新教材2020-2021学年人教B版数学必修第四册学案：11-2 平面的基本事实与推论 WORD版含答案.doc

1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。11.2平面的基本事实与推论必备知识自主学习1.平面的基本事实(1)基本事实1的作用是什么?提示:基本事实1的作用是揭示确定平面的条件.(2)基本事实2的作用是什么?提示:基本事实2的作用是判断直线在平面内的依据.2.平面基本事实的推论推论1:经过一条直线与直线外一点,有且只有一个平面.推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.三个推论与基本事实1是一回事,对吗?提示:三个推论与基本事实1是一回事,这三个推论都可以转化成经过不

2、在一条直线上的3个点有且只有一个平面的基本事实.1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)几何里的平面是有厚度的,有边界的.()(2)若线段AB在平面内,则直线AB在平面内.()(3)平面与平面相交,它们只有有限个公共点.()(4)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.()提示:(1). 几何里的平面是没有厚度,无限延展而没有边界的.(2).直线AB在平面内,因为线段AB在平面内,所以线段AB上的所有点都在平面内,故线段AB上A,B两点一定在平面内,由公理1可知直线AB在平面内.(3). 平面与平面相交,它们有无限个公共点,这些点都在同一条直线上.(4).如三点共线,这两个平面有可能相

3、交,也可能重合,所以该命题错误.2.能确定一个平面的条件是()A.空间三个点B.一个点和一条直线C.无数个点D.两条相交直线【解析】选D.不在同一条直线上的三个点可确定一个平面,A,B,C中的条件不能保证有不在同一条直线上的三个点,故不正确.3.(教材二次开发:例题改编)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是BB1的中点,直线D1M与平面ABCD交于点N,则线段AN的长度为_.【解析】连接BD,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1=DD1,BB1DD1,DD1BD,所以四边形BB1D1D为矩形,BD,D1M相交,其交点为D1M与平面ABCD的交点N,因为M是BB1的中点,

4、所以BM=DD1,BMDD1,BM为DD1N的中位线,B为DN的中点,正方体各棱长为1,所以BN=BD=,在ABN中,AB=1,BN=,ABN=135,AN2=AB2+BN2-2ABBNcosABN=3+21=5,所以AN=.答案:关键能力合作学习类型一符号语言与图形语言间的转化(数学抽象、直观想象)1.若点A在平面内,直线a在平面内,点A不在直线a上,用符号语言可表示为()A.A,a,AaB.A,a,AaC.A,a,AaD.A,a,Aa【解析】选A.点与线、面的关系用、;线与面的关系用、.B项中,“a”错;C项中“A”错;D项中“Aa”错.2.如图所示,用符号语言可表达为()A.=m,n,A

5、m,AnB.=m,n,Am,AnC.=m,n,mn=AD.=m,n,mn=A【解析】选C.结合图形可以得出平面,相交于一条直线m,直线n在平面内,直线m,n相交于点A,点A在直线m,n上,结合选项可得C正确.3.如图所示,根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系.(1)点P与直线AB.(2)点C与直线AB.(3)点A1与平面AC.(4)直线AB与直线BC.(5)直线AB与平面AC.(6)平面A1B与平面AC.【解析】(1)点P直线AB.(2)点C直线AB.(3)点A1平面AC.(4)直线AB直线BC=点B.(5)直线AB平面AC.(6)平面A1B平面AC=直线AB.三种语言的转换方法(1

6、)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示.(2)要注意符号语言的意义. 如点与直线的位置关系只能用“”或“”,直线与平面的位置关系只能用“”或“”.【补偿训练】如图所示,用符号语言可表示为()A.=lB.,lC.l,lD.,l【解析】选D.显然题干图中,且l.类型二点、线的共面问题(逻辑推理、直观想象)【典例】1.若空间中有四个点,则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知四条直线两两相交,且不共

