新教材2021-2022学年人教B版数学选择性必修第二册学案：第三章 3-1-2 第2课时 排列数的应用 WORD版含解析.doc

1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。第2课时排列数的应用关键能力合作学习类型一数字排列问题(逻辑推理、数学运算)1用1，2，3，4，5，6，7这7个数字排列组成一个七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有_个【解析】先排奇数位有A种，再排偶数位有A种，故共有AA144个答案：1442用数字1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20 000大的五位偶数共有_个【解析】由题设可知：当首位排5和3时，末位可排2和4，中间三数全排，两种情况共有4A种；当首位排2和4时，末位只

2、能排4和2，中间三个数全排，两种情况共有2A，所以由分类加法计数原理可得所有符合条件的五位数共有6A6636个答案：363用1，2，3，4，5，6，7这7个数字组成没有重复数字的四位数(1)如果组成的四位数必须是偶数，那么这样的四位数有多少个？(2)如果组成的四位数必须大于6 500，那么这样的四位数有多少个？【解析】(1)第一步排个位上的数，因为组成的四位数必须是偶数，个位数字只能是2，4，6之一，所以有A种排法；第二步排千、百、十这三个数位上的数字，有A种排法根据分步乘法计数原理，符合条件的四位数的个数是AA3654360.故这样的四位数有360个(2)因为组成的四位数要大于6 500，所

3、以千位上的数字只能取7或6.排法可以分两类第一类：千位上排7，有A种不同的排法；第二类：若千位上排6，则百位上可排7或5，十位和个位可以从余下的数字中取2个来排，共有AA种不同的排法根据分类加法计数原理，符合条件的四位数的个数是AAA160.故这样的四位数有160个 数字排列问题的解题原则排列问题的本质是“对象”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某对象不排在某个位子上，或某个位子不排某些对象，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊对象或优先满足特殊位子，若一个位子安排的对象影响到另一个位子的对象个数时，应分类讨论提醒：解决数字问题时，应注意题干中的限制条

4、件，恰当地进行分类和分步，尤其注意特殊对象“0”的处理类型二“排序”问题(数学抽象、逻辑推理)角度1“相邻”与“不相邻”问题【典例】3名男生，4名女生，这7个人站成一排，在下列情况下，各有多少种不同的站法(1)男、女各站在一起(2)男生必须排在一起(3)男生不能排在一起(4)男生互不相邻，且女生也互不相邻【思路导引】利用排列数公式解决相关问题时，特殊对象应特殊考虑，相邻对象捆绑处理，不相邻对象插空处理【解析】(1)(相邻问题捆绑法)男生必须站在一起，即把3名男生进行全排列，有A种排法，女生必须站在一起，即把4名女生进行全排列，有A种排法，全体男生、女生各看作一个对象全排列有A种排法，由分步乘法

5、计数原理知共有AAA288种排法(2)(捆绑法)把所有男生看作一个对象，与4名女生组成5个对象全排列，故有AA720种不同的排法(3)(不相邻问题插空法)先排女生有A种排法，把3名男生安排在4名女生隔成的5个空中，有A种排法，故有AA1 440种不同的排法(4)先排男生有A种排法让女生插空，有AA144种不同的排法角度2定序问题【典例】1.4100米男女混合泳接力比赛的规则是：每个参赛国家派出2男2女共计4名运动员参加比赛，按照仰泳蛙泳蝶泳自由泳的接力顺序，每种泳姿100米且由1名运动员完成，且每名运动员都要出场若中国队确定了备战该项目的4名运动员名单，其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳，男

6、运动员乙只能承担蝶泳或者蛙泳，剩下的2名运动员四种泳姿都可以承担，则中国队参赛的安排共有()A144种 B8种 C24种 D12种【思路导引】分两类，(1)甲承担仰泳，(2)甲承担自由泳，根据分类计数原理求【解析】选B.由题意，若甲承担仰泳，则乙运动员有2种安排方法，其他两名运动员有A2种安排方法，共计224种方法，若甲承担自由泳，则乙运动员有2种安排方法，其他两名运动员有A2种安排方法，共计224种方法，所以中国队共有448种不同的安排方法27人站成一排(1)甲必须在乙的前面(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法？(2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方

