2023届高考数学 易错题专项突破——易错点21 等比数列（含解析）.docx

1、易错点 21 等比数列 一、单选题 1.在明朝程大位算法统宗中，有这样一首歌谣，叫浮屠增级歌：远看巍巍塔七层，红光点点倍加增；共灯三百八十一，请问层三几盏灯.这首古诗描述的浮屠，现称宝塔.本浮屠增级歌意思是：有一座 7 层宝塔，每层悬挂的红灯数是上一层的 2 倍，宝塔中共有灯 381 盏，问这个宝塔第 3 层灯的盏数有 A.12 B.24 C.48 D.96 2.已知数列的前项和=+(0)，则“=“是“数列是等比数列”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.下列说法正确的是 若 数 列 是 等 差 数 列，且 +=+(,)，则+=+；若是等差数列

2、的前 n 项的和，则，2 ，3 2成等差数列；若是等比数列的前 n 项的和，则，2 ，3 2成等比数列；若是等比数列的前 n 项的和，且=+(其中是非零常数，)，则+=0 A.B.C.D.4.设数列满足2=+1()，且前 n 项和为，则53的值 A.314 B.152 C.154 D.312 5.设等比数列的前 n 项和为，若10：5=1：2，则5+10+15105=A.72 B.92 C.92 D.72 6.设()=2+23+25+27+22+7()，则()等于 A.B.C.D.7.已知各项为正的等比数列中，1与2017的等比中项为22，则24+2014的最小值为 A.16 B.8 C.22

3、 D.4 8.已知等比数列满足249=27，则5=A.3 B.3 C.33 D.9 9.在等比数列中，若对 ，+1=3，则公比=_ 10.已知正项数列满足+12 6 2=+1，若1=2，则数列的前 n项和为_ 11.若数列是等差数列，对于=1(1+2+)，则数列也是等差数列.类比上述性质，若数列是各项都为正数的等比数列，对于 0时，数列也是等比数列，则=12.已知公差不为 0 的等差数列满足32=1 4，为数列的前 n 项和，则3253的值为_ 三、解答题 13.已知正项等比数列的前 n 项和为，1=2，22=2+3(1)求数列的通项公式；(2)设=21+2log2，求数列的前 n 项和 14

4、.已知数列满足2=3，+1=2+1，设=+1(1)证明：是等比数列；(2)求1+3+5+2+1 15.已知数列中，1=1，0，前 n 项和为，=+1(，且 2).(1)求数列的通项公式；(2)记=32+1，求数列的前 n 项和 16.已知正项数列满足：1=，+12 42+1 2=0，()判断数列是否是等比数列，并说明理由；()若=2，设=.，求数列的前 n 项和 一、单选题 1、在明朝程大位算法统宗中，有这样一首歌谣，叫浮屠增级歌：远看巍巍塔七层，红光点点倍加增；共灯三百八十一，请问层三几盏灯.这首古诗描述的浮屠，现称宝塔.本浮屠增级歌意思是：有一座 7 层宝塔，每层悬挂的红灯数是上一层的 2

5、 倍，宝塔中共有灯 381盏，问这个宝塔第 3 层灯的盏数有 A.12 B.24 C.48 D.96【答案】C【解析】解：从第 1 层到塔顶第 7 层，每层的灯数构成一个等比数列，公比为12，前 7 项的和为 381，则7=11(12)7112=381，解得1=192，即第一层1=192，则第三层3=192 (12)2=48 故选 C 2、已知数列的前项和=+(0)，则“=“是“数列是等比数列”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：当=0时，=0，数列不是等比数列，充分性不成立；当数列是等比数列，又数列前 n 项和为=+(0)，

6、1=1=+，=1=1(1)，2，数列是等比数列，显然 1，可得+=11(1)，=，必要性成立 故选 B 3、下列说法正确的是 若 数 列 是 等 差 数 列，且 +=+(,)，则+=+；若是等差数列的前 n 项的和，则，2 ，3 2成等差数列；若是等比数列的前 n 项的和，则，2 ，3 2成等比数列；若是等比数列的前 n 项的和，且=+(其中是非零常数，)，则+=0 A.B.C.D.【答案】C【解析】解：对于：取数列为常数列，对任意 m、n、s、，都有+=+，故错；对于：设等差数列的首项为1，公差为 d，则=1+2+，2 =+1+2+2=1+2+=+2，同理：3 2=2+1+2+2+3=+1+

7、2+2+2=2 +2=+22，2(2 )=+(3 2)，2 ，3 2是等差数列，故正确；对于：设=(1)，则2=0，4 2=0，6 4=0，此数列不是等比数列，故错；对于：因为=1=(+)(1+)=1=(1)1，2，所以此数列为首项是(1)，公比为 q 的等比数列，则=(1)(1)1，所以=，+=0，故正确；故选 C 4、设数列满足2=+1()，且前 n 项和为，则53的值 A.314 B.152 C.154 D.312 【答案】A【解析】解：由题意知，数列是以 2 为公比的等比数列，故53=1(125)12122=314 故选 A 5、设等比数列的前 n 项和为，若10：5=1：2，则5+1