7、点,求证:这四条直线在同一平面内.【思路导引】1.由题意,根据直线和直线外的一点,有且只有一个平面和充要条件的判定方法,即可求解.2.四条直线两两相交且不共点,可能有两种情况:一是有三条直线共点;二是任意三条直线都不共点,故要分两种情况.【解析】1.选A.由题意,根据直线和直线外的一点,有且只有一个平面,所以“这四个点中有三点在同一直线上”,则“这四个点在同一平面上”,反之不一定成立,所以“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的充分不必要条件.2.已知:a,b,c,d四条直线两两相交,且不共点,求证:a,b,c,d共面.证明:(1)若a,b,c三线共点于O,如图所示,因为O

8、d,所以经过d与点O有且只有一个平面.因为A,B,C分别是d与a,b,c的交点,所以A,B,C三点在平面内.由基本事实2知a,b,c都在平面内,故a,b,c,d共面.(2)若a,b,c,d无三线共点,如图所示,因为ab=A,所以经过a,b有且仅有一个平面,所以B,C.由基本事实2知c.同理,d,从而有a,b,c,d共面.综上所述,四条直线两两相交,且不共点,这四条直线在同一平面内.证明点、线共面问题的常用方法(1)先由部分点、线确定一个面,再证其余的点、线都在这个平面内,即用“纳入法”.(2)先由其中一部分点、线确定一个平面,其余点、线确定另一个平面,再证平面与重合,即用“同一法”.(3)假设

9、不共面,结合题设推出矛盾,即用“反证法”.1.空间两两相交的三条直线,可以确定的平面数是()A.1B.2C.3D.1或3【解析】选D.若三条直线两两相交共有三个交点,则确定1个平面;若三条直线两两相交且交于同一点时,若三条直线共面,则能确定1个平面,若三条直线不共面,则能确定3个平面.2.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中.(1)AA1与CC1是否在同一平面内?(2)点B,C1,D是否在同一平面内?(3)画出平面AC1与平面BC1D及平面ACD1与平面BDC1的交线.【解析】(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为AA1CC1,所以AA1与CC1可确定平面AC1,所以AA1

10、与CC1在同一平面内.(2)因为点B,C1,D不共线,所以点B,C1,D可确定平面BC1D,所以点B,C1,D在同一平面内.(3)如图,因为ACBD=O,D1CDC1=E,所以O平面AC1,O平面BC1D.又C1平面AC1,C1平面BC1D.所以平面AC1平面BC1D=OC1.同理平面ACD1平面BDC1=OE.【补偿训练】求证:如果两两平行的三条直线都与另一条直线相交,那么这四条直线共面.【解析】已知:abc,la=A,lb=B,lc=C.求证:直线a,b,c和l共面.证明:如图所示,因为ab,由推论3可知直线a与b确定一个平面,设为.因为la=A,lb=B,所以Aa,Bb,则A,B.又因为

11、Al,Bl,所以由基本事实2可知l.因为bc,所以由推论3可知直线b与c确定一个平面,同理可知l.因为平面和平面都包含着直线b与l,且lb=B,而由推论2知:平面与平面重合,所以直线a,b,c和l共面.类型三点共线、线共点问题(逻辑推理、直观想象)【典例】1.不共线三点A,B,P且P平面,AP=A1,BP=B1,AB=O,当点P在空间中变动时,定点O与动直线A1B1的位置关系是_.2.如图所示,已知空间四边形ABCD,E,H分别是AB,AD的中点,F,G分别是边BC,CD上的点,且=,求证:直线EF,GH,AC交于一点.【思路导引】1.注意三点A1,B1,O所在的平面,利用基本事实3即可得出结