7、法？【思路导引】(1)先将7人全排，考虑甲在乙的前面和在乙的后面是等可能的，即可得出结果(2)先将7人全排，甲、乙、丙三人排列有6种情况，考虑三人顺序一定只是6种情况中的一种即可求得结果【解析】(1)甲在乙前面的排法种数占全体全排列种数的一半，故有2 520(种)不同的排法(2)甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变，即甲、乙、丙自左向右顺序的排法种数占全体全排列种数的.故有840(种)不同的排法角度3对象“在”与“不在”问题【典例】从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题：(1)甲不在首位的排法有多少种？(2)甲既不在首位，又不在末位的排法有多少种？(3)甲与乙既不在

8、首位又不在末位的排法有多少种？(4)甲不在首位，乙不在末位的排法有多少种？【思路导引】(1)优先考虑甲，再结合排列数公式求解(2)先将除甲以外的6名同学中选2名排在首、末位，再排剩余的5名同学(3)先将甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末位，再排剩余的5名同学(4)用间接法求解【解析】(1)方法一：把同学作为研究对象第一类：不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中取出5名放在5个位置上，有A种第二类：含有甲，甲不在首位：先从4个位置中选出1个放甲，再从甲以外的6名同学中选出4名排在没有甲的位置上，有A种排法根据分步乘法计数原理，含有甲时共有4A种排法由分类加法计数原理，共有A4A2 160(种

9、)排法方法二：把位置作为研究对象第一步，从甲以外的6名同学中选1名排在首位，有A种方法第二步，从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上，有A种方法由分步乘法计数原理，可得共有AA2 160(种)排法方法三(间接法)：即先不考虑限制条件，从7名同学中选出5名进行排列，然后把不满足条件的排列去掉不考虑甲不在首位的要求，总的可能情况有A种；甲在首位的情况有A种，所以符合要求的排法有AA2 160(种).(2)把位置作为研究对象，先满足特殊位置第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有A种方法第二步，从未排上的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有A种方法根据分步

10、乘法计数原理，有AA1 800(种)方法(3)把位置作为研究对象第一步，从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置，有A种方法第二步，从未排上的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有A种方法根据分步乘法计数原理，共有AA1 200(种)方法(4)用间接法总的可能情况是A种，减去甲在首位的A种，再减去乙在末位的A种注意到甲在首位同时乙在末位的情况被减去了两次，所以还需补回一次A种，所以共有A2AA1 860(种)排法 1“相邻”与“不相邻”问题处理对象“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则对象相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个对象“捆绑”为一个大对象与其余对象全排列

11、，然后再松绑，将这若干个对象内部全排列对象不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻对象以外的“普通”对象全排列，然后在“普通”对象之间及两端插入不相邻对象2定序问题解题策略在有些排列问题中，某些元素的先后顺序是固定的(但不一定相邻).解决这类某些元素顺序确定的问题的基本方法有两个：一是整体法，即若有mn个元素排成一列，其中有m个元素之间的顺序固定不变，将这mn个元素排成一列，共有A种不同的排法，然后任取一个排列，固定其他的n个元素的位置不动，把这m个元素变换顺序，共有A种排法，其中只有一个排列是我们所需要的排列，因而共有种不同的排法，二是插入法，先在mn个位置上排n个元素，再把剩下的m个元素固

12、定顺序插入到剩余m个位置中，有A种不同的排法3对象“在”与“不在”问题的解题原则与方法(1)原则：解“在”与“不在”的有限制条件的排列问题时，可以从对象入手也可以从位置入手，原则是谁特殊谁优先(2)方法：从对象入手时，先给特殊对象安排位置，再把其他对象安排在其他位置上，从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置1师生站成一排照相留念，其中老师1人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同站法？(1)老师甲必须站在中间或两端；(2)2名女生必须相邻而站；(3)4名男生互不相邻；(4)若4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站【解题指南】解决此类问题的方法主要按“优先”原则，即优先排特

13、殊元素或优先考虑特殊位子，若一个位子安排的元素影响另一个位子的元素个数时，应分类讨论【解析】(1)先考虑甲有A种站法，再考虑其余6人全排，故不同站法总数为：AA2 160(种).(2)2名女生站在一起有A种站法，视为一种元素与其余5人全排，有A种排法，所以有不同站法AA1440(种).(3)先站老师和女生，有站法A种，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生，每空一人，则插入方法有A种，所以共有不同站法AA144(种).(4)7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A种，而由高到低有从左到右和从右到左的不同，所以共有不同站法2420(种).27人站成一排，其中甲在乙前(不一定相邻)，乙

