1=0,不论a为何值时,l1与l2都互相垂直,故A正确;对于B,当a变化时,l1与l2分别经过定点A(-2,0)和B(0,2),故B正确;对于C,设直线l1:x-ay+2=0上任意一点P(x,y),则点P关于直线x+y=0的对称点为P(-y,-x),将点P(-y,-x)代入直线l2:ax+y-2=0,可得x+ay

14、+2=0,与不论a取何值时,点P恒在直线l1上矛盾,故C错误;对于D,联立方程组x-ay+2=0,ax+y-2=0,解得x=2a-2a2+1,y=2a+2a2+1,故M2a-2a2+1,2a+2a2+1,则|MO|=(2a-2a2+1)2+(2a+2a2+1)2=8a2+122,所以|MO|的最大值是22,故D正确.故选ABD.11.BCD由x2+y2-2x-4y+1=0,知(x-1)2+(y-2)2=4,表示圆心为M(1,2),半径为r=2的圆,对于A选项,x2+y2的几何意义为圆上的点与原点距离的平方和,其最大值为(|OM|+r)2=(2+5)2,故A错误;对于B选项,(x+2)2+(y+

15、1)2的几何意义为圆上的点与点(-2,-1)距离的平方和,其最大值为(2+32)2=22+122,故B正确;对于C选项,设x+y=k,则直线x+y-k=0与圆有公共点,所以|1+2-k|22,解得3-22k3+22,所以x+y的最大值为3+22,故C正确;对于D选项,设4x-3y=t,则直线4x-3y-t=0与圆有公共点,所以|4-6-t|42+(-3)2=|t+2|52,解得-12t8.所以4x-3y的最大值为8,故D正确.故选BCD.12.BD对于A,圆C:(x-2)2+y2=1,圆心C(2,0),半径r=1,圆心C到直线l:x+y=0的距离为|2|2=2,而2-1122+1,故A错误;对

16、于B,由圆的性质,切线长|PA|=|PC|2-r2=|PC|2-1,当|PC|最小时,|PA|有最小值,又|PC|min=2,则|PA|min=1,故B正确.对于C,四边形ACBP的面积为|PA|CA|=|PA|,故四边形ACBP的面积最小值为1,故C错误;对于D,设P(t,-t),由题意知A,B在以PC为直径的圆上,又C(2,0),(x-t)(x-2)+(y+t)(y-0)=0,即x2+y2-(t+2)x+ty+2t=0,又圆C:(x-2)2+y2=1,即x2+y2-4x+3=0,故直线AB的方程为(2-t)x+ty-3+2t=0,即2x-3-t(x-y-2)=0,由2x-3=0,x-y-2

17、=0,解得x=32,y=-12,即直线AB恒过定点32,-12,故D正确.故选BD.13.x-y+3=0由7x-y-3=0,2x-y+2=0,得x=1,y=4,故入射光线与反射轴的交点为A(1,4),在入射光线上再取一点B(0,-3),则点B关于反射轴2x-y+2=0的对称点C(m,n)在反射光线上,2m2-n-32+2=0,2n+3m=-1,解得m=-4,n=-1,故C(-4,-1).根据A,C两点的坐标,求得反射光线的方程为y-4=4+11+4(x-1),即x-y+3=0.14.-1直线l:mx-y+1-2m=0可化为m(x-2)+1-y=0,令x-2=0,1-y=0,解得x=2,y=1.

18、所以直线l过定点M(2,1).当PMl时,点P(3,2)到直线l:mx-y+1-2m=0的距离最大,如图所示,所以kPMkl=-1,即2-13-2m=-1,解得m=-1.15.x-322+y-322=34设对角线OC,BD的交点为M,菱形的对角线互相垂直,又BOD=60,所以在RtOMB中,BOC=30,OB=2,则OM=2cos30=3,设点M(x,y),则y=OMsin30=32,x=OMcos30=32,所以圆心M32,32,半径r=32,所以菱形内切圆的方程为x-322+y-322=34.16.(1)(-5,5)(2)45716(1)根据题意,点P是圆O:x2+y2=1上一动点,过点P