12、论.2.可先判断出某两条直线相交,再证明第三条直线也通过这两条直线的交点.【解析】1.由题意知平面ABP=A1B1,AB=O,所以O平面ABP,且O,所以OA1B1.答案:OA1B12.因为AE=EB,AH=HD,所以EHBD,且EH=BD.因为=,所以FGBD,且FG=BD.所以EHFG,且EHFG,故四边形EFGH为梯形,则EF与GH必相交,设交点为P,P平面ABC,又P平面DAC,又平面ABC平面DAC=AC,故PAC,即EF,GH,AC交于一点.将本例2改为:在空间四边形ABCD中,H,G分别是AD,CD的中点,E,F分别为边AB,BC上的点,且=.求证:(1)点E,F,G,H四点共面

13、;(2)直线EH,BD,FG相交于同一点.【证明】(1)如图所示,连接EF,HG,在空间四边形ABCD中,H,G分别是AD,CD的中点,所以HGAC且HG=AC.又=,所以EFAC且EF=AC.故EFHG,即E,F,G,H四点共面.(2)由(1)知EFHG且EFHG,所以设EH与FG交于点P,因为EH平面ABD,所以P在平面ABD内,同理P在平面BCD内,且平面ABD平面BCD=BD,所以点P在直线BD上,所以直线EH,BD,FG相交于一点.1.证明线共点问题的方法方法一:可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线,然后再证两条直线的交点在此直线上.方法二:先将其中一条直线看作某两个平

14、面的交线,证明该交线与另两条直线分别交于两点,再证点重合,从而得三线共点.2.证明点共线的问题方法方法一:证明多点共线通常利用基本事实3,即两相交平面交线的唯一性,通过证明点分别在两个平面内,证明点在相交平面的交线上.方法二:选择其中两点确定一条直线,然后证明其他点也在此直线上.1.如图,在四面体ABCD中作截面PQR,若PQ与CB的延长线交于点M,RQ与DB的延长线交于点N,RP与DC的延长线交于点K.(1)求证:直线MN平面PQR;(2)求证:点K在直线MN上.【证明】(1)因为PQ平面PQR,M直线PQ,所以M平面PQR,因为RQ平面PQR,N直线RQ,所以N平面PQR,所以直线MN平面

15、PQR.(2)因为M直线CB,CB平面BCD,所以M平面BCD.由(1)知,M平面PQR,所以M在平面PQR与平面BCD的交线上,同理可知N,K也在平面PQR与平面BCD的交线上,所以由基本事实3知,M,N,K三点共线,所以点K在直线MN上.2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AA1,AB的中点.(1)证明:点E,F,C,D1共面;(2)证明:D1E,DA,CF三线交于一点.【证明】(1)连接A1B,根据正方体的几何性质可知A1BCD1.由于E,F分别是AA1,AB的中点,所以EFA1B,所以EFCD1,所以E,F,C,D1四点共面.(2)由于EFCD1,EFCD1,所以D1

16、E与CF延长后必相交,设交点为P,由于PD1E,D1E平面ADD1A1,PCF,CF平面ABCD,根据基本事实3可知P在平面ADD1A1与平面ABCD的交线DA上,所以D1E,DA,CF三线交于一点.【补偿训练】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为B1C1,A1D1的中点.求证:平面ABB1A1与平面CDFE相交.【证明】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为B1C1的中点,所以EC与B1B不平行,延长CE与BB1,延长线相交于一点H,所以HEC,HB1B,又知B1B平面ABB1A1,CE平面CDFE,所以H平面ABB1A1,H平面CDFE,故平面ABB1A1与平面CDFE相

17、交.备选类型几何体的截面问题(逻辑推理、数学运算)【典例】正三棱柱ABC-A1B1C1中所有棱长均为2,点E,F分别为棱BB1,A1C1的中点,若过点A,E,F作一截面,则截面的周长为()A.2+B.2+C.2+D.2+【思路导引】在正三棱柱ABC-A1B1C1中,延长AF和CC1交于点M,连接EM,交B1C1于点P,连接FP,则过点A,E,F的截面为四边形AEPF,利用正三棱柱的结构特征,分别利用勾股定理和余弦定理,即可求解.【解析】选B.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,过点E作ENCC1于点N,延长AF和CC1交于点M,连接EM,交B1C1于点P,连接FP,则过点A,E,F的截面为四边形

