2022届高考人教数学（理）一轮学案：8-6 双曲线 WORD版含答案.doc

1、第六节双曲线1双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值(|F1F2|2c0)为非零常数2a(2a0，c0.当2a|F1F2|时，M点不存在2双曲线的标准方程与几何性质图形标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)性质范围xa或xaya或ya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点顶点坐标：A1(a，0)，A2(a，0)顶点坐标：A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx性质离心率e，e(1，)实、虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线

2、的虚半轴长a，b，c间的关系c2a2b2(ca0，cb0)1.在双曲线的定义中，|MF1|MF2|2a表示靠近F2的一支，|MF2|MF1|2a表示靠近F1的一支2双曲线的焦点到渐近线的距离等于其虚半轴长3方程1(mn0)表示的曲线：(1)当m0，n0时，表示焦点在x轴上的双曲线(2)当m0，n0时，表示焦点在y轴上的双曲线4方程的常见设法：(1)与双曲线1共渐近线的方程可设为(0).(2)若渐近线的方程为yx，则可设双曲线方程为(0).1(基本方法：双曲线的标准方程)以椭圆1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为()Ax21 By21Cx21 D1答案：A2(基础知识：双曲线的定义)若双曲线

3、E：1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线E上，且|PF1|3，则|PF2|等于()A11 B9C5 D3答案：B3(基本能力：双曲线的离心率)双曲线1的离心率为()A4 BC D答案：D4(基础知识：双曲线的渐近线)双曲线x21的渐近线方程为_答案：yx5(基本应用：双曲线的性质)已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在其右支上，若AF1AF2，AF1F2，则的值为_答案：1题型一双曲线的定义及应用 1已知两圆C1：(x4)2y22，C2：(x4)2y22，动圆M与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是()Ax0 B1(x)C1 D1或x0解析：动圆M与两

4、圆C1，C2都相切，有四种情况：动圆M与两圆都外切；动圆M与两圆都内切；动圆M与圆C1外切、与圆C2内切；动圆M与圆C1内切、与圆C2外切在情况下，显然，动圆圆心M的轨迹方程为x0；在的情况下，设动圆M的半径为r，则|MC1|r，|MC2|r，故得|MC1|MC2|2；在的情况下，同理得|MC2|MC1|2.由得|MC1|MC2|2.已知|C1C2|8，根据双曲线定义，可知点M的轨迹是以C1(4，0)，C2(4，0)为焦点的双曲线，且a，c4，b2c2a214，其方程为1.答案：D2(2020陕西师大附中模拟)设过双曲线x2y29左焦点F1的直线交双曲线的左支于点P，Q，若|PQ|7，则F2P

5、Q的周长为()A19 B26C43 D50解析：如图所示，由双曲线的定义可得得|PF2|QF2|PQ|4a，F2PQ的周长为|PF2|QF2|PQ|4a|PQ|PQ|432726.答案：B3(2021河南郑州模拟)已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，实轴长为6，渐近线方程为yx，动点M在双曲线左支上，点N为圆E：x2(y)21上一点，则|MN|MF2|的最小值为()A8 B9C10 D11解析：由题意知2a6，则a3，又由得b1，所以c，则F1(，0).根据双曲线的定义知|MF2|2a|MF1|MF1|6，所以|MN|MF2|MN|MF1|6|EN|MN|MF1|5|F

6、1E|559，当且仅当F1，M，N，E共线时取等号答案：B4已知F1，F2为双曲线C：x2y22的左、右焦点，点P在C上，F1PF260，则F1PF2的面积为_解析：不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|PF2|2a2.在F1PF2中，由余弦定理，得cos F1PF2，|PF1|PF2|8，SF1PF2|PF1|PF2|sin 602.答案：2方法总结 应用双曲线定义时要注意(1)距离之差的绝对值，不能漏掉“绝对值”，否则轨迹是一支(2)2aa0，cb0). 题型二双曲线的方程及性质 典例剖析类型 1双曲线标准方程 例1(1)(2021安徽合肥调研)已知双曲线的渐近线为yx，实轴长为4，则该