8、0+15105=A.72 B.92 C.92 D.72【答案】B【解析】解：等比数列的前 n 项和为，若10：5=1：2，(10 5)：5=1：2，由等比数列的性质得(15 10)：(10 5)：5=1：(2)：4，15：5=3：4，5+10+15105=5+125+3451255=92，故选 B 6、设()=2+23+25+27+22+7()，则()等于 A.B.C.D.【答案】D【解析】解：依题意，()可以看作以 2 为首项，4 为公比的等比数列的前+4项的和，()=2+23+25+27+22+7=21(22)+4122=23(4+4 1)故选 D 7、已知各项为正的等比数列中，1与201

9、7的等比中项为22，则24+2014的最小值为 A.16 B.8 C.22 D.4【答案】B【解析】解：因为12017=(22)2=8，即4 2014=8，则24+2014 224 2014=8 故选 B 8、已知等比数列满足249=27，则5=A.3 B.3 C.33 D.9【答案】B【解析】解：由题意，等比数列满足249=27，则有159=27，即(5)3=27，5=3 故选 B 二、填空题 9 在等比数列中，若对 ，+1=3，则公比=_【答案】3【解析】解：，+1=3，1 2=3，23=32，2=2312=3 又1 2=3 0，0，=3 故答案为3 10 已知正项数列满足+12 6 2=

10、+1，若1=2，则数列的前 n 项和为_【答案】3 1【解析】解：正项数列满足+12 62=+1，(+1 3)(+1+2)=0，数列是正项数列，+1=3，数列是等比数列，首项为 2，公比为 3 数列的前 n 项和=2(31)31=3 1，故答案为3 1 11 若数列是等差数列，对于=1(1+2+)，则数列也是等差数列.类比上述性质，若数列是各项都为正数的等比数列，对于 0时，数列也是等比数列，则=【答案】12 【解析】解：设数列的公比为 q，则=11，所以 12 =11+2+(1)=1(1)2=112，所以=12 ，则数列是等比数列 故答案为 12 12 已知公差不为 0 的等差数列满足32=

11、1 4，为数列的前 n 项和，则3253的值为_【答案】2【解析】解：由已知设公差为(0)，则(1+2)2=1(1+3)，所以1=4，所以3253=34+5=1+221+7=2=2 故答案为 2 三、解答题 13 已知正项等比数列的前 n 项和为，1=2，22=2+3(1)求数列的通项公式；(2)设=21+2log2，求数列的前 n 项和【答案】解：(1)因为22=2+3，所以21+2=3，所以2 2=0，解得=2 所以=2(2)由题意得=(2 1)(12)+2 令=(2 1)(12)，其前 n 项为，则=1 (12)+3 (12)2+(2 1)(12)12 =1 (12)2+3 (12)3

12、+(2 3)(12)+(2 1)(12)+1 两式相减得：12 =12+(12)2+(12)3 +(12)(2 1)(12)+1=12+2 141(12)1112(2 1)(12)+1=32 (12)1 (2 1)(12)+1 所以=3 (2+3)(12)，而2(1+2+)=2(+1)2=(+1)，所以数列的前 n 项和=3 (2+3)(12)+(+1)14 已知数列满足2=3，+1=2+1，设=+1(1)证明：是等比数列；(2)求1+3+5+2+1【答案】证明：(1)+1=2+1，且2=3，3=21+1，1=1 在+1=2+1两边同时加 1 得：+1+1=2(+1)，+1=2，又 1=1+1

13、=2 0，+1+1+1=2，是以 2 为首项，2 为公比的等比数列；(2)由(1)可得=2，故=2 1，1+3+5+2+1=(2 1)+(23 1)+(25 1)+(22+1 1)=(2+23+.+22+1)(+1)=2(14+1)14 1=22+3353 15已知数列中，1=1，0，前n项和为，=+1(，且 2).(1)求数列的通项公式；(2)记=32+1，求数列的前 n 项和【答案】解：(1)在数列中，=1(2)，=+1且 0，式 式得：1=1(2)，数列是以1=1=1为首项，公差为 1 的等差数列，=1+(1)=，=2，当 2时，=1=2 (1)2=2 1，当=1时，1=1，也满足上式，

14、数列的通项公式为=2 1;(2)由(1)知，=2 1，=22，则=12+022+123+22 12 =122+023+124+32+22+1 两式相减得，12 =12+122+123+12 22+1，=12 (122+123+12)22+1，=12 122 121211222+1=2+1，=2 16 已知正项数列满足：1=，+12 42+1 2=0，()判断数列是否是等比数列，并说明理由；()若=2，设=.，求数列的前 n 项和【答案】解：()+12 42+1 2=0，(+1 2)(+1+2+1)=0，又是正项数列，可得+1+2+1 0，+1=2，当=0时，数列不是等比数列；当 0时，易知 0，故+1=2，所以数列是等比数列，首项为 a，公比为 2；()由()知，=2，=2+，=(1+2+3+)+(2+22+2)=2+1 2+12(+1)