2022届高考数学基础总复习提升之专题突破详解 专题20 母体法破解三视图（含解析）.doc

1、专题20 母体法破解三视图一命题类型1.三视图基础2.组合体的三视图问题3.正方体作为母体4.运用长方体作为母体的三视图5.运用直三棱柱为母体破解三视图【学习目标】1掌握平面的基本性质，在充分理解本讲公理、推论的基础上结合图形理解点、线、面的位置关系2掌握点、线、面关系的文字语言、符号语言、图形语言的密切联系及相互转化3掌握空间两条直线的位置关系的证明，并能够判定两条直线的异面关系，会求两条异面直线所成的角4熟记棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式，运用这些公式解决一些简单问题2.三视图空间几何体的三视图由平行投影得到，这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图形的形

2、状和大小是全等和相等的，三视图包括正视、侧视、俯视3空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：(1)画几何体的底面在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x轴、y轴，两轴相交于点O，且使xOy45，已知图形中平行于x轴、y轴的线段在直观图中平行于x轴、y轴；已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半1.有关斜二测画法的常用结论与方法(1)用斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积S与原平面图形的面积S之间的关系是SS.(2)对于图形中与x轴、y轴、z轴都不平行的线段，可通过确定端点的办法来

3、解决，即过端点作坐标轴的平行线段，再借助所作的平行线段确定端点在直观图中的位置.2.有关三视图的基本规律(1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.画三视图的基本要求是：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高.(2)由三视图想象几何体特征时要根据“长对正、宽相等、高平齐”的基本原则.【知识要点】1.证明点共线、线共点、点或线共面等问题的方法：(1)证明若干点共线，通常证明这些点都是某两个平面的公共点，根据公理3，这些点都在交线上；或选择其两点确定一条直线，然后证明其他点都在这条直线上.(2)证明若干条直线共点与证明若干点共线的方法类似，转化化归

4、为证明“点在直线上”(证明两条直线的交点在第三条直线上).(3)证明若干元素(点或直线)共面，常用方法是：(法一)根据公理3或推论确定一个平面，然后再证其他元素也在这个平面内；(法二)根据公理2或其推论确定两个平面，然后再证明这两个平面重合.2.求异面直线所成的角，常用平移法，即平移异面直线中的一条(或两条)构造异面直线所成的角，然后通过解三角形求解.注意：(1)当用平移转化法繁琐或无法平移时，可考虑两条异面直线是否垂直；(2)两条异面直线所成的角是锐角或直角.3.证明两直线是异面直线的常用方法是“判定定理”和“反证法”，其中“反证法”最常用.4.(1)多面体的表面积是各个面的面积之和.圆柱、

5、圆锥、圆台的侧面是曲面，其表面积为侧面积与底面积之和；(2)组合体的表面积要注意重合部分的处理；(3)三棱锥体积的计算用等体积法计算时，三棱锥的顶点和底面是相对的，可以变换顶点和底面，使体积计算容易；(4)求空间几何体的体积除利用公式法外，还常用分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算问题的常用方法.二命题陷阱破解母体法破解三视图的原则方法：（1）确定母体；（2）三个视图互相配合找到顶点；（3）有顶点得到几何体的棱；（4）由棱得到几何体；（5）回头验证所得几何体是否符合三视图.1.三视图基础（注意长对正，宽相等，高平齐的应用）2.组合体的三视图问题（弄清是由什么几何体组成的

6、）3.正方体作为母体4.运用长方体作为母体的三视图5.运用直三棱柱为母体破解三视图三命题陷阱举例1.三视图基础例1. 某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D故选：D练习1. 如图所示， 某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径若该几何体的体积是， 则它的表面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：可得： 它的表面积是： 故选A练习2. 如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖去部分的体积之比为（ ）A. B. C. D. 【答案】C2.组合

7、体的三视图问题例2. 某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由三视图可知几何体为圆柱与球的组合体。圆柱的底面半径为1，高为3，球的半径为1.所以几何体的表面积为12+213+412+12+12=9.故选B.【方法规律总结】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和

8、侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.练习1. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由三视图知几何体为圆柱挖去一个圆锥所得的组合体，且圆锥与圆柱的底面直径都为4，高为2，则圆锥的母线长为，该几何体的表面积S=22+222+22=(12+4)，故选：D.练习2鲁班锁是曾广泛流传与民间的智力玩具，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，不用钉子和绳子，完全靠自身机构的连接支撑，它看似简单，却凝结着不平凡的智慧.下图为鲁班锁的其中一个零件的三视图，则该零件的体积为（ ）A. B.

