新教材2021-2022学年北师大版数学必修第二册学案：第1章 三角函数 章末综合提升 WORD版含解析.doc

1、 类型1三角函数的定义及诱导公式1利用定义求三角函数值的两种方法(1)先求出角的终边与单位圆的交点坐标，再利用正弦、余弦、正切函数的定义，求出相应的三角函数值(2)在角的终边上任取一点P(a，b)(原点除外)，则sin ，cos ，tan .当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论2用诱导公式化简求值的方法(1)将角化成2k，的形式，是三角函数式化简与求值的关键(2)解决“已知某个三角函数值，求其他三角函数值”的问题，关键在于建立已知和未知的联系，还应注意整体代换的应用【例1】(1)若点P在角的终边上，且|OP|2，则点P的坐标为()A(1，) B(，1)C

2、(1，) D(1，)(2)sin ()A B C D(1)D(2)B(1)根据三角函数的定义，设P(x，y)，x|OP|cos 21，y|OP|sin 2 .P点的坐标为(1，). (2)sin(510)sin 510sin 150sin 30.1(1)已知角的终边过点(1，2)，则cos 的值为()A B C D(2)已知锐角终边上一点P的坐标是(2sin 2，2cos 2)，则等于()A2 B2 C2 D2(1)A(2)C(1)由三角函数的定义可知，r，cos .(2)因为锐角终边上一点P的坐标为(2sin 2，2cos 2)，所以tan tan ，所以2，故选C. 类型2三角函数的图象1

3、用“五点法”作函数yA sin (x)图象的步骤第一步：列表，由x0，2先求出x，再由x的值求出y的值；第二步：在同一坐标系中描出各点；第三步：用光滑曲线连接这些点2对于三角函数图象变换问题，首先要利用诱导公式将不同名函数转换成同名函数；另外，在进行图象变换时，可先平移后伸缩，也可以先伸缩再平移，无论哪种变换，记住每一个水平变换总是对变量x而言的【例2】函数f(x)A sin (x)(A0，0，|)的一段图象如图所示(1)求f(x)的解析式；(2)把f(x)的图象向左至少平移多少个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？解(1)由函数图象知A3，5，故.由f(x)3sin 过点，得3sin

4、0，又，故，f(x)3sin .(2)由f3sin 3sin 为偶函数(m0)，知mk，kZ，即mk，kZ.m0，mmin.故至少把f(x)的图象向左平移个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数2.如图是函数yA sin k的一段图象(1)求此函数解析式；(2)分析一下该函数图象是如何通过ysin x图象变换得来的解(1)由图象知，A，k1，T2，2.ysin (2x)1.当x时，22k，kZ，又|，.所求函数解析式为ysin 1.(2)把ysin x的图象向左平移个单位得到ysin 的图象，然后纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的，得到ysin 的图象，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的

5、，得到ysin ，最后把函数ysin 的图象向下平移1个单位，得到ysin 1的图象 类型3三角函数的性质1求三角函数值域(最值)的方法(1)利用sin x，cos x的有界性(2)从yA sin (x)k的形式逐步分析x的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题利用换元法求三角函数的值域时，一定要注意三角函数自身的取值范围，否则会出现错误2对于yA sin (x)，在研究其相关性质时，将x看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧.【例3】已知函数f(x)2sin a1(其中a为常数).(1)求f(x

6、)的单调区间；(2)若x时，f(x)的最大值为4，求a的值(3)求f(x)取最大值时x的取值集合(1)将2x看成一个整体，利用ysin x的单调区间求解(2)先求x时，2x的范围，再根据最值求a的值(3)先求f(x)取最大值时2x的值，再求x的值解(1)由2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，函数f(x)的单调递增区间为，kZ，由2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，函数f(x)的单调递减区间为，kZ.(2)0x，2x，sin 1，f(x)的最大值为2a14，a1.(3)当f(x)取最大值时，2x2k(kZ)，2x2k，xk，kZ.当f(x)取最大值时，x的取值集合是.3设函数f(x)sin

7、，且yf(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.(1)求的值；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值解(1)因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，又0，所以4.因此1.(2)由f(x)sin 知，当x时，2x.所以sin 1.因此1f(x).故f(x)在区间上的最大值和最小值分别为，1. 类型4数形结合思想所谓数形结合的思想就是把问题的数量关系转化为图形特征去研究，或者把图形的性质问题转化为数量关系去求解，体现了数与形的联系在三角函数中可以利用单位圆中的三角函数线或三角函数图象研究三角函数的求值、大小比较、最值、解三角不等式、单调区间、对称性等问题，其特点是直观形象【例4】函

8、数f(x)A sin (x)的部分图象如图所示，若x1，x2，且f(x1)f(x2)，则f(x1x2)_观察图象可知，A1，T，2，f(x)sin (2x).将代入上式得sin 0，由|，得，则f(x)sin .函数图象的对称轴为x.又x1，x2，且f(x1)f(x2)，x1x2，f(x1x2)sin .4函数f(x)sin x2，x0，2的图象与直线yk有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是_(1，3)f(x)sin x2|sin x|作出f(x)的图象如图所示，则k的取值范围为1k3.1(2020北京卷)2020年3月14日是全球首个国际圆周率日( Day).历史上，求圆周率的方法有多种

9、，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形(各边均与圆相切的正6n边形)的周长，将它们的算术平均数作为2的近似值按照阿尔卡西的方法，的近似值的表达式是()A3nB6nC3nD6nA连接圆心与圆内接正6n边形的各顶点，则圆内接正6n边形被分割成6n个等腰三角形，每个等腰三角形的腰长均为圆的半径1，顶角均为，底角均为90，所以等腰三角形的底边长均为2cos (90)2sin ，故单位圆的内接正6n边形的周长为6n2sin ；连接圆心与圆外切正6n边形的各顶点，则圆外切正6n边形被分割成6n个等腰三角形，每个等腰三

10、角形底边上的高均为圆的半径1，顶角均为，顶角的一半均为，所以等腰三角形的底边长均为2tan ，故单位圆的外切正6n边形的周长为6n2tan .因为单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形的周长的算术平均数为2的近似值，所以26nsin 6ntan ，所以3nsin 3ntan 3n(sin tan )，故选A.2(2020全国卷)设函数f(x)cos 在，的图象大致如下图，则f(x)的最小正周期为()A. B C DC由题图知，f0，k(kZ)，解得(kZ).设f(x)的最小正周期为T，易知T22T，2，1|2，当且仅当k1时，符合题意，此时，T.故选C.3(2020全国卷)在ABC中，c

11、os C，AC4，BC3，则cos B()A B C DA由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos C1692439，AB3，所以cos B，故选A.4(2020天津卷)已知函数f(x)sin .给出下列结论：f(x)的最小正周期为2；f是f(x)的最大值；把函数ysin x的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数yf(x)的图象其中所有正确结论的序号是()A BC DBf(x)sin (x)的最小正周期为2，正确；sin 1f()为f(x)的最大值，错误；将ysin x的图象上所有点向左平移个单位长度得到f(x)sin (x)的图象，正确故选B.5(2020江苏卷)将函数y3sin(2x)的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是_x将函数y3sin(2x)的图象向右平移个单位长度，得到y3sin2(x)3sin(2x)的图象，2xk(kZ)，对称轴方程为x(kZ)，当k1时x为与y轴最近的对称轴方程，故答案为：x.