新教材2020-2021学年数学人教A版（2019）选择性必修第二册课时素养评价 4-3-2-2 等比数列习题课 WORD版含解析.doc

1、十等比数列习题课(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.数列an为等比数列,若a1=1,a7=8a4,数列的前n项和为Sn,则S5=()A.B.C.7D.31【解析】选A.由题意,q6=8q3,解得q=2,所以an=a1qn-1=2n-1,因为数列的前n项和为Sn,所以S5=1+=.2.在等比数列an中,a2a6=,则sin=()A.-B.C.D.-【解析】选C.在等比数列an中,a2a6=,可得=a2a6=,则sin=sin=.3.在各项均为正数的等比数列an中,=2a16,则数列log2an的前7项和等于()A.7

2、B.8C.27D.28【解析】选A.由题意,得a10=2q6,所以a1q3=2,即a4=2,所以T7=log2a1+log2a2+log2a7=log2(a1a2a7)=log2=7.4.(多选题)在递增的等比数列an中,Sn是数列an的前n项和,若a1a4=32, a2+a3=12,则下列说法正确的是()A.q=1B.数列Sn+2是等比数列C.S8=510D.数列lg an是公差为2的等差数列【解析】选BC.由题意,可得a2a3=a1a4=320,a2+a3=120,故a20,a30.根据根与系数的关系,可知a2,a3是一元二次方程x2-12x+32=0的两个根.解得a2=4,a3=8,或a

3、2=8,a3=4.故必有公比q0,所以a1=0.因为等比数列an是递增数列,所以q1.所以a2=4,a3=8满足题意.所以q=2,a1=2.故选项A不正确.an=a1qn-1=2n.因为Sn=2n+1-2.所以Sn+2=2n+1=42n-1.所以数列Sn+2是以4为首项,2为公比的等比数列.故选项B正确.S8=28+1-2=512-2=510.故选项C正确.因为lg an=lg 2n=n.所以数列lg an是公差为1的等差数列.故选项D不正确.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知等比数列an的前n项和为Sn,且满足4a1,2a2,a3成等差数列,则数列an的公比q=_,如果a1=1,则S

4、4=_.【解析】由4a1,2a2,a3成等差数列,可得4a1+a3=4a2,即4a1+a1q2=4a1q,可得q2-4q+4=0,解得q=2,又因为a1=1,则S4=15.答案:2156.(2020上饶高二检测)已知等比数列an的前n项和为Sn,且Sn=+a3n,则=_.【解析】因为等比数列an的前n项和为Sn,且Sn=+a3n,所以a1=S1=+3a,a2=S2-S1=9a-3a=6a,a3=S3-S2=27a-9a=18a,因为a1,a2,a3成等比数列,所以(6a)2=18a,解得a=-(a=0舍去),所以=28.答案:28【加练固】记等差数列an的前n项和为Sn,bn为等比数列,已知S

5、5=10,且b10=a2+a4,则b5b15=_.【解析】设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q,由S5=10,且b10=a2+a4,可得5a1+10d=10,b10=2a1+4d,即有b10=4,b5b15=16.答案:16三、解答题(每小题10分,共20分)7.(2019全国卷)已知an是各项均为正数的等比数列,a1=2,a3=2a2+16.(1)求an的通项公式.(2)设bn=log2an,求数列bn的前n项和.【解析】(1)设an的公比为q,由题设得2q2=4q+16,即q2-2q-8=0.解得q=-2(舍去)或q=4.因此an的通项公式为an=24n-1=22n-1.(2)

6、由(1)得bn=(2n-1)log22=2n-1,因此数列bn的前n项和为1+3+2n-1=n2.8.已知等比数列an的首项为2,等差数列bn的前n项和为Sn,且a1+a2=6, 2b1+a3=b4,S3=3a2.(1)求an,bn的通项公式;(2)设cn=,求数列cn的前n项和.【解析】(1)设数列an的公比为q,数列bn的公差为d.由a1+a2=6,得a1+a1q=6.因为a1=2,所以q=2.所以an=a1qn-1=22n-1=2n.由得解得所以bn=b1+(n-1)d=3n-2.(2)由(1)知an=2n,bn=3n-2.所以cn=32n-2.从而数列cn的前n项和Tn=3(21+22