9、C. D. 【答案】C点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.练习3已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：根据三视图知几何体的下面是一个圆柱，上面是圆柱的一半，所以故应选B练习4. 陀螺是汉族民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗，闽南语称作“干乐”，北方叫做“冰尜”或“打老牛”陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成.从前的制

10、作材料多为木头，现代多为塑料或铁制.玩耍时可用绳子缠绕，用力抽绳，使其直立旋转；或利用发条的弹力使其旋转.如图画出的是某陀螺模型的三视图，已知网格纸中小正方形的边长为1，则该陀螺模型的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解题方法和规律总结】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于中档题. 三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.练习5. 已知网格纸上小正方形的边长为1，粗

11、实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B故选B.练习6. 某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题干中的三视图可得原几何体如图所示：故该几何体的表面积=246+234+36+33+34+35+21234=138（cm2）.故选D.练习7. 如图，小方格是边长为1的正方形，一个几何体的三视图如图所示，则几何体的表面积为()A. 496 B. (26)96C. (44)64 D. (44)96【答案】D【方法总结】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能

12、力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.3.正方体作为母体例3. 已知某几何体的三视图如图所示，三视图是边长为的等腰三角形和边长为的正方形，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】根据几何体的三视图，得；该几何体是棱长为的正方体中一三棱锥PABC，如图所示；该三棱锥的体积为121= 故选：A练习1. 如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，图中画出的是某几何体的三视图，则该几何

13、体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体为一个正方体挖去一个半圆锥得到的几何体，故所求表面积2 .故选：A【方法规律总结】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高练习2. 四棱锥PABCD的三视图如图所示，四棱锥PABCD的五个顶点都在一个球面上， E，F分别是棱AB，CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为2 ，则该球的表面积为A. 12 B. 24 C. 36 D. 48【答案】A

14、【方法规律总结】空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解练习3. 一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为A. B. C. D. 【答案】A【解析】4.运用长方体作为母体的三视图例4. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. B. 36 C. D. 【答案】C【解析】由三视图可知该几何体是如图所示的四棱锥 ，其中三角形

15、是边长为 的正三角形，正方形 的边长为，该几何体的表面积为 ，故选C.练习1. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由三视图可知该几何体为三棱锥（如图所示），其中， 到平面的距离为1，故所求的三棱锥的体积为.故选：A5.运用直三棱柱为母体破解三视图例5. 某几何体的三视图如图所示，当xy取得最大值时，该几何体的体积是_【答案】3【解析】由题意可知，该几何体为如图所示的四棱锥PABCD，CD，ABy，AC5，CP，BPx，BP2BC2CP2，即x225y27，x2y2322xy，则xy16，当且仅当xy4时

16、，等号成立此时该几何体的体积V3【方法规律总结】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解练习1. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_【答案】24【方法规律】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽

17、是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.四高考真题演练1.【2017课标1，理7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A10B12C14D16【答案】B【解析】试题分析：由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体平面内只有两个相同的梯形的面，

18、则含梯形的面积之和为，故选B.【 考点】简单几何体的三视图【名师点睛】三视图往往与几何体的体积、表面积以及空间线面关系、角、距离等问题相结合，解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征并且熟悉常见几何体的三视图.2.【2017浙江，3】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是AB C D【答案】A【解析】试题分析：，选A【考点】 三视图【名师点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的

19、高是几何体的高，宽是几何体的宽由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整3.【2017北京，理7】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（A）3 （B）2 （C）2 （D）2【答案】B【解析】试题分析：几何体是四棱锥，如图红色线为三视图还原后的几何体，最长的棱长为正方体的对角线，故选B.【考点】三视图【名师点睛】本题考查了空间想象能力，由三视图还原几何体的方法:或者也可根据三视图的形状，将几何体的顶点放在正方体或长方体里面，便于分析问题.4.【

20、2014高考北京理第7题】在空间直角坐标系中,已知.若分别是三棱锥在坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）A B且 C且 D且【答案】D 【解析】考点：三棱锥的性质，空间中的投影，难度中等.【名师点睛】本题考查空间直角坐标系下几何体的位置和相应点的坐标以及正投影的概念，正投影的位置、形状和面积，本题属于基础题，要准确写出点的坐标，利用坐标求出三角形的面积.5.【2016高考新课标2理数】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】考点： 三视图，空间几何体的体积.【名师点睛】由三视图还原几何体的方法:6.【2016年高考

21、北京理数】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A. B. C.D.【答案】A【解析】试题分析：分析三视图可知，该几何体为一三棱锥，其体积，故选A.考点：1.三视图；2.空间几何体体积计算.【名师点睛】解决此类问题的关键是根据几何体的三视图判断几何体的结构特征.常见的有以下几类：三视图为三个三角形，对应的几何体为三棱锥；三视图为两个三角形，一个四边形，对应的几何体为四棱锥；三视图为两个三角形，一个圆，对应的几何体为圆锥；三视图为一个三角形，两个四边形，对应的几何体为三棱柱；三视图为三个四边形，对应的几何体为四棱柱；三视图为两个四边形，一个圆，对应的几何体为圆柱.7.【2015高考陕西