14、在丙前，则共有多少种不同的站法？【解析】方法一：先不考虑甲、乙、丙的顺序，7人任意排列，共有A种站法因为在上述排列中，每A种有且仅有一种恰好是符合甲、乙、丙按一定顺序排列的，所以符合要求的排法共有840(种).方法二：7人位置中，先将除甲、乙、丙外的4人排列，共有A种站法，然后将甲、乙、丙按规定顺序插入3个空位中，因此共有A840(种)站法3某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种？(1)一个唱歌节目开头，另一个放在最后压台；(2)2个唱歌节目互不相邻；(3)2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻【解析】(1)先排唱歌节目有A种

15、排法，再排其他节目有A种排法，所以共有AA1 440种排法(2)先排3个舞蹈节目和3个曲艺节目有A种排法，再从其中7个空(包括两端)中选2个排唱歌节目，有A种插入方法，所以共有AA30 240种排法(3)把2个相邻的唱歌节目看作一个元素，与3个曲艺节目排列共A种排法，再将3个舞蹈节目插入，共有A种插入方法，最后将2个唱歌节目互换位置，有A种排法，故所求排法共有AAA2 880种排法【补偿训练】8人排成前后两排，每排4人，其中甲、乙在前排，丙在后排，共有_种排法【解析】按照前排甲、乙，后排丙，其余5人的顺序考虑，共有AAA5 760种，故填5 760.答案：5 760类型三排列的综合应用(数学建

16、模、逻辑推理)【典例】从数字0，1，3，5，7中取出不同的三个数作系数，可以组成多少个不同的一元二次方程ax2bxc0？其中有实根的方程有多少个？四步内容理解题意条件：从数字0，1，3，5，7中取数作系数；有实根；结论：不同的二次方程；有实根的方程思路探求先确定a的值，再确定b，c的值，最后根据分步乘法计数原理求解对于有实根的方程先对c进行讨论书写表达先考虑组成一元二次方程的问题首先确定a，只能从1，3，5，7中选一个，有A种，然后从余下的4个数中任选两个作b，c，有A种由分步乘法计数原理知，共组成一元二次方程AA48(个).方程要有实根，必须满足b24ac0.分类讨论如下：当c0时，a，b可

17、以从1，3，5，7中任取两个，有A种；当c0时，分析判别式知b只能取5，7中的一个当b取5时，a，c只能取1，3这两个数，有A种；当b取7时a，c可取1，3或1，5这两组数，有2A种此时共有(A2A)个由分类加法计数原理知，有实根的一元二次方程共有AA2A18(个).注意书写的规范性：注意分清是不是排列问题，然后数学建模；注意正确使用分类、分步计数原理题后反思在解决排列问题时，或从对象考虑，或从位置考虑，都要贯彻到底不能一会考虑对象，一会考虑位置，造成分类、分步混乱，导致解题错误 排列综合问题解题策略实际问题中，既要能观察出是排列问题，又要能搞清哪些是特殊对象，还要根据问题进行合理分类、分步，

18、选择合适的解法因此需做一定量的排列应用题，逐渐掌握解决问题的基本思想1A，B，C，D，E，F共6个同学和1个数学老师站成一排合影留念，数学老师穿白色文化衫，A，B和C，D同学分别穿着白色和黑色文化衫，E和F分别穿着红色和橙色的文化衫，若老师站中间，穿着白色文化衫的不相邻，则不同的站法种数为()A72B112C160D192【解析】选D.共有7个位置，老师站中间，两边各三个座位，两位穿白色文化衫的同学不站老师两边，且他俩不能相邻，所以他俩有22A8种方法，其他没有限制，所以共有8A192种方法【补偿训练】由四个不同数字1，2，4，x组成无重复数字的三位数，(1)若x5，其中能被5整除的共有多少个