7、+23+2n)-2n=3-2n=62n-2n-6.(20分钟40分)1.(5分)已知an是等比数列,数列bn满足bn=log2an,nN*,且b2+b4=4,则a3的值为()A.1B.2C.4D.16【解析】选C.an是等比数列,数列bn满足bn=log2an,nN*,且b2+b4=4,则log2(a2a4)=4,则=24,整理得a3=4,由于an0,所以a3=-4舍去,故a3=4.【加练固】已知数列an满足log2an+1=1+log2an(nN*),且a1+a2+a10=1,则log2(a101+a102+a110)的值等于()A.10B.100C.210D.2100【解析】选B.由题意l

8、og2an+1-log2an=1,整理得:=2(常数),且a1+a2+a10=1,则=1,解得:a1=,所以a101=a12100=,则log2(a101+a102+a110)=log2=log22100=100.2.(5分)数列an的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n1),则an等于()A.34nB.34n+1C.D.【解析】选C.当n1时an+1=3Sn则an+2=3Sn+1,所以an+2-an+1=3Sn+1-3Sn=3an+1,即an+2=4an+1,所以该数列从第2项开始是以4为公比的等比数列.又a2=3S1=3a1=3.所以an= 3.(5分)已知Sn是数列an的前n

9、项和,Sn=2-2an+1,若a2=,则S5=_.【解析】Sn是数列an的前n项和,Sn=2-2an+1,当n2时,Sn-1=2-2an,两式相减得an=-2an+1+2an,所以an+1=an,又a1=2-2a2=1,a2=,所以an是以1为首项,为公比的等比数列,则S5=.答案:4.(5分)(2020郑州高二检测)记Sn为等比数列an的前n项和,若数列Sn-2a1也为等比数列,则=_.【解析】根据题意,设等比数列an的公比为q,对于等比数列Sn-2a1,其前三项为:-a1,a2-a1,a3+a2-a1,则有(-a1)(a3+a2-a1)=(a2-a1)2,变形可得:-(q2+q-1)=(q

10、-1)2,解得:q=或0(舍),则q=,则=.答案:5.(10分)已知等差数列an的前n项和为Sn,且S3=9,a1、a3、a7成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列an是递增数列,数列bn满足bn=,Tn是数列anbn的前n项和,求Tn.【解析】(1)等差数列an的公差设为d,S3=9,a1、a3、a7成等比数列,可得3a1+3d=9,=a1a7,即(a1+2d)2=a1(a1+6d),解得a1=3,d=0或a1=2,d=1,则an=3或an=n+1;(2)因为数列an是递增数列,所以d0,即an=n+1,bn=2n+1,从而anbn=(n+1)2n+1,Tn=222+323+

11、424+(n+1)2n+1,2Tn=223+324+425+(n+1)2n+2,-得-Tn=8+23+24+2n+1-(n+1)2n+2=8+-(n+1)2n+2=-n2n+2,所以Tn=n2n+2.6.(10分)(2020新高考全国卷)已知公比大于1的等比数列an满足a2+a4= 20,a3=8.(1)求an的通项公式;(2)记bm为an在区间(0,m(mN*)中的项的个数,求数列bm的前100项和S100.【解析】(1)设an的公比为q.由题设得a1q+a1q3=20,a1q2=8.解得q=(舍去),或q=2,a1=2.所以an的通项公式为an=2n.(2)由题设及(1)知b1=0,且当2

12、nm100的最小的n值.【解析】根据题意,数列an满足Sn=3an-2,当n2时,有Sn-1=3an-1-2,-可得:an=3an-3an-1,可得2an=3an-1,当n=1时,有S1=a1=3a1-2,解得a1=1,则数列an是以a1=1为首项,公比为的等比数列,则an=,数列nan的前n项和为Tn,则Tn=1+2+3+n,则Tn=+2+3+n,-可得-Tn=1+-n=-2-n,变形可得Tn=4+(2n-4),若Tn100,则4+(2n-4)100,即(2n-4)96,经验证可知n7.故满足Tn100的最小的n值为7.3.(2020浙江高考)已知数列an,bn,cn中,a1=b1=c1=1,cn=an+1-an,cn+1= cn(nN*).(1)若数列bn为等比数列,且公比q0,且b1+b2=6b3,求q与an的通项公式;(2)若数列bn为等差数列,且公差d0,证明:c1+c2+cn0得q=,所以bn=,bn+2=,cn+1=cn=4cn,所以=4,所以cn是首项c1=1,公比为4的等比数列,cn=4n-1,由an+1-an=cn=4n-1得an-a1=40+41+4n-2得an=.(2)bn=1+(n-1)d,则bn+1 bn+2cn+1=bnbn+1cn=b1b2c1=1+d,故cn=.于是c1+cn=1+,得证.关闭Word文档返回原板块