7、双曲线的方程为()A1 B1或1C1 D1或1解析：设双曲线方程为1(m0)，又2a4，a24，当m0时，2m4，m2；当m0时，m4，m4.故所求双曲线方程为1或1.答案：D(2)若双曲线经过点(3，)，且渐近线方程是yx，则双曲线的方程是_解析：设双曲线的方程是y2.因为双曲线过点(3，)，所以21.所以双曲线的方程为y21.答案：y21(3)(2020四川成都模拟)设双曲线与椭圆1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(，4)，则此双曲线的标准方程是_解析：法一：椭圆1的焦点为(0，3)和(0，3)，双曲线的焦距为2c6.由双曲线的定义得8442a.a2，b2c2a2945，双曲线

8、方程为1.法二：设双曲线的方程为1(270)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m等于()A1 B2C3 D4解析：由已知，取顶点，渐近线3ymx0，则顶点到渐近线的距离为，解得m4.答案：D(2)(2021湖北八市重点高中联考)已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右顶点分别为A，B，点P在双曲线C上，若PAB中，PBAPAB，则双曲线C的渐近线方程为_解析：如图所示，过B作BMx轴，PBAPAB，则PABPBM，PABPBx，即kPAkPB1.设P(x，y)，又A(a，0)，B(a，0)，1，x2y2a2，ab，则双曲线C的渐近线方程为yx.答案：yx类型 3离心率 例3(1)(2020高

9、考全国卷)已知F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴若AB的斜率为3，则C的离心率为_解析：如图所示，A(a，0).由BFx轴且AB的斜率为3，知点B在第一象限，且B，则kAB3，即b23ac3a2.又c2a2b2，即b2c2a2，c23ac2a20，e23e20，解得e2或e1(舍去).故e2.答案：2(2)(2019高考全国卷)设F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2y2a2交于P，Q两点若|PQ|OF|，则C的离心率为()A BC2 D解析：设双曲线C：1(a0，b0)的右焦点F的坐标为(c，0).由

10、圆的对称性及条件|PQ|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQOF.设垂足为M，连接OP，如图所示，则|OP|a，|OM|MP|.由|OM|2|MP|2|OP|2得a2，故，即e.答案：A方法总结1求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方程(2)待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为(0)，再根据条件求的值2求双曲线的渐近线的方法求双曲线1(a0，b0)或1(a0，b0)的渐近线方

11、程的方法是令右边的常数等于0，即令0，得yx；或令0，得yx.反之，已知渐近线方程为yx，可设双曲线方程为(a0，b0，0).3求双曲线的离心率(1)求双曲线的离心率或其范围的方法：求a，b，c的值，由1直接求e.列出含有a，b，c的等式(或不等式)，借助于b2c2a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解(2)焦点在x轴上的双曲线的渐近线的斜率k与离心率e的关系：k .题组突破1经过点(2，1)，且渐近线与圆x2(y2)21相切的双曲线的标准方程为()A1 By21C1 D1解析：法一：设双曲线的渐近线方程为ykx，即kxy0，由渐近线与圆x2(y2)21相切可得圆心(0，2)到渐近

12、线的距离等于半径1，由点到直线的距离公式可得1，解得k.因为双曲线经过点(2，1)，所以双曲线的焦点在x轴上，可设双曲线的方程为1(a0，b0)，将(2，1)代入可得1，由得故所求双曲线的标准方程为1.法二：设双曲线的方程为mx2ny21(mn0)，将(2，1)代入方程可得4mn1.双曲线的渐近线方程为yx，圆x2(y2)21的圆心为(0，2)，半径为1，由渐近线与圆x2(y2)21相切，可得1，即3，由可得m，n，所以该双曲线的标准方程为1.答案：A2已知抛物线y24x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线1(a0，b0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|4|OF|(O为原点)，则双曲线

13、的离心率为()A BC2 D解析：由题意，可得F(1，0)，直线l的方程为x1，双曲线的渐近线方程为yx.将x1代入yx，得y，所以点A，B的纵坐标的绝对值均为.由|AB|4|OF|可得4，即b2a，b24a2，故双曲线的离心率e.答案：D1(2019高考全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点若0，则C的离心率为_.解析：法一：由，得A为F1B的中点又O为F1F2的中点，OABF2.又0，F1BF290.OF2OB，OBF2OF2B.又F1OABOF2，F1OAOF2B，BOF2OF2BOBF2，OBF2为等边三角形如