18、AEPF,如图所示,由MFC1MAC,可得MC1=2,由MPC1MEN,可得=,解得PC1=,则B1P=,在直角AA1F中,AA1=2,A1F=1,则AF=,在直角ABE中,AB=2,BE=1,则AE=,在直角B1EP中,B1E=1,B1P=,则PE=,在C1FP中C1F=1,C1P=,FC1P=60,由余弦定理可得PF2=C1F2+C1P2-2C1FC1PcosPC1F=12+-21cos60=,即PF=,所以截面的周长为+=2+.解决几何体的截面问题的基本方法(1)直接法用直接法解决截面问题的关键是:截面上的点在几何体的棱上,且两两在一个平面内,我们可以借助于基本事实2:如果一条直线上的两

19、个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内,直接解决这类问题.(2)延长线法用延长线法解决截面问题的关键是:截面上的点中至少有两个点在一个几何体的一个表面上,我们可以借助于基本事实2,如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内.直接解决这类问题.正方体ABCD-A1B1C1D1中,点Q是棱DD1上的动点,则过A,Q,B1三点的截面的形状为_.【解析】点Q在棱DD1上移动,当点Q与点D1重合时截面为等边三角形AB1D1,如图(1)所示;当点Q与点D重合时,截面为矩形AB1C1D,如图(2)所示;当点Q不与点D,D1重合时,截面为等腰梯形AQRB1,如图(3)所示.答案:等边三角

20、形或矩形或等腰梯形课堂检测素养达标1.若点Q在直线b上,b在平面内,则Q,b,之间的关系可记作()A.QbB.QbC.QbD.Qb【解析】选B.因为点Q在直线b上,所以Qb.又因为直线b在平面内,所以b.所以Qb.2.(教材二次开发:习题改编)下列说法正确的是()A.两个平面可以有且仅有一个公共点B.梯形一定是平面图形C.平面和有不同在一条直线上的三个交点D.一条直线和一个点确定一个平面【解析】选B.A选项,根据基本事实3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线,故A错.C选项,两个平面有公共点,则有一条过该公共点的公共直线,如果没有公共点,则两平面平行,C错.

21、D选项,一条直线和直线外的一点可以确定一个平面.B选项,两条平行直线,确定一个平面,梯形中有一组对边平行,故B对.3.给出以下命题“已知点A,B都在直线l上,若A,B都在平面上,则直线l在平面上”,试用符号语言表述这个命题.【解析】用符号语言表述这个命题为:已知Al,Bl,若A,B,则l.答案:已知Al,Bl,若A,B,则l4.设平面与平面交于直线l,A,B,且直线ABl=C,则直线AB=_.【解析】因为=l,ABl=C,所以C,CAB,所以AB=C.答案:C5.如图,三个平面,两两相交于三条直线,即=c,=a,=b,若直线a和b不平行.求证:a,b,c三条直线必过同一点.【证明】因为=b,=

22、a,所以a,b.由于直线a和b不平行,所以a,b必相交.设ab=P,如图,则Pa,Pb.因为a,b,所以P,P.又=c,所以Pc,即交线c经过点P.所以a,b,c三条直线相交于同一点.十四平面的基本事实与推论(15分钟30分)1.下列叙述中错误的是()A.若点P,P且=l,则PlB.空间中任意三点A,B,C能确定一个平面C.若直线ab=A,则直线a与b能够确定一个平面D.若点Al,Bl,且A,B,则l【解析】选B.选项A:由平面的基本事实3知:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线,所以选项A正确;选项B:由平面的基本事实1知,经过不在一条直线上的3个点,有且只

