新教材2021-2022学年北师大版数学必修第一册学案：1-3-2 第2课时　基本不等式的应用 WORD版含答案.doc

1、第2课时基本不等式的应用某养殖场要用100米的篱笆围成一个矩形的鸡舍，怎样设计才能使鸡舍面积最大？问题实例中问题的实质是什么？如何求解？知识点基本不等式与最值当x，y均为正数时，下面的命题均成立：(1)若xys (s为定值)，则当且仅当xy时，xy取得最大值；(2)若xyp (p为定值)，则当且仅当xy时，xy取得最小值 2利用基本不等式求最值时要牢记一正、二定、三相等：(1)一正：各项必须为正；(2)二定：各项之和或各项之积为定值；(3)三相等：必须验证取等号时条件是否具备 1已知x0，则x的最小值为()A6B5C4D3解析：选Ax0，x26，当且仅当x，即x3时，等号成立，此时取得最小值6

2、.2已知0x1，则x(1x)的最大值为_，此时x_解析：因为0x1，所以1x0，所以x(1x)，当且仅当x1x，即x时“”成立，即当x时，x(1x)取得最大值.答案：利用基本不等式求最值例1(链接教科书第30页练习1题)(1)已知x，求y4x2的最大值；(2)已知0x，求yx(12x)的最大值；(3)当x0时，求函数y的最大值解(1)x，54x0，y4x23231，当且仅当54x，即x1时，等号成立，故当x1时，ymax1.(2)0x，12x0，y2x(12x)，当且仅当2x12x，即x时，ymax.(3)因为x0，所以1，当且仅当x，即x1时取等号故函数y的最大值为1.利用基本不等式求最值的

3、方法利用基本不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值常见的变形方法有拆、并、配(1)拆裂项拆项：对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件；(2)并分组并项：目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先对一组应用基本不等式，再在组与组之间应用基本不等式得出最值；(3)配配式配系数：有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值 跟踪训练13x2的最小值是

4、()A33B3C6 D63解析：选D3x23(x21)3232363，当且仅当x21时等号成立，故选D.2已知a0，b0，则4ab的最小值是()A2 B2C4 D5解析：选Ca0，b0，4ab2424，当且仅当即a，b1时，等号成立，此时4ab取得最小值4.利用基本不等式求条件最值例2(链接教科书第30页习题A组7题)已知x0，y0，且1，求xy的最小值解x0，y0，1，xy(xy)1061016，当且仅当，即x4，y12时，上式取等号故当x4，y12时，xy的最小值为16.母题探究1(变条件)本例条件变为“x0，y0，2x8yxy”，其余不变，求xy的最小值解：由2x8yxy0，得y(x8)

5、2x.x0，y0，x80，y，xyxx(x8)102 1018.当且仅当x8，即x12时，等号成立，xy的最小值是18.2(变条件，变设问)本例条件变为“xy1，x0，y0”，试求的最小值解：由(xy)1010216，当且仅当9x2y2即y3x，得x，y时，取“”，的最小值为16.1常值代换法求最值的方法步骤常值代换法适用于求解条件最值问题应用此种方法求解最值的基本步骤为：(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；(4)利用基本不等式求解最值2若常值代换法不适用于条件最值，则对条件变

6、形，直接使用基本不等式，建立以目标函数为整体的不等式，解不等式可得最值 跟踪训练1已知x0，y0且xy1，则pxy的最小值为()A3 B4C5 D6解析：选Cpxy3325，当且仅当xy时等号成立2若a0，且ab0，则a1的最小值为_解析：由ab0，且a0，得ba，0，所以a1a13，当且仅当a1，b1时取等号答案：3基本不等式在实际中的应用例3(链接教科书第29页例5)某房地产开发公司计划在一小区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园的人行道(阴影部分)组成已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000 m2，人行道的宽分别为4 m和10 m(如图所示)(1

7、)若设休闲区的长A1B1和宽B1C1的比值为x(x1)，求公园ABCD所占面积y(单位：m2)关于x的表达式；(2)要使公园ABCD所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？解(1)设休闲区的宽为a m，则其长为ax m，由a2x4 000，得a.所以y(a8)(ax20)a2x(8x20)a1604 000(8x20)160804 160(x1)(2)y8024 1601 6004 1605 760，当且仅当2，即x时取等号，此时a40，ax100.所以要使公园ABCD所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100 m，宽40 m.求实际问题中最值的4步骤(1)先读懂题意

8、，设出变量，理清思路，列出函数关系式；(2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑基本不等式，当基本不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单调性；(4)正确写出答案 跟踪训练某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲区域(如图)，它的平面图如图所示，其中由两个全等的矩形ABCD和EFGH构成的十字型区域的面积为200 m2.现计划在正方形MNPO上建一花坛，造价为4 200元/m2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m2.(1)设该休闲

9、区域的总造价为S元，AD边的长为x m，试建立S关于x的函数关系式；(2)至少要投入多少元，才能建造这个休闲区域？解：(1)设DOy，则x24xy200，即y.所以S4 200x22104xy804y238 0004 000x2(0x10)(2)S38 0004 000x238 0002118 000，当且仅当4 000x2，即x时，等号成立，此时S取得最小值，为118 000.因此，计划至少要投入11.8万元才能建造这个休闲区域1(多选)已知a0，b0，ab2，则对于()A取得最值时a B最大值是5C取得最值时b D最小值是解析：选AD因为ab2，令y22，当且仅当，且ab2，即a，b时，取

10、“”2已知实数x，y满足x0，y0，且1，则x2y的最小值为()A2 B4C6 D8解析：选Dx0，y0，且1，x2y(x2y)4428，当且仅当，1，即x4，y2时等号成立3.(x1)的最小值为_解析：令y，则yx1(x1)2222328，当且仅当x1，即x4时等号成立故(x1)的最小值为8.答案：84某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为yx218x25(xN)，则当每台机器运转_年时，年平均利润最大，最大值是_万元解析：每台机器运转x年的年平均利润为18，且x0，故1828，当且仅当x5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元答案：58