19、？(2)若x0，其中的偶数共有多少个？(3)若所有这些三位数的各位数字之和是252，求x.【解析】(1)若x5，则末位为5的三位数共有A6个，即能被5整除的共有6个(2)若x0，当末位是0时，三位数共有A6个；当末位是2或4时，三位数共有AAA8个，故共有6814个(3)4个不同的数，组成无重复三位数共有43224种，每个数字用了3A18次因为所有这些三位数的各位数字之和是252，所以18(124x)252，即x7.2八音是中国古代对乐器的统称，包含“金、石、土、革、丝、木、匏(po)、竹”八类，每类又包括若干种乐器现有“土、丝、竹”三类乐器，其中“土”包括“缶(fu)、埙(xn)”2种乐器；

20、“丝”包括“琴、瑟、筝、琵琶”4种乐器；“竹”包括“箫、笛、笙”3种乐器现从这三类乐器中各选1种乐器分配给甲、乙、丙三位同学演奏，则不同的分配方案有()A24种B72种C144种D288种【解析】选C.分2步：“土”包括“缶(fu)、埙(xn)”2种乐器，在其中选出1种有2种选法，“丝”包括“琴、瑟、筝、琵琶”4种乐器，在其中选出1种有4种选法，“竹”包括“箫、笛、笙”3种乐器，在其中选出1种有3种选法，则在三类乐器中各选1种乐器，有24324种选法；将选出的3种乐器安排给甲乙丙三人，有A6种情况所以，有246144种不同的分配方案典例备选循环排列循环排列(circularpermutatio

21、n)亦称圆排列、环排列，是指从n个不同元素中取出m(1mn)个不同的元素排列成一个环形，既无头也无尾【例如】1几个图形按一定的规律不断重复变化地排列，我们叫这种排列为循环排列规律，如1，2，3，从1开始，然后顺延，123；从2开始，然后顺延，231；从3开始，然后顺延，312.2将a，b，c，d，e五个元素排列在圆周上，确定其中的一种，然后将各元素依顺时针(或逆时针)方向绕圆周转动一个位置，连续转动四次(转动五次就恢复到原来的位置)，连同开始的一种共得五种，在这五种排列里，元素所占的位置虽然有所改变，但元素之间的相对顺序依旧未变从a开始按顺时针方向都是abcde，所以在循环排列里，这五种排列只

22、能算作一种排列设想在上面五种情况中的同一个方向上，如从左往右，第一种情况的e与a之间，第二种情况的d与e之间，第三种情况的c与d之间，第四种情况的b与c之间，第五种情况的a与b之间，把各圆周剪断，并将圆周拉成直线，则成五种不同的直线排列，它们是abcde，eabcd，deabc，cdeab，bcdea.【结论】从n个元素里选出m个元素的循环排列，可以先选出m个元素，然后再将选出的m个元素进行全排列，其中有m种排列循环相同，所以循环排列数为.特别地，n个不同元素的循环排列数为(n1)！.5个人坐在一个圆桌旁打牌，不同的循环排列种数为_【解析】由循环排列公式得4！24.答案：24课堂检测素养达标1

23、6位选手依次演讲，其中选手甲不排在第一个也不排在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有()A240种B360种C480种D720种【解析】选C.第一步：排甲，共有A种不同的排法；第二步：排其他人，共有A种不同的排法，因此不同的演讲次序共有AA480(种).2甲、乙等5人在南沙聚会后在天后宫沙滩排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻的排法有()A24种 B48种 C72种 D120种【解析】选B.由题意利用捆绑法求解，甲、乙两人必须相邻的方法数为AA48种3用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20 000大的五位偶数共有_个【解析】首位只需选2，3，4，5即可，而个位数字必须是偶数，若

24、首位选2，4，则有22A个，若首位选3，5，则有23A个，所以共有4A6A240(个).答案：2404从1，2，3，9这9个数字中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，一共可以得到多少个不同的对数值？其中比1大的有几个？【解析】从2，3，9这8个数中任取2个数组成对数，有A个，在这些对数值中，log24log39，log42log93，log23log49，log32log94，重复计数4个，又1不能作为对数的底数，1作为真数时，不论底数为何值，其对数值均为0.所以可以得到A4153(个)不同的对数值要求对数值比1大，分类完成：底数为2时，真数从3，4，5，9中任取一个，有7种选法；底数为3时，真数从4，5，9中任取一个，有6种选法；依次类推，当底数为8时，真数只能取9，故有765432128(个).但其中log24log39，log23log49，所以其中比1大的对数值有28226(个).关闭Word文档返回原板块