22、，理5】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A B C D【答案】D【解析】由三视图知：该几何体是半个圆柱，其中底面圆的半径为，母线长为，所以该几何体的表面积是，故选D【考点定位】1、三视图；2、空间几何体的表面积【名师点晴】本题主要考查的是三视图和空间几何体的表面积，属于容易题解题时要看清楚是求表面积还是求体积，否则很容易出现错误本题先根据三视图判断几何体的结构特征，再计算出几何体各个面的面积即可8.【2016高考新课标3理数】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）（A） （B） （C）90 （D）81【答案】B【解析】

23、【技巧点拨】求解多面体的表面积及体积问题，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，建立未知量与已知量间的关系，进行求解基本性质及推论，线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题9.【2015高考新课标2，理6】一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A B C D【答案】D【解析】由三视图得，在正方体中，截去四面体，如图所示，设正方体棱长为，则，故剩余几何体体积为，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为，故选D【考点定位】三视图

24、【名师点睛】本题以正方体为背景考查三视图、几何体体积的运算，要求有一定的空间想象能力，关键是能从三视图确定截面，进而求体积比，属于中档题10.【2016高考山东理数】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】试题分析：由三视图可知,上面是半径为的半球,体积为,下面是底面积为1,高为1的四棱锥,体积,故选C.考点：1.三视图；2.几何体的体积.【名师点睛】本题主要考查三视图及几何体的体积计算，本题涉及正四棱锥及球的体积计算，综合性较强，较全面的考查考生的视图用图能力、空间想象能力、数学基本计算能力等.11.【2014

25、课标，理12】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】【解析】由正视图、侧视图、俯视图形状，可判断该几何体为四面体，且四面体的长、宽、高均为4个单位，故可考虑置于棱长为4个单位的正方体中研究，如图所示，该四面体为，且, , ，故最长的棱长为6，选B【考点定位】三视图【名师点睛】本题考查了三视图视角下多面体棱长的最值问题，考查了考生的识图能力以及由三视图还原物体的空间想象能力。12【2015高考浙江，理2】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（ ） A. B. C.

26、D. 【答案】C.【解析】【名师点睛】本题主要考查了根据三视图判断空间几何体的形状，再计算其体积，属于容易题，在解题过程中，根据三视图可以得到该几何体是一个正方体与四棱锥的组合，将组合体的三视图，正方体与锥体的体积计算结合在一起，培养学生的空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力，会利用所学公式进行计算，体现了知识点的交汇.13.【2015高考重庆，理5】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A、 B、C、 D、【答案】A【解析】这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，选A.【考点定位】组合体的体积.【名师点晴】本题涉及到三视图的认知，要求学生能由三视图画出几何体的直观图，从而分析出它是哪些基本几

27、何体的组合，应用相应的体积公式求出几何体的体积，关键是画出直观图，本题考查了学生的空间想象能力和运算求解能力.14. 【2014，安徽理7】一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ）A21+ B18+ C21 D18【答案】A【解析】15.【2014湖北卷5】在如图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号、的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）A.和 B.和 C. 和 D.和 【答案】D 【解析】试题分析：设，在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为与俯视图为，故

28、选D.考点：空间由已知条件，在空间坐标系中作出几何体的形状，再正视图与俯视图，容易题.【名师点睛】将空间几何体的三视图与空间直角坐标系融合在一起，凸显了数学学科内知识间的内在联系，充分体现了数学学科特点和知识间的内在联系，能较好的考查学生的综合知识运用能力.其解题突破口是正确地在空间直角坐标系中画出该几何体的原始图像.16.【2015高考北京，理5】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）A B C D5【答案】C【解析】根据三视图恢复成三棱锥，其中平面ABC，取AB棱的中点D，连接CD、PD，有，底面ABC为等腰三角形底边AB上的高CD为2，AD=BD=1,PC=1,三棱锥表面积.考点定位：本题考点为利用三视图还原几何体及求三棱锥的表面积，考查空间线线、线面的位置关系及有关线段长度及三角形面积数据的计算.【名师点睛】本题考查三视图及多面体的表面积，本题属于基础题，正确利用三视图还原为原几何体，特别是有关数据的还原，另外要利用线面垂直的性质，判断三角形的形状，特别是侧面的形状为等腰三角形，正确求出三个侧面的面积和底面的面积.