14、图所示，不妨设B为.点B在直线yx上，离心率e2.法二：0，F1BF290.在RtF1BF2中，O为F1F2的中点，|OF2|OB|c.如图所示，作BHx轴于H，由l1为双曲线的渐近线，可得，且|BH|2|OH|2|OB|2c2，|BH|b，|OH|a，B(a，b)，F2(c，0).又，A为F1B的中点OAF2B，c2a，离心率e2.答案：22(2020高考全国卷)设F1，F2是双曲线C：x21的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|2，则PF1F2的面积为()A B3C D2解析：法一：由题知a1，b，c2，F1(2，0)，F2(2，0)，如图所示，因为|OF1|OF2|OP|2，所以

15、点P在以F1F2为直径的圆上，故PF1PF2，则|PF1|2|PF2|2(2c)216.由双曲线的定义知|PF1|PF2|2a2，所以|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|4，所以|PF1|PF2|6，所以PF1F2的面积为|PF1|PF2|3.法二：由双曲线的方程可知，双曲线的焦点F1，F2在x轴上，且|F1F2|24.设点P的坐标为(x0，y0)，则解得|y0|.所以PF1F2的面积为|F1F2|y0|43.答案：B3(2020高考全国卷)设O为坐标原点，直线xa与双曲线C：1(a0，b0)的两条渐近线分别交于D，E两点若ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为()A4 B8C16 D

16、32解析：双曲线的渐近线方程为yx，分别与xa联立，可得D(a，b)，E(a，b)，SODEa|DE|a2bab8，c2a2b22ab16.当且仅当ab2时，等号成立c2的最小值为16，c的最小值为4，C的焦距的最小值为248.答案：B4(2020高考全国卷)设双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.P是C上一点，且F1PF2P.若PF1F2的面积为4，则a()A1 B2C4 D8解析：由得|F1F2|2c2a.PF1F2中，F1PF2P，|F1P|2|F2P|2|F1F2|24c220a2.不妨设P在C的右支上，则|F1P|F2P|2a.PF1F2的面积为4，|F1

17、P|F2P|4，即|F1P|F2P|8.(|F1P|F2P|)2|F1P|2|F2P|22|F1P|F2P|20a2284a2，解得a1.答案：A1(2020高考山东卷)(多选题)已知曲线C：mx2ny21.()A若mn0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B若mn0，则C是圆，其半径为C若mn0，则C是双曲线，其渐近线方程为y xD若m0，n0，则C是两条直线解析：对于选项A，当mn0时，有0，方程化为1，表示焦点在y轴上的椭圆，故选项A正确对于选项B，当mn0时，方程化为x2y2，表示半径为 的圆，故选项B错误对于选项C，当m0，n0时，方程化为1，表示焦点在x轴上的双曲线，其中a，b，渐近线方程

18、为y x；当m0，n0时，方程化为1，表示焦点在y轴上的双曲线，其中a ，b ，渐近线方程为y x，故选项C正确对于选项D，当m0，n0时，方程化为y ，表示两条平行于x轴的直线，故选项D正确综上可知，正确的选项为ACD.答案：ACD2(共焦点的椭圆与双曲线)已知F1，F2为椭圆和双曲线的公共焦点，P为它们的一个公共点，且F1PF2，则该椭圆和双曲线的离心率之积的最小值是()A BC1 D解析：设|PF1|m，|PF2|n，其中mn.椭圆方程为1，双曲线方程为1，两曲线的半焦距分别为c1，c2，则c1c2.由定义知，mn2a1，mn2a2，ma1a2，na1a2.F1PF2，在PF1F2中，由余弦定理得m2n2mn4c4c，即(a1a2)2(a1a2)2(a1a2)(a1a2)4c4c，4，又2，42，e1e2，当且仅当e1，e2时，等号成立答案：B