河北省青龙满族自治县中考数学复习第四讲一元二次方程式的判别式学案无答案新人教版.doc

1、第四讲 一元二次方程式的判别式【学习目标】1.体验一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式b24ac 判根的作用。2.探索一元二次方程的各种情况。【知识框图】 不解方程判根ax2+bx+c=o =b24ac 应用 已知方程根的情况确定方程的字母系数 求证方程有根的状况 典型例题例1.不解方程判定下列方程是否有实数根。（1）2x2+x-1=0 （2）3x2+ = x（3）y(2y+5)=2(y- 1) （4）1998m2- 2002m- 2003=0解：（1）=12- 42(-1)=90 方程有两个不相等的实数根。 （2）方程可化为 3x2- x+ =0 =6- 34 =0 方程有两

2、个相等的实数根。 （3）方程可化为2y2+3y+2=0 =9- 422= -70 方程没有实数根。 （4）ac0 b2-4ac0 方程必有两个不相等的实数根。评注：（1）判定方程是否有实数根，只要通过计算的值，就能确定； （2）当一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）中，a,c异号时，必有b24ac 0。例2：当k为何值时，关于x的方程x2+(1- 2k)x+k2- 1=0 （1）有两个相等的实数根；（2）有两个不相等的实数根；（3）没有实数根。解：=（1- 2k）2- 4（k2- 1）= - 4k+5 （1）方程有两个相等的实数根 =0 即-4k+5=0 k= 当k= 时方程有两个相等实数

3、根。 （2）方程有两相不相等的实数根 0 即- 4k+50 k 当k 时方程有两个不相等的实数根。 （3）方程没有实数根 0 即-4k+50 k 当k 时方程没有实数根评注：若已知方程根的情况，则可通过已确定的符号（0或=0或0等）列式，计算待定系数的值或确定取值范围。例3：求证：不论k取什么实数，方程x2-(k+6)x+4(k- 3)=0一定有两个不相等的实数根。证明：=k2-4k+84 =(k-2) 2+80 (k-2) 20 (k-2) 2+800 0 不论k取什么实数，方程一定有两个不相等的实数根。评注：（1）要证明方程根的情况，只需通过判断的符号即可； （2）判定的符号却常常使用配方

4、技巧或因式分解等。例4：当k取何值时，方程(k-1)x2 - x+1=0有实根。解：（1）当k=1时方程可化为-x+1=0,x=1 （2）当k1时，0 =k-4(k-1)= -3k+40 k 又要使 有意义 k0 0k 且k1 综合所述当0k 时方程有实数根。评注：（1）本题中对于“方程有实数根”的含义的理解是关键，应分类讨论； （2）解题时要注意方程中待定系数本身的取值范围：这里k0。【选讲例题】例5：方程 + + =0只有一个实数根（等根视为一根），求a的值。解：方程化简x2+(x-2) 2+2x-a=0 2x-2x+4-a=0 （1）若=0,=4-24(4-a)=0 即 2a-7=0,

5、a= 此时方程为2x2-2x+ =0, 此时方程的根为x1=x2= 符合题意。 （2）若0则要使原方程只有一个实数根，必须是方程2x 2-2x+4-a=0 中有一根为增根 当增根为x=0时，a=4，此时方程2x 2-2x=0 x1=0, x2=1，符合原方程只有一个实数根。 当增根为x=2时，24-22+4-a=0 a=8 此时方程为2x2-2x+4=0 x1=2, x2= -1 ,符合原方程只有一个实数根。 综上所述a的值为 、4或8。评注：（1）本题主体思想是通过方程的根进行分类讨论； （2）对化简后方程有两个不相等的实数根，通过增根求出待定系数后再检验； （3）若化简后二次项系数是有关a

6、的代数式，则还要进行方程类别的讨论。【课堂小结】本节内容主要学习了一元二次方程的根的判别式及其作用，主要体现在0，=0和0时，对方程的解的影响。只要涉及到方程解的情况讨论时，是主要讨论的内容，同时也不可忽视使用的前提：二次项系数不能为零。【基础练习】1.选择题（1）若方程x2-2x+m=0没有实数根，则m的取值范围是（ ）A.m1 B.m=1 C.m1 D.任何实数（2）若一元二次方程根的判别式=(m-1) 2,则下列说法不正确的是（ ）A. 一定有两个实数根 B.一定有两个不相等的实数根C.当m1没有实数根 D.以上说法都不正确2.填空题（1）方程x2-3x-4=0的判别式=_. （2）若方

7、程（x+2) 2+(y-2) 2=0,则x+y=_.3.m为何值时，一元二次方程2mx2+(8m+1)x+8m=0有两个不相等的实数根。4. 已知a、b、c为三角形三边长，且方程b(x2-1)-2ax+c(x2+1)=0有两个相等的实数根。 求证：三角形是直角三角形。 5.已知二次函数y=x2-2(m+1)x+m2-1与x轴有两个交点，求m的取值范围。【巩固练习】1.选择题（1）方程x2+3x+6=0与x2-6x+3=0 的所有实根的乘积等于（ ）A.-18 B.18 C.-3 D.3（2）若关于x的方程x2-2 x-1=0有两个不相等的实根，则k的取值范围是（ ）A.k0 B.k0 C.k-

8、1 D. k-12.填空题（1）一元二次方程x2-3x-m=0有两个相等的实根，则m的值为_。（2）若关于x的一元二次方程kx2+2(k+1)x+k-1=0有两个实数根，则k的取值范围是_。 3. 已知关于x的方程(k-2)x2-2(k-1)x+k+1=0且k3 （1）求证：此方程总有实根； （2）当方程有两实数根，且两实根的平方和等于4时，求k的值。4. 已知等腰三角形的两边长a、b是方程x2-kx+12=0的两根，另一条边长c =4，求k的值。5.已知方程组 有两组不相等的实数解，求a的取值范围。6.若方程x2+2px-q=0（p、q是实数）没有实数根。（1）求证：p+q （2）试写出上述命题的逆命题；（3）判断（2）中的逆命题是否正确，若正确请加以证明，若不正确，请举一反例。【课后反思】