2022年新教材高中数学 课时检测22 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积（含解析）新人教A版必修第二册.doc

1、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.已知正六棱柱的高为h,底面边长为a,则它的表面积为()A.3a2+6ahB.a2+6hC.4a2+6ahD.a2+6ah【解析】选A.柱体的表面积是侧面积加底面积,据正六棱柱的性质,得其表面积为S侧+2S底=3a2+6ah.2.已知高为3的三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为1的正三角形,则三棱锥B1-ABC的体积为()A.B. C.D.【解析】选D.V=Sh=3=.3.底面为正方形的直棱柱,它的底面对角线长为,体对角线长为,则这个棱柱的侧面积是

2、()A.2B.4C.6D.8【解析】选D.由已知得底面边长为1,侧棱长为=2.所以S侧=124=8.4.如图,ABC-ABC是体积为1的棱柱,则四棱锥C-AABB的体积是 ()A.B.C.D.【解析】选C.因为VC-ABC=V柱=,所以VC-AABB=1-=.5.棱台上、下底面面积之比为19,则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是()A.49B.1019C.719D.59【解析】选C.设棱台高为2h,上底面面积为S,则下底面面积为9S,中截面面积为4S,=.6.(多选题)下列说法正确的有()A.多面体的表面积等于各个面的面积之和B.棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的C.沿不同的棱将多面

3、体展开,得到的展开图相同,表面积相等D.多面体的侧面积等于各个侧面的面积之和【解析】选AD.A正确.多面体的表面积等于侧面积与底面积之和.B错误.棱台的侧面展开图是由若干个梯形组成的,不一定是等腰梯形.C错误.由于剪开的棱不同,同一个几何体的表面展开图可能不是全等形.但是,不论怎么剪,同一个多面体表面展开图的面积是一样的.D正确.多面体的侧面积等于各个侧面的面积之和.二、填空题(每小题5分,共10分)7.(2019江苏高考)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,则三棱锥E-BCD的体积是_.【解题指南】考查空间几何体的体积,可通过棱锥和棱柱的体积转化求得.【解

4、析】设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则长方体的体积为abc=120,三棱锥E-BCD的体积为SBDCc=abc=abc=10.答案:108.一个长方体的过同一顶点的三个面的面积分别是,则这个长方体的体积为_,表面积为_.【解析】设长方体的棱长分别为a,b,c,则三式相乘可知(abc)2=6,所以长方体的体积V=abc=,表面积为S=2+2+2.答案:2+2+2三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍,高为3,求它的表面积.【解析】如图,高PO=3,PE是斜高,因为S侧=2S底,所以4BCPE=2BC2,所以BC=PE.在RtPOE中,PO=3,OE=BC

5、=PE,所以9+=PE2,所以PE=2.所以S底=BC2=PE2=(2)2=12,S侧=2S底=212=24,所以S表=S底+S侧=12+24=36.10.正四棱台两底面边长分别为3和9.(1)若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45,求棱台的侧面积;(2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和,求它的高.【解析】(1)如图,设O1,O分别为上,下底面的中心,过C1作C1EAC于E,过E作EFBC于F,连接C1F,则C1F为正四棱台的斜高.由题意知C1CO=45,CE=CO-EO=CO-C1O1=(9-3)=3.在RtC1CE中,C1E=CE=3,又EF=CEsin 45=3=3,所

6、以斜高C1F=3.所以S侧=(43+49)3=72.(2)由题意知S上底+S下底=32+92=90,所以(43+49)h斜=32+92=90.所以h斜=.又EF=3,h=.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.棱长为2的正四面体的表面积是()A.B.4C.4D.16【解析】选C.每个面的面积为22=,所以正四面体的表面积为4.2.侧面是正三角形的正三棱锥,体积是,则其表面积为()A.2B.6C.4D.12【解析】选C.设正三棱锥的棱长为a,则其高h=a,所以V=a2a=a3.由a3=,解得a=2.所以S表=4a2=a2=4.3.一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形,矩形的长和