19、的圆O的切线l与圆O1:(x-a)2+(y-2)2=16始终相交,则圆O必定在圆O1的内部,圆O:x2+y2=1,圆心为(0,0),半径为1,圆O1:(x-a)2+(y-2)2=16,圆心为(a,2),半径r=4,则有a2+44-1=3,解得-5a5,故a的取值范围为(-5,5).(2)根据题意,设P的坐标为(m,n),则直线AB的方程为mx+ny=1,若a=32,则圆O1:x-322+(y-2)2=16,其圆心为32,2,半径r=4,又由|O1P|=392,即32-m2+(2-n)2=394,变形可得m2+n2-3m-4n=72,即3m+4n=-52;圆心O1到直线AB的距离d=|3m2+2

20、n-1|m2+n2=94,|AB|=2r2-d2=216-8116=572,故O1AB的面积S=12|AB|d=45716.17.解(1)直线l:(a-1)x+y+2+a=0(aR),化为a(x+1)+(-x+y+2)=0,由x+1=0,-x+y+2=0,解得x=-1,y=-3.不论a取何值,直线l恒过定点P(-1,-3).分析易知点A(2,1)到直线l的距离的最大值|PA|=9+16=5.(2)令y=0,则x=-a-2a-1(a1),令x=0,则y=-a-2,由题意可知-a-2a-1=-a-2,解得a=2.当a=1时,易知不满足条件,所以a=218.解(1)圆心为点(-1,2),面积为9,所

21、以圆的半径为3,圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=9.(2)圆x2+y2-2x-2y+1=0的圆心(1,1),半径为1,此圆关于y轴对称圆的圆心为(-1,1),半径为1.对称圆的方程为(x+1)2+(y-1)2=1.19.解因为方程组2x+3y+8=0,x-y-1=0的解为x=-1,y=-2,所以两条直线2x+3y+8=0和x-y-1=0的交点为(-1,-2).若选,可设直线l的方程为2x-3y+c=0,将点(-1,-2)代入方程2x-3y+c=0,可得-2+6+c=0,解得c=-4,即有直线l的方程为2x-3y-4=0.在直线l上取两点(-1,-2)和(2,0),点(-1,-2)关于

22、点(1,0)对称的点坐标为(3,2),点(2,0)关于点(1,0)对称的点坐标为(0,0),所以直线m的方程为2x-3y=0.若选,可得直线l的斜率为k=12-(-2)0-(-1)=52,所以直线l的方程为y=52x+12.在直线l上取两点(1,3)和(-1,-2),点(-1,-2)关于点(1,0)对称的点坐标为(3,2),点(1,3)关于点(1,0)对称的点坐标为(1,-3),所以直线m的方程为5x-2y-11=0.20.(1)解圆M:x2+y2-2ax+10ay-24=0的圆心M(a,-5a),因为圆M上任意一点关于直线x+y+4=0的对称点都在圆M上,所以直线x+y+4=0经过点M,可得

23、a-5a+4=0,解得a=1,则圆M的方程为x2+y2-2x+10y-24=0.(2)证明因为圆M的圆心M(1,-5),半径r1=52,圆N的圆心N(-1,-1),半径r2=10,所以|MN|=(1+1)2+(-5+1)2=25.因为5210250,m0,解得k218,且有x1+x2=61+k2,x1x2=81+k2,所以y1y2=(kx1+3)(kx2+3)=k2x1x2+3k(x1+x2)+9=17k2+18k+91+k2,OMON=x1x2+y1y2=81+k2+17k2+18k+91+k2=17k2+18k+171+k2=26,解得k=1,与k218不符,故不存在这样的直线l,使得OMON=26;MN中点坐标为x1+x22,y1+y220k218,则x1+x22=31+k2,y1+y22=3k1+k2+3,即D点坐标为31+k2,3k1+k2+3,又因为yD-3xD=k,所以xD=31+k2=31+(yD-3xD)2,整理可得xD-322+(yD-3)2=94,即点D的轨迹方程为x-322+(y-3)2=94.