23、有一个平面,即当三点A,B,C不共线时,能确定一个平面,所以选项B错误;选项C:由平面的推论2知,两条相交直线,确定一个平面,所以选项C正确;选项D:由平面的基本事实2知,如果一条直线上的两点在一个平面内,则这条直线在此平面内,所以选项D正确.2.如果两个不重合平面有一个公共点,那么这两个平面()A.没有其他公共点B.仅有这一个公共点C.仅有两个公共点D.有无数个公共点【解析】选D.由基本事实3可知,两个不重合平面有一个公共点,它们有且只有一条过该公共点的公共直线,则有无数个公共点.3.(2020哈尔滨高一检测)如图,四棱锥P-ABCD,ACBD=O,M是PC的中点,直线AM交平面PBD于点N

24、,则下列结论正确的是()A.O,N,P,M四点不共面B.O,N,M,D四点共面C.O,N,M三点共线D.P,N,O三点共线【解析】选D.直线AC与直线PO交于点O,所以平面PCA与平面PBD交于点O,所以必相交于直线PO,直线AM在平面PAC内,点NAM,故N平面PAC,故O,N,P,M四点共面,所以A错.若点D与O,M,N共面,则直线BD在平面PAC内,与题目矛盾,故B错.O,M分别为AC,PC中点,所以OMPA,ONPA=P,故ONOM=O,故C错.4.设平面与平面相交于l,直线a,直线b,ab=M,则Ml.【解析】因为ab=M,a,b,所以M,M.又因为=l,所以Ml.答案:5.已知平面

25、平面=l,点M,N,P,Pl,且MNl=R,过M,N,P三点所确定的平面记为,则=.【解析】如图,MN,RMN,所以R.又Rl,所以R.又P,P,所以=直线PR.答案:直线PR6.如图所示,AB=P,CD=P,点A,D与点B,C分别在平面的两侧,AC=Q,BD=R.求证:P,Q,R三点共线.【证明】因为AB=P,CD=P,所以ABCD=P,所以AB,CD可确定一个平面,设为.因为AAB,CCD,BAB,DCD,所以A,C,B,D,所以AC,BD.因为AC=Q,所以Q,Q.同理,P且P,R且R.所以P,Q,R在与的交线上,故P,Q,R三点共线.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)

26、1.空间四点A,B,C,D共面而不共线,那么这四点中()A.必有三点共线B.必有三点不共线C.至少有三点共线D.不可能有三点共线【解析】选B.如图(1)(2)所示,A,C,D均不正确,只有B正确.2.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是()A.A,M,O三点共线B.A,M,O,A1不共面C.A,M,C,O不共面D.B,B1,O,M共面【解析】选A.连接A1C1,AC,则A1C1AC,所以A1,C1,C,A四点共面.所以A1C平面ACC1A1.因为MA1C,所以M平面ACC1A1.又因为M平面AB1D1,所以点M

27、在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上.同理点O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,所以A,M,O三点共线.3.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F分别为棱A1B1,BB1的中点,则D1E与CF的延长线交于一点,此点在直线()A.AD上B.B1C1上C.A1D1上D.BC上【解析】选B.由平面基本性质知:D1E与CF的交点在平面A1B1C1D1上,也在平面BB1C1C上,故交点在两平面的交线B1C1上.【补偿训练】1.如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是梯形,ABCD,若平面PAD平面PBC=l,则()A.lCDB.lBCC.l与直线AB相交D.l与直线DA相交【解析

28、】选D.因为四棱锥P-ABCD的底面ABCD是梯形,ABCD,所以AD与CB必相交于点M,且P是平面PAD和平面PBC的公共点,又平面PAD平面PBC=l,所以Pl,l与直线DA相交.2.在空间四边形ABCD各边AB,BC,CD,DA上分别取点E,F,G,H,若直线EF,GH相交于点P,则()A.点P必在直线AC上B.点P必在直线BD上C.点P必在平面ABD内D.点P必在平面BCD内【解析】选A.因为EF在平面ABC上,而GH在平面ADC上,且EF,GH相交于点P,所以P在平面ABC与平面ADC的交线上,因为AC是平面ABC与平面ADC的交线,所以点P必在直线AC上.4.在正方体ABCD-A1

29、B1C1D1中,F为AD的中点,E为棱D1D上的动点(不包括端点),过点B,E,F的平面截正方体所得的截面的形状不可能是()A.四边形B.等腰梯形C.五边形D.六边形【解析】选D.不妨设正方体的棱长为1,当0DE时,截面为四边形BMEF,如图;特别地,当DE=时,截面为等腰梯形BFEC1,如图;当DE1时,截面为五边形BFENM,不可能为六边形,如图.【补偿训练】正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,点M为CC1的中点,点N为线段DD1上靠近D1的三等分点,平面BMN交AA1于点Q,则AQ的长为()A.B.C.D.【解析】选D.根据题意,画出图像如图所示,过点B作BQMN,且交AA1于点

30、Q,易知BQ=NM,因为BQMN,所以点B,Q,M,N共面,四边形BQNM是平行四边形,所以此点Q的位置即平面BMN与AA1的交点,过点N作NNCC1且交CC1于点N,因为AB=NN,BQ=MN,BAQ=NNM=90,所以BAQ和NNM全等,所以AQ=NM,点N为线段DD1上靠近D1的三等分点,所以点N为线段CC1上靠近C1的三等分点,又点M为CC1的中点,所以NM=CC1,又正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,所以NM=,即AQ=.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.给出以下说法,其中正确的是()A.不共面的四点中,其中任意三点不

31、共线B.若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则点A,B,C,D,E共面C.若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面D.过直线外一点和直线上三点的三条直线共面【解析】选AD.在A中假设其中有三点共线,则该直线和直线外的另一点确定一个平面,这与四点不共面矛盾,故其中任意三点不共线,所以A正确;如图,两个相交平面有三个公共点A,B,C,且点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,但A,B,C,D,E不共面,B不正确;选项C显然不正确;在D中,过直线与直线外一点可确定一个一个平面,设为,因此这三条直线都在平面内,即三条直线共面,D正确.6.已知A,B表示不同的点,l表示直线,表示

32、不同的平面,则下列推理正确的是()A.Al,A,Bl,BlB.A,A,B,B=ABC.l,AlAD.A,Al,ll=A【解析】选ABD.对于选项A,由基本事实2知,l,故选项A正确;对于选项B,因为,表示不同的平面,由基本事实3知,平面,相交,且=AB,故选项B正确;对于选项C,l分两种情况:l与相交或l.当l与相交时,若交点为A,则A,故选项C错误;由画图可知选项D成立.【补偿训练】设P表示一个点,a,b表示两条直线,表示两个平面,下列说法中正确的是()A.若Pa,P,则aB.若ab=P,b,则aC.若ab,a,Pb,P,则bD.若=b,P,P,则Pb【解析】选CD.当a=P时,Pa,P,但

33、a,故A错;当a=P时,B错;如图:因为ab,Pb,所以Pa,所以由直线a与点P确定唯一平面,又ab,由a与b确定唯一平面,但经过直线a与点P,所以与重合,所以b,故C正确;两个平面的公共点必在其交线上,故D正确.三、填空题(每小题5分,共10分)7.如图所示,A,B,C,D为不共面的四点,E,F,G,H分别在线段AB,BC,CD,DA上.(1)如果EHFG=P,那么点P在直线上;(2)如果EFGH=Q,那么点Q在直线上.【解析】(1)若EHFG=P,则点P平面ABD,P平面BCD,而平面ABD平面BCD=BD,所以PBD.(2)若EFGH=Q,则Q平面ABC,Q平面ACD,而平面ABC平面A

34、CD=AC,所以QAC.答案:(1)BD(2)AC8.已知ABC三个顶点到平面的距离分别是3,3,6,则其重心到平面的距离为.(写出所有可能值)【解析】设A,B到平面的距离为3;C到平面的距离为6.若A,B在平面同侧,且C在平面另一侧,则AB,取AB中点D,连接CD,设重心为G.又D到平面的距离d1=3,C到平面的距离d2=6,由重心性质可知:=2,所以=,所以G,所以G到平面的距离为0.若B,C位于平面同侧,A在平面另一侧,取AC中点D,连接BD,设重心为G,B,G,D在平面内的射影分别为:B,G,D,如图所示:DD=-3=,BB=3,又BG=2GD,所以GG=2,即G到平面距离为2.若A,

35、B,C在平面同侧,则AB,取AB中点D,连接CD,设重心为G,C,D,G在平面内的射影分别为C,D,G,如图所示:DD=3,CC=6,又CG=2GD,所以GG=4,即G到平面的距离为4.综上所述,重心到平面的距离为0,2,4.答案:0,2,4四、解答题(每小题10分,共20分)9.如图所示,G是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1延长线上一点,E,F是棱AB,BC的中点.试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线.(1)过点G及AC.(2)过三点E,F,D1.【解析】(1)画法:连接GA,交A1D1于点M;连接GC,交C1D1于点N;连接MN,AC,则MA,CN,MN,AC为所求

36、平面与正方体表面的交线.如图所示.(2)画法:连接EF交DC的延长线于点P,交DA的延长线于点Q;连接D1P交CC1于点M,连接D1Q交AA1于点N;连接MF,NE,则D1M,MF,FE,EN,ND1即为所求平面与正方体表面的交线.如图所示.10.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,体对角线A1C和平面BDC1交于点O,AC,BD交于点M,求证:C1,O,M三点共线.【证明】连接A1C1,因为ACBD=M,所以MAC,MBD,则M平面A1C1CA,M平面C1BD,又因为A1C平面BDC1=O,所以OA1C,O平面C1BD,则O平面A1C1CA,即C1,O,M均在平面A1C1CA内,又在平

37、面C1BD内.则C1,O,M必定在平面A1C1CA与平面C1BD的公共交线上,即C1,O,M三点共线.1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列说法正确的是.(只填序号)直线AC1在平面CC1B1B内;若正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O,O1,则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1;由A,C1,B1确定的平面是ADC1B1;由A,C1,B1确定的平面与由A,C1,D确定的平面是同一个平面.【解析】错误.如图所示,点A平面CC1B1B,所以直线AC1平面CC1B1B.正确.如图所示,连接AC,BD,A1C1,B1D1,因为O直线AC,AC平面AA1C1C,O直线BD

38、,BD平面BB1D1D,O1直线A1C1,A1C1平面AA1C1C,O1直线B1D1,B1D1平面BB1D1D,所以平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1.都正确,因为ADB1C1,且AD=B1C1,所以四边形AB1C1D是平行四边形,所以A,B1,C1,D共面.答案:2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为8,点M在线段BC上(点M异于B,C两点),点N为线段CC1的中点,若平面AMN截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面为五边形,则线段BM长度的取值范围是.【解题指南】当点M为线段BC的中点时,截面为四边形AMND1,从而当0BM1时,截面为四边形,当1BM2时,截

39、面为五边形,由此能求出线段MB的取值范围.【解析】因为正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为8,所以棱长为2.点M在线段BC上(点M异于B,C两点),当点M为线段BC的中点时(如图(1),可得MNAD1,平面AMN截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面为四边形;当0BM1时(如图(2),过A作MN的平行线,交线段DD1于点H.所以截面为四边形;当1BM2时,(如图(3),过A作MN的平行线,交线段DD1外于H,交A1D1于点F.连接HN交C1D1于点E,所以截面为五边形.所以平面AMN截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面为五边形,则线段BM的取值范围为(1,2).答案:(1,2)关闭Word文档返回原板块