7、宽分别为6 cm,4 cm,则该棱柱的侧面积为_ cm2.()A.36B.72C.18D.108【解析】选B.该棱柱的侧面积S侧=364=72(cm2).4.四棱台的两底面分别是边长为x和y的正方形,各侧棱长都相等,高为z,且侧面积等于两底面积之和,则下列关系式中正确的是()A.=+B.=+C.=+D.=【解析】选C.由条件知,各侧面是全等的等腰梯形,设其高为h,则根据条件得,消去h得,4z2(x+y)2+(y-x)2(y+x)2=(x2+y2)2.所以4z2(x+y)2=4x2y2,所以z(x+y)=xy,所以=+.二、填空题(每小题5分,共20分)5.侧面是直角三角形的正三棱锥,底面边长为

8、a,该三棱锥的表面积为_.【解析】底面边长为a,则斜高为,故S侧=3aa=a2.而S底=a2,故S表=a2.答案:a26.一个封闭的正三棱柱容器,高为3,内装水若干(如图甲,底面处于水平状态),将容器放倒(如图乙,一个侧面处于水平状态),这时水面与各棱交点E,F,F1,E1分别为所在棱的中点,则图甲中水面的高度为_.【解析】因为E,F,F1,E1分别为所在棱的中点,所以棱柱EFCB-E1F1C1B1的体积V=SEFCB3=SABC3=SABC,设图甲中水面的高度为h,则SABCh=SABC,所以h=.答案:7.一块边长为10 cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰

9、三角形作侧面,以它们的公共顶点P为顶点,加工成一个如图所示的正四棱锥形容器.当x=6 cm时,则该容器的容积为_cm3.【解析】如图所示,由题意可知,这个正四棱锥形容器的底面是以6 cm为边长的正方形,侧面的斜高PM=5 cm,高PO=4(cm),所以所求容积为V=624=48(cm3).答案:488.如图所示,正四棱台ABCD-A1B1C1D1的上底面是边长为2的正方形,下底面是边长为4的正方形,侧棱长为2,侧面是全等的等腰梯形,则四棱台的表面积等于_,体积等于_.【解析】因为正四棱台的上底面是边长为2的正方形,下底面是边长为4的正方形,所以上底面、下底面的面积分别是4,16.因为侧棱长为2

10、,侧面是全等的等腰梯形,所以侧面的高为=,一个等腰梯形的面积为(2+4)=3,所以四棱台的表面积为4+16+34=20+12.四棱台的高h=,所以四棱台的体积V=(4+16)=.答案:20+12三、解答题(每小题10分,共30分)9.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,若E,F分别为AB,AC的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1,V2的两部分,求V1V2.【解析】设三棱柱的高为h,底面的面积为S,体积为V,则V=V1+V2=Sh.因为E,F分别为AB,AC的中点,所以SAEF=S,V1=h=Sh,V2=Sh-V1=Sh,所以V1V2=75.10.若E,F是三棱柱ABC-A1B1C1

11、侧棱BB1和CC1上的点,且B1E=CF,三棱柱的体积为V,求四棱锥A-BEFC的体积.【解析】如图所示,连接AB1,AC1.设AA1=h,因为B1E=CF,所以梯形BEFC的面积等于梯形B1EFC1的面积.又因为四棱锥A-BEFC的高与四棱锥A-B1EFC1的高相等,所以VA-BEFC=.又=h,=h=V,所以=,所以=-=.所以VA-BEFC=V=,即四棱锥A-BEFC的体积是.11.已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形,侧面是全等的等腰梯形,且侧面面积等于上、下底面面积之和,求棱台的高和体积.【解析】如图,在三棱台ABC-ABC中,取上、下底面的中心分别为O,O,BC,BC的中点分别为D,D,则DD是梯形BCCB的高.所以S侧=3(20+30)DD=75DD.又因为AB=20 cm,AB=30 cm,则上、下底面面积之和为S上+S下=(202+302)=325(cm2).由S侧=S上+S下,得75DD=325,所以DD=(cm),OD=20=(cm),OD=30=5(cm),所以棱台的高h=OO=4(cm).由棱台的体积公式,可得棱台的体积为V=(S上+S下+)=1 